У цій статті ми докладно розберемо, як проводиться скорочення дробів. Спочатку обговоримо, що називають скороченням дробу. Після цього поговоримо про приведення скоротливого дробу до нескоротного виду. Далі отримаємо правило скорочення дробів і нарешті розглянемо приклади застосування цього правила.
Навігація на сторінці.
Що означає скоротити дріб?
Ми знаємо, що прості дроби поділяються на скорочені і нескоротні дроби . За назвами можна здогадатися, що скоротити дроби можна скоротити, а нескоротні - не можна.
Що означає скоротити дріб? Скоротити дріб- Це означає розділити її чисельник і знаменник на їх позитивний і відмінний від одиниці. Зрозуміло, що внаслідок скорочення дробу виходить новий дрібз меншим чисельником і знаменником, причому, в силу основної властивості дробу, отриманий дріб дорівнює вихідному.
Наприклад, проведемо скорочення звичайного дробу 8/24 , розділивши його чисельник та знаменник на 2 . Іншими словами, скоротимо дріб 8/24 на 2 . Оскільки 8:2=4 і 24:2=12 , то результаті такого скорочення виходить дріб 4/12 , яка дорівнює вихідної дробу 8/24 (дивіться рівні і нерівні дроби). У результаті маємо.
Приведення звичайних дробів до нескоротного виду
Зазвичай кінцевою метоюскорочення дробу є отримання нескоротного дробу, який дорівнює вихідному скорочуваному дробу. Ця мета може бути досягнута, якщо провести скорочення вихідного скоротливого дробу на його чисельник і знаменник. В результаті такого скорочення завжди виходить нескоротний дріб. Дійсно, дріб 
є нескоротною, оскільки відомо, що 
і 
- . Тут же скажемо, що найбільший спільний дільник чисельника та знаменника дробу є найбільшим числом, на яке можна скоротити цей дріб.
Отже, приведення звичайного дробу до нескоротного видуполягає в розподілі чисельника та знаменника вихідного скоротливого дробу на їх НОД.
Розберемо приклад, навіщо повернемося до дробу 8/24 і скоротимо його найбільший загальний дільник чисел 8 і 24 , який дорівнює 8 . Так як 8:8 = 1 і 24:8 = 3, то ми приходимо до нескоротного дробу 1/3. Отже, .
Зауважимо, що під фразою «скоротіть дріб» часто мають на увазі приведення вихідного дробу саме до нескоротного виду. Іншими словами, скороченням дробу дуже часто називають розподіл чисельника і знаменника на їхній найбільший спільний дільник (а не на будь-який їхній спільний дільник).
Як скоротити дріб? Правило та приклади скорочення дробів
Залишилося лише розібрати правило скорочення дробів, яке пояснює, як скоротити цей дріб.
Правило скорочення дробівскладається з двох кроків:
- по-перше, знаходиться НОД чисельника та знаменника дробу;
- по-друге, проводиться розподіл чисельника та знаменника дробу на їх НОД, що дає нескоротний дріб, рівну вихідній.
Розберемо приклад скорочення дробуза озвученим правилом.
приклад.
Скоротіть дріб 182/195.
Рішення.
Виконаємо обидва кроки, вказані правилом скорочення дробу.
Спочатку знаходимо НОД(182, 195). Найбільш зручно скористатися алгоритмом Евкліда (дивіться): 195 = 182 · 1 +13, 182 = 13 · 14, тобто, НОД (182, 195) = 13 .
Тепер ділимо чисельник і знаменник дробу 182/195 на 13 , при цьому отримуємо нескоротний дріб 14/15, який дорівнює вихідному дробу. На цьому скорочення дробу закінчено.
Коротко рішення можна записати так: .
Відповідь:
На цьому із скороченням дробів можна й закінчити. Але для повноти картини розглянемо ще два способи скорочення дробів, які зазвичай застосовують у легких випадках.
Іноді чисельник і знаменник дробу, що скорочується, нескладно. Скоротити дріб у цьому випадку дуже просто: потрібно лише прибрати всі загальні множники з чисельника та знаменника.
Слід зазначити, що це метод безпосередньо випливає з правила скорочення дробів, оскільки добуток всіх загальних простих множників чисельника і знаменника і їх найбільшому загальному дільнику.
Розберемо рішення прикладу.
приклад.
Скоротіть дріб 360/2 940 .
Рішення.
Розкладемо чисельник і знаменник на прості множники: 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 і 2 940 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 . Таким чином, 
.
Тепер позбавляємося загальних множників у чисельнику та знаменнику, для зручності, їх просто закреслюємо: 
.
Нарешті, перемножуємо множники, що залишилися: , і скорочення дробу закінчено.
Ось короткий запис рішення: 
.
Відповідь:
Розглянемо ще один спосіб скорочення дробу, який полягає у послідовному скороченні. Тут на кожному кроці проводиться скорочення дробу на деякий спільний дільник чисельника та знаменника, який або очевидний, або легко визначається за допомогою
Засноване на їхній основній властивості: якщо чисельник і знаменник дробу розділити на той самий ненульовий багаточлен, то вийде рівний їй дріб.
Скорочувати можна лише множники!
Члени багаточленів скорочувати не можна!
Щоб скоротити алгебраїчний дріб, багаточлени, що стоять у чисельнику та знаменнику, потрібно попередньо розкласти на множники.
Розглянемо приклади скорочення дробів.
У чисельнику та знаменнику дробу стоять одночлени. Вони є твір(чисел, змінних та їх ступенів), множникискорочувати можемо.
Числа скорочуємо на їхній найбільший спільний дільник, тобто на найбільша кількість, на яку ділиться кожне з цих чисел. Для 24 та 36 це – 12. Після скорочення від 24 залишається 2, від 36 – 3.
Ступені скорочуємо на ступінь із найменшим показником. Скоротити дріб — значить, розділити чисельник і знаменник на той самий дільник, а показники віднімаємо.
a² та a⁷ скорочуємо на a². При цьому в чисельнику від a² залишається одиниця (1 пишемо тільки в тому випадку, коли окрім неї після скорочення інших множників не залишилося. Від 24 залишилося 2, тому 1, що залишилася від a², не пишемо). Від a⁷ після скорочення залишається a⁵.
b та b скорочуємо на b, отримані в результаті одиниці не пишемо.
c³º та с⁵ скорочуємо на с⁵. Від c³º залишається c²⁵, від с⁵ — одиниця (її не пишемо). Таким чином,
Чисельник і знаменник даного дробу алгебри — багаточлени. Скорочувати члени багаточленів не можна! (Не можна скоротити, наприклад, 8x² і 2x!). Щоб скоротити цей дріб, треба . У чисельнику є загальний множник 4x. Виносимо його за дужки:
І в чисельнику, і в знаменнику є однаковий множник (2x-3). Скорочуємо дріб на цей множник. У чисельнику отримали 4x, у знаменнику - 1. По 1 властивості алгебраїчних дробів, дріб дорівнює 4x.
Скорочувати можна тільки множники (скоротити цей дріб на 25x² не можна!). Тому багаточлени, які стоять у чисельнику та знаменнику дробу, потрібно розкласти на множники.
У чисельнику повний квадратсуми, у знаменнику - різниця квадратів. Після розкладання за формулами скороченого множення отримуємо:
Скорочуємо дріб на (5x+1) (для цього в чисельнику закреслимо двійку у показник ступеня, від (5x+1)² при цьому залишиться (5x+1)):
У чисельнику є загальний множник 2, винесемо його за дужки. У знаменнику - формула різниці кубів:
В результаті розкладання в чисельнику та знаменнику отримали однаковий множник (9+3a+a²). Скорочуємо дріб на нього:
Багаточлен у чисельнику складається з 4 доданків. перший доданок з другим, третє - з четвертим і виносимо з перших дужок загальний множник x². Знаменник розкладаємо за формулою суми кубів:
У чисельнику винесемо за дужки загальний множник (x+2):
Скорочуємо дріб на (x+2):
Дроби та їх скорочення – ще одна тема, яка починається у 5 класі. Тут формується база цієї дії, а потім ці вміння тягнуться ниточкою в вищу математику. Якщо учень не засвоїв, то у нього можуть виникнути проблеми в алгебрі. Тому краще усвідомити кілька правил раз і назавжди. А ще запам'ятати одну заборону і ніколи її не порушувати.
Дроб та її скорочення
Що це таке знає кожен учень. Будь-які дві цифри розташовані між горизонтальною рисоюодночасно сприймаються, як дріб. Однак не всі розуміють, що нею може стати будь-яка кількість. Якщо воно ціле, його завжди можна розділити на одиницю, тоді вийде неправильний дріб. Але про це згодом.
Початок завжди простий. Спочатку потрібно з'ясувати, як скоротити правильний дріб. Тобто таку, яка має чисельник менше, ніж знаменник. Для цього потрібно згадати основну властивість дробу. Воно стверджує, що з множенні (як і, розподілі) одночасно її чисельника і знаменника на однакове числовиходить, рівноцінний вихідний дріб.
Дії поділу, які виконуються у цій властивості та призводять до скорочення. Тобто максимальному її спрощенню. Дроб можна скорочувати доти, поки над рисою і під нею є спільні множники. Коли їх уже не буде, то скорочення неможливе. І кажуть, що цей дріб нескоротний.
Два способи
1.Покрокове скорочення.У ньому використовується метод прикидки, коли обидва числа поділяються на мінімальний загальний множник, який помітив учень. Якщо після першого скорочення видно, що це не кінець, то поділ триває. Поки що дріб не стане нескоротним.
2. Знаходження найбільшого спільного дільникау чисельника та знаменника.Це самий раціональний спосібтого, як скорочувати дроби. Він має на увазі розкладання чисельника і знаменника на прості множники. Серед них потім потрібно вибрати однакові. Їхній твір дасть найбільший загальний множник, на який скорочується дріб.
Обидва ці способи рівноцінні. Учню пропонується освоїти їх та користуватися тим, який більше сподобався.
Що робити, якщо є букви та дії додавання та віднімання?
З першою частиною питання все більш-менш зрозуміло. Літери можна скорочувати так само, як і числа. Головне, щоб вони виступали у ролі множників. А ось з другого у багатьох виникають проблеми.
Важливо запам'ятати! Скорочувати можна лише числа, які є множниками. Якщо вони доданки — не можна.
Для того щоб зрозуміти, як скорочувати дроби, що мають вигляд алгебраїчного виразу, Треба засвоїти правило. Спочатку уявити чисельник і знаменник у вигляді твору. Потім можна скорочувати, якщо з'явилися спільні множники. Для представлення у вигляді множників стануть у нагоді такі прийоми:
- угруповання;
- винесення за дужку;
- застосування тотожностей скороченого множення.
Причому останній спосібдає можливість відразу отримати доданки у вигляді множників. Тому його необхідно використовувати завжди, якщо помітна відома закономірність.
Але це ще не страшно, потім з'являються завдання зі ступенями та корінням. Ось тоді потрібно набратися сміливості та засвоїти пару нових правил.
Вираз зі ступенем
Дріб. У чисельнику та знаменнику твір. Є літери та числа. А вони ще й зведені в ступінь, який теж складається з доданків або множників. Є що злякатися.
Для того щоб розібратися в тому, як скорочувати дроби зі ступенями, потрібно вивчити два моменти:
- якщо у показнику ступеня коштує сума, то її можна розкласти на множники, ступенями яких будуть вихідні доданки;
- якщо різницю, то на ділене і дільник, у першого ступеня буде зменшуване, у другого — віднімається.
Після виконання цих дій стає видно загальні множники. У таких прикладах немає необхідності обчислювати всі ступені. Достатньо просто скоротити ступеня з однаковими показниками та підставами.
Для того, щоб остаточно засвоїти те, як скорочувати дроби зі ступенями, потрібно багато практикуватися. Після кількох однотипних прикладів дії виконуватимуться вже автоматично.
А якщо у виразі стоїть корінь?
Його також можна скоротити. Тільки знову ж таки, дотримуючись правил. Причому вірні всі, описані вище. Загалом, якщо стоїть питання про те, як скоротити дріб із корінням, то треба ділити.
на ірраціональні виразитеж можна поділити. Тобто якщо в чисельнику та знаменнику стоять однакові множники, укладені під знак кореня, їх можна сміливо скорочувати. Це призведе до спрощення виразу та виконання завдання.
Якщо після скорочення під межею дробу залишилася ірраціональність, то її потрібно позбутися. Інакше кажучи, помножити її у чисельник і знаменник. Якщо після цієї операції з'явилися спільні множники, їх знову потрібно буде скоротити.
Ось, мабуть, і все про те, як скорочувати дроби. Правил небагато, а заборона одна. Ніколи не скорочувати доданки!
Без знання того, як скоротити дріб, та наявність стійкої навички у вирішенні подібних прикладівдуже непросто вивчати у школі алгебру. Чим далі, тим більше базові знанняпро скорочення звичайних дробів накладається нової інформації. Спочатку з'являються ступеня, потім множники, які пізніше стають багаточленами.
Як тут не заплутатися? Грунтовно закріплювати вміння в попередніх темах і поступово готуватися до знань про те, як скоротити дріб, що ускладнюється з року в рік.
Базові знання
Без них не вдасться впоратися із завданнями будь-якого рівня. Щоб зрозуміти, потрібно усвідомити два простих моменту. Перший: скорочувати можна лише множники. Цей нюанс виявляється дуже важливим при появі багаточленів у чисельнику чи знаменнику. Тоді потрібно чітко розрізняти, де знаходиться множник, а де стоїть доданок.
Другий момент говорить про те, що будь-яке число можна подати у вигляді множників. Причому результатом скорочення є такий дріб, чисельник та знаменник яких вже неможливо скоротити.
Правила скорочення звичайних дробів
Спочатку варто перевірити, чи ділиться чисельник на знаменник чи навпаки. Тоді саме на цю кількість потрібно провести скорочення. Це найпростіший варіант.
Другим є аналіз зовнішнього виглядучисел. Якщо обидва закінчуються на один або кілька нулів, їх можна скоротити на 10, 100 або тисячу. Тут можна помітити, чи є числа парними. Якщо так, то можна сміливо скорочувати на два.
Третім правилом того, як скоротити дріб, стає розкладання на прості множники чисельника та знаменника. У цей час потрібно активно використовувати всі знання про ознаки поділення чисел. Після такого розкладання залишається тільки знайти всі повторювані, перемножити їх і зробити скорочення на число, що вийшло.
Як бути, якщо в дробі стоїть вираз алгебри?
Тут виникають перші труднощі. Тому що саме тут з'являються доданки, які можуть бути ідентичним множникам. Їх дуже хочеться скоротити, а не можна. Перш ніж скоротити алгебраїчну дріб, її потрібно перетворити так, щоб вона мала множники.
Для цього потрібно виконати кілька дій. Можливо, потрібно пройти їх усі, а може, вже перше дасть відповідний варіант.
Перевірити, чи не відрізняються чисельник і знаменник чи якесь вираз у них на знак. У цьому випадку потрібно просто винести за дужки мінус одиницю. Так виходять однакові множники, які можна скоротити.
Подивитися, чи можна винести із багаточлена за дужки загальний множник. Можливо, так вийде дужка, яку можна скоротити, або це буде винесений одночлен.
Спробувати провести угруповання одночленів для того, щоб потім у них винести спільний множник. Після цього може виявитися, що з'являться множники, які можна скоротити або знову повторити винесення за дужки загальних елементів.
Спробувати розглянути у записі формули скороченого множення. З їх допомогою легко вдасться перетворити багаточлен на множники.
Послідовність дій з дробами зі ступенями
Для того, щоб без проблем розібратися в питанні про те, як скоротити дріб зі ступенями, необхідно твердо запам'ятати основні дії з ними. Перше пов'язані з множенням ступенів. У разі, якщо підстави однакові, показники необхідно скласти.
Друге – розподіл. Знову ж таки, у тих, які мають однакові підстави, показники потрібно відняти. Причому віднімати потрібно з того числа, яке стоїть у поділеному, а не навпаки.
Третє - зведення до ступеня ступеня. У цій ситуації показники множаться.
Для успішного скорочення потрібно також вміння призводити ступеня до однаковим підставам. Тобто бачити, що чотири – це два у квадраті. Або 27 - куб трьох. Тому що скоротити 9 у квадраті та 3 у кубі складно. Але якщо перетворити перший вираз як (3 2) 2 то скорочення пройде успішно.
Якщо потрібно розділити 497 на 4, то при розподілі ми побачимо, що 497 не ділиться на 4 націло, тобто. залишається залишок від поділу. У таких випадках кажуть, що виконано розподіл із залишком, і рішення записують у такому вигляді:
497: 4 = 124 (1 залишок).
Компоненти розподілу у лівій частині рівності називають так само, як при розподілі без залишку: 497 - ділене, 4 - дільник. Результат розподілу при розподілі із залишком називають неповним приватним. У нашому випадку це число 124. І, нарешті, останній компонент, якого немає в звичайному розподілі, - залишок. У тих випадках, коли залишку немає, кажуть, що одне число поділилося на інше без залишку, або націло. Вважають, що за такого поділу залишок дорівнює нулю. У нашому випадку залишок дорівнює 1.
Залишок завжди менше дільника.
Перевірку під час поділу можна зробити множенням. Якщо, наприклад, є рівність 64: 32 = 2, перевірку можна зробити так: 64 = 32 * 2.
Часто у випадках, коли виконується поділ із залишком, зручно використовувати рівність
а = b * n + r
де а – ділене, b – дільник, n – неповне приватне, r – залишок.
Частку від поділу натуральних чисел можна записати у вигляді дробу.
Чисельник дробу - це подільне, а знаменник - дільник.
Оскільки чисельник дробу - це подільне, а знаменник - дільник, вважають, що риса дробу означає дію поділу. Іноді зручно записувати поділ у вигляді дробу, не використовуючи знак «:».
Приватне від розподілу натуральних чисел m і n можна записати у вигляді дробу \(\frac(m)(n) \), де чисельник m - ділене, а знаменник п - дільник:
\(m:n = \frac(m)(n) \)
Вірні такі правила:
Щоб отримати дріб \(\frac(m)(n) \), треба одиницю поділити на n рівних частин(часткою) і взяти m таких частин.
Щоб отримати дріб \(\frac(m)(n) \), треба число m розділити на число n.
Щоб знайти частину від цілого, треба число, що відповідає цілому, розділити на знаменник і результат помножити на чисельник дробу, який виражає цю частину.
Щоб знайти ціле по його частині, треба число, відповідне до цієї частини, розділити на чисельник і результат помножити на знаменник дробу, який виражає цю частину.
Якщо і чисельник, і знаменник дробу помножити на те саме число (крім нуля), величина дробу не зміниться:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Якщо і чисельник, і знаменник дробу поділити на те саме число (крім нуля), величина дробу не зміниться:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Цю властивість називають основною властивістю дробу.
Два останніх перетворенняназивають скороченням дробу.
Якщо дроби потрібно подати у вигляді дробів з тим самим знаменником, то таку дію називають приведенням дробів до спільному знаменнику .
Правильні та неправильні дроби. Змішані числа
Ви вже знаєте, що дріб можна отримати, якщо поділити ціле на рівні частини та взяти кілька таких частин. Наприклад, дріб \(\frac(3)(4) \) означає три четверті частки одиниці. Багато завдань попереднього параграфа звичайні дроби використовувалися для позначення частини цілого. Здоровий глуздпідказує, що частина завжди повинна бути меншою за ціле, але як тоді бути з такими дробами, як, наприклад, \(\frac(5)(5) \) або \(\frac(8)(5) \)? Зрозуміло, що це не частина одиниці. Напевно, тому такі дроби, у яких чисельник більший за знаменник або дорівнює йому, називають неправильними дробами. Інші дроби, тобто дроби, у яких чисельник менше знаменника, називають правильними дробами.
Як ви знаєте, будь-яку звичайний дріб, і правильну, і неправильну, можна як результат поділу чисельника на знаменник. Тому в математиці, на відміну від звичайної мови, термін «неправильний дріб» означає не те, що ми щось зробили неправильно, а тільки те, що у цього дробу чисельник більший за знаменник або дорівнює йому.
Якщо число складається з цілої частини та дробу, то такі дроби називаються змішаними.
Наприклад:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 - ціла частина, а \(\frac(2)(3) \) - дробова частина.
Якщо чисельник дробу \(\frac(a)(b) \) ділиться на натуральне число n, то щоб розділити цей дріб на n, треба його чисельник розділити на це число:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Якщо чисельник дробу \(\frac(a)(b) \) не поділяється на натуральне число n, то щоб розділити цей дріб на n, треба його знаменник помножити на це число:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Зауважимо, що друге правило справедливе у тому разі, коли чисельник ділиться на n. Тому ми можемо його застосовувати тоді, коли важко з першого погляду визначити, чи ділиться чисельник дробу на n чи ні.
Події з дробами. Додавання дробів.
З дрібними числами, як і з натуральними числами, можна виконувати арифметичні дії. Розглянемо спочатку додавання дробів. Легко скласти дроби з однаковими знаменниками. Знайдемо, наприклад, суму \(\frac(2)(7) \) і \(\frac(3)(7) \). Легко зрозуміти, що \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх чисельники, а знаменник залишити тим самим.
Використовуючи букви, правило додавання дробів з однаковими знаменниками можна записати так:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Якщо потрібно скласти дроби з різними знаменниками, їх попередньо слід призвести до спільного знаменника. Наприклад:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
Для дробів, як і для натуральних чисел, справедливі переміщувальне та комбінаційні властивостідодавання.
Додавання змішаних дробів
Такі записи, як \(2\frac(2)(3) \), називають змішаними дробами. При цьому число 2 називають цілою частиною змішаного дробу, а число \(\frac(2)(3) \) - її дробовою частиною. Запис \(2\frac(2)(3) \) читають так: «дві та дві третини».
При розподілі числа 8 на число 3 можна отримати дві відповіді: \(\frac(8)(3) \) і \(2\frac(2)(3) \). Вони виражають те саме дробове число, тобто \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)
Таким чином, неправильний дріб \(\frac(8)(3) \) представлений у вигляді змішаного дробу \(2\frac(2)(3) \). У таких випадках кажуть, що з неправильного дробу виділили цілу частину.
Віднімання дробів (дрібних чисел)
Віднімання дробових чисел, Як і натуральних, визначається на основі дії додавання: відняти з одного числа інше - це означає знайти таке число, яке при складанні з другим дає перше. Наприклад:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) оскільки \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) ) = \frac(8)(9) \)
Правило віднімання дробів з однаковими знаменниками схоже на правило додавання таких дробів:
щоб знайти різницю дробів з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого, а знаменник залишити колишнім.
За допомогою літер це правило записується так:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Розмноження дробів
Щоб помножити дріб на дріб, потрібно перемножити їх чисельники та знаменники та перший твір записати чисельником, а другий – знаменником.
За допомогою букв правило множення дробів можна записати так:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Користуючись сформульованим правилом, можна множити дріб на натуральне число, на змішаний дріб, а також перемножувати змішані дроби. Для цього потрібно натуральне число записати у вигляді дробу зі знаменником 1, змішаний дріб - у вигляді неправильного дробу.
Результат множення треба спрощувати (якщо це можливо), скорочуючи дріб та виділяючи цілу частину неправильного дробу.
Для дробів, як і для натуральних чисел, справедливі переміщувальна та поєднана властивості множення, а також розподільна властивість множення щодо додавання.
Розподіл дробів
Візьмемо дріб \(\frac(2)(3) \) і «перевернемо» її, помінявши місцями чисельник і знаменник. Отримаємо дріб \(\frac(3)(2) \). Цей дріб називають зворотнійдробу \(\frac(2)(3) \).
Якщо ми тепер «перевернемо» дріб \(\frac(3)(2) \), то отримаємо вихідний дріб \(\frac(2)(3) \). Тому такі дроби, як \(\frac(2)(3) \) і \(\frac(3)(2) \) називають взаємно зворотними.
Взаємно зворотними є, наприклад, дроби \(\frac(6)(5) \) і \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) і \(\frac (18) (7) \).
За допомогою літер взаємно зворотні дробиможна записати так: \(\frac(a)(b) \) і \(\frac(b)(a) \)
Зрозуміло, що добуток взаємно зворотних дробів дорівнює 1. Наприклад: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Використовуючи взаємно зворотні дроби, можна поділ дробів звести до множення.
Правило поділу дробу на дріб:
щоб розділити один дріб на інший, потрібно ділене помножити на дріб, зворотний дільник.
Використовуючи літери, правило розподілу дробів можна записати так:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Якщо ділене або дільник є натуральним числомабо змішаним дробом, то, для того щоб скористатися правилом поділу дробів, його треба попередньо подати у вигляді неправильного дробу.