При слові "дроби" у багатьох біжать мурашки. Тому що згадується школа та завдання, які вирішувалися на математиці. Це було обов'язком, який потрібно було виконати. А що якщо ставитись до завдань, що містять правильні та неправильні дроби, як до головоломки? Адже багато дорослих вирішують цифрові та японські кросворди. Розібралися у правилах, і все. Так само і тут. Варто тільки вникнути в теорію - і все стане на свої місця. А приклади перетворяться на спосіб потренувати мозок.
Які види дробів існують?
Спершу про те, що це таке. Дроб - число, яке має деяку частину від одиниці. Її можна записати у двох видах. Перший зветься звичайним. Тобто така, яка має горизонтальну або похилу рису. Вона прирівнюється до знака поділу.
У такому записі число, що стоїть над рискою, називається чисельником, а під нею знаменником.
Серед звичайних виділяють правильні та неправильні дроби. У перших чисельник за модулем завжди менше знаменника. Неправильні тому так і називаються, що вони все навпаки. Значення правильного дробу завжди менше одиниці. Хоча неправильна завжди більше цього числа.
Є ще змішані числа, тобто такі, у яких є ціла і дробова частини.
Другий вид запису – десятковий дріб. Про неї окрема розмова.
Чим відрізняються неправильні дроби від змішаних чисел?
За своєю суттю, нічим. Це просто різна запис однієї й тієї числа. Неправильні дроби після нескладних дій легко стають змішаними числами. І навпаки.
Все залежить від конкретної ситуації. Іноді у завданнях зручніше використовувати неправильний дріб. А часом необхідно перевести її в змішане число, і тоді приклад вирішиться дуже легко. Тому, що використовувати: неправильні дроби, змішані числа, - залежить від спостережливості вирішального завдання.
Змішане число ще порівнюють із сумою цілої частини та дробової. Причому друга завжди менше одиниці.
Як уявити змішане число у вигляді неправильного дробу?
Якщо потрібно виконати будь-яку дію з кількома числами, які записані в різних видах, потрібно зробити їх однаковими. Один із методів — уявити числа у вигляді неправильних дробів.
Для цієї мети потрібно виконати дії за таким алгоритмом:
- помножити знаменник на цілу частину;
- додати до результату значення чисельника;
- записати відповідь над межею;
- знаменник залишити тим самим.
Ось приклади того, як записати неправильні дроби зі змішаних чисел:
- 17 ¼ = (17 х 4 + 1): 4 = 69/4;
- 39 ½ = (39 х 2 + 1): 2 = 79/2.
Як записати неправильний дріб у вигляді змішаного числа?
Наступний прийом протилежний розглянутому вище. Тобто, коли всі змішані числа замінюються на неправильні дроби. Алгоритм дій буде таким:
- розділити чисельник на знаменник до одержання залишку;
- записати приватне дома цілої частини змішаного;
- залишок слід розмістити над межею;
- дільник буде знаменником.
Приклади такого перетворення:
76/14; 76:14 = 5 із залишком 6; відповіддю буде 5 цілих та 6/14; дробову частину у цьому прикладі потрібно скоротити на 2, вийде 3/7; підсумкова відповідь - 5 цілих 3/7.
108/54; після поділу виходить приватне 2 без залишку; це означає, що не всі неправильні дроби вдається подати у вигляді змішаного числа; відповіддю буде ціле - 2.
Як ціле число перетворити на неправильний дріб?
Бувають ситуації, коли потрібна і така дія. Щоб отримати неправильні дроби із заздалегідь відомим знаменником, потрібно виконати такий алгоритм:
- помножити ціле число на потрібний знаменник;
- записати це значення над межею;
- розмістити під нею знаменник.
Найпростіший варіант, коли знаменник дорівнює одиниці. Тоді нічого множити не треба. Досить просто написати ціле число, яке дано в прикладі, а під межею розташувати одиницю.
приклад: 5 зробити неправильним дробом зі знаменником 3. Після множення 5 на 3 виходить 15. Це число буде знаменником. Відповідь завдання дріб: 15/3.
Два підходи до вирішення завдань з різними числами
У прикладі потрібно обчислити суму і різницю, а також добуток і частки двох чисел: 2 цілих 3/5 і 14/11.
У першому підходізмішане число буде представлено у вигляді неправильного дробу.
Після виконання дій, описаних вище, вийде таке значення: 13/5.
Щоб дізнатися суму, потрібно привести дроби до однакового знаменника. 13/5 після множення на 11 стане 143/55. А 14/11 після множення на 5 набуде вигляду: 70/55. Для обчислення суми потрібно лише скласти чисельники: 143 та 70, а потім записати відповідь з одним знаменником. 213/55 - цей неправильний дріб відповідь задачі.
При знаходженні різниці ці числа віднімаються: 143 - 70 = 73. Відповіддю буде дріб: 73/55.
При множенні 13/5 та 14/11 не потрібно приводити до спільного знаменника. Достатньо перемножити попарно чисельники та знаменники. Вийде відповідь: 182/55.
Так само і при розподілі. Для правильного рішення потрібно замінити поділ на множення та перевернути дільник: 13/5: 14/11 = 13/5 х 11/14 = 143/70.
У другому підходінеправильний дріб перетворюється на змішане число.
Після виконання дій алгоритму 14/11 звернеться в змішане число з частиною 1 і дробовою 3/11.
Під час обчислення суми потрібно скласти цілі та дробові частини окремо. 2+1=3, 3/5+3/11=33/55+15/55=48/55. Підсумкова відповідь виходить 3 цілих 48/55. У першому підході був дріб 213/55. Перевірити правильність можна, перевівши його у змішане число. Після поділу 213 на 55 виходить приватне 3 і залишок 48. Неважко помітити, що відповідь правильна.
При відніманні знак "+" замінюється на "-". 2 – 1 = 1, 33/55 – 15/55 = 18/55. Для перевірки відповідь з попереднього підходу потрібно перевести в змішане число: 73 ділиться на 55 і виходить 1 приватне і залишок 18.
Для знаходження твору та приватного користуватися змішаними числами незручно. Тут завжди рекомендується переходити до неправильних дробів.
Звичайні дроби поділяються на \textit(правильні) та \textit(неправильні) дроби. Такий поділ заснований на порівнянні чисельника та знаменника.
Правильні дроби
Правильним дробомназивається звичайна дріб $\frac(m)(n)$, у якої чисельник менший за знаменник, тобто. $m
Приклад 1
Наприклад, дроби $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ є правильними, так як у кожній з них чисельник менший за знаменник, що відповідає визначенню правильного дробу.
Існує визначення правильного дробу, що базується на порівнянні дробу з одиницею.
правильною, якщо вона менше одиниці:
Приклад 2
Наприклад, звичайний дріб $\frac(6)(13)$ є правильним, т.к. виконується умова $\frac(6)(13)
Неправильні дроби
Неправильним дробомназивається звичайна дріб $\frac(m)(n)$, у якої чисельник більший або дорівнює знаменнику, тобто. $m\ge n$.
Приклад 3
Наприклад, дроби $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ є неправильними, так як у кожній з них чисельник більший або дорівнює знаменнику, що відповідає визначенню неправильного дробу.
Дамо визначення неправильного дробу, що базується на його порівнянні з одиницею.
Звичайний дріб $\frac(m)(n)$ є неправильноюякщо вона дорівнює або більше одиниці:
\[\frac(m)(n)\ge 1\]
Приклад 4
Наприклад, звичайний дріб $\frac(21)(4)$ є неправильним, т.к. виконується умова $\frac(21)(4) >1$;
звичайна дріб $\frac(8)(8)$ є неправильною, т.к. виконується умова $ frac (8) (8) = 1 $.
Розглянемо докладніше поняття неправильного дробу.
Візьмемо для прикладу неправильний дріб $\frac(7)(7)$. Значення цього дробу - взяли сім часток предмета, який поділений на сім однакових часток. Таким чином, із семи часток, які є в наявності, можна скласти весь предмет. Тобто. неправильний дріб $\frac(7)(7)$ описує цілий предмет і $\frac(7)(7)=1$. Отже, неправильні дроби, у яких чисельник дорівнює знаменнику, описують один цілий предмет і такий дріб може замінити на натуральне число $1$.
$\frac(5)(2)$ -- досить очевидно, що з цих п'яти других часток можна скласти $2$ цілих предмета (один цілий предмет будуть становити $2$ частки, а для складання двох цілих предметів потрібні $2+2=4$ частки) і залишається одна друга частка. Тобто, неправильний дріб $\frac(5)(2)$ описує $2$ предмета і $\frac(1)(2)$ частку цього предмета.
$\frac(21)(7)$ -- з двадцяти однієї сьомих часток можна скласти $3$ цілих предмета ($3$ предмета по $7$ часток у кожному). Тобто. дріб $\frac(21)(7)$ визначає $3$ цілих предмета.
З розглянутих прикладів можна зробити наступний висновок: неправильний дріб можна замінити на натуральне число, якщо чисельник націло ділиться на знаменник (наприклад, $\frac(7)(7)=1$ і $\frac(21)(7)=3$) , або сумою натурального числа і правильного дробу, якщо чисельник націло не ділиться на знаменник (наприклад, $ \ frac (5) (2) = 2 + frac (1) (2) $). Тому такі дроби і називаються неправильними.
Визначення 1
Процес представлення неправильного дробу у вигляді суми натурального числа та правильного дробу (наприклад, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) називається виділенням цілої частини з неправильного дробу.
Працюючи з неправильними дробами простежується тісний зв'язок з-поміж них і змішаними числами.
Неправильний дріб часто записується у вигляді змішаного числа - числа, що складається з цілої та дробової частини.
Щоб записати неправильний дріб як змішаного числа, необхідно розділити чисельник на знаменник із залишком. Приватне складатиме цілу частину змішаного числа, залишок - чисельник дробової частини, а дільник - знаменник дробової частини.
Приклад 5
Записати неправильний дріб $\frac(37)(12)$ у вигляді змішаного числа.
Рішення.
Розділимо чисельник на знаменник із залишком:
\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (залишок\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]
Відповідь.$ frac (37) (12) = 3 frac (1) (12) $.
Щоб записати змішане число у вигляді неправильного дробу, необхідно знаменник помножити на цілу частину числа, до твору, що вийшло, додати чисельник дробової частини та записати отриману суму в чисельник дробу. Знаменник неправильного дробу дорівнюватиме знаменнику дробової частини змішаного числа.
Приклад 6
Записати змішане число $5\frac(3)(7)$ у вигляді неправильного дробу.
Рішення.
Відповідь.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.
Складання змішаного числа та правильного дробу
Додавання змішаного числа$a\frac(b)(c)$ та правильного дробу$\frac(d)(e)$ виконує додаванням до даного дробу дробової частини даного змішаного числа:
Приклад 7
Виконати додавання правильного дробу $\frac(4)(15)$ і змішаного числа $3\frac(2)(5)$.
Рішення.
Скористаємося формулою додавання змішаного числа та правильного дробу:
\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ left(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+frac(4)(15)right)=3+frac(6+4)(15)=3+frac(10)( 15) \]
За ознакою розподілу на число \ textit (5) можна визначити, що дріб $ \ frac (10) (15) $ - скоротний. Виконаємо скорочення та знайдемо результат додавання:
Отже, результатом додавання правильного дробу $\frac(4)(15)$ і змішаного числа $3\frac(2)(5)$ буде $3\frac(2)(3)$.
Відповідь:$3\frac(2)(3)$
Складання змішаного числа та неправильного дробу
Складання неправильного дробу та змішаного числазводять до додавання двох змішаних чисел, для чого достатньо виділити цілу частину з неправильного дробу.
Приклад 8
Обчислити суму змішаного числа $6\frac(2)(15)$ і неправильного дробу $\frac(13)(5)$.
Рішення.
Спочатку виділимо цілу частину з неправильного дробу $\frac(13)(5)$:
Відповідь:$8\frac(11)(15)$.
Звичайні дроби поділяються на \textit(правильні) та \textit(неправильні) дроби. Такий поділ заснований на порівнянні чисельника та знаменника.
Правильні дроби
Правильним дробомназивається звичайна дріб $\frac(m)(n)$, у якої чисельник менший за знаменник, тобто. $m
Приклад 1
Наприклад, дроби $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ є правильними, так як у кожній з них чисельник менший за знаменник, що відповідає визначенню правильного дробу.
Існує визначення правильного дробу, що базується на порівнянні дробу з одиницею.
правильною, якщо вона менше одиниці:
Приклад 2
Наприклад, звичайний дріб $\frac(6)(13)$ є правильним, т.к. виконується умова $\frac(6)(13)
Неправильні дроби
Неправильним дробомназивається звичайна дріб $\frac(m)(n)$, у якої чисельник більший або дорівнює знаменнику, тобто. $m\ge n$.
Приклад 3
Наприклад, дроби $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ є неправильними, так як у кожній з них чисельник більший або дорівнює знаменнику, що відповідає визначенню неправильного дробу.
Дамо визначення неправильного дробу, що базується на його порівнянні з одиницею.
Звичайний дріб $\frac(m)(n)$ є неправильноюякщо вона дорівнює або більше одиниці:
\[\frac(m)(n)\ge 1\]
Приклад 4
Наприклад, звичайний дріб $\frac(21)(4)$ є неправильним, т.к. виконується умова $\frac(21)(4) >1$;
звичайна дріб $\frac(8)(8)$ є неправильною, т.к. виконується умова $ frac (8) (8) = 1 $.
Розглянемо докладніше поняття неправильного дробу.
Візьмемо для прикладу неправильний дріб $\frac(7)(7)$. Значення цього дробу - взяли сім часток предмета, який поділений на сім однакових часток. Таким чином, із семи часток, які є в наявності, можна скласти весь предмет. Тобто. неправильний дріб $\frac(7)(7)$ описує цілий предмет і $\frac(7)(7)=1$. Отже, неправильні дроби, у яких чисельник дорівнює знаменнику, описують один цілий предмет і такий дріб може замінити на натуральне число $1$.
$\frac(5)(2)$ -- досить очевидно, що з цих п'яти других часток можна скласти $2$ цілих предмета (один цілий предмет будуть становити $2$ частки, а для складання двох цілих предметів потрібні $2+2=4$ частки) і залишається одна друга частка. Тобто, неправильний дріб $\frac(5)(2)$ описує $2$ предмета і $\frac(1)(2)$ частку цього предмета.
$\frac(21)(7)$ -- з двадцяти однієї сьомих часток можна скласти $3$ цілих предмета ($3$ предмета по $7$ часток у кожному). Тобто. дріб $\frac(21)(7)$ визначає $3$ цілих предмета.
З розглянутих прикладів можна зробити наступний висновок: неправильний дріб можна замінити на натуральне число, якщо чисельник націло ділиться на знаменник (наприклад, $\frac(7)(7)=1$ і $\frac(21)(7)=3$) , або сумою натурального числа і правильного дробу, якщо чисельник націло не ділиться на знаменник (наприклад, $ \ frac (5) (2) = 2 + frac (1) (2) $). Тому такі дроби і називаються неправильними.
Визначення 1
Процес представлення неправильного дробу у вигляді суми натурального числа та правильного дробу (наприклад, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) називається виділенням цілої частини з неправильного дробу.
Працюючи з неправильними дробами простежується тісний зв'язок з-поміж них і змішаними числами.
Неправильний дріб часто записується у вигляді змішаного числа - числа, що складається з цілої та дробової частини.
Щоб записати неправильний дріб як змішаного числа, необхідно розділити чисельник на знаменник із залишком. Приватне складатиме цілу частину змішаного числа, залишок - чисельник дробової частини, а дільник - знаменник дробової частини.
Приклад 5
Записати неправильний дріб $\frac(37)(12)$ у вигляді змішаного числа.
Рішення.
Розділимо чисельник на знаменник із залишком:
\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (залишок\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]
Відповідь.$ frac (37) (12) = 3 frac (1) (12) $.
Щоб записати змішане число у вигляді неправильного дробу, необхідно знаменник помножити на цілу частину числа, до твору, що вийшло, додати чисельник дробової частини та записати отриману суму в чисельник дробу. Знаменник неправильного дробу дорівнюватиме знаменнику дробової частини змішаного числа.
Приклад 6
Записати змішане число $5\frac(3)(7)$ у вигляді неправильного дробу.
Рішення.
Відповідь.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.
Складання змішаного числа та правильного дробу
Додавання змішаного числа$a\frac(b)(c)$ та правильного дробу$\frac(d)(e)$ виконує додаванням до даного дробу дробової частини даного змішаного числа:
Приклад 7
Виконати додавання правильного дробу $\frac(4)(15)$ і змішаного числа $3\frac(2)(5)$.
Рішення.
Скористаємося формулою додавання змішаного числа та правильного дробу:
\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ left(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+frac(4)(15)right)=3+frac(6+4)(15)=3+frac(10)( 15) \]
За ознакою розподілу на число \ textit (5) можна визначити, що дріб $ \ frac (10) (15) $ - скоротний. Виконаємо скорочення та знайдемо результат додавання:
Отже, результатом додавання правильного дробу $\frac(4)(15)$ і змішаного числа $3\frac(2)(5)$ буде $3\frac(2)(3)$.
Відповідь:$3\frac(2)(3)$
Складання змішаного числа та неправильного дробу
Складання неправильного дробу та змішаного числазводять до додавання двох змішаних чисел, для чого достатньо виділити цілу частину з неправильного дробу.
Приклад 8
Обчислити суму змішаного числа $6\frac(2)(15)$ і неправильного дробу $\frac(13)(5)$.
Рішення.
Спочатку виділимо цілу частину з неправильного дробу $\frac(13)(5)$:
Відповідь:$8\frac(11)(15)$.
Діляться на правильні та неправильні.
Правильні дроби
Правильний дріб- це звичайний дріб, у якого чисельник менший за знаменник.
Щоб дізнатися чи є дріб правильним, треба порівняти його члени між собою. Члени дробу порівнюються відповідно до правила порівняння натуральних чисел.
приклад.Розглянемо дріб:
| 7 |
| 8 |
Приклад:
| 8 | = 1 | 1 |
| 7 | 7 |
Правила перекладу та додаткові приклади можна переглянути в темі Переклад неправильного дробу в змішане число. Також для переведення неправильного дробу в змішане число ви можете скористатися онлайн калькулятором.
Порівняння правильних та неправильних дробів
Будь-який неправильний звичайний дріб більший за правильний, тому що правильний дріб завжди менше одиниці, а неправильний більше одиниці або дорівнює їй.
Приклад:
| 3 | > | 99 |
| 2 | 100 |
Правила порівняння та додаткові приклади можна переглянути в темі Порівняння звичайних дробів. Також для порівняння дробів або перевірки порівняння ви можете скористатися
Правильні та неправильні дроби відштовхують учнів 5 класу математики своїми назвами. Проте нічого страшного в цих числах немає. Щоб не допускати помилок у обчисленнях і розвіяти всі таємниці, пов'язані з цими числами, розглянемо подробиці.
Що таке дріб?
Дробами звуть незавершену операцію поділу. Ще один варіант: дріб це частина цілого. Чисельник це кількість частин, прийнятих до розрахунку. Знаменник - загальна кількість частин, на яку розділили ціле.
Види дробів
Виділяють такі види дробів:
- Звичайний дріб. Це дріб, у якого чисельник менший за знаменник.
- Неправильний дріб, у якого чисельник більший за знаменник.
- Змішане число, яке має цілу та дробову частину
- Десятковий дріб. Це число, у якого в знаменнику завжди є ступінь числа 10. Записується такий дріб за допомогою розділової коми.
Який дріб називається правильним?
Правильним дробом називають звичайний дріб. Цей підвид дробів з'явився раніше за інші. Пізніше види чисел збільшувалися, відкривалися та створювалися нові числа та дроби. Перший дріб називають правильним, тому що саме він відображає сенс, який вкладали древні математики в поняття дробу: це частина числа. При цьому ця частина завжди менша за ціле, тобто, 1.
Чому неправильний дріб так називають?
Неправильний дріб більше 1. Тобто він вже трохи не відповідає першому визначенню. Це не частина цілого. Можна уявляти собі неправильний дріб, як шматочки кількох пирогів. Адже пиріг не завжди один. Тим не менш, дріб вважається неправильним.
Неправильний дріб не прийнято залишати внаслідок обчислень. Краще перетворити її на змішане число.
Як перевести правильний дріб у неправильний?
Перевести правильний дріб у неправильний або навпаки неможливо. Це різні категорії чисел. Але деякі учні часто плутають поняття і називають переведення неправильного дробу на змішані числа перетворенням неправильного дробу на правильний.
У змішані числа неправильний дріб переводять досить часто, як і змішані числа в неправильні дроби. Щоб перевести неправильний дріб у змішане число, чисельник потрібно поділити на знаменник із залишком. Залишок у разі стане чисельником дробової частини, приватне стане цілою частиною, а знаменник залишиться тим самим.
Що ми дізналися?
Ми згадали, що таке дріб. Повторили всі види дробів і сказали, який дріб називають правильним. Окремо зазначили, чому неправильний дріб отримав таку назву. Сказали, що перевести неправильний дріб у правильний чи навпаки не вийде. Останнє твердження можна вважати правилом правильних та неправильних дробів.
Тест на тему
Оцінка статті
Середня оцінка: 4.2. Усього отримано оцінок: 260.