Сьогодні, друзі, не буде жодних соплів та сентиментів. Замість них я без зайвих питань відправлю вас у бій з одним із найгрізніших супротивників у курсі алгебри 8—9 класу.
Так, ви все правильно зрозуміли: йдеться про нерівності з модулем. Ми розглянемо чотири основні прийоми, за допомогою яких ви навчитеся вирішувати близько 90% таких завдань. А що з рештою 10%? Що ж, про них ми поговоримо в окремому уроці.
Однак перед тим, як розбирати якісь там прийоми, хотілося б нагадати два факти, які потрібно знати. Інакше ви ризикуєте взагалі зрозуміти матеріал сьогоднішнього уроку.
Що вже треба знати
Капітан Очевидність хіба що натякає, що з розв'язання нерівностей з модулем необхідно знати дві речі:
- Як вирішуються нерівності;
- Що таке модуль |
Почнемо із другого пункту.
Визначення модуля
Тут все просто. Є два визначення: алгебраїчне та графічне. Для початку - алгебраїчне:
Визначення. Модуль числа $x$ - це або саме це число, якщо воно невід'ємне, або число, йому протилежне, якщо вихідний $ x $ - все-таки негативний.
Записується це так:
\[\left| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\end(align) \right.\]
Говорячи простою мовою, модуль це «число без мінуса». І саме в цій двоїстості (десь із вихідним числом нічого не треба робити, а десь доведеться прибрати якийсь там мінус) і полягає вся складність для учнів-початківців.
Є ще геометричне визначення. Його теж корисно знати, але звертатися до нього ми будемо лише у складних і якихось спеціальних випадках, де геометричний підхід зручніший за алгебраїчну (спойлер: не сьогодні).
Визначення. Нехай на числовій прямій відзначено точку $a$. Тоді модулем $ \ left | x-a \right|$ називається відстань від точки $x$ до точки $a$ на цій прямій.
Якщо накреслити картинку, то вийде щось на кшталт цього:
Графічне визначення модуля Так чи інакше, з визначення модуля відразу випливає його ключова властивість: модуль числа завжди є величиною невід'ємною. Цей факт буде червоною ниткою йти через всю нашу сьогоднішню розповідь.
Розв'язання нерівностей. Метод інтервалів
Тепер розберемося з нерівностями. Їх існує безліч, але наше завдання зараз — вміти вирішувати хоча б найпростіші з них. Ті, що зводяться до лінійних нерівностей, і навіть методу інтервалів.
На цю тему у мене є два великі уроки (між іншим, дуже, ДУЖЕ корисних — рекомендую вивчити):
- Метод інтервалів для нерівностей (особливо подивіться відео);
- Дробно-раціональні нерівності - дуже об'ємний урок, але після нього у вас взагалі не залишиться будь-яких питань.
Якщо ви все це знаєте, якщо фраза «перейдемо від нерівності до рівняння» не викликає у вас невиразне бажання убитися об стіну, то ви готові: ласкаво просимо до пекла до основної теми уроку.:)
1. Нерівності виду «Модуль менше функції»
Це одне з найпоширеніших завдань з модулями. Потрібно вирішити нерівність виду:
\[\left| f \right| \lt g\]
У ролі функцій $f$ і $g$ може бути будь-що, але зазвичай це многочлены. Приклади таких нерівностей:
\[\begin(align) & \left| 2x+3 \right| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x) ^ (2))-2 \ left | x \right|-3 \right| \lt 2. \\end(align)\]
Всі вони вирішуються буквально в один рядок за схемою:
\[\left| f \right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \& f \gt -g \\end(align) \right.
Неважко помітити, що позбавляємося модуля, але натомість отримуємо подвійну нерівність (або, що теж саме, систему з двох нерівностей). Проте цей перехід враховує абсолютно всі можливі проблеми: якщо число під модулем позитивне, метод працює; якщо негативно - все одно працює; і навіть за самої неадекватної функції дома $f$ чи $g$ метод все одно спрацює.
Звичайно, виникає питання: а простіше не можна? На жаль, не можна. У цьому вся фішка модуля.
Втім, вистачить філософствувати. Давайте вирішимо кілька завдань:
Завдання. Розв'яжіть нерівність:
\[\left| 2x+3 \right| \lt x+7\]
Рішення. Отже, маємо класичну нерівність виду «модуль менше» — навіть перетворювати нічого. Працюємо за алгоритмом:
\[\begin(align) & \left| f \right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \right| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\end(align)\]
Не поспішайте розкривати дужки, перед якими стоїть «мінус»: цілком можливо, що через поспіху ви припуститеся образливої помилки.
\-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\\end(align) \right.\]
Завдання звелося до двох елементарних нерівностей. Зазначимо їх рішення на паралельних числових прямих:
Перетин множин
Перетином цих множин і буде відповідь.
Відповідь: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$
Завдання. Розв'яжіть нерівність:
\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]
Рішення. Це завдання вже трохи складніше. Для початку усамітнимо модуль, перенісши друге доданок вправо:
\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]
Очевидно, перед нами знову нерівність виду «модуль менший», тому позбавляємося модуля за вже відомим алгоритмом:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]
Ось зараз увага: хтось скаже, що я трохи збоченець із усіма цими дужками. Але ще раз нагадаю, що наша ключова мета грамотно вирішити нерівність та отримати відповідь. Пізніше, коли ви досконало освоїте все, про що розказано в цьому уроці, можете самі перекручуватись як хочете: розкривати дужки, вносити мінуси і т.д.
А ми для початку просто позбудемося подвійного мінусу зліва:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\left(x+1 \right)\]
Тепер розкриємо всі дужки у подвійній нерівності:
Переходимо до подвійної нерівності. На цей раз викладки будуть серйознішими:
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( align) \right.\]
Обидві нерівності є квадратними і вирішуються методом інтервалів (бо й кажу: якщо не знаєте, що це таке, краще поки не братися за модулі). Переходимо до рівняння у першій нерівності:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \ & x \ left (x + 5 \ right) = 0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]
Як бачимо, на виході вийшло неповне квадратне рівняння, яке вирішується елементарно. Тепер розберемося з другою нерівністю системи. Там доведеться застосувати теорему Вієта:
\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \&((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]
Зазначаємо отримані числа на двох паралельних прямих (окрема для першої нерівності та окрема для другої):
Знову ж таки, оскільки ми вирішуємо систему нерівностей, нас цікавить перетин заштрихованих множин: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Це є відповідь.
Відповідь: $x\in \left(-5;-2 \right)$
Думаю, після цих прикладів схема рішення гранично зрозуміла:
- Усамітнити модуль, перенісши всі інші доданки в протилежну частину нерівності. Таким чином, ми отримаємо нерівність виду $\left| f \right| \lt g$.
- Вирішити цю нерівність, позбавившись модуля за описаною вище схемою. У якийсь момент потрібно перейти від подвійної нерівності до системи з двох самостійних виразів, кожне з яких можна вирішувати окремо.
- Зрештою, залишиться лише перетнути рішення цих двох самостійних висловів — і все, ми отримаємо остаточну відповідь.
Аналогічний алгоритм існує й у нерівностей наступного типу, коли модуль більше функції. Однак там є кілька серйозних «але». Про ці «але» ми зараз і поговоримо.
2. Нерівності виду «Модуль більше функції»
Виглядають вони так:
\[\left| f \right| \gt g\]
Схоже на попереднє? Схоже. Проте вирішуються такі завдання зовсім по-іншому. Формально схема наступна:
\[\left| f \right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \end(align) \right.\]
Іншими словами, ми розглядаємо два випадки:
- Спочатку просто ігноруємо модуль - вирішуємо нормальну нерівність;
- Потім по суті розкриваємо модуль зі знаком мінус, а потім множимо обидві частини нерівності на −1, мене при цьому знак.
У цьому варіанти об'єднані квадратною дужкою, тобто. маємо сукупність двох вимог.
Зверніть увагу ще раз: перед нами не система, а сукупність, тому у відповіді безлічі об'єднуються, а не перетинаються. Це принципова відмінність від попереднього пункту!
Взагалі, з об'єднаннями та перетинами у багатьох учнів суцільна плутанина, тому давайте розберемося в цьому питанні раз і назавжди:
- "∪" - це знак об'єднання. По суті, це стилізована літера U, яка прийшла до нас з англійської мови і є абревіатурою від Union, тобто. "Об'єднання".
- "∩" - це знак перетину. Ця хрень звідки не прийшла, а просто виникла як протиставлення до «∪».
Щоб ще простіше було запам'ятати, просто прималюйте до цих знаків ніжки, щоб вийшли келихи (ось тільки не треба зараз звинувачувати мене в пропаганді наркоманії та алкоголізму: якщо ви всерйоз вивчаєте цей урок, то вже наркоман):
Різниця між перетином та об'єднанням множин У перекладі російською це означає таке: об'єднання (сукупність) включає у собі елементи з обох множин, тому не менше кожного їх; а ось перетин (система) включає лише ті елементи, які одночасно знаходяться і в першій множині, і в другій. Тому перетин множин ніколи не буває більше множин-вихідників.
Так стало зрозуміліше? От і відмінно. Переходимо до практики.
Завдання. Розв'яжіть нерівність:
\[\left| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]
Рішення. Діємо за схемою:
\[\left| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\end(align) \ right.\]
Вирішуємо кожну нерівність сукупності:
\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\\end(align) \right.\]
Відзначаємо кожну отриману множину на числовій прямій, а потім об'єднуємо їх:
Об'єднання множин
Очевидно, що відповіддю буде $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Відповідь: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Завдання. Розв'яжіть нерівність:
\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]
Рішення. Ну що? Та нічого — все те саме. Переходимо від нерівності з модулем до сукупності двох нерівностей:
\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\end(align) \right.\]
Вирішуємо кожну нерівність. На жаль, коріння там буде не дуже.
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \& D=1+12=13; \ \ & x = \ frac (-1 \ pm \ sqrt (13)) (2). \\\end(align)\]
У другій нерівності теж трохи дичини:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \& ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \ & D = 9 + 12 = 21; \ & x = \ frac (-3 \ pm \ sqrt (21)) (2). \\\end(align)\]
Тепер треба відзначити ці числа на двох осях — по одній осі кожної нерівності. Однак відзначати крапки потрібно в правильному порядку: чим більше число, тим далі зсув крапку вправо.
І ось тут на нас чекає підстава. Якщо з числами $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ все ясно (доданки в чисельнику першого дробу менше доданків у чисельнику другого , Тому сума теж менше), з числами $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt(21))(2)$ теж не виникне труднощів (позитивне число свідомо більше негативного), то ось з останньою парочкою все не так однозначно. Що більше: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ або $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Від відповіді це питання залежатиме розстановка точок на числових прямих і, власне, відповідь.
Тому давайте порівнювати:
\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]
Ми усамітнили корінь, отримали невід'ємні числа з обох сторін нерівності, тому вправі звести обидві сторони квадрат:
\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\end(matrix)\]
Думаю, тут і їжу зрозуміло, що $4\sqrt(13) \gt 3$, тому $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) (2)$, остаточно точки на осях будуть розставлені так:
Випадок негарного коріння
Нагадаю, ми вирішуємо сукупність, тому у відповідь піде об'єднання, а не перетин заштрихованих множин.
Відповідь: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$
Як бачите, наша схема чудово працює як для простих завдань, так і для жорстких. Єдине «слабке місце» у такому підході — треба грамотно порівнювати ірраціональні числа (і повірте: це не лише коріння). Але питанням порівняння буде присвячено окремий (і дуже серйозний урок). А ми йдемо далі.
3. Нерівності з невід'ємними «хвістами»
От ми й дісталися найцікавішого. Це нерівності виду:
\[\left| f \right| \gt \left| g \right|\]
Взагалі кажучи, алгоритм, про який ми зараз поговоримо, вірний не тільки для модуля. Він працює у всіх нерівностях, де ліворуч і праворуч стоять гарантовано невід'ємні вирази:
Що робити із цими завданнями? Просто пам'ятайте:
У нерівностях з невід'ємними «хвістами» можна зводити обидві частини у будь-який натуральний ступінь. Жодних додаткових обмежень при цьому не виникне.
Насамперед нас цікавитиме зведення у квадрат — він спалює модулі та коріння:
\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \& ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]
Ось тільки не треба плутати це із вилученням кореня з квадрата:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]
Безліч помилок було допущено в той момент, коли учень забував ставити модуль! Але це зовсім інша історія (це ніби ірраціональні рівняння), тому не зараз у це поглиблюватимемося. Давайте краще вирішимо кілька завдань:
Завдання. Розв'яжіть нерівність:
\[\left| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]
Рішення. Відразу зауважимо дві речі:
- Це несувора нерівність. Крапки на числовій прямій будуть виколоті.
- Обидві сторони нерівності явно невід'ємні (ця властивість модуля: $ \ left | f \ left (x \ right) \ right | \ ge 0 $).
Отже, можемо звести обидві частини нерівності в квадрат, щоб позбавитися модуля і вирішувати завдання звичайним методом інтервалів:
\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) ) ^ (2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]
На останньому кроці я трохи схитрував: змінив послідовність доданків, скориставшись парністю модуля (по суті, помножив вираз $1-2x$ на -1).
\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \) right) \right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\end(align)\]
Вирішуємо методом інтервалів. Переходимо від нерівності до рівняння:
\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]
Зазначаємо знайдене коріння на числовій прямій. Ще раз: усі крапки зафарбовані, оскільки вихідна нерівність — не сувора!
Звільнення від знаку модуля
Нагадаю для особливо затятих: знаки ми беремо з останньої нерівності, яка була записана перед переходом до рівняння. І зафарбовуємо області, які потрібні в тій же нерівності. У нашому випадку це $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.
Ну от і все. Завдання вирішено.
Відповідь: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.
Завдання. Розв'яжіть нерівність:
\[\left| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]
Рішення. Робимо все те саме. Я не коментуватиму — просто подивіться на послідовність дій.
Зводимо у квадрат:
\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) |((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \) right))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]
Метод інтервалів:
\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Rightarrow x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]
Всього один корінь на числовій прямій:
Відповідь - цілий інтервал
Відповідь: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.
Невелике зауваження щодо останнього завдання. Як точно зауважив один мій учень, обидва підмодульні вирази в даній нерівності свідомо позитивні, тому знак модуля можна без шкоди для здоров'я опустити.
Але це вже зовсім інший рівень роздумів та інший підхід його умовно можна назвати методом слідств. Про нього – в окремому уроці. А зараз перейдемо до фінальної частини сьогоднішнього уроку та розглянемо універсальний алгоритм, який працює завжди. Навіть тоді, коли всі попередні підходи виявилися безсилими.
4. Метод перебору варіантів
А якщо всі ці прийоми не допоможуть? Якщо нерівність не зводиться невід'ємним хвостам, якщо усамітнити модуль не виходить, якщо взагалі біль-сум сум?
Тоді на сцену виходить "важка артилерія" всієї математики - метод перебору. Стосовно нерівностей з модулем він виглядає так:
- Виписати всі підмодульні вирази та прирівняти їх до нуля;
- Вирішити отримані рівняння і відзначити знайдене коріння на одній числовій прямій;
- Пряма розіб'ється на кілька ділянок, усередині якого кожен модуль має фіксований знак і тому однозначно розкривається;
- Вирішити нерівність на кожній такій ділянці (можна окремо розглянути корені-кордони, отримані в пункті 2 для надійності). Результати об'єднати – це і буде відповідь.
Ну як? Слабко? Легко! Лише довго. Подивимося практично:
Завдання. Розв'яжіть нерівність:
\[\left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]
Рішення. Ця хрень не зводиться до нерівностей виду $ \ left | f \right| \lt g$, $\left| f \right| \gt g$ або $\left| f \right| \lt \left| g \right|$, тому діємо напролом.
Виписуємо підмодульні вирази, прирівнюємо їх до нуля і знаходимо коріння:
\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1 = 0 \ Rightarrow x = 1. \\\end(align)\]
Разом у нас два корені, які розбивають числову пряму на три ділянки, всередині яких кожен модуль розкривається однозначно:
Розбиття числової прямої нулями підмодульних функцій
Розглянемо кожну ділянку окремо.
1. Нехай $x \lt -2$. Тоді обидва підмодульні вирази негативні, і вихідна нерівність перепишеться так:
\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\end(align)\]
Здобули досить просте обмеження. Перетнемо його з вихідним припущенням, що $x \lt -2$:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
Очевидно, що змінна $x$ не може одночасно бути меншою за −2, але більше за 1,5. Рішень на цій ділянці немає.
1.1. Окремо розглянемо прикордонний випадок $x=-2$. Просто підставимо це число у вихідну нерівність і перевіримо: чи виконується вона?
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \right|-2-1,5; \ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5 \Rightarrow \varnothing. \\\end(align)\]
Очевидно, що ланцюжок обчислень привів нас до невірної нерівності. Отже, вихідна нерівність теж неправильна, і $x=-2$ не входить у відповідь.
2. Нехай тепер $-2 \lt x \lt 1$. Лівий модуль вже розкриється з плюсом, але правий все ще з мінусом. Маємо:
\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt -2,5 \\end(align)\]
Знову перетинаємо з вихідною вимогою:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
І знову порожня безліч рішень, оскільки немає таких чисел, які одночасно менші за −2,5, але більші за −2.
2.1. І знову окремий випадок: $ x = 1 $. Підставляємо у вихідну нерівність:
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3 \right| \lt \left| 0 \right|+1-1,5; \ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5 \Rightarrow \varnothing. \\\end(align)\]
Аналогічно попередньому «приватному випадку» число $x=1$ явно не входить у відповідь.
3. Останній шматок прямий: $x \gt 1$. Тут усі модулі розкриваються зі знаком «плюс»:
\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(align)\]
І знову перетинаємо знайдену множину з вихідним обмеженням:
\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty) \right)\]
Ну нарешті то! Ми знайшли інтервал, який і буде відповіддю.
Відповідь: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$
Насамкінець — одне зауваження, яке, можливо, убереже вас від дурних помилок під час вирішення реальних завдань:
Розв'язання нерівностей з модулями зазвичай є суцільні множини на числовій прямій - інтервали та відрізки. Набагато рідше трапляються ізольовані точки. І ще рідше трапляється так, що меж рішення (кінець відрізка) збігається з межею діапазону, що розглядається.
Отже, якщо кордони (ті самі «приватні випадки») не входять у відповідь, то майже напевно не увійдуть у відповідь і області зліва-праворуч від цих кордонів. І навпаки: кордон увійшов у відповідь — отже, і якісь області навколо неї також будуть відповідями.
Пам'ятайте про це, коли ви перевіряєте свої рішення.
Цілі уроку
Ознайомити школярів із таким математичним поняттям, як модуль числа;
Навчити школярів навичкам знаходження модулів чисел;
закріпити вивчений матеріал за допомогою виконання різних завдань;
Завдання
Закріпити знання дітей про модуль числа;
За допомогою розв'язання тестових завдань перевірити, як засвоїли учні вивчений матеріал;
Продовжувати прищеплювати інтерес до уроків математики;
Виховувати у школярів логічне мислення, допитливість та посидючість.
План уроку
1. Загальні поняття та визначення модуля числа.
2. Геометричний зміст модуля.
3. Модуль його властивості.
4. Розв'язання рівнянь та нерівностей, що містять модуль числа.
5. Історична довідка про термін «модуль числа».
6. Завдання закріплення знань пройденої теми.
7. Домашнє завдання.
Загальні поняття про модуль числа
Модулем числа прийнято називати саме число, якщо воно не має негативного значення, або це число негативне, але з протилежним знаком.
Тобто, модулем невід'ємного дійсного числа a є саме це число:
А модулем негативного дійсного числа х буде протилежне число:
У записі це виглядатиме так:
Для більш доступного розуміння наведемо приклад. Так, наприклад, модулем числа 3 буде 3, а також модулем числа -3 є 3.
З цього випливає, що під модулем числа мається на увазі абсолютна величина, тобто, її абсолютне значення, але без урахування його знака. Якщо говорити ще простіше, то необхідно від числа відкинути знак.
Позначатися і виглядати модуль числа може так: |3|, |х|, |а| і т.д.
Приміром, модуль числа 3 позначається |3|.
Також слід пам'ятати, що модуль числа ніколи не буває негативним: |a|≥0.
|5| = 5, |-6 | = 6, | -12,45 | = 12,45 і т.д.
Геометричний зміст модуля
Модулем числа називають відстань, яка вимірюється в одиничних відрізках від початку координат до точки. У цьому вся визначенні розкривається модуль з геометричної погляду.
Візьмемо координатну пряму та позначимо на ній дві точки. Нехай цим точкам будуть відповідати такі числа, як −4 та 2.
Тепер звернемо увагу на цей малюнок. Ми бачимо, що позначена на координатній прямій точка А відповідає числу -4 і якщо ви уважно подивіться, побачите, що ця точка знаходиться від точки відліку 0 на відстані 4 одиничних відрізків. Звідси випливає, що довжина відрізка OA дорівнює чотирьом одиницям. У цьому випадку довжина відрізка ОА, тобто число 4 буде модулем числа -4.
Позначається і записується у разі модуль числа в такий спосіб: |−4| = 4.
Тепер візьмемо, і координатної прямої позначимо точку У.
Ця точка буде відповідати числу +2, і знаходиться вона, як ми бачимо, від початку відліку на відстані двох одиничних відрізків. З цього випливає, що довжина відрізка OB дорівнює двом одиницям. І тут число 2 буде модулем числа +2.
У записі це буде так: |+2| = 2 чи |2| = 2.
А тепер підіб'ємо підсумок. Якщо ми з вами візьмемо якесь невідоме число а і позначимо його на координатній прямій точкою А, то в цьому випадку відстань від точки A до початку відліку, тобто довжина відрізка ОА, якраз і є модулем числа «a».
У записі це буде так: |a| = OA.
Модуль числа його властивостей
А тепер давайте спробуємо виділити властивості модуля, розглянути всілякі випадки та записати їх за допомогою літерних виразів:
По-перше, модулем числа є число неотрицательное, отже модуль позитивного числа, дорівнює самому числу: |a| = a, якщо a> 0;
По-друге, модулі, які з протилежних чисел, рівні: |а| = |-а |. Тобто ця властивість говорить нам про те, що протилежні числа завжди мають рівні модулі, так як на координатній прямій, хоча вони мають протилежні числа, але вони знаходяться на однаковій відстані від точки відліку. З цього випливає, як і модулі цих протилежних чисел рівні.
По-третє, модуль нуля дорівнює нулю у разі, якщо це число є нулем: |0| = 0, якщо a = 0. Тут можна з упевненістю сказати, що модулем нуля є нуль за визначенням, оскільки відповідає початок відліку координатної прямої.
Четвертим властивістю модуля і те, що модуль добутку двох чисел дорівнює добутку модулів цих чисел. Тепер розглянемо докладніше, що це означає. Якщо слідувати визначенню, то ми з вами знаємо, що модуль добутку чисел a і b дорівнюватиме a b, або −(a b), якщо, а в ≥ 0, або ж – (а в), якщо, а більше 0. записи це буде так: |а b| = | а | |b|.
П'ятою властивістю є те, що модуль приватного від ділення чисел дорівнює відношенню модулів цих чисел: | а: b | = | а | : | b |.
І такі властивості модуля числа:
Розв'язання рівнянь та нерівностей, що містять модуль числа
Приступивши до розв'язання задач, які мають модуль числа, слід пам'ятати, що для вирішення такого завдання необхідно розкрити знак модуля, використовуючи знання властивостей, яким це завдання відповідає.
Завдання 1
Так, наприклад, якщо під знаком модуля стоїть вираз, який залежить від змінної, то розкривати модуль слід відповідно до визначення:
Звісно ж, під час вирішення завдань бувають випадки, коли модуль розкривається однозначно. Якщо, наприклад, взяти
, тут бачимо, що такий вираз під знаком модуля неотрицательно за будь-яких значеннях х і у.
Або, а для прикладу беремо
, бачимо, що це вираз під модулем не позитивно за будь-яких значеннях z.
Завдання 2
Перед вами зображено координатну пряму. На цій прямій необхідно відзначити числа, модуль яких дорівнюватиме 2.
Рішення
Насамперед, ми повинні накреслити координатну пряму. Вам вже відомо, що для цього спочатку на прямій необхідно вибрати початок відліку, напрямок та одиничний відрізок. Далі, нам потрібно від початку відліку поставити точки, які дорівнюють відстані двох одиничних відрізків.
Як бачимо, таких точок на координатній прямій дві, одна з яких відповідає числу -2, а інша числу 2.
Історична довідка про модуль числа
Термін «модуль» походить від латинського назви modulus, що у перекладі означає слово «захід». Ввів у звернення цей термін англійський математик Роджер Котес. А ось знак модуля було запроваджено завдяки німецькому математику Карлу Вейєрштрассу. Під час написання модуль позначається за допомогою такого символу: | |.
Запитання на закріплення знань матеріалу
На сьогоднішньому уроці ми з вами познайомилися з таким поняттям, як модуль числа, а тепер перевіримо, як ви засвоїли цю тему, відповівши на поставлені запитання:
1. Як називається число, яке протилежне до позитивного числа?
2. Яка назва має число, яке протилежне негативному числу?
3. Назвіть число, яке є протилежним нулю. Чи існує таке число?
4. Назвіть число, яке не може бути модулем числа.
5. Дайте визначення модулю числа.
Домашнє завдання
1. Перед вами зображені числа, які потрібно розташувати в порядку зменшення модулів. Якщо ви правильно виконаєте завдання, то дізнаєтесь прізвище людини, яка вперше ввела в математику термін «модуль».
2. Накресліть координатну пряму та знайдіть відстань від М(-5) та К(8) до початку відліку.
Модулем числаназивається саме це число, якщо воно не негативне, або це число з протилежним знаком, якщо воно негативне.
Наприклад, модулем числа 5 є 5, модулем числа –5 також 5.
Тобто, під модулем числа розуміється абсолютна величина, абсолютне значення цього числа без урахування його знака.
Позначається так: |5|, | х|, |а| і т.д.
Правило:
Пояснення:
|5| = 5
Читається так: модулем 5 є 5.
|–5| = –(–5) = 5
Читається так: модулем числа -5 є 5.
|0| = 0
Читається так: модулем нуля є нуль.
Властивості модуля:
1) Модуль числа є невід'ємним числом: |а| ≥ 0 2) Модулі протилежних чисел рівні: |а| = |–а| 3) Квадрат модуля числа дорівнює квадрату цього числа: |а| 2 = a 2 4) Модуль добутку чисел дорівнює добутку модулів цих чисел: |а · b| = |а| · | b| 6) Модуль частки чисел дорівнює відношенню модулів цих чисел: |а : b| = |а| : |b| 7) Модуль суми чисел менший або дорівнює сумі їх модулів: |а + b| ≤ |а| + |b| 8) Модуль різниці чисел менший або дорівнює сумі їх модулів: |а – b| ≤ |а| + |b| 9) Модуль суми/різниці чисел більший або дорівнює модулю різниці їх модулів: |а ± b| ≥ ||а| – |b|| 10) Постійний позитивний множник можна винести за знак модуля: |m · a| = m · | а|, m >0 11) Ступінь числа можна винести за знак модуля: |а k | = | а| k якщо а k існує 12) Якщо | а| = |b|, то a = ± b |
Геометричний зміст модуля.
Модуль числа – величина відстані від нуля до цього числа.
Наприклад візьмемо знову число 5. Відстань від 0 до 5 таку ж, як і від 0 до –5 (рис.1). І коли нам важливо знати лише довжину відрізка, то знак не має не лише значення, а й сенсу. Втім, не зовсім вірно: відстань ми вимірюємо лише позитивними числами – чи невід'ємними числами. Нехай ціна розподілу нашої шкали становить 1 см. Тоді довжина відрізка від нуля до 5 дорівнює 5 см, від нуля до -5 теж 5 см.
Насправді часто відстань відміряється лише від нуля – точкою відліку то, можливо будь-яке число (рис.2). Але сутність від цього не змінюється. Запис виду | a - b | висловлює відстань між точками аі bна числовій прямій.
приклад 1 . Розв'язати рівняння | х – 1| = 3.
Рішення .
Сенс рівняння в тому, що відстань між точками хта 1 дорівнює 3 (рис.2). Тому від точки 1 відраховуємо три поділи вліво і три поділи вправо - і наочно бачимо обидва значення х:
х 1 = –2, х 2 = 4.
Можемо й обчислити.
│х – 1 = 3
│х – 1 = –3
│х = 3 + 1
│х = –3 + 1
│х = 4
│ х = –2.
Відповідь: х 1 = –2; х 2 = 4.
Приклад 2 . Знайти модуль виразу:
Рішення .
Спочатку з'ясуємо, чи є вираз позитивним чи негативним. Для цього перетворюємо вираз так, щоб він складався з однорідних чисел. Не шукатимемо коріння з 5 – це досить складно. Вчинимо простіше: зведемо в корінь 3 і 10. Потім порівняємо величину чисел, що становлять різницю:
3 = √9. Отже, 3√5 = √9 · √5 = √45
10 = √100.
Ми, що перше число менше другого. Значить, вираз негативний, тобто його відповідь менша за нуль:
3√5 – 10 < 0.
Але згідно з правилом, модулем негативного числа є це число з протилежним знаком. У нас негативний вираз. Отже, треба змінити його символ на протилежний. Виразом, протилежним 3√5 – 10, є –(3√5 – 10). Розкриємо в ньому дужки - і отримаємо відповідь:
–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.
Відповідь.
Керівник ШМО
вчителів математики _______Калашнікова Ж.ЮМУНІЦИПАЛЬНА Бюджетна освітня установа
«Середня загальноосвітня школа №89»
Тематичні тести з математики для 6-их класів
за підручником І.І. Зубарєвої та А.Г. Мордковича
Склали: вчителі математики:
Калашнікова Жанна Юріївна
Столбова Людмила Антонівна
ЗАТЕ м. Сіверськ
2016 рік
Зміст
Тест №1………………………………………………………………………………………….3-6
Тест №2………………………………………………………………………………………….7-10
Тест №3………………………………………………………………………………………….11-14
Відповіді…………………………………………………………………………………………..15
Тест №1 «Позитивні та негативні числа»
Варіант 1
Вкажіть негативне дробове число:
-165
38
-7.92
67Охарактеризуйте подію «На координатному промені зазначено число -5,5»
Достовірне
Неможливе
Випадкове
Яке із чотирьох чисел найбільше?
8,035
80,35
0,8035
803,5
Яка з точок розташована на координатній прямій правіше від точки О (0)?
M (-4)
E (-15)
K (15)
D (-1,2)
Вночі температура повітря -5°C. Вдень на термометрі вже було +3 °C. Як змінилася температура повітря?
Підвищилася на 8о
Зменшилася на 2о
Підвищилася на 2о
Зменшилася на 8о
На координатній прямій відзначено точку x(-2) – центр симетрії. Вкажіть координати точок, розташованих на цій прямій симетричній точці x.
(-1) та (1)
(-1) та (1)
(3) та (-3)
(0) та (-4)
Які точки на координатній прямій є симетричними щодо початок відліку - точки Про (0).
В(-5) та С(5)
D(0,5) та E(-0,5)
M(-3) та K(13)
А(18) та X(-18)
Чому дорівнює сума чисел 0,316+0,4?
0,356
0,716
4,316
0,32
Обчисліть 25% від 0,4.
0,1
0,001
10
100
Обчисліть різницю 9100 та 0,03
0,05
0,6
9,03
350Варіант 2
Вкажіть негативне дробове число.
8,63
-1045
913-0,2
Охарактеризуйте подію «На координатному промені зазначено число 7».
Випадкове
Неможливе
Достовірне
Який із чисел найменший?
15,49
154,9
1,549
1549
Яка з точок розташована на координатній прямій ліворуч від точки О(0).
А(-0,5)
О 6)
М(0,5)
К(38)
Вдень термометр показував +5°C, а надвечір -2°C. Як змінилася температура повітря?
Підвищилася на 3о
Зменшилася на 7о
Зменшилася на 3о
Підвищилася на 7о
На координатній прямій відзначено центр симетрії – точка А(-3). Вкажіть координати точок, розташованих на цій прямій симетричній точці А.
(-2) та (2)
(0) та (-5)
(-6) та (1)
(-1) та (-5)
Які точки координатної прямої є симетричними щодо початок відліку - точки О(0).
А(6) та В(-6)
С(12) та D(-2)
М(-1) та К(1)
X (-9) та Y(9)
Чому дорівнює сума чисел 0,237 та 0,3
0,24
3,237
0,537
0,267
Обчисліть 20% від числа 0,5
10
0,1
0,2
0,01
Обчисліть різницю 0,07 і 31001250,5
1
425 Тест №2. Модуль числа. Протилежні числа.
Варіант 1
Яке з цих чисел має найменший модуль
-11
1013-4,196
-4,2
Вкажіть неправильну рівність
85=-85
-1,9=1,9
35= 3558=-58Модуль неотрицательного числа є неотрицательным числом. Чи правильне це твердження.
Так
Ні
Яке з цих чисел протилежне числу -34 ?43-43-3434Чому дорівнює значення вираз -(-m), якщо m = -15
+15
-15
Обчисліть значення виразу: -2,5∙4--919
-10
1
-1
Розв'яжіть рівняння: х=40-40
40
40 або -40
Які цілі числа розташовані на координатній прямій між числами-2,75 та 3,9?
-2, -1, 1, 2
-1, 0, 1, 2, 3
-1, 0, 1, 2, 3, 4
-2, -1, 0, 1, 2, 3
Чи правильна нерівність -30>-50Так
Ні
Вкажіть усі цілі числа x, якщо x≤30, 1, 2
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
1, 2, 3
Варіант 2
Який із чисел має найбільший модуль?
-0,6
-50,603
493550,530
Вкажіть неправильну рівність
-1,5 = 1,512 = 12-117 = 117-325 = -325 Чи може модуль від'ємного числа бути від'ємним числом
Так
Ні
Яке з цих чисел протилежне числу 124?
-24
24
-124124Чому дорівнює значення виразу –(-k), якщо k = -9
-9
+9
Обчисліть значення виразу: 2,5:-0,5+1,250
15
-2,5
2,5
Розв'яжіть рівняння x=100100
-100
100 або -100
Які цілі числа розташовані на координатній прямій між числами 1 і - 4,5
-4, -3, -2, -1, 0
-3, -2, -1
-5, -4, -3, -2, -1
-4, -3, -2, -1, 1
Чи правильна нерівність -25<-10?
Так
Ні
Вкажіть усі цілі числа x, якщо x≤44, 3, 2
0, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4
Тест №3. Порівняння чисел
Варіант 1
Яка з нерівностей невірна?
-20 > 2
0 < -1
-16 > -7
-5 < -3
-320 -920>
<
=
Чи вірно, що число 0 більше за будь-яке негативне число?
Так
Ні
Число a невід'ємне. Як записати це твердження як нерівності?
a<0a≤0a≥0a>0Вкажіть найбільше з цих чисел.
0,16
-3018-0,4
0,01
При яких натуральних значеннях х вірна нерівність x≤44, 3, 2
1 , 2, 3, 4
4, 3, 2, 1
0, 1, 2, 3
При яких цілих значеннях вірна нерівність y<-2?0
-1
0, -1, 1
Немає таких значень
Числа -6; -3,8; -115; 0,8 розташовані:
У порядку зменшення
У порядку збільшення
У безладі
По радіо передали прогноз погоди: очікується зниження температури до -20°С. Охарактеризуйте цю подію:
Неможливе
Достовірне
Випадкове
Варіант 2
Яка з нерівностей вірна?
-5 > 0
6 < -17
-34 > -40
-9 < -63
Який знак треба записати між цими дробами, щоб нерівність була правильною?
-1315 -715<
>
=
Чи вірно, що число 0 менше від будь-якого негативного числа?
Так
Ні
Число x не більше нуля. Як записати це твердження як нерівності?
x≥0x>0x<0x≤0Укажите наименьшее из данных чисел.
-5,92
1,7
-1000
35При яких натуральних значеннях a правильна нерівність a≤3?1, 2, 3
0, 1, 2, 3
1, 2
0, 1, 2
При яких цілих значеннях m вірна нерівність m<-4?-3, -2, -1
0, -1, -2, -3, 1, 2, 3
0
Немає таких значень
Числа 1,2; -1,2; -427; -100 розташовані:
У безладі
У порядку збільшення
У порядку зменшення
На координатній прямій відзначено точку А(5). На цій прямій відзначили навмання іншу точку В. Її координатою виявилося протилежне число 5. Охарактеризуйте цю подію.
Випадкове
Достовірне
Неможливе
Відповіді
Тест №1 Тест №2
№ Варіант 1 Варіант 2
1 3 4
2 2 3
3 4 3
4 3 1
5 1 2
6 4 4
7 3 2
8 2 3
9 1 2
10 4 1
№ Варіант 1 Варіант 2
1 3 2
2 1 4
3 1 2
4 4 3
5 2 1
6 3 4
7 3 3
8 4 1
9 1 2
10 2 4
Тест №3
№ Варіант 1 Варіант 2
1 4 3
2 1 2
3 1 2
4 3 4
5 1 3
6 2 1
7 4 4
8 2 3