Вирішення стохастичних диференціальних рівнянь. Аналіз явних чисельних методів розв'язання стохастичних диференціальних рівнянь

Єрешко Арт. Ф.,

Обчислювальний центр ім. РАН,

Свентокшиська Академія у Кельцях, Польща

АНАЛІЗ ЯВНИХ ЧИСЛОВИХ МЕТОДІВ

РІШЕННЯ СТОХАСТИЧНИХ

ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ

Розглядаються основні засади побудови чисельних методів розв'язання стохастичних диференціальних рівнянь (СДП). Аналізується проблема жорсткості систем СДВ. Для одновимірного СДУ Іто порівнюється точність апроксимації існуючих чисельних методів.

1. Вступ

Аналіз та синтез стохастичних динамічних систем часто пов'язані з використанням чисельного рішення СДУ. Для ряду завдань таких, як фільтрація, ідентифікація, прогнозування та оптимальне управління, інтегрування чисельного рішення СДУ має виконуватися в реальному часі та, крім того, з певною точністю та стійкістю. У зв'язку з цим виникає низка проблем. З одного боку, дуже багато СДУ мають аналітичні рішення (переважно це – лінійні СДУ з адитивним чи мультиплікативним шумом чи нелінійні СДУ, зведені до лінійним ), з другого – фізичні особливості реальних динамічних систем призводять до прояву жорсткості, що незадовільно впливає на одержуване чисельне рішення. Тому особливо важливим етапом під час проектування стохастичної динамічної системи є вибір схеми чисельного рішення СДУ.

2. Принципи побудови чисельних методів розв'язання

стохастичних диференціальних рівнянь

Нині є кілька підходів створення чисельних схем рішення СДУ. Однією з можливостей є адаптація існуючих звичайних диференціальних схем (ОДУ) схем з урахуванням властивостей стохастичних інтегралів, інший – розробка спеціальних методів рішення СДУ . Більшість дослідників використовує перший підхід, оскільки теорія чисельного рішення ОДУ добре розроблена і досить легко можна провести аналогії між ОДУ та СДУ.

Найпростішим методом апроксимації чисельного рішення СДУ (з обчислювальної точки зору) є метод Ейлера, розроблений Маруямою в 1955р. Ця схема задовольняє багатьом необхідним властивостям, що пред'являються до чисельних методів (вона має порядок збіжності), але в той же час має ряд обмежень (не завжди стійка, помилка апроксимації досить висока і т.п.). Для усунення цих недоліків, а також підвищення порядку збіжності чисельних схем рішення СДН були проведені і досі ведуться дослідження, напрямки яких можна подати у вигляді схеми (див. рис. 1).

За аналогією з розробкою схем чисельного рішення ОДУ підвищення порядку збіжності, точності апроксимації і стійкості можна використовувати розкладання в ряд у точці апроксимації, т. е. використання похідних різних порядків, як змінної, і коефіцієнтів дрейфу і дифузії . У літературі цей підхід отримав назву методу Тейлора. Однак недоліком схем Тейлора є те, що на кожному кроці апроксимації потрібно обчислювати кратні стохастичні інтеграли, пов'язані з вищезазначеними похідними. Для того, щоб уникнути обчислювальних труднощів, можна використовувати багаторазове поділ кроку апроксимації (методи Рунге-Кутта) або результати апроксимації попередніх кроків (багатокрокові методи).

Як звичайні, так і стохастичні системи диференціальних рівнянь, що описують багато фізичних, біологічних або економічних явищ, при комп'ютерному моделюванні з використанням звичайних чисельних схем демонструють «небажане» поведінка і можуть бути віднесені до класу некоректних завдань. Найчастіше під «небажаною» поведінкою розуміється дуже висока нестабільність чисельного рішення, що з так званим явищем жорсткості. Існує кілька можливих пояснень цього явища.

Перша причина асоціюється з технічними можливостями комп'ютера. Так досягнення бажаної точності можна застосувати багаторазове розподіл кроку інтегрування. З одного боку, це призводить до накопичення помилки округлення, і як наслідок виникає переповнення регістрів комп'ютера. З іншого боку, використання дуже малих значень кроку інтегрування вимагає величезних ресурсів часу і також призводить до накопичення помилки округлення. Друга причина пов'язана з фізичною стороною системи, що розглядається. Це означає, що система описує процеси різних швидкостей чи градієнтів (передусім це притаманно некоректних завдань). Таке явище зазвичай виступає у завданнях прикордонного шару (гідродинаміка), скін-ефекту (електромагнетизм), реакції хімічної кінетики тощо. Нарешті жорсткість може бути викликана обома причинами. Тому розробки стабільних чисельних методів потрібно враховувати вищевказані ситуації.

Аналіз сучасної літератури показав, що створення чисельних методів вирішення жорстких систем здебільшого засноване на ідеях, представлених Хайрером та Ваннером. У своїй роботі вони постулювали, що жорсткі системи неможливо знайти вирішені явними методами, і представили підходи, засновані лише з використанні неявних методів. Однак слід зазначити, що безпосереднє застосування цих методів завжди пов'язане з вкрай складною процедурою визначення параметрів схеми, заснованої на виділеній області стійкості, що заздалегідь, тільки для аналізованої системи. Ця обставина робить запропоновані підходи не прийнятними для більшості вищезгаданих додатків, але дозволяє виділити дві важливі математичні властивості жорсткості. По-перше, всі жорсткі системи мають дуже широкий спектр (або присутність дуже різних експонентів Ляпунова). По-друге, згідно з теоремою єдиності та існування рішення, для жорстких систем характерні великі значення константи Липшиця.

Отже, аналіз принципів створення чисельних схем рішення СДВ показав необхідність ретельного дослідження існуючих і, можливо, пошуку нових методів, при вирішенні конкретних завдань.

3. Явні сильні чисельні схеми

Запишемо СДУ у поданні Іто у загальному вигляді

де - https://pandia.ru/text/78/507/images/image006_22.gif" width="80 height=28" height="28">; -https://pandia.ru/text/78/ width="79" height="28">.gif" width="79" height="28 src="> - безперервно двічі диференційовані функції дрейфу та дифузії; параметрів.

Отримання сильного рішення СДУ (3.1) є важливим моментом у багатьох практичних завданнях, метою роботи є порівняльний аналіз існуючих явних сильних чисельних методів рішення СДУ.

Розглянемо найпоширеніший у фінансовій літературі випадок – випадок одновимірного рівняння (3.1), використовуючи схеми: Ейлера, Мільштейна, Тейлора, Рунге-Кутта та двокрокову. В одновимірному випадку схема Ейлера має вигляд:

де і (https://pandia.ru/text/78/507/images/image019_9.gif" width="55" height="24">, представляється як

схема Тейлора порядку https://pandia.ru/text/78/507/images/image022_10.gif" width="484"

а двокрокова схема порядку:

https://pandia.ru/text/78/507/images/image025_10.gif" width="509" height="52 src=">

https://pandia.ru/text/78/507/images/image027_8.gif" width="355" height="52 src=">

Схема Рунге-Кутта, де порядок збіжності https://pandia.ru/text/78/507/images/image029_8.gif" width="384"

https://pandia.ru/text/78/507/images/image031_6.gif" width="100" height="28 src=">.gif" width="345" height="68">,

https://pandia.ru/text/78/507/images/image035_5.gif" width="44" height="28"> та аналітичне рішенням СДУ (3.1) на кінці інтервалу інтегрування DIV_ADBLOCK220">

, (4.1)

де – оператор математичного очікування.

Замінимо теоретичне значення критерію «абсолютної помилки» (4.1) його статистичним аналогом, ґрунтуючись на моделюванні Монте-Карло..gif" width="44" . =">, тоді статистичний аналог критерію (4.1) є

(4.2)

Порівняємо вищеописані схеми за критерієм абсолютної помилки. Як перший тестовий приклад досліджуємо лінійне СДУ з постійними однорідними коефіцієнтами

аналітичне рішення якого має вигляд

.

Другим тестовим прикладом є нелінійне СДУ.

з диференційованою функцією та загальним рішенням

https://pandia.ru/text/78/507/images/image049_5.gif" width="108" height="57 src=">.

Зокрема, для рівняння

(4.4)

аналітичне рішення є

https://pandia.ru/text/78/507/images/image052_2.gif" width="17" height="19">, кількістю траєкторій і точністю апроксимації (4.2). Результати обчислень наведені в таблицях 1 - 3, проаналізуємо їх, використовуючи середній критерій (4.2).

Для першого та другого тестових рівнянь (див. табл.1 та табл.2) при зменшенні довжини кроку інтегрування та збільшенні порядку збіжності чисельної схеми зростає точність апроксимації для всіх досліджуваних чисельних схем.

Однак цього не можна стверджувати у третьому випадку, який представляв жорстке СДУ (див. табл.3). Вдалося розрахувати значення абсолютної помилки для всіх комбінацій довжини кроку інтегрування та кількості траєкторій лише для схеми Ейлера та двокрокової схеми.

Таблиця 1.Точність апроксимації чисельного рішення рівняння (4..gif" width="53" height="20 src=">.gif" width="93" height="28 src=">)

Схема	Довжина кроку інтегрування,
Мільштейна
двокрокова
Рунге-Кутта
Мільштейна
двокрокова
Рунге-Кутта
Мільштейна
двокрокова
Рунге-Кутта

Для схем Мільштейна, Тейлора і Рунге-Кутта при , , https://pandia.ru/text/78/507/images/image068_3.gif" що призводило до неможливості проведення подальших обчислень.

Таким чином, можна відзначити, що на відміну від ОДУ, при чисельному інтегруванні рішення жорстких СДУ слід використовувати «прості» явні методи рішення, тобто уникати методів, що використовують багаторазового поділу кроку апроксимації або похідних функцій дрейфу та дифузії. У разі потреби чисельного рішення СДУ в таких завданнях, як фільтрація або ідентифікація параметрів СДУ з використанням процедури Монте-Карло , довжиною кроку є DIV_ADBLOCK222">

Таблиця 2.Точність апроксимації чисельного рішення рівняння (4.4) (https://pandia.ru/text/78/507/images/image070_4.gif" width="100" height="25 src=">)

Схема	Довжина кроку інтегрування,
Мільштейна
двокрокова
Рунге-Кутта
Мільштейна
двокрокова
Рунге-Кутта
Мільштейна
двокрокова
Рунге-Кутта

Таблиця 3.Точність апроксимації чисельного рішення рівняння

(4.3)(https://pandia.ru/text/78/507/images/image071_4.gif" width="55" height="20 src=">.gif" width="100" height="25 src="> )

схема	довжина кроку інтегрування,
Мільштейна
двокрокова
Рунге-Кутта
Мільштейна
двокрокова
Рунге-Кутта
Мільштейна
двокрокова
Рунге-Кутта Література 1. Oksendal B. Stochastic differential equations. Berlin: Springer, 2000. 2. , Методи розв'язання некоректних завдань. М: Наука, 1986. 3. Kloden P. E., Platen E. Numerical solution of Stochastic Differential Equations. Berlin: Springer, 1999. 4. Burrage K., Tian T. Stiffly accurate методи Runge-Kutta для stiff stochastic differential equations // Computer Physics Communications. 2001. V. 142. P. 186 - 190. 5. Burrage K., Burrage P., Mitsui T. Numerical solutions of stochastic differential equations – implementation and stability issues // Journal of computational and applied mathematics. 2000. V. 125. P. 171 - 182. 6. Кузнецов Д. F.Три-три сильні numerical методи orders accuracy 1.0 and 1.5 for Ito Stochastic differential equations // Journal of Automation and Information Sciences. 2002. V. 34. № 12. P. 22 - 35. 7. Gaines J. G., Lyons TJ.Різноманітний ступінь рівня контролю в numerical solution of stochastic differential equations // SIAM Journal of Applied Mathematics. 1997. V. 57. № 5. P. 1455 - 1484. 8. Hairer E. Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems. Berlin: Springer-Verlag, 1996. 9. Lamberton D., Lapeyre B. Introduction to stochastic calculus applied to finance. London: Chapman та Hall. 2000. 10. Ширяєв А. Н. Основи стохастичної фінансової математики. М.: ФАЗІС, 1998. 11. Milstein GN, Platen E., Schurz H. Balanced implicit методів для stiff stochastic systems // SIAM Journal of Numerical Analysis. 1998. V. 35. P. 1010 - 1019. 12. Filatova D., Grzywaczewski M., McDonald D. Використовуючи параметри стійких різних еквівалентів, використовуючи критерійну функцію, засновану на статтях Kolmogorov-Smirnov // ACTA ET COMMENTATIONES UNIVERSITATIS TARTUENSIS DE MATHEMATICA. 2004. V. 8. - P. 93 - 99. 13. Nielsen JN, Madsen H.Використовуючи EKF до стійких різних еквівалентів з рівнем ефектів // Automatica. 2001. V. 37. P. 107 - 112. 14. Nielsen J. N., Madsen H., Young P. C. Parametric estimation в stochastic differential equations: an overview // Annual Reviews in Control. 2000. V. 24. P. 83 - 94.

Повернемося до динамічного рівняння першого порядку (система з 1/2 ступеня свободи), прикладом якого було рівняння для малих флуктуацій амплітуди в автогенераторі [перша формула (29.1)], тобто рівняння виду

З таким же рівнянням ми маємо справу в задачах про швидкість і одновимірного руху частинки маси в середовищі з в'язким тертям або про зміщення s цієї частинки, але позбавленої маси і прив'язаної до пружини з коефіцієнтом пружності або про напругу V на ємності-контуру або про струмі I -контурі і т. д.

Відповідно до сказаного в § 28, ми розраховуємо на те, що при дії на динамічну систему (35.1) досить «густих» (порівняно з часом встановлення) однорідних поштовхів відгук буде безперервним однорідним

марківським процесом з ймовірністю переходу Ейнштейна - Фоккера, що задовольняє рівняння.

тобто рівняння (29.2), але в одновимірному випадку, коли немає залежності v від другої змінної. За способом, мотивованим у § 28, коефіцієнт (35.2) прирівняний виразу для х, тобто правої частини рівняння (35.1):

За початкової умови

рішення рівняння (35.2) виражається нормальним законом

[див. (29.5) та (29.6)]. У межі при , т. е. для t , формула (35.3) перетворюється на залежне від стаціонарне розподіл . У задачі про швидкість і частки у в'язкому середовищі, коли розподіл має бути максвелівським:

так що звідки Аналогічні висловлювання для В можна написати і в інших перерахованих вище завданнях - просто як наслідок теореми про рівнорозподіл енергії за ступенями свободи: середня енергія системи з 1/2 ступеня свободи повинна дорівнювати (в даному випадку

Така при зроблених вихідних припущеннях суто ймовірнісна схема розв'язання задачі про флуктуації. Тепер ми зробимо інакше. Введемо до рівняння (35.1) випадкову (або флуктуаційну) силу:

Якщо для конкретності міркувати над завданням про рух частинки в необмеженому в'язкому середовищі, то йдеться про рівняння руху

у якому вплив середовища на частинку розбито на дві частини: систематичну силу тертя та випадкову силу

Припускаючи, що систематична сила тертя виражається законом Стокса (для сферичної частки радіусу маємо , де в'язкість рідини), ми робимо два припущення.

По-перше, має бути виконана умова ламінарності обтікання частинки, тобто малості числа Рейнольдса:

де густина рідини. Якщо для і взяти значення середньої квадратичної швидкості теплового руху [і - щільність речовини частинки], тобто врахувати найшвидші тремтіння частинки, то

При маємо що навіть для молекулярних розмірів дає значення Таким чином, умова ламінарності виконана.

По-друге, повна систематична сила, що діє на кулю, що рухається у в'язкій нестисливій рідині, дорівнює, згідно з Буссіною,

де - приєднана маса, що дорівнює половині маси, витісненої частинкою рідини. У рівнянні (35.6) із повної сили F утримано лише першого члена. Але за другий і третій члени одного порядку з . Щодо цього несуттєво, оскільки роль цього члена зводиться лише зміну ефективної маси частки. Більш важливим є третій член, який виражає в'язку гідродинамічну післядію (див. §§ 15 і 21), при обліку якого система набуває нескінченної безлічі ступенів свободи.

За наявності в'язкого (а тим самим і ймовірнісного) післядії середній квадрат усунення частки був знайдений В. В. Володимирським та Я. П. Терлецьким. Звичайне вираз виявляється справедливим лише для проміжків часу t, досить великих порівняно з часом релаксації. Ми обмежимося спрощеною постановкою задачі, що базується на рівнянні (35.5).

Ми будемо поводитися з цим стохастичним рівнянням так, ніби це було звичайне диференціальне рівняння.

Проінтегрувавши його за початкової умови отримуємо

Так як за припущенням усереднення (35.7) з ансамблю випадкових сил дає

тобто для х виходить той же динамічний закон, що і з рівняння (35.1), і рівняння Ейнштейна - Фоккера (35.2). Знайдемо тепер дисперсію. Згідно (35.7) та (35.8)

і, отже, щоб одержати треба задати функцію кореляції випадкової сили . Можна задати будь-яку функцію кореляції, що допускається загальними обмеженнями її виду, але ми зробимо спеціальне припущення, а саме приймемо, що стаціонарний дельта-корельований процес:

де С – постійна. Зауважимо, що цим імпульс сили

є безперервною випадковою функцією з незалежними приростами і, отже, розподілений нормально при будь-якому t (§ 34).

Підставивши (35.10) у (35.9), знаходимо

(35.11)

Якщо покласти , це збігається з виразом (35.4) для отриманим з рівняння Ейнштейна - Фоккера (35.2).

Ми знайшли тільки моменти, але можна стверджувати більше. Оскільки збільшення імпульсу розподілено при кожному нормально, остільки різниця являє собою, згідно (35.7), суму (або, точніше, межу суми) нормально розподілених величин. Отже, розподіл теж надається гаусовим законом із дисперсією (35.11). Це умовний розподіл (за умови), якщо прийняти просто збігається з (35.3). Далі, неважко переконатися прямою підстановкою, що такого виду умовні ймовірності задовольняють рівняння Смолуховського (є ймовірністю переходу), тобто процес виявляється марковським. Таким чином, якщо в стохастичному диференціальному рівнянні (35.5) випадкова сила) стаціонарна та дельта-корельована [див. (35.10)], то відгук -дифузійний марківський процес, у якого ймовірність переходу задовольняє рівняння Ейнштейна - Фоккера з

Обидва підходи - заснований на рівнянні Ейнштейна - Фоккера і заснований на стохастичному диференціальному рівнянні для випадкової функції виявляються в розглянутій задачі рівносильними. Це, звичайно, не означає їх тотожності за межами цього завдання. Рівняння Ейнштейна - Фоккера володіє, наприклад, безперечною перевагою в тих випадках, коли накладені певні обмеження безлічі можливих значень випадкової функції (наявність стінок, що відбивають або поглинають і т. п.), що враховуються просто відповідними граничними умовами. При ланжевенівській постановці завдання запровадження таких обмежень досить складно. З іншого боку, як це вже було наголошено, ланжевенівський метод не вимагає, щоб сила обов'язково була дельта-корельована.

Варто, можливо, відзначити, що у разі дельта-коррелированной сили оперування диференціальним рівнянням (35.5) має у сенсі умовний характер. Це рівняння написано задля х, а миттєвого значення . Але при нескінченно-частих поштовхах відгук - не функція, що диференціюється, тобто не існує (ні в якому з імовірнісних смислів поняття похідної). Таким чином, все «диференціальне рівняння» має лише символічний зміст. Це треба розуміти так.

Формальне інтегрування рівняння (35.5) призводить до рішення (35.7) для , в якому вже немає ніяких неприємностей, оскільки воно містить дельта-корельовану ділу тільки під інтегралом. Іншими словами, рівняння (35.5) -

це (в даному випадку дельта-корельованої сили) математично некоректний запис для наступного - вже цілком осмисленого і, зрештою, єдино цікавого для нас - вирішення даного рівняння. Виправданням такого підходу є добре відомі переваги оперування диференціальними рівняннями при постановці завдання - можливість виходити із загальних динамічних законів, можливість використання всього існуючого арсеналу математичних засобів для отримання рішення і т. д. застереження стають зайвими: стохастичні диференціальні рівняння для самих випадкових функцій набувають тоді цілком певного математичного змісту і, крім того, дозволяють вийти за межі класу марківських процесів.

Постійна З функції кореляції (35.10) характеризує, очевидно, інтенсивність випадкових поштовхів. Повернемося до змінних, у яких сила і відгук системи енергетично пов'язані, т. е. добуток сили на похідну відгуку є потужністю, що віддається системі. Це справедливо, наприклад, для сили в рівнянні (35.6), так як потужність, що віддається частинці дорівнює . Рівняння (35.6) переходить у (35.5), будучи поділено на масу частинки т. Таким чином, так що функція кореляції цієї сили відповідно до (35.10) дорівнює

Ми встановили вище, що і що завдання про швидкість браунівської частки . Отже, постійна З функції кореляції сили дорівнює

тобто пов'язана лише з коефіцієнтом систематичного тертя h. У задачі про струм в -контурі під треба розуміти випадкову теплову (§ 28), а під h - активний опір контуру R, так що кореляційна постійна

Стохастичне диференціальне рівняння(СДУ) - диференціальне рівняння, в якому один член або більше мають стохастичну природу, тобто є стохастичний процес (інша назва - випадковий процес). Отже, рішення рівняння також виявляються стохастичними процесами. Найбільш відомий і часто використовуваний приклад СДВ - рівняння з членом, що описує білий шум (який можна розглядати як приклад похідної вінеровського процесу). Однак, існують і інші типи випадкових флуктуацій, наприклад стрибкоподібний процес (детальніше див.).

Історія

У літературі традиційно перше використання СДУ пов'язують із роботами з опису броунівського руху, зробленими незалежно Маріаном Смолуховським (р.) та Альбертом Ейнштейном (р.). Проте, СДУ були використані трохи раніше (м.) французьким математиком Луї Бушельє у його докторській дисертації «Теорія припущень». На основі ідей цієї роботи французький фізик Поль Ланжевен почав застосовувати СДУ у роботах з фізики. Пізніше, і російський фізик Руслан Стратонович розробили суворіше математичне обгрунтування для СДУ.

Термінологія

У фізиці СДУ зазвичай записують у формі рівняння Ланжевена. І часто, не зовсім точно, називають самим рівнянням Ланжевена, хоча СДУ можна записати багатьма іншими способами. СДУ у формі рівняння Ланжевена складається із звичайного нестохастичного диференціального рівняння та додаткової частини, що описує білий шум. Друга поширена форма - рівняння Фоккера-Планка, яке є рівнянням у приватних похідних і описує еволюцію щільності ймовірності в часі. Третя форма СДУ найчастіше використовується в математиці та фінансовій математиці, вона нагадує рівняння Ланжевена, але записано з використанням стохастичних диференціалів (див. подробиці нижче).

Стохастичне числення

Нехай і нехай

Тоді стохастичне диференціальне рівняння за заданих початкових умов

для

має єдине (в сенсі «майже напевно») і - безперервне рішення, таке що - адаптований процес до фільтрації, що генерується і,, і

Застосування стохастичних рівнянь

Фізика

У фізиці СДН часто записують у формі рівняння Ланжевена. Наприклад, систему СДВ першого порядку можна записати у вигляді:

де – набір невідомих, і – довільні функції, а – випадкові функції від часу, які часто називають шумовими членами. Така форма запису використовується, оскільки існує стандартна техніка перетворення рівняння зі старшими похідними до системи рівнянь першого порядку з допомогою запровадження нових невідомих. Якщо - константи, то кажуть, що система схильна до адитивного шуму. Також розглядають системи з мультиплікативним шумом, коли . З цих двох розглянутих випадків адитивний шум – простіше. Рішення системи з адитивним шумом часто можна знайти, використовуючи лише методи стандартного математичного аналізу. Зокрема, можна використовувати стандартний спосіб композиції невідомих функцій. Проте, у разі мультиплікативного шуму рівняння Ланжевена погано визначено у сенсі звичайного математичного аналізу та його необхідно інтерпретувати у термінах обчислення Іто чи обчислення Стратоновича.

У фізиці основним методом рішення СДУ є пошук рішення у вигляді щільності ймовірності та перетворенням початкового рівняння на рівняння Фоккера-Планка. Рівняння Фоккера-Планка – диференціальне рівняння у приватних похідних без стохастичних членів. Воно визначає тимчасову еволюцію щільності ймовірності, також як рівняння Шредінгера визначає залежність хвильової функції системи від часу в квантовій механіці або рівняння дифузії задає тимчасову еволюцію хімічної концентрації. Також рішення можна шукати чисельно, наприклад, за допомогою методу Монте-Карло. Інші техніки знаходження рішень використовують інтеграл по шляхах, ця техніка базується на аналогії між статистичною фізикою і квантовою механікою (наприклад, рівняння Фоккера-Планка можна перетворити на рівняння Шредінгера за допомогою деякого перетворення змінних), або рішенням звичайних диференціальних рівнянь.

Теорія ймовірностей та фінансова математика

Біологія

Хімія

Посилання

• Стохастичний світ - просте введення в стохастичні диференціальні рівняння

Література

• Adomian George Stochastic systems. - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983.
• Adomian George Nonlinear stochastic operator еquations. - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
• Adomian George Nonlinear stochastic systems theory and applications to physics. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1989.
• Øksendal Bernt K. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. - Berlin: Springer, 2003. - ISBN ISBN 3-540-04758-1
• Teugels, J. and Sund B. (eds.) Encyclopedia of Actuarial Science. - Chichester: Wiley, 2004. - P. 523-527.
• C. W. Gardiner Handbook of Stochastic Methods: для Physics, Chemistry і Natural Sciences. – Springer, 2004. – P. 415.
• Thomas Mikosch Elementary Stochastic Calculus: with Finance in View. - Singapore: World Scientific Publishing, 1998. - P. 212. - ISBN ISBN 981-02-3543-7
• Bachelier, L., Théorie de la speculation (in French), PhD Thesis. - NUMDAM: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1900_3_17__21_0, 1900. - ISBN In English in 1971 book "Random Character of Stock Market" Eds. P.H. Cootner

1. Серед процесів Іто X = (Xt)t^o, що мають стохастичний диференціал
dXt = a(t,oj)dt + P(t,oj)dBt, (1)
Важливу роль грають ті, котрим коефіцієнти a(t, а>) і(3(t, ш) залежить від a(t,u) = a(t,Xt(u>)), /3(t,u> ) = b(t,Xt(си)), (2)
де а = a(t, х) та b = b(t, х) - вимірювані функції на М+ х К. Так, наприклад, процес
St=S0eateaBt-4-\(3)
званий геометричним, або економічним, броунівським рухом (див. § За), має (згідно з формулою Іто) стохастичний диференціал
dSt = aSt dt + aSt dBt. (4)
Процес
= f
Jo 3-й
du (5)
має, як легко переконатися, знову-таки за допомогою формули Іто, диференціал
dYt = (1 + aYt) dt + oYt dBt. (6)
(Процес У = (Yt)t^o відіграє важливу роль у завданнях якнайшвидшого виявлення змін у локальному знесення броунівського руху; див. .) Якщо
Г, Г * du Г * dBu1
(7)
zt = st
Zq + (сі - ас2) / -Х- + С2
Jo Jo.
з деякими константами с і с2, то, знову-таки за допомогою формули Іто, перевіряється, що
dZt = (сі + aZt) dt + (c2 + aZt) dBt. (8)
У наведених прикладах ми вирушали від "явного" виду процесів S = (St), У = (УІ), Z = (Zt) і за допомогою формули Іто отримували їх стохастичні диференціали (4), (6) та (8).
Можна, однак, змінити думку, зокрема, розглядати (4), (6) і (8) як стохастичні диференціальні рівняння щодо невідомих процесів S = (St), Y = (Yt), Z = (Zt) і спробувати встановити , Знайдені їх рішення (3), (5) і (7) є (у певному сенсі) єдиними рішеннями цих рівнянь.
Звичайно, треба надати точний сенс самому поняття "стохастичне диференціальне рівняння" визначити, що є його "рішення", в якому сенсі слід розуміти "єдиність" рішення.
При визначенні всіх цих понять, що розглядаються далі, ключову роль відіграє введене поняття стохастичного інтеграла.
2. Вважатимемо заданим фільтрований імовірнісний простір (стохастичний базис) (ft, (^t)t^Oi Р) із звичайними умовами (п. 2, §7а) і хай В = (Bt,&t)f^ о - броунівський рух.
Нехай а = a (t, х) і b = b (t, х) - вимірювані функції К + х М.
Визначення 1. Кажуть, що стохастичне диференціальне рівняння
dXt = a(t, Xt)dt + b(t,Xt) dBt (9)
з ^-вимірною початковою умовою Хо має безперервне сильне рішення (або просто рішення) X = (Xt)t^o, якщо при кожному t > О
Xt - ^-вимірні,
P(^J* \\a(s,Xa)\\ds p(^J* b2(s,Xa)ds (12)
Xt=Xo+ Ґa(s,Xa) ds + Ґb(s,Xa)dBa. Jo Jo
Визначення 2. Два безперервні випадкові процеси X = (Xt)t^o і У = (Yt)t^0 називаються стохастично нерозрізняними, якщо для будь-якого t > О
p(sup|Xs -Ys >0) =0. (13)
Va та (Р-п.н.)
Визначення 3. Будемо говорити, що вимірна функція f(t, х), визначена на R+ х К, задовольняє (за фазовою змінною х) локальній умові Липшиця, якщо для будь-якого п^1 знайдеться константа К(п) така, що всім t > 0 і |х| \a(t,x)-a(t,y)\\\b(t,x)-b(t,y)\\ Теорема 1 (К. Іто, див. також, наприклад, , , ). Нехай коефіцієнти a(t,x) ub(t,x) задовольняють локальній умові Липшиця та умові лінійного зростання:
la(t,x)\ + \\b(t,x)\\ і нехай початкова умова XQ - ^-вимірно.
Тоді стохастичне диференціальне рівняння (9) має, і до того ж єдине (з точністю до стохастичної нерозрізненості), безперервне рішення X = (Xt,&t), що є марковским процесом.
Існують узагальнення цього результату в різних напрямках: послаблюється локальна умова Липшица, допускається залежність (але спеціального характеру) коефіцієнтів від і>, розглядаються випадки залежності коефіцієнтів а - a(t,Xt) і b = b(t,Xt) від "минулого" (у дещо вільного запису: а = a(t; Xs, s) Є також узагальнення на багатовимірний випадок, коли X = (X1,...,Xd) - векторний процес, а = a(t,x) - Вектор, b = b (t, x) - матриця і В = (В1, ..., Bd) - d-вимірний броунівський рух.
Наведемо з різноманітних узагальнень лише одне, дещо несподіваний, результат А. До.
dXt = a(t, Xt)dt + dBt (15)
Не потрібно вимагати виконання локального умови Липшица, а достатня лише вимірність по (?, х) і рівномірна обмеженість коефіцієнта a(t,x). (Багатовимірне узагальнення цього результату отримано А. Ю. Веретенніковим, .)
Тим самим, наприклад, стохастичне диференціальне рівняння
dXt = a(Xt) dt + dBt, X0 = 0, (16)
з "поганим" коефіцієнтом
Р 1, х > О,
I. -1, х має, і до того ж єдине, сильне рішення.
Відзначимо, що якщо замість рівняння (16) розглянути рівняння
dXt = a (Xt) dBt, Хо = 0, (18)
з тією ж функцією сг(х), ситуація різко змінюється, оскільки, по-перше, існують ймовірнісні простори, на яких у цього рівняння свідомо є, принаймні, два сильні рішення, і, по-друге, на деяких ймовірнісних просторах у цього рівняння може зовсім не бути сильного рішення.
Щоб показати справедливість першого твердження, розглянемо на просторі безперервних функцій і з = = (u> t) t> про з вінеровської мірою координатно заданий вінерівський процес W = (Wt) t^Oi тобто такий, що Wt (w) = wt t>0.
Тоді, за теоремою Леві (див. п. 3 §ЗЬ), пропес В = (Bt)t^о при
Bt= З o(Ws)dWa Jo
також буде вінерівським процесом (броунівським рухом). І легко бачити, що
[ o (Wa) dBa = [ o2 (Wa) dWa = Wt, Jo Jo
оскільки cr2(x) = 1.
Тим самим, процес W = (Wt)t^o є (на аналізованому ймовірнісному просторі) рішенням рівняння (18) зі спеціальним чином підібраним броунівським рухом Але, оскільки сг (-х) = -сг (х), то
[ o (Wa) dBa = -Wt, Jo
Г o (-Wa) dBa = - Jo
тобто. поряд з W = (Wt)t^про процес -W = (-Wt)t>о також є рішення рівняння (18).
Що ж до другого твердження, то припустимо, що з рівняння 1
Xt = [ o (Xa) dBs Jo
існує сильне рішення (щодо потоку а-алгебр (породжених броунівським рухом В). З теореми Леві випливає, що тоді процес X = (Xt, є броунівським рухом).
За формулою Таїака (див. далі § 5с і порівн. з прикладом в § lb, гл. II):
\\Xt\\= Гa(Xa)dXa+Lt(0), Jo
де t
Lt(0) = limi- f I(\Xa\^e)da
ej.0 AZ Jo
- локальний час (Леві) броунівського руху X, який він проводить у нулі на інтервалі. Тому (Р-п.н.)
Bt = Го (Xa) dXa = \ Xt - Lt (0) Jo
і, отже, С
Зроблене вище припущення, що X є адаптованим щодо потоку = (&t)t^o, гавкає включення С \

Ще на тему § Зе. Стохастичні диференціальні рівняння:

1. Глава 9. Елементи теорії звичайних диференціальних рівнянь
2. На початку 70-х років Ф.Блек і М.Шоулз розробили модель оцінки премії європейського опціону кол на акції, за якими не виплачуються дивіденди. Отримана формула стала результатом розв'язання ними диференціального рівняння Блека-Шоула. Дане рівняння ми розглядаємо у наступному параграфі.
3. Частина II Математичний аналіз та диференціальні рівняння
4. 6. Рівняння, що пов'язує ціну деривативу із ринковою ціною ризику. Стохастичні моделі з безперервним часом для короткострокових ставок та розрахунки цін облігацій
5. ДОДАТОК 2. 2.1. Диференціальне рівняння для похідного активу на акцію, за якою виплачується дивіденд, що безперервно нараховується.
6. Система взаємозалежних рівнянь (система спільних одночасних рівнянь)
7. Інкрементні (приростні, чи диференціальні) витрати

- Авторське право - Адвокатура - Адміністративне право - Адміністративний процес - Антимонопольно-конкурентне право - Арбітражний (господарський) процес - Аудит - Банківська система - Банківське право - Бізнес - Бухгалтерський облік - Речове право - Державне право та управління - Громадянське право та процес - Грошове звернення, фінанси та кредит - Гроші - Дипломатичне та консульське право - Договірне право - Житлове право - Земельне право - Виборче право - Інвестиційне право - Інформаційне право - Виконавче провадження - Історія держави та права - Історія політичних та правових навчань -