Що означає раціональне число? Мінус перед раціональним числом

Безліч раціональних чисел

Безліч раціональних чиселпозначається і може бути записано у вигляді:

При цьому виявляється, що різні записиможуть представляти один і той же дріб, наприклад, і , (усі дроби, які можна отримати один з одного множенням або поділом на те саме натуральне число, представляють те саме раціональне число). Оскільки розподілом чисельника та знаменника дробу на їх найбільший спільний дільник можна отримати єдине нескоротне уявлення раціонального числа, то можна говорити про їх множину як про множину нескоротнихдробів із взаємно простими цілим чисельником і натуральним знаменником:

Тут - найбільший спільний дільник чисел та .

Безліч раціональних чисел є природним узагальненням безлічі цілих чисел. Легко бачити, що й у раціонального числа знаменник , є цілим числом. Багато раціональних чисел розташовується на числовій осі всюди щільно: між будь-якими двома різними раціональними числами розташовано хоча б одне раціональне число (а значить, і нескінченна безлічраціональних чисел). Тим не менш, виявляється, що безліч раціональних чисел має лічильну потужність (тобто всі його елементи можна перенумерувати). Зауважимо, до речі, що ще давні греки переконалися у існуванні чисел, не представлених у вигляді дробу (наприклад, вони довели, що немає раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2).

Термінологія

Формальне визначення

Формально раціональні числа визначаються як безліч класів еквівалентності пар щодо еквівалентності, якщо. При цьому операції складання та множення визначаються в такий спосіб:

Пов'язані визначення

Правильні, неправильні та змішані дроби

Правильною називається дріб, у якого модуль чисельника менший від модуля знаменника. Правильні дроби є раціональними числами, за модулем менші одиниці . Дроб, що не є правильним, називається неправильноюі представляє раціональне число, більше або рівну одиниціза модулем.

Неправильний дріб можна подати у вигляді суми цілого числа і правильного дробузваної змішаним дробом . Наприклад, . Подібна запис (з пропущеним знаком додавання), хоч і вживається в елементарній арифметиці, уникає суворої математичної літературичерез схожість позначення змішаного дробуз позначенням добутку цілого числа на дріб.

Висота дробу

Висота звичайного дробу - це сума модуля чисельника та знаменника цього дробу. Висота раціонального числа - це сума модуля чисельника та знаменника нескоротного звичайного дробу, що відповідає цьому числу.

Наприклад, висота дробу дорівнює . Висота відповідного раціонального числа дорівнює , оскільки дріб скорочується на .

Коментар

Термін дробове число (дроб)іноді [ уточнити] використовується як синонім до терміну раціональне числоа іноді синонім будь-якого нецілого числа. У останньому випадку, дробові та раціональні числа є різними речами, тому що тоді нецілі раціональні числа - лише окремий випадокдробових.

Властивості

Основні властивості

Безліч раціональних чисел задовольняють шістнадцяти основним властивостям, які можуть бути отримані з властивостей цілих чисел.

Упорядкованість.Для будь-яких раціональних чисел і існує правило, що дозволяє однозначно ідентифікувати між ними одне і лише одне із трьох відносин: «», «» або «». Це правило називається правилом упорядкуванняі формулюється наступним чином: два позитивні числа і пов'язані тим самим ставленням, що і два цілих числа і ; два непозитивні числа і пов'язані тим самим ставленням, що і два невід'ємних числата ; якщо раптом неотрицательно, а - негативно, то .
Підсумовування дробів
Операція додавання. правило підсумовування сумоючисел і позначається , а процес відшукання такого числа називається підсумовуванням. Правило підсумовування має наступний вигляд: .
Операція множення.Для будь-яких раціональних чисел існує так зване правило множення, яке ставить їм у відповідність деяке раціональне число. При цьому саме число називається творомчисел і позначається , а процес відшукання такого числа також називається множенням. Правило множення має такий вид: .
Транзитивність відносин порядку.Для будь - якої трійки раціональних чисел , і якщо менше і менше , то менше , а якщо й одно , то одно .
Комутативність складання.Від зміни місць раціональних доданків сума не змінюється.
Асоціативність складання.Порядок додавання трьох раціональних чисел не впливає на результат.
Наявність нуля.Існує раціональне число 0, яке зберігає будь-яке інше раціональне число під час підсумовування.
Наявність протилежних чисел.Будь-яке раціональне число має протилежне раціональне число при сумуванні з яким дає 0.
Комутативність множення.Від зміни місць раціональних множників твір не змінюється.
Асоціативність множення.Порядок перемноження трьох раціональних чисел впливає результат.
Наявність одиниці.Існує раціональне число 1, яке зберігає інше раціональне число при множенні.
Наявність зворотних чисел.Будь-яке ненульове раціональне число має зворотне раціональне число, множення якого дає 1.
Дистрибутивність множення щодо складання.Операція множення узгоджена з операцією додавання за допомогою розподільчого закону:
Зв'язок відносин порядку з операцією складання.До лівої та правої частин раціональної нерівностіможна додавати те саме раціональне число.
Зв'язок відносин порядку з операцією множення.Ліву та праву частини раціональної нерівності можна множити на те саме позитивне раціональне число.
Аксіома Архімеда.Яке б не було раціональне число, можна взяти стільки одиниць, що їх сума перевищить.

Додаткові властивості

Всі інші властивості, властиві раціональним числам, не виділяють в основні, тому що вони, взагалі кажучи, вже не спираються безпосередньо на властивості цілих чисел, а можуть бути доведені виходячи з наведених основних властивостей або безпосередньо за визначенням деякого математичного об'єкта. Таких додаткових властивостейдуже багато. Тут має сенс навести лише деякі з них.

Рахунковість множини

Щоб оцінити кількість раціональних чисел, потрібно знайти потужність їхньої множини. Легко довести, що безліч раціональних чисел лічимо. Для цього достатньо навести алгоритм, який нумерує раціональні числа, тобто встановлює бієкцію між множинами раціональних та натуральних чисел. Прикладом такої побудови може бути такий простий алгоритм. Складається нескінченна таблиця звичайних дробів, на кожному рядку в кожному стовпці якої розташовується дріб. Для певності вважається, що рядки та стовпці цієї таблиці нумеруються з одиниці. Осередки таблиці позначаються , де - Номер рядка таблиці, в якій розташовується комірка, а - Номер стовпця.

Отримана таблиця обходиться «змійкою» за формальним алгоритмом.

Ці правила проглядаються зверху вниз і наступне положення вибирається за першим збігом.

У процесі такого обходу кожному новому раціональному числу ставиться у відповідність чергове натуральне число. Т. е. дробу ставиться у відповідність число 1, дробу - число 2, і т. д. Потрібно зазначити, що нумеруються тільки нескоротні дроби. Формальною ознакоюНескоротність є рівність одиниці найбільшого загального дільника чисельника та знаменника дробу.

Наслідуючи цей алгоритм, можна занумерувати всі позитивні раціональні числа. Це означає, що багато позитивних раціональних чисел лічимо. Легко встановити біекцію між множинами позитивних і негативних раціональних чисел, просто поставивши у відповідність кожному раціональному числу протилежне йому. Т. о. безліч негативних раціональних чисел теж лічимо. Їх об'єднання також лічимо за якістю лічильних множин. Багато ж раціональних чисел теж лічимо як поєднання лічильної множини з кінцевим.

Зрозуміло, існують інші способи занумерувати раціональні числа. Наприклад, для цього можна скористатися такими структурами як дерево Калкіна – Вілфа, дерево Штерна – Броко або ряд Фарея.

Твердження про рахунковість безлічі раціональних чисел може викликати деяке здивування, тому що на перший погляд складається враження, що воно набагато ширше за безліч натуральних чисел. Насправді, це не так і натуральних чисел вистачає, щоб занумерувати всі раціональні.

Недостатність раціональних чисел

також


	Цілі числа

Раціональні числа

Речові числа Комплексні числа Кватерніони

Примітки

Література

І.Кушнір. Довідник математики для школярів. – Київ: АСТАРТА, 1998. – 520 с.
П. С. Александров. Введення в теорію множин та загальну топологію. - М: глав. ред. фіз.-мат. літ. вид. "Наука", 1977
І. Л. Хмельницький. Введення в теорію систем алгебри

Старші школярі та студенти математичних спеціальностей, ймовірно, з легкістю дадуть відповідь на це питання. А ось тим, хто за професією далекий від цього, буде важче. Що ж це насправді таке?

Сутність та позначення

Під раціональними числами мають на увазі такі, які можуть бути представлені у вигляді звичайного дробу. Позитивні, негативні, а також нуль теж входять до цієї множини. Чисельник дробу при цьому має бути цілим, а знаменник - являти собою

Ця множина в математиці позначається як Q і називається "полем раціональних чисел". Туди входять всі цілі та натуральні, що позначаються відповідно як Z і N. Саме ж безліч Q входить до безлічі R. Саме цією буквою позначають так звані речові або

Подання

Як було зазначено, раціональні числа - це безліч, куди входять всі цілі і дробові значення. Вони можуть бути представлені в різних формах. По-перше, у вигляді звичайного дробу: 5/7, 1/5, 11/15 і т. д. Зрозуміло, цілі числа можуть бути записані в подібному вигляді: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2 і т. д. По-друге, ще один вид уявлення - десятковий дрібз кінцевою дробовою частиною: 0,01, -15,001006 і т. д. Це, мабуть, одна з форм, що найчастіше зустрічаються.

Але є ще й третя – періодичний дріб. Такий вид зустрічається не дуже часто, але все ж таки використовується. Наприклад, дріб 10/3 може бути записаний як 3,33333... або 3,(3). При цьому різні уявлення вважатимуться аналогічними числами. Також будуть називатися і рівні між собою дроби, наприклад 3/5 і 6/10. Схоже, стало ясно, що таке раціональні числа. Але чому для їхнього позначення використовують саме цей термін?

Походження назви

Слово "раціональний" у сучасній російській мові загальному випадкунесе трохи інше значення. Це скоріше "розумний", "обдуманий". Але математичні терміниблизькі до прямому сенсуУ латині "ratio" - це "відношення", "дроб" або "поділ". Таким чином, назва відображає суть того, що таке раціональні числа. Втім, і друге значення

недалеко відійшло від істини.

Дії з ними

При вирішенні математичних завданьми постійно стикаємося з раціональними числами, не знаючи цього. І вони мають поруч цікавих властивостей. Усі вони випливають або з визначення множини, або з дій.

По-перше, раціональні числа мають властивість відношення порядку. Це означає, що між двома числами може існувати лише одне співвідношення - вони або рівні один одному, або одне більше або менше. Т. е.:

або a = b;або a > b,або a< b.

Крім того, із цієї властивості також випливає транзитивність співвідношення. Тобто якщо aбільше b, bбільше c, то aбільше c. На мові математики це виглядає так:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

По-друге, існують арифметичні дії з раціональними числами, тобто додавання, віднімання, розподіл і, зрозуміло, множення. У цьому процесі перетворень можна також виділити ряд властивостей.

a + b = b + a (зміна місць доданків, комутативність);
0 + a = a + 0;
(a + b) + c = a + (b + c) (асоціативність);
a + (-a) = 0;
ab = ba;
(ab)c = a(bc) (дистрибутивність);
a x 1 = 1 x a = a;
a x (1/a) = 1 (при цьому a не дорівнює 0);
(a + b) c = ac + ab;
(a > b) ^ (c > 0) => (ac > bc).

Коли ж йдетьсяпро звичайних, а чи не цілих числах, події із нею можуть викликати певні труднощі. Так, додавання і віднімання можливі лише за рівності знаменників. Якщо вони спочатку різні, слід знайти загальний, використовуючи множення всього дробу ті чи інші числа. Порівняння також найчастіше можливе лише за дотримання цієї умови.

Розподіл і перемноження звичайних дробів виробляються відповідно до достатньо простими правилами. Приведення до спільному знаменникуне потрібно. Окремо перемножуються чисельники та знаменники, при цьому в процесі виконання дії по можливості дріб потрібно максимально скоротити та спростити.

Що стосується поділу, то ця дія аналогічна першому з невеликою різницею. Для другого дробу слід знайти зворотний, тобто

"перевернути" її. Таким чином, чисельник першого дробу потрібно буде перемножити зі знаменником другого та навпаки.

Нарешті, ще одна властивість, властива раціональним числам, називають аксіомою Архімеда. Часто в літературі також трапляється назва "принцип". Він дійсний для всієї множини дійсних чисел, проте скрізь. Так, цей принцип не діє для деяких сукупностей раціональних функцій. По суті, ця аксіома означає, що при існуванні двох величин a і b завжди можна взяти достатню кількість a, щоб перевершити b.

Область застосування

Отже, тим, хто дізнався чи згадав, що таке раціональні числа, стає зрозумілим, що вони використовуються повсюдно: у бухгалтерії, економіці, статистиці, фізиці, хімії та інших науках. Звичайно, також місце їм є в математиці. Не завжди знаючи, що маємо справу з ними, ми постійно використовуємо раціональні числа. Ще маленькі діти, навчаючись рахувати предмети, розрізаючи на частини яблуко або виконуючи інші прості дії, стикаються з ними. Вони буквально оточують нас. І все-таки вирішення деяких завдань їх недостатньо, зокрема, з прикладу теореми Піфагора можна зрозуміти необхідність запровадження поняття

Тема раціональних чисел досить велика. Про неї можна говорити нескінченно і писати цілі праці, щоразу дивуючись новим фішкам.

Щоб не допускати в майбутньому помилок, у даному уроці ми трохи заглибимося в тему раціональних чисел, почерпнемо з неї необхідні відомостіі рушимо далі.

Зміст уроку

Що таке раціональне число

Раціональне число - це число, яке може бути представлене у вигляді дробу , де a -це чисельник дробу, b- знаменник дробу. Причому bне повинно бути нулем, оскільки розподіл на нуль не допускається.

До раціональних чисел відносяться такі категорії чисел:

цілі числа (наприклад -2, -1, 0 1, 2 і т.д.)

десяткові дроби (наприклад 0,2 тощо)

нескінченні періодичні дроби (наприклад 0,(3) тощо)

Кожне число з цієї категорії може бути подане у вигляді дробу.

приклад 1.Ціле число 2 може бути подане у вигляді дробу. Значить число 2 відноситься не тільки до цілих чисел, але і до раціональних.

приклад 2.Змішане число може бути подане у вигляді дробу. Цей дрібвиходить шляхом переведення змішаного числа в неправильний дріб

Значить змішане числовідноситься до раціональних чисел.

приклад 3.Десятковий дріб 0,2 може бути представлений у вигляді дробу. Цей дріб вийшов шляхом переведення десяткового дробу 0,2 в звичайний дріб. Якщо ви відчуваєте труднощі на цьому моменті, повторіть тему .

Оскільки десятковий дріб 0,2 може бути представлений у вигляді дробу, значить він теж відноситься до раціональних чисел.

приклад 4.Нескінченний періодичний дріб 0, (3) може бути представлений у вигляді дробу . Цей дріб виходить шляхом переведення чистого періодичного дробу в звичайний дріб. Якщо ви відчуваєте труднощі на цьому моменті, повторіть тему .

Оскільки нескінченний періодичний дріб 0, (3) може бути представлений у вигляді дробу, значить він теж відноситься до раціональних чисел.

Надалі всі числа, які можна представити у вигляді дробу, ми все частіше називатимемо одним словосполученням. раціональні числа.

Раціональні числа на координатній прямій

Координатну пряму ми розглядали, коли вивчали негативні числа. Нагадаємо, що це пряма лінія, на якій лежать безліч точок. Виглядає так:

На цьому малюнку наведено невеликий фрагмент координатної прямої від -5 до 5.

Відзначити на координатній прямій цілі числа виду 2, 0, −3 не складає особливих труднощів.

Набагато цікавіші справи з іншими числами: зі звичайними дробами, змішаними числами, десятковими дробами тощо. Ці числа лежать між цілими числами і цих чисел дуже багато.

Наприклад, відзначимо на координатній прямій раціональне число . Дане число розташовується рівно між нулем та одиницею

Спробуємо зрозуміти, чому дріб раптом розташувався між нулем та одиницею.

Як мовилося раніше вище, між цілими числами лежать інші числа — прості дроби, десяткові дроби, змішані числа тощо. Наприклад, якщо збільшити ділянку координатної прямої від 0 до 1, можна побачити таку картину

Видно, що між цілими числами 0 і 1 лежать інші раціональні числа, які є знайомими нам десятичними дробами. Тут же видно наш дріб, який розташувався там же, де і десятковий дріб 0,5. Уважний розгляд цього малюнка дає відповідь на питання чому дріб розташувався саме там.

Дроб означає розділити 1 на 2. А якщо розділити 1 на 2, то ми отримаємо 0,5

Десятковий дріб 0,5 можна замаскувати і під інші дроби. З основної властивості дробу ми знаємо, що якщо чисельник і знаменник дробу помножити або розділити на те саме число, то значення дробу не зміниться.

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити на будь-яке число, наприклад, на число 4, то ми отримаємо новий дріб, а цей дріб також як і дорівнює 0,5

А значить на координатному прямому дріб можна розташувати там же, де і розташовувався дріб

приклад 2.Спробуємо відзначити на координатній раціональне число. Дане число розташовується рівно між числами 1 та 2

Значення дробу дорівнює 1,5

Якщо збільшити ділянку координатної прямої від 1 до 2, то побачимо таку картину:

Видно, що між цілими числами 1 і 2 лежать інші раціональні числа, які є знайомими нам десятичними дробами. Тут же видно наш дріб, який розташувався там же, де і десятковий дріб 1,5.

Ми збільшували певні відрізкина координатній прямій, щоб побачити решту числа, що лежать на цьому відрізку. В результаті ми виявляли десяткові дроби, які мали після коми одну цифру.

Але це були не однинилежачи на цих відрізках. Чисел, що лежать на координатній прямій, нескінченно багато.

Неважко здогадатися, що між десятковими дробами, що мають після коми одну цифру, лежать вже інші десяткові дроби, що мають після коми дві цифри. Інакше кажучи, соті частини відрізка.

Наприклад, спробуємо побачити числа, що лежать між десятковими дробами 0,1 та 0,2

Ще приклад. Десяткові дроби, що мають дві цифри після коми і лежать між нулем і раціональним числом 0,1 виглядають так:

приклад 3.Зазначимо на координатній прямій раціональне число. Дане раціональне число розташовуватиметься дуже близько до нуля

Значення дробу дорівнює 0,02

Якщо ми збільшимо відрізок від 0 до 0,1 то побачимо де точно розташувалося раціональне число

Видно, що наше раціональне число розташувалося там, де десятковий дріб 0,02.

приклад 4.Зазначимо на координатній прямій раціональне число 0, (3)

Раціональне число 0, (3) є нескінченним періодичним дробом. Його дробова частинаніколи не закінчується, вона нескінченна

І оскільки у числа 0,(3) дробова частина є нескінченною, це означає, що ми не зможемо знайти точне місце на координатній прямій, де це число знаходиться. Ми можемо лише зазначити це місце приблизно.

Раціональне число 0,33333… розташовуватиметься дуже близько до звичайного десяткового дробу 0,3

Даний малюнок не показує точне місце розташування числа 0(3). Це лише ілюстрація, що показує як близько може розташовуватися періодичний дріб 0,(3) до звичайного десяткового дробу 0,3.

Приклад 5.Зазначимо на координатній прямій раціональне число. Дане раціональне число розташовуватиметься посередині між числами 2 і 3

Це є 2 (дві цілих) та (одна друга). Дріб інакше ще називають «половиною». Тому ми відзначили на координатній прямій два цілих відрізки та ще половину відрізка.

Якщо перевести змішане число в неправильний дріб, то отримаємо звичайний дріб. Цей дріб на координатній прямій розташовуватиметься там же, де і дріб

Значення дробу дорівнює 2,5

Якщо збільшити ділянку координатної прямої від 2 до 3, то побачимо таку картину:

Видно, що наше раціональне число розташувалося там, де десятковий дріб 2,5

Мінус перед раціональним числом

У попередньому уроці, який назвався ми навчилися ділити цілі числа. У ролі діленого і дільника могли стояти як позитивні, і негативні числа.

Розглянемо найпростіший вираз

(−6) : 2 = −3

У даному вираженніділене (−6) є негативним числом.

Тепер розглянемо другий вираз

6: (−2) = −3

Тут негативним числом є дільник (−2). Але в обох випадках ми отримуємо ту саму відповідь −3.

Враховуючи, що будь-який поділ можна записати у вигляді дробу, ми можемо розглянуті вище приклади також записати у вигляді дробу:

А оскільки в обох випадках значення дробу однаково, мінус стоїть або в чисельнику або в знаменнику можна зробити загальним, поставивши його перед дробом

Тому між виразами і і можна поставити знак рівності, тому що вони несуть одне й те саме значення

Надалі працюючи з дробами, якщо мінус буде зустрічатися в чисельнику чи знаменнику, ми робитимемо цей мінус загальним, ставлячи його перед дробом.

Протилежні раціональні числа

Як і ціле число, раціональне число має своє протилежне.

Наприклад, для раціонального числа протилежним числомє. Розташовується воно на координатній прямій симетричному розташуванню щодо початку координат. Іншими словами, обидва ці числа рівновіддалені від початку координат

Переведення змішаних чисел у неправильні дроби

Ми знаємо, що для того, щоб перевести змішане число в неправильний дріб, потрібно цілу частину помножити на знаменник дробової частини та додати до чисельника дробової частини. Отримане число буде чисельником нового дробу, А знаменник залишається тим самим.

Наприклад, переведемо змішане число в неправильний дріб

Помножимо цілу частину на знаменник дробової частини та додамо чисельник дробової частини:

Обчислимо цей вираз:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Отримане число 5 буде чисельником нового дробу, а знаменник залишиться тим самим:

Повністю дана процедуразаписується наступним чином:

Щоб повернути початкове змішане число, достатньо виділити цілу частину дробу

Але цей спосіб переведення змішаного числа в неправильний дріб застосовується тільки в тому випадку, якщо змішане число є позитивним. Для негативного числа даний спосібне спрацює.

Розглянемо дріб. Виділимо у цьому дробі цілу частину. Отримаємо

Щоб повернути початковий дріб, потрібно перевести змішане число в неправильний дріб. Але якщо ми скористаємося старим правилом, а саме помножимо цілу частину на знаменник дробової частини і до отриманого числа додамо чисельник дробової частини, то отримаємо таке протиріччя:

Ми отримали дріб, а мали отримати дріб.

Робимо висновок, що змішане число в неправильний дріб переведено неправильно

Щоб правильно перевести негативне змішане число в неправильний дріб, потрібно цілу частину помножити на знаменник дробової частини і з отриманого числа віднятичисельник дробової частини. У цьому випадку у нас все стане на свої місця

Негативне змішане число є протилежним для змішаного числа. Якщо позитивне змішане число знаходиться у правій частині і виглядає так

У цій статті ми почнемо вивчати раціональні числа. Тут ми дамо визначення раціональних чисел, дамо необхідні пояснення та наведемо приклади раціональних чисел. Після цього зупинимося на тому, як визначити, чи є це числораціональним чи ні.

Навігація на сторінці.

Визначення та приклади раціональних чисел

У цьому вся пункті ми дамо кілька визначень раціональних чисел. Незважаючи на відмінності у формулюваннях, всі ці визначення мають єдиний зміст: раціональні числа об'єднують цілі числа та дробові числа, подібно до того, як цілі числа поєднують натуральні числа, протилежні їм числа та число нуль. Іншими словами, раціональні числа узагальнюють цілі та дробові числа.

Почнемо з визначення раціональних чисел, що сприймається найбільш природно.

З озвученого визначення випливає, що раціональним числом є:

Будь-яке натуральне число n. Справді, можна уявити будь-яке натуральне число у вигляді звичайного дробу, наприклад, 3=3/1.
Будь-яке ціле число, зокрема число нуль. Насправді, будь-яке ціле число можна записати у вигляді або позитивного звичайного дробу, або у вигляді негативного звичайного дробу, або як нуль. Наприклад, 26=26/1 , .
Будь-який звичайний дріб (позитивний або негативний). Це безпосередньо затверджується наведеним визначенням раціональних чисел.
Будь-яке змішане число. Дійсно, завжди можна уявити змішане число у вигляді неправильного звичайного дробу. Наприклад, і .
Будь - який кінцевий десятковий дріб або нескінченний періодичний дріб . Це так через те, що зазначені десяткові дроби перетворюються на звичайні дроби. Наприклад, , а 0, (3) = 1/3.

Також зрозуміло, що будь-яка нескінченна неперіодична десяткова дріб не є раціональним числом, так як вона не може бути представлена у вигляді звичайного дробу.

Тепер ми можемо легко привести приклади раціональних чисел. Числа 4, 903, 100321 - це раціональні числа, так як вони натуральні. Цілі числа 58 , −72 , 0 , −833 333 333 також є прикладами раціональних чисел. Звичайні дроби 4/9 , 99/3 - це теж приклади раціональних чисел. Раціональними числами є і числа.

З наведених прикладів видно, що є і позитивні і негативні раціональні числа, а раціональне число нуль перестав бути ні позитивним, ні негативним.

Озвучене вище визначення раціональних чисел можна сформулювати коротшою формою.

Визначення.

Раціональними числаминазивають числа, які можна записати як дробу z/n , де z – ціле число, а n – натуральне число.

Доведемо, що це визначення раціональних чисел рівносильне попереднього визначення. Ми знаємо, що можна розглядати межу дробу як знак розподілу , тоді з властивостей розподілу цілих чисел і правил розподілу цілих чисел слід справедливість наступних рівностей і . Отже, що і є доказом.

Наведемо приклади раціональних чисел, ґрунтуючись на даному визначенні. Числа −5 , 0 , 3 і є раціональними числами, оскільки вони можуть бути записані у вигляді дробів з цілим чисельником і натуральним знаменником виду і відповідно.

Визначення раціональних чисел можна дати і у наступному формулюванні.

Визначення.

Раціональні числа– це числа, які можуть бути записані у вигляді кінцевого або нескінченного періодичного десяткового дробу.

Це визначення також рівнозначне першому визначенню, так як будь-якому звичайному дробу відповідає кінцевий або періодичний десятковий дріб і назад, а будь-якому числу можна зіставити десятковий дріб з нулями після коми.

Наприклад, числа 5 , 0 , −13 , є прикладами раціональних чисел, оскільки їх можна записати у вигляді наступних десяткових дробів 5,0 , 0,0 , −13,0 , 0,8 і −7,(18) .

Закінчимо теорію цього пункту такими твердженнями:

цілі та дробові числа (позитивні та негативні) становлять безліч раціональних чисел;
кожне раціональне число може бути представлене у вигляді дробу з цілим чисельником і натуральним знаменником, а кожен такий дріб є деяким раціональним числом;
кожне раціональне число може бути представлене у вигляді кінцевого або нескінченного періодичного десяткового дробу, а кожен такий дріб є деяким раціональним числом.

Чи є це число раціональним?

У попередньому пунктіми з'ясували, що будь-яке натуральне число, будь-яке ціле число, будь-який звичайний дріб, будь-яке змішане число, будь-який кінцевий десятковий дріб, а також будь-який періодичний десятковий дріб є раціональним числом. Це знання нам дозволяє «пізнавати» раціональні числа з множини написаних чисел.

Але як бути, якщо число задано у вигляді деякого , або як , і т.п., як відповісти на питання, чи є дане число раціональним? У багатьох випадках відповісти на нього дуже важко. Вкажемо деякі напрямки ходу думки.

Якщо число задано у вигляді числового виразу, яке містить лише раціональні числа та знаки арифметичних дій(+, −, · і:), то значення цього виразу є раціональним числом. Це випливає з того, як визначено дії з раціональними числами. Наприклад, виконавши всі дії у виразі ми отримуємо раціональне число 18 .

Іноді, після спрощення виразів і більше складного вигляду, з'являється можливість визначити, чи раціонально задане число.

Ходімо далі. Число 2 є раціональним числом, оскільки будь-яке натуральне число є раціональним. А як щодо числа? Чи є воно раціональним? Виявляється, що ні, - не є раціональним числом, це ірраціональне число (доказ цього факту методом протилежного наведено в підручнику з алгебри за 8 клас, зазначеному нижче у списку літератури). Також доведено, що квадратний коріньз натурального числа є раціональним числом лише тоді, коли під коренем перебуває число, що є повним квадратом деякого натурального числа. Наприклад, і - раціональні числа, так як 81 = 9 2 і 1024 = 32 2 а числа і не є раціональними, так як числа 7 і 199 не є повними квадратаминатуральних чисел.

А чисельність раціонально чи ні? У даному випадкуНеважко помітити, що, отже, це число - раціональне. А чи є число раціональним? Доведено, що корінь k-ого ступеня з цілого числа є раціональним числом лише тоді, коли число під знаком кореня є k-им ступенем деякого цілого числа. Тому не є раціональним числом, тому що не існує цілого числа, п'ятий ступінь якого дорівнює 121 .

Метод протилежного дозволяє доводити, що логарифми деяких чисел з деяких підстав є раціональними числами. Наприклад доведемо, що - раціональне число.

Припустимо неприємне, тобто, припустимо, що - раціональне число і його можна записати у вигляді звичайного дробу m/n. І тоді дають такі рівності: . Остання рівність неможлива, тому що в лівій його частині знаходиться не парне число 5 n , а правої частини – парне число 2 m . Отже, наше припущення є невірним, таким чином, не є раціональним числом.

На закінчення варто особливо відзначити, що при з'ясуванні раціональності чи ірраціональності чисел слід утриматися від раптових висновків.

Наприклад, не варто відразу стверджувати, що добуток ірраціональних чисел π і e є ірраціональним числом, це «як очевидно», але не доведено. При цьому постає питання: «А з чого б твору бути раціональним числом»? А чому б і ні, адже можна навести приклад ірраціональних чисел, добуток яких дає раціональне число: .

Також невідомо, чи є числа та багато інших чисел раціональними чи не є такими. Наприклад, існують ірраціональні числа, ірраціональний ступіньяких є раціональним числом. Для ілюстрації наведемо ступінь виду , основу цього ступеня і показник ступеня є раціональними числами, але , а 3 – раціональне число.

Список литературы.

Математика. 6 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Н. Я. Віленкін та ін.]. - 22-ге вид., Випр. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл. ISBN 978-5-346-00897-2.
Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Натуральні числа

Натуральні числа визначення - це цілі позитивні числа. Натуральні числа використовують для рахунку предметів та багатьох інших цілей. Ось ці числа:

Це натуральний ряд чисел.
Нуль натуральне число? Ні, нуль не є натуральним числом.
Скільки натуральних чисел існує? Існує безліч натуральних чисел.
Яким є найменше натуральне число? Одиниця – це найменше натуральне число.
Яким є найбільше натуральне число? Його неможливо вказати, адже існує безліч натуральних чисел.

Сума натуральних чисел є натуральним числом. Отже, додавання натуральних чисел a і b:

Добуток натуральних чисел є натуральним числом. Отже, добуток натуральних чисел a і b:

с – це завжди натуральне число.

Різниця натуральних чисел Не завжди є натуральне число. Якщо зменшуване більше віднімається, то різниця натуральних чисел є натуральним числом, інакше - ні.

Частина натуральних чисел Не завжди є натуральне число. Якщо для натуральних чисел a та b

де з - натуральне число, це означає, що a ділиться на b націло. У цьому прикладі a - подільне, b - дільник, c - приватне.

Дільник натурального числа - це натуральне число, яке перше число ділиться націло.

Кожне натуральне число поділяється на одиницю та на себе.

Прості натуральні числа поділяються лише на одиницю та на себе. Тут мається на увазі діляться повністю. Наприклад, числа 2; 3; 5; 7 діляться лише з одиницю і він. Це найпростіші натуральні числа.

Одиницю не вважають простим числом.

Числа, які більше одиниціі які є простими, називають складовими. Приклади складових чисел:

Одиницю не вважають складовим числом.

Безліч натуральних чисел становлять одиниця, прості числата складові числа.

Безліч натуральних чисел позначається латинською літерою N.

Властивості додавання та множення натуральних чисел:

переміщувальна властивість додавання

сполучна властивістьдодавання

(a + b) + c = a + (b + c);

переміщувальна властивість множення

сполучна властивість множення

(ab) c = a (bc);

розподільна властивість множення

A(b+c) = ab+ac;

Цілі числа

Цілі числа – це натуральні числа, нуль та числа, протилежні натуральним.

Числа, протилежні натуральним – це цілі негативні числа, наприклад:

1; -2; -3; -4;...

Безліч цілих чисел позначається латинською літерою Z.

Раціональні числа

Раціональні числа - це цілі числа та дроби.

Будь-яке раціональне число може бути представлене у вигляді періодичного дробу. Приклади:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

З прикладів видно, будь-яке ціле число є періодичний дріб з періодом нуль.

Будь-яке раціональне число може бути представлене у вигляді дробу m/n, де m ціле число,nнатуральне число. Подаємо у вигляді такого дробу число 3,(6) з попереднього прикладу.