Скорочення дробів потрібне для того, щоб привести дріб до більш простому вигляду, Наприклад, у відповіді отриманому в результаті рішення виразу.
Скорочення дробів, визначення та формула.
Що таке скорочення дробів? Що означає скоротити дріб?
Визначення:
Скорочення дробів– це поділ у дробу чисельник і знаменник на те саме позитивне числоне рівне нулюта одиниці. У результаті скорочення виходить дріб з меншим чисельником і знаменником, що дорівнює попередньому дробу відповідно до .
Формула скорочення дробівосновної властивості раціональних чисел.
\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)
Розглянемо приклад:
Скоротіть дріб \(\frac(9)(15)\)
Рішення:
Ми можемо розкласти дріб на прості множникита скоротити загальні множники.
\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)
Відповідь: після скорочення отримали дріб \(\frac(3)(5)\). За основною властивістю раціональних чисел первісний дроб, що вийшов, рівні.
\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)
Як скорочувати дроби? Скорочення дробу до нескоротного виду.
Щоб нам отримати в результаті нескоротний дріб, потрібно знайти найбільший спільний дільник(НД)для чисельника та знаменника дробу.
Є кілька способів знайти НОД ми скористаємось у прикладі розкладанням чисел на прості множники.
Отримайте нескоротний дріб ((frac(48)(136))).
Рішення:
Знайдемо НОД (48, 136). Розпишемо числа 48 і 136 на прості множники.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)
Правило скорочення дробу до нескоротного виду.
- Потрібно знайти найбільший спільний дільник для чисельників та знаменників.
- Потрібно поділити чисельник та знаменник на найбільший спільний дільник у результаті розподілу отримати нескоротний дріб.
Приклад:
Скоротіть дріб \(\frac(152)(168)\).
Рішення:
Знайдемо НОД (152, 168). Розпишемо числа 152 та 168 на прості множники.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)
Відповідь: \(\frac(19)(21)\) нескоротний дріб.
Скорочення неправильного дробу.
Як скоротити неправильний дріб?
Правила скорочення дробів для правильних та неправильних дробів однакові.
Розглянемо приклад:
Скоротіть неправильний дріб \(\frac(44)(32)\).
Рішення:
Розпишемо на прості множники чисельник та знаменник. А потім загальні множники скоротимо.
\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)
Скорочення змішаних дробів.
Змішані дроби за тими самими правилами як і звичайні дроби. Різниця лише в тому, що ми можемо цілу частину не чіпати, а дробову частинускоротитиабо змішаний дрібперевести в неправильний дріб, скоротити і перевести назад у правильний дріб.
Розглянемо приклад:
Скоротіть змішаний дріб \(2\frac(30)(45)\).
Рішення:
Вирішимо двома способами:
Перший спосіб:
Розпишемо дробову частину на прості множники, а цілу частину не чіпатимемо.
\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)
Другий спосіб:
Переведемо спочатку в неправильний дріб, а потім розпишемо на прості множники і скоротимо. Отриманий неправильний дріб переведемо в правильний.
\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)
Питання на тему:
Чи можна скорочувати дроби при складанні чи відніманні?
Відповідь: ні, потрібно спочатку скласти або відняти дроби за правилами, а лише потім скорочувати. Розглянемо приклад:
Обчисліть вираз \(\frac(50+20-10)(20)\) .
Рішення:
Часто припускаються помилки скорочуючи однакові числау чисельнику і знаменнику в нашому випадку число 20, але їх скорочувати не можна, поки не виконайте додавання та віднімання.
\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)
На які числа можна скорочувати дріб?
Відповідь: можна скорочувати дріб на найбільший спільний дільник або звичайний дільник чисельника та знаменника. Наприклад, дріб \(\frac(100)(150)\).
Розпишемо на прості множники числа 100 та 150.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Найбільшим спільним дільником буде число НОД(100, 150) = 2⋅5⋅5 = 50
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)
Отримали нескоротний дріб \(\frac(2)(3)\).
Але необов'язково завжди ділити на НОД не завжди потрібний нескоротний дріб, можна скоротити дріб на простий дільник чисельника та знаменника. Наприклад, у числа 100 та 150 загальний дільник 2. Скоротимо дріб ((frac(100)(150)) на 2.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)
Отримали скоротитий дріб ((frac(50)(75))).
Які дроби можна скорочувати?
Відповідь: можна скорочувати дроби у яких чисельник і знаменник мають спільний дільник. Наприклад, дріб \(\frac(4)(8)\). У числа 4 і 8 є число, на яке обидва діляться це число 2. Тому такий дріб можна скоротити на число 2.
Приклад:
Порівняйте два дроби \(\frac(2)(3)\) і \(\frac(8)(12)\).
Ці два дроби рівні. Розглянемо докладно дріб \(\frac(8)(12)\):
\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \times 1=\frac(2)(3)\)
Звідси отримуємо, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)
Два дроби рівні тоді і тільки тоді, коли один з них отриманий шляхом скорочення іншого дробу на загальний множникчисельника та знаменника.
Приклад:
Скоротіть якщо можливо такі дроби: а) \(\frac(90)(65)\) б) \(\frac(27)(63)\) в) \(\frac(17)(100)\) г) \(\frac(100)(250)\)
Рішення:
а) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
б) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
в) \(\frac(17)(100)\) нескоротний дріб
г) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ times 5)=\frac(2)(5)\)
Отже, ми знаємо, що чисельник і знаменник дробу можна множити і ділити одне й те саме число, дріб від цього зміниться. Розглянемо три підходи:
Підхід перший.
Для скорочення ділять чисельник та знаменник на спільний дільник. Розглянемо приклади:
Скоротимо:
У наведених прикладах ми відразу бачимо, які взяти дільники для скорочення. Процес нескладний – ми перебираємо 2,3.4,5 тощо. У більшості прикладів шкільного курсу цього цілком достатньо. А от якщо буде дріб:
Тут процес із підбором дільників може затягнутися надовго;). Звичайно, такі приклади лежать поза шкільним курсом, але справлятися з ними треба вміти. Трохи нижче розглянемо, як це робиться. А поки що повернемося до процесу скорочення.
Як розглянуто вище, щоб скоротити дріб, ми здійснювали розподіл на певний нами спільний делитель(ли). Все вірно! Варто лише додати ознаки ділимості чисел:
— якщо число парне воно ділиться на 2.
— якщо число останніх двох цифр ділиться на 4, те й саме число ділиться на 4.
- Якщо сума цифр з яких складається число ділиться на 3, то і саме число ділиться на 3. Наприклад, 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Дванадцять ділиться на 3, отже і 123 031 ділиться на 3.
— якщо наприкінці числа стоїть 5 чи 0, число ділиться на 5.
- Якщо сума цифр з яких складається число ділиться на 9, то й саме число ділиться на 9. Наприклад, 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Вісімнадцять ділиться на 9, отже 623032 ділиться на 9.
Другий підхід.
Якщо коротко суть, то насправді все дійство зводиться до розкладання чисельника та знаменника на множники і далі до скорочення рівних множників у чисельнику та знаменнику (цей підхід – це наслідок з першого підходу):
Візуально, щоб не заплутатися і помилитися рівні множники просто перекреслюють. Питання - а як розкласти число на множники? Потрібно визначити перебором усі дільники. Це тема окрема, вона нескладна, перегляньте інформацію в підручнику чи інтернеті. Жодних великих проблем із розкладанням на множники чисел, які присутні у дробах шкільного курсу, ви не зустрінете.
Формально принцип скорочення можна записати так:
Третій підхід.
Тут найцікавіше для просунутих та тих, хто хоче ним стати. Скоротимо дріб 143/273. Спробуйте самі! Ну і як швидко вийшло? А тепер дивіться!
Перевертаємо її (числитель та знаменник міняємо місцями). Ділимо куточком отриманий дріб переводимо в змішане число, тобто виділяємо цілу частину:
Вже простіше. Ми бачимо, що чисельник і знаменник можна скоротити на 13:
А тепер не забуваємо знову перевернути дроб назад, давайте запишемо весь ланцюжок:
Перевірено – часу йде менше, ніж перебір і перевірку дільників. Повернемося до наших двох прикладів:
Перший. Ділимо куточком (не на калькуляторі), отримаємо:
Цей дріб простіше звичайно, але зі скороченням знову проблема. Тепер окремо розбираємо дріб 1273/1463, перевертаємо його:
Тут уже простіше. Можемо розглянути такий дільник як 19. Інші не підходять, це видно: 190: 19 = 10, 1273: 19 = 67. Ура! Запишемо:
Наступний приклад. Скоротимо 88179/2717.
Ділимо, отримаємо:
Окремо розбираємо дріб 1235/2717, перевертаємо її:
Можемо розглянути такий дільник як 13 (до 13 не підходять):
Чисельник 247: 13 = 19 Знаменник 1235: 13 = 95
*У процесі побачили ще один дільник рівний 19. Виходить, що:
Тепер записуємо вихідне число:
І не важливо, що буде більше в дробі – чисельник чи знаменник, якщо знаменник, то перевертаємо та діємо як описано. Таким чином ми можемо скоротити будь-який дріб, третій підхід можна назвати універсальним.
Звичайно, два приклади, розглянуті вище, це непрості приклади. Спробуємо цю технологію на вже розглянутих нами «нескладних» дробах:
Дві четверті.
Сімдесят дві шістдесяті. Чисельник більше знаменника, перевертати не потрібно:
Зрозуміло, третій підхід застосували до таких простим прикладампросто як альтернативу. Спосіб, як уже сказано, універсальний, але не для всіх дробів зручний та коректний, особливо це стосується простих.
Розмаїття дробів велике. Важливо, щоб ви засвоїли принципи. Суворого правила роботи з дробами просто немає. Подивилися, прикинули як зручніше діяти і вперед. З практикою прийде навичка і клацатимете їх як насіння.
Висновок:
Якщо бачите спільний дільник для чисельника та знаменника, то використовуйте їх для скорочення.
Якщо вмієте швидко розкладати на множники число, розкладіть чисельник і знаменник, далі скорочуйте.
Якщо не можете визначити спільний дільник, то скористайтеся третім підходом.
*Для скорочення дробів важливо засвоїти принципи скорочення, розуміти основну властивість дробу, знати підходи до вирішення, бути дуже уважним при обчисленнях.
І запам'ятайте! Дріб заведено скорочувати до упору, тобто скорочувати її поки що є спільний дільник.
З повагою, Олександр Крутицьких.
Розберемося в тому, що таке скорочення дробів, навіщо і як скорочувати дроби, наведемо правило скорочення дробів та приклади його використання.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Що таке "скорочення дробів"
Скоротити дрібСкоротити дріб - означає розділити її чисельник і знаменник на спільний дільник, позитивний та відмінний від одиниці.
В результаті такої дії вийде дріб з новим чисельником і знаменником, що дорівнює вихідному дробу.
Наприклад, візьмемо звичайний дріб 6 24 і скоротимо її. Розділимо чисельник та знаменник на 2 , внаслідок чого отримаємо 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 . У цьому прикладі ми скоротили вихідний дріб на 2 .
Приведення дробів до нескоротного виду
У попередньому прикладі ми скоротили дріб 6 24 на 2 , внаслідок чого отримали дріб 3 12 . Неважко помітити, що цей дріб можна скоротити ще. Як правило, метою скорочення дробів є отримання в результаті нескоротного дробу. Як привести дріб до нескоротний вид?
Це можна зробити, якщо скоротити чисельник і знаменник на їхній найбільший спільний дільник (НДД). Тоді, за якістю найбільшого спільного дільника, у чисельнику та у знаменнику будуть взаємно прості числа, і дріб виявиться нескоротним.
a b = a ÷ Н О Д (a , b) b ÷ Н О Д (a , b)
Приведення дробу до нескоротного виду
Щоб привести дріб до нескоротного виду, потрібно його чисельник і знаменник розділити на їх НОД.
Повернемося до дробу 6 24 з першого прикладу і наведемо його до нескоротного вигляду. Найбільший загальний дільник чисел 6 та 24 дорівнює 6 . Скоротимо дріб:
6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4
Скорочення дробів зручно застосовувати, щоб не працювати з великими цифрами. Взагалі, в математиці існує негласне правило: якщо можна спростити будь-який вираз, потрібно це робити. Під скороченням дробу найчастіше мають на увазі її приведення до нескоротного виду, а не просто скорочення на загальний дільник чисельника та знаменника.
Правило скорочення дробів
Щоб скорочувати дроби, досить запам'ятати правило, яке складається з двох кроків.
Правило скорочення дробів
Щоб скоротити дріб потрібно:
- Знайти НОД чисельника та знаменника.
- Розділити чисельник та знаменник на їх НОД.
Розглянемо практичні приклади.
Приклад 1. Скоротимо дріб.
Дано дріб 182 195 . Скоротимо її.
Знайдемо НОД чисельника та знаменника. Для цього в даному випадкуНайзручніше скористатися алгоритмом Евкліда.
195 = 182 · 1 + 13 182 = 13 · 14 Н О Д (182, 195) = 13
Розділимо чисельник та знаменник на 13 . Отримаємо:
182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15
Готово. Ми отримали нескоротний дріб, який дорівнює вихідному дробу.
Як ще можна скорочувати дроби? У деяких випадках зручно розкласти чисельник і знаменник на прості множники, а потім із верхньої та нижньої частиндроби прибрати всі загальні множники.
Приклад 2. Скоротимо дріб
Даний дріб 360 2940 . Скоротимо її.
Для цього представимо вихідний дріб у вигляді:
360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7
Позбавимося загальних множників у чисельнику та знаменнику, в результаті чого отримаємо:
360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 = 2 · 3 7 · 7 = 6 49
Зрештою, розглянемо ще один спосіб скорочення дробів. Це так зване послідовне скорочення. З використанням цього способу скорочення проводиться у кілька етапів, на кожному з яких дріб скорочується на якийсь очевидний спільний дільник.
Приклад 3. Скоротимо дріб
Скоротимо дріб 2000 4400 .
Відразу видно, що чисельник та знаменник мають загальний множник 100 . Скорочуємо дріб на 100 і отримуємо:
2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44
20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22
Результат, що вийшов, знову скорочуємо на 2 і отримуємо вже нескоротний дріб:
10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Працюючи з дробами, багато учнів допускають одні й самі помилки. А все тому, що вони забувають про елементарні правила арифметики. Сьогодні ми повторимо ці правила на конкретних завданняхякі я даю на своїх заняттях.
Ось завдання, яке я пропоную кожному, хто готується до ЄДІ з математики:
Завдання. Морська свиня їсть 150 г корму на день. Але вона виросла і стала їсти на 20% більше. Скільки грамів корму тепер їсть свиня?
Не правильне рішення. Це завдання на відсотки, що зводиться до рівняння:
Багато (дуже багато) скорочують число 100 у чисельнику і знаменнику дробу:
Ось такої помилки припустилася моя учениця прямо в день написання цієї статті. Червоним відзначені числа, скорочені.
Зайве говорити, що відповідь вийшла неправильною. Судіть самі: свиня їла 150 грам, а стала їсти 3150 грам. Збільшення не так на 20%, а 21 раз, тобто. на 2000%.
Щоб не допускати таких непорозумінь, пам'ятайте основне правило:
Скорочувати можна лише множники. Складники скорочувати не можна!
Таким чином, правильне рішення попереднього завданнявиглядає так:
Червоним відзначені цифри, які скорочуються у чисельнику та знаменнику. Як бачите, у чисельнику стоїть твір, знаменнику звичайне число. Тому скорочення цілком законне.
Робота з пропорціями
Ще одне проблемне місце - пропорції. Особливо коли змінна стоїть з обох боків. Наприклад:
Завдання. Розв'яжіть рівняння:
Неправильне рішення - у деяких буквально руки сверблять скоротити все на m :
Змінні змінні показані червоним. Виходить вираз 1/4 = 1/5 - повне марення, ці числа ніколи не рівні.
А тепер – правильне рішення. Фактично, це звичайне лінійне рівняння . Вирішується або перенесенням всіх елементів в один бік, або за основною якістю пропорції:
Чимало читачів заперечать: «Де помилка в першому рішенні?» Що ж, давайте розбиратись. Згадаймо правило роботи з рівняннями:
Будь-яке рівняння можна ділити та множити на будь-яке число, відмінне від нуля.
Просікли фішку? Можна ділити тільки числа, відмінні від нуля. Зокрема, можна ділити на змінну m тільки якщо m ! = 0. А що робити, якщо все-таки m = 0? Підставимо та перевіримо:
Здобули вірне числова рівність, тобто. m = 0 – корінь рівняння. Для інших m != 0 отримуємо вираз виду 1/4 = 1/5, що, звісно, не так. Таким чином, немає коренів, відмінних від нуля.
Висновки: збираємо всі разом
Отже, для вирішення дробово-раціональних рівняньпам'ятайте три правила:
- Скорочувати можна лише множники. Доданки – не можна. Тому вчіться розкладати чисельник і знаменник на множники;
- Основна властивість пропорції: добуток крайніх елементів дорівнює добутку середніх;
- Рівняння можна множити і ділити тільки числа k , відмінні від нуля. Випадок k = 0 треба перевіряти окремо.
Пам'ятайте ці правила і не допускайте помилок.