Калькулятор допомагає швидко звести число в онлайн. Підставою ступеня може бути будь-які числа (як цілі, і речові). Показник ступеня також може бути цілим або речовим, а також як позитивним, так і негативним. Слід пам'ятати, що для негативних чисел зведення в нецілу ступінь не визначено і тому калькулятор повідомить про помилку у випадку, якщо ви все ж таки спробуєте це виконати.
Калькулятор ступенів
Піднести до степеня
Зведень до ступеня: 20880
Що таке натуральний ступінь числа?
Число p називають n -ою ступенем числа a якщо p дорівнює числу a , помноженому саме на себе n разів: p = a n = a ...
n - називається показником ступеня, а число a - підставою ступеня.
Як звести число до натурального ступеня?
Щоб зрозуміти, як зводити різні числав натуральному ступені, розглянемо кілька прикладів:
Приклад 1. Звести число три на четвертий ступінь. Тобто необхідно обчислити 3 4
Рішення: як було сказано вище, 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 .
Відповідь: 3 4 = 81 .
Приклад 2. Звести число п'ять на п'яту ступінь. Тобто необхідно обчислити 5 5
Рішення: аналогічно, 5 5 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 3125 .
Відповідь: 5 5 = 3125 .
Таким чином, щоб звести число в натуральний ступінь, Досить лише помножити його саме на себе n разів.
Що таке негативний рівень числа?
Негативний ступінь -n числа a - це одиниця, поділена на a ступенем n: a -n = .При цьому негативний ступінь існує тільки для відмінних від нуля чисел, оскільки інакшевідбувався б поділ на нуль.
Як звести число в цілий негативний ступінь?
Щоб звести відмінне від нуля число в негативний ступінь, потрібно обчислити значення цього числа в тій же позитивній мірі та розділити одиницю на отриманий результат.
Приклад 1. Звести число два мінус четвертий ступінь. Тобто необхідно обчислити 2-4
Рішення: як було сказано вище, 2 -4 = = = 0.0625.Відповідь: 2 -4 = 0.0625 .
У цій статті ми розберемося, що таке степінь числа. Тут ми дамо визначення ступеня числа, у своїй докладно розглянемо все можливі показники ступеня, починаючи з натурального показника, закінчуючи ірраціональним. У матеріалі Ви знайдете масу прикладів ступенів, що покривають всі тонкощі, що виникають.
Навігація на сторінці.
Ступінь з натуральним показником, квадрат числа, куб числа
Для початку дамо. Забігаючи наперед, скажемо, що визначення ступеня числа a з натуральним показником n дається для a , яке називатимемо підставою ступеня, і n , яке називатимемо показником ступеня. Також відзначимо, що ступінь з натуральним показником визначається через добуток, так що для розуміння нижченаведеного матеріалу потрібно мати уявлення про множення чисел.
Визначення.
Ступінь числа a з натуральним показником n- це вираз виду a n, значення якого дорівнює добутку n множників, кожен з яких дорівнює a, тобто.
Зокрема, ступенем числа a з показником 1 називається саме число a тобто, a 1 =a .
Відразу варто сказати про правила читання ступенів. Універсальний спосібчитання запису a n такий: «a ступенем n ». У деяких випадках також допустимі такі варіанти: «a в n-му ступені» і «n-а ступінь числа a». Для прикладу візьмемо ступінь 8 12 , це «вісім за ступенем дванадцять», або «вісім у дванадцятому ступені», або «дванадцятий ступінь восьми».
Другий ступінь числа, а також третій ступінь числа мають свої назви. Другий ступінь числа називають квадратом числанаприклад, 7 2 читається як «сім у квадраті» або «квадрат числа сім». Третій ступінь числа називається кубом числа, Наприклад, 5 3 можна прочитати як «п'ять у кубі» або сказати «куб числа 5».
Настав час привести приклади ступенів із натуральними показниками. Почнемо зі ступеня 5 7 тут 5 - основа ступеня, а 7 - показник ступеня. Наведемо ще приклад: 4,32 є основою, а натуральне число 9 – показник ступеня (4,32) 9 .
Зверніть увагу, що в останньому прикладіоснова ступеня 4,32 записано в дужках: щоб уникнути різночитань ми будемо брати в дужки всі основи ступеня, які відмінні від натуральних чисел. Як приклад наведемо такі ступені з натуральними показниками 
, їх підстави є натуральними числами, тому вони записані в дужках. Ну і для повної ясності в цьому моменті покажемо різницю, що міститься в записах виду (-2) 3 і -2 3 . Вираз (−2) 3 – це ступінь −2 з натуральним показником 3, а вираз −2 3 (його можна записати як −(2 3) ) відповідає числу, значенню ступеня 2 3 .
Зауважимо, що є позначення ступеня числа a з показником n виду a^n . У цьому, якщо n – багатозначне натуральне число, то показник ступеня береться у дужки. Наприклад, 4^9 – це інший запис ступеня 49. А ще приклади запису ступенів за допомогою символу «^ »: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Надалі ми будемо переважно користуватися позначенням ступеня виду a n .
Однією із завдань, зворотній зведенню у ступінь з натуральним показником, є завдання знаходження основи ступеня відомого значенняступеня та відомого показника. Це завдання призводить до .
Відомо, що безліч раціональних чиселскладається з цілих і дробових чисел, причому кожне дробове числоможе бути представлено у вигляді позитивного або негативного звичайного дробу. Ступінь з цілим показником ми визначили у попередньому пунктітому, щоб закінчити визначення ступеня з раціональним показником, потрібно надати сенс ступеня числа a з дробовим показником m/n , де m – ціле число, а n – натуральне. Зробимо це.
Розглянемо ступінь із дробовим показником виду. Щоб зберігати силу властивість ступеня, повинна виконуватися рівність 
. Якщо зважити на отриману рівність і те, як ми визначили , то логічно прийняти за умови, що при даних m , n і a вираз має сенс.
Неважко перевірити, що при справедливі всі властивості ступеня з цілим показником (це зроблено у розділі якості ступеня з раціональним показником).
Наведені міркування дозволяють зробити наступний висновок: якщо даних m , n і a вираз має сенс, то ступенем числа a з дробовим показником m/n називають корінь n -ого ступеня з a ступенем m .
Це твердження впритул підводить нас до визначення ступеня з дрібним показником. Залишається лише розписати, за яких m, n і a має сенс вираз. Залежно від обмежень, що накладаються на m, n та a існують два основні підходи.
Найпростіше накласти обмеження на a , прийнявши a≥0 для позитивних m і a>0 для негативних m (оскільки при m≤0 ступінь 0 m не визначений). Тоді ми отримуємо наступне визначенняступеня із дробовим показником.
Визначення.
Ступенем позитивного числа a з дробовим показником m/n, де m - ціле, а n - натуральне число, називається корінь n-ї з числа a в ступені m, тобто, .
Також визначається дробовий ступінь нуля з тим лише застереженням, що показник має бути позитивним.
Визначення.
Ступінь нуля з дробовим позитивним показником m/n, де m – ціле позитивне, а n – натуральне число, визначається як 
.
При ступінь не визначається, тобто ступінь числа нуль з дробовим негативним показником не має сенсу.
Слід зазначити, що за такому визначенні ступеня з дробовим показником існує один нюанс: при деяких негативних a і деяких m і n вираз має сенс, а ми відкинули ці випадки, ввівши умову a≥0 . Наприклад, мають сенс запису 
або , а дане вище визначення змушує нас говорити, що ступеня з дробовим показником виду 
немає сенсу, оскільки основа має бути негативним.
Інший підхід до визначення ступеня з дробовим показником m/n полягає в роздільному розгляді парних та непарних показниках кореня. Цей підхід вимагає додаткової умови: ступінь числа a , показником якого є , вважається ступенем числа a , показником якого є відповідна нескоротний дріб(важливість цієї умови пояснимо трохи нижче). Тобто, якщо m/n – нескоротний дріб, то будь-якого натурального числа k ступінь попередньо замінюється на .
При парних n і позитивних m вираз має сенс за будь-якого неотрицательного a (корінь парного ступеня з негативного числане має сенсу), при негативних m число a має бути ще відмінним від нуля (інакше буде поділ на нуль). А при непарних n і позитивних m число a може бути будь-яким (корінь непарної міри визначений для будь-якого дійсного числа), а при негативних m число a має бути відмінним від нуля (щоб не було поділу на нуль).
Наведені міркування призводять нас до такого визначення ступеня з дрібним показником.
Визначення.
Нехай m/n – нескоротний дріб, m – ціле, а n – натуральне число. Для будь-якого скоротливого звичайного дробу ступінь замінюється на . Ступінь числа a з нескоротним дробовим показником m/n – це для
Пояснимо, навіщо ступінь із скоротитим дробовим показником попередньо замінюється ступенем із нескоротним показником. Якби ми просто визначили ступінь як , і не обмовилися про нескоротність дробу m/n , то ми зіткнулися б з ситуаціями, подібними до наступної: так як 6/10=3/5 , то повинна виконуватись рівність 
, але 
, а.
Количисло множиться саме на себе, твірназивається ступенем.
Так 2.2 = 4, квадрат або другий ступінь 2-х
2.2.2 = 8, куб або третій ступінь.
2.2.2.2 = 16, четвертий ступінь.
Також, 10.10 = 100, другий ступінь 10.
10.10.10 = 1000, третій ступінь.
10.10.10.10 = 10000 четвертий ступінь.
І a.a = aa, другий ступінь a
a.a.a = aaa, третій ступінь a
a.a.a.a = aaaa, четвертий ступінь a
Початкове число називається коріннямступеня цього числа, тому що це число, з якого були створені ступені.
Однак не зовсім зручно, особливо у випадку високих ступенів, записувати всі множники, у тому числі складаються ступеня. Тому використовується скорочений метод позначення. Корінь ступеня записується лише один раз, а праворуч і трохи вище біля нього, але трохи меншим шрифтом записується скільки разів виступає корінь як множник. Це число або буква називається показником ступеняабо ступенемчисла. Так, а 2 дорівнює a.a або aa, тому що корінь a двічі має бути помножений сам на себе, щоб вийшло ступінь aa. Також, a 3 означає aaa, тобто тут a повторюється три разияк множник.
Показник першого ступеня є 1, але зазвичай не записується. Так, a1 записується як a.
Ви не повинні плутати ступеня з коефіцієнтами. Коефіцієнт показує, як часто величина береться як частинацілого. Ступінь показує, як часто величина береться як множнику творі.
Так, 4a = a + a + a + a. Але a 4 = a.a.a.a
Схема позначення зі ступенями має своєрідну перевагу, дозволяючи нам висловлювати невідомуступінь. Для цього в показник ступеня замість числа записується літера. У процесі вирішення завдання ми можемо отримати величину, яка, як ми можемо знати, є деякоюступенем іншої величини. Але поки що ми не знаємо, це квадрат, куб або інший, вищий ступінь. Так, у виразі a x показник ступеня означає, що цей вираз має деякуступінь, хоча не визначено який ступінь. Так, b m і d n зводяться ступенем m і n. Коли показник ступеня знайдено, числопідставляється замість літери. Тож якщо m=3, тоді b m = b 3 ; якщо m = 5, тоді b m =b 5 .
Метод запису значень за допомогою ступенів є також великою перевагою у разі використання виразів. Так, (a + b + d) 3 є (a + b + d). (a + b + d). (a + b + d), тобто куб тричлену (a + b + d). Але якщо записати цей вираз після зведення в куб, він матиме вигляд
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .
Якщо ми візьмемо ряд ступенів, чиї показники збільшуються або зменшуються на 1, ми виявимо, що твір збільшується на загальний множник або зменшується на спільний дільник , і цей множник чи дільник є початковим числом, яке зводиться у ступінь.
Так, у ряді aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
або a 5, a 4, a 3, a 2, a 1;
показники, якщо рахувати праворуч наліво, дорівнюють 1, 2, 3, 4, 5; і різниця між їх значеннями дорівнює 1. Якщо ми почнемо справа множитина a ми успішно отримаємо кілька значень.
Так a.a = a 2 другий член. І a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , третій член. a 4 .a = a 5 .
Якщо ми почнемо зліва ділитина a,
ми отримаємо a 5:a = a 4 та a 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1
Але такий процес поділу може бути продовжений і надалі, і ми отримуємо новий набірзначень.
Так, a: a = a/a = 1. (1/a): a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.
Повний ряд буде: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.
Або a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a, 1, 1/a, 1/a 2 , 1/a 3 .
Тут значення справавід одиниці є зворотнимизначенням ліворуч від одиниці. Тому ці ступені можуть бути названі зворотними ступенями a. Можна також сказати, що ліворуч є зворотними до ступенів праворуч.
Так, 1: (1/a) = 1. (a/1) = a. І 1: (1/a 3) = a 3 .
Той самий план запису може застосовуватися до багаточленам. Так, для a + b ми отримаємо безліч,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .
Для зручності використається ще одна форма запису зворотних ступенів.
Відповідно до цієї форми, 1/a або 1/a 1 = a -1 . І 1/aaa чи 1/a 3 = a -3 .
1/aa чи 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa чи 1/a 4 = a -4 .
А щоб зробити з показниками закінчений ряд з 1 як спільна різниця, a/a або 1, розглядається як таке, що не має ступеня та записується як a 0 .
Тоді, враховуючи прямі та зворотні ступені
замість aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
можна записати a4, a3, a2, a1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4.
Або a+4, a+3, a+2, a+1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4.
А ряд лише окремо взятих ступенів матиме вигляд:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.
Корінь ступеня може бути виражений більш ніж однією літерою.
Так, aa.aa або (aa) 2 є другим ступенем aa.
І aa.aa.aa або (aa) 3 є третім ступенем aa.
Усі ступеня цифри 1 однакові: 1.1 чи 1.1.1. дорівнюватиме 1.
Зведення в ступінь є знаходження значення будь-якого числа шляхом множення цього числа саме на себе. Правило зведення у ступінь:
Помножуйте величину саму себе стільки разів, скільки зазначено у ступеня числа.
Це є загальним всім прикладів, які можуть виникнути у процесі зведення ступінь. Але правильно дати пояснення, яким чином воно застосовується до окремих випадків.
Якщо ступінь зводиться лише один член, він множиться сам він стільки разів, скільки показує показник ступеня.
Четвертий ступінь a є a 4 або aaaa. (Art. 195.)
Шоста ступінь y є y 6 або yyyyyy.
N-а ступінь x є x n або xxx ... n раз повторене.
Якщо необхідно звести у ступінь вираз із кількох членів, застосовується принцип, згідно з яким ступінь твору кількох множників дорівнює добутку цих множників, зведених у ступінь.
Так (ay) 2 = a 2 y 2; (ay) 2 = ay.ay.
Але ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2.
Так, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .
Тому в знаходженні ступеня твору ми можемо або оперувати з усім твором відразу, або ми можемо оперувати з кожним множником окремо, а потім помножити їх значення зі ступенями.
Приклад 1. Четвертий ступінь dhy є (dhy) 4 або d 4 h 4 y 4 .
Приклад 2. Третій ступінь 4b, є (4b) 3 або 4 3 b 3 або 64b 3 .
Приклад 3. N-а ступінь 6ad є (6ad) n або 6 n a n d n .
Приклад 4. Третій ступінь 3m.2y є (3m.2y) 3 або 27m 3 .8y 3 .
Ступінь двочлена, що з членів, з'єднаних знаком + і -, обчислюється множенням його членів. Так,
(a + b) 1 = a + b, перший ступінь.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2 другий ступінь (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 третій ступінь.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 четвертий ступінь.
Квадрат a - b є a 2 - 2ab + b 2 .
Квадрат a + b + h є a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2
Вправа 1. Знайдіть куб a + 2d + 3
Вправа 2. Знайдіть четвертий ступінь b+2.
Вправа 3. Знайдіть п'ятий ступінь x+1.
Вправа 4. Знайдіть шостий ступінь 1 – b.
Квадрати суми сумиі різницідвочленів зустрічаються так часто в алгебрі, що необхідно знати їх дуже добре.
Якщо ми множимо a + h саме на себе або a - h саме на себе,
ми отримуємо: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 також, (a - h) (a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .
Звідси видно, що у кожному випадку, перший і останній члени є квадратами a і h, а середній членє подвоєний твір a на h. Звідси квадрат суми і різниці двочленів може бути знайдений, використовуючи таке правило.
Квадрат двочлена, обидва члени яких позитивні, дорівнює квадратупершого члена + подвоєний твір обох членів + квадрат останнього члена.
Квадрат різницідвочленів дорівнює квадрату першого члена мінус подвоєний добуток обох членів плюс квадрат другого члена.
Приклад 1. Квадрат 2a + b є 4a 2 + 4ab + b 2 .
Приклад 2. Квадрат ab + cd є a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .
Приклад 3. Квадрат 3d – h, є 9d 2 + 6dh + h 2 .
Приклад 4. Квадрат a – 1 є a 2 – 2a + 1.
Щоб дізнатися про метод знаходження вищих ступенів двочленів, дивіться наступні розділи.
У багатьох випадках є ефективним записувати ступенябез множення.
Так, квадрат a + b є (a + b) 2 .
N-а ступінь bc + 8 + x є (bc + 8 + x) n
У таких випадках дужки охоплюють Усечлени під ступенем.
Але якщо корінь ступеня складається з кількох множників, дужки можуть охоплювати весь вираз, або можуть застосовуватися окремо до множників залежно від зручності.
Так, квадрат (a + b)(c + d) є або [(a + b).(c + d)] 2 або (a + b) 2 .(c + d) 2 .
Для першого з цих виразів результатом є квадрат твору двох множників, а для другого – твором їх квадратів. Але вони рівні один одному.
Куб a.(b + d), є 3 або a 3 .(b + d) 3 .
Необхідно також враховувати знак перед залученими членами. Дуже важливо пам'ятати, що коли корінь ступеня позитивний, всі його позитивні ступеня також позитивні. Але коли корінь негативний, значення з непарнимиступенями негативні, у той час як значення парнихступенів є позитивними.
Другий ступінь (-a) є +a 2
Третій ступінь (-a) є -a 3
Четвертий ступінь (-a) є +a 4
П'ятий ступінь (-a) є -a 5
Звідси будь-яка непарнаступінь має той самий знак, як і число. Але парнаступінь є позитивним незалежно від того, чи має число негативний або позитивний знак.
Так, +a.+a = +a 2
І -a.-a = +a 2
Величина, що вже зведена в ступінь, ще раз зводиться в ступінь шляхом множення показників ступенів.
Третій ступінь a2 є a2.3 = a6.
Для a2 = aa; куб aa є aa.aa.aa = aaaaaa = a 6; що є шостим ступенем a, але третім ступенем a 2 .
Четвертий ступінь a 3 b 2 є a 3.4 b 2.4 = a 12 b 8
Третій ступінь 4a 2 x є 64a 6 x 3 .
П'ятий ступінь (a + b) 2 є (a + b) 10 .
N-ий ступінь a 3 є a 3n
N-ий ступінь (x - y) m є (x - y) mn
(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6
(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12
Правило однаково застосовується до негативнимступеням.
Приклад 1. Третій ступінь a -2 є a -3.3 = a -6.
Для a -2 = 1/aa, і третій ступінь цього
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6
Четвертий ступінь a2b-3 є a8b-12 або a8/b12.
Квадрат b 3 x -1 є b 6 x -2 .
N-а ступінь ax-m є x-mn або 1/x.
Однак тут треба пам'ятати, що якщо знак, попереднійступеня є "-", то він повинен бути змінений на "+" завжди, коли ступінь є парним числом.
Приклад 1. Квадрат -a3 є +a6. Квадрат -a3 є -a3.-a3, яке, згідно з правилами знаків при множенні, є +a6.
2. Але куб -3 є -a 9 . Для -a3.-a3.-a3 = -a9.
3. N-а ступінь -a3 є a3n.
Тут результат може бути позитивним або негативним залежно від того, яке є n - парне чи непарне.
Якщо дрібзводиться в ступінь, то зводяться в ступінь чисельник та знаменник.
Квадрат a/b є a2/b2. Відповідно до правила множення дробів,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2
Друга, третя і n-а ступеня 1/a є 1/a 2 1/a 3 і 1/a n .
Приклади двочленів, в яких один із членів є дробом.
1. Знайдіть квадрат x + 1/2 та x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x. (1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x. (1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4
2. Квадрат a+2/3 є a2+4a/3+4/9.
3. Квадрат x+b/2 = x2+bx+b2/4.
4 Квадрат x - b/m є x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .
Раніше було показано, що дробовий коефіцієнт може бути переміщений з чисельника до знаменника або зі знаменника до чисельника. Використовуючи схему запису зворотних ступенів, видно, що будь-який множниктакож може бути переміщений, якщо буде змінено знак ступеня.
Так, у дробі ax -2 /y, ми можемо перемістити x з чисельника у знаменник.
Тоді ax -2 / y = (a / y). x -2 = (a / y). (1 / x 2 = a / yx2.
У дробі a/by 3 ми можемо перемістити з знаменника в чисельник.
Тоді a/by 2 = (a/b). (1/y 3) = (a/b). y -3 = ay -3 / b.
Таким же чином ми можемо перемістити множник, який має позитивний показник ступеня в чисельник чи множник з негативним ступенему знаменник.
Так, ax 3 /b = a/bx -3. Для x 3 оберненим є x -3 , що є x 3 = 1/x -3.
Отже, знаменник будь-якого дробу може бути повністю вилучений, чи чисельник може бути скорочений до одиниці, що не змінить значення виразу.
Так, a/b = 1/ba-1, or ab-1.
Ми розібралися, що взагалі являє собою ступінь числа. Тепер треба зрозуміти, як правильно виконувати її обчислення, тобто. зводити числа до ступеня. У цьому матеріалі ми розберемо основні правила обчислення ступеня у разі цілого, натурального, дробового, раціонального та ірраціонального показника. Усі визначення будуть проілюстровані прикладами.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Поняття зведення у ступінь
Почнемо із формулювання базових визначень.
Визначення 1
Зведення в ступінь- Це обчислення значення ступеня деякого числа.
Тобто слова "обчислення значення ступеня" і "зведення в ступінь" означають те саме. Так, якщо в задачі стоїть "Зведіть число 0, 5 у п'яту ступінь", це слід розуміти як "обчисліть значення ступеня (0, 5) 5 .
Тепер наведемо основні правила, яким потрібно дотримуватись при таких обчисленнях.
Згадаймо, що таке ступінь числа із натуральним показником. Для ступеня з основою a та показником n це буде добуток n-ного числа множників, кожен з яких дорівнює a. Це можна записати так:
Щоб обчислити значення ступеня, потрібно виконати дію множення, тобто перемножити основу ступеня вказане числоразів. На вмінні швидко множити і ґрунтується саме поняття ступеня з натуральним показником. Наведемо приклади.
Приклад 1
Умова: зведіть - 2 на ступінь 4 .
Рішення
Використовуючи визначення вище, запишемо: (−2) 4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) . Далі нам потрібно просто виконати вказані дії та отримати 16 .
Візьмемо приклад складніше.
Приклад 2
Обчисліть значення 3 2 7 2
Рішення
Цей запис можна переписати у вигляді 3 2 7 · 3 2 7 . Раніше ми розглядали, як правильно множити змішані числа, згадані за умови.
Виконаємо ці дії та отримаємо відповідь: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49
Якщо в задачі вказана необхідність зводити ірраціональні числа в натуральний ступінь, нам потрібно буде заздалегідь округлити їх підстави до розряду, який дозволить нам отримати відповідь потрібної точності. Розберемо приклад.
Приклад 3
Виконайте зведення у квадрат числа π.
Рішення
Для початку округлимо його до сотих. Тоді π 2 ≈ (3 , 14) 2 = 9,8596. Якщо ж π ≈ 3 . 14159 , ми отримаємо більш точний результат: π 2 ≈ (3 , 14159) 2 = 9 , 8695877281 .
Зазначимо, необхідність вираховувати ступеня ірраціональних чисел практично виникає порівняно рідко. Ми можемо тоді записати відповідь у вигляді ступеня (ln 6) 3 або перетворити, якщо це можливо: 5 7 = 125 5 .
Окремо слід зазначити, що таке перший рівень числа. Тут можна просто запам'ятати, що будь-яке число, зведене в першу міру, залишиться самим собою:
Це зрозуміло із запису 
.
Від основи це не залежить.
Приклад 4
Так, (− 9) 1 = − 9 , а 7 3 , зведене до першого ступеня, залишиться 7 3 .
Для зручності розберемо окремо три випадки: якщо показник ступеня - ціле позитивне число, якщо це нуль і якщо це негативне число.
У першому випадку це те саме, що й зведення в натуральний ступінь: адже цілі позитивні числаналежать до багатьох натуральних. Про те, як працювати з такими ступенями ми вже розповіли вище.
Тепер подивимося, як правильно зводити в нульовий ступінь. При підставі, яка відрізняється від нуля, це обчислення дає на виході 1 . Раніше ми вже пояснювали, що 0 -а ступінь a може бути визначена для будь-якого дійсного числа, не рівного 0 і a 0 = 1 .
Приклад 5
5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1
0 0 – не визначено.
У нас залишився лише випадок ступеня із цілим негативним показником. Ми вже розбирали, що такі ступені можна записати у вигляді дробу 1 a z , де а – будь-яке число, а z – цілий негативний показник. Ми бачимо, що знаменник цього дробу є не що інше, як звичайний ступінь із цілим позитивним показником, а його обчислювати ми вже навчилися. Наведемо приклади завдань.
Приклад 6
Зведіть 3 на ступінь - 2 .
Рішення
Використовуючи визначення вище, запишемо: 2 - 3 = 1 2 3
Підрахуємо знаменник цього дробу та отримаємо 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .
Тоді відповідь така: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8
Приклад 7
Зведіть 1 , 43 у ступінь - 2 .
Рішення
Переформулюємо: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2
Обчислюємо квадрат у знаменнику: 1,43 · 1,43. Десяткові дроби можна помножити в такий спосіб: 
У результаті ми вийшло (1 , 43) - 2 = 1 (1 , 43) 2 = 1 2 , 0449 . Цей результат нам залишилося записати у вигляді звичайного дробу, для чого необхідно помножити його на 10 тисяч (див. матеріал про перетворення дробів).
Відповідь: (1, 43) - 2 = 10000 20449
Окремий випадок – зведення числа в мінус перший ступінь. Значення такого ступеня дорівнює числу, зворотному вихідному значенню основи: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.
Приклад 8
Приклад: 3 − 1 = 1/3
9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .
Як звести число в дробовий ступінь
Для виконання такої операції нам потрібно згадати базове визначенняступеня з дробовим показником: a m n = a m n при будь-якому позитивному a , загалом m і натуральному n .
Визначення 2
Таким чином, обчислення дробового ступеня потрібно виконувати на дві дії: зведення в цілий ступінь і знаходження кореня n -ного ступеня.
Ми маємо рівність a m n = a m n , яка, враховуючи властивості коренів, зазвичай застосовується для розв'язання задач у вигляді a m n = a n m . Це означає, що й ми зводимо число a в дробову ступінь m / n , спочатку ми отримуємо корінь n -ної ступеня з а, потім зводимо результат у ступінь із цілим показником m .
Проілюструємо з прикладу.
Приклад 9
Обчисліть 8-2 3 .
Рішення
Спосіб 1. Згідно з основним визначенням, ми можемо уявити це у вигляді: 8 - 2 3 = 8 - 2 3
Тепер підрахуємо ступінь під коренем і отримаємо корінь третього ступеня з результату: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4
Спосіб 2. Перетворимо основну рівність: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2
Після цього витягнемо корінь 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 і результат зведемо в квадрат: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4
Бачимо, що рішення ідентичні. Можна користуватися будь-яким способом, що сподобався.
Бувають випадки, коли рівень має показник, виражений змішаним числомабо десятковим дробом. Для простоти обчислень його краще замінити звичайним дробомі рахувати, як зазначено вище.
Приклад 10
Побудуйте 44 , 89 у ступінь 2 , 5 .
Рішення
Перетворимо значення показника на звичайний дріб - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .
А тепер виконуємо по порядку всі дії, вказані вище: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 0 = 13 501 , 25107
Відповідь: 13 501 , 25107 .
Якщо в чисельнику та знаменнику дробового показника ступеня стоять великі числа, то обчислення таких ступенів з раціональними показниками- Досить складна робота. Для неї зазвичай потрібна обчислювальна техніка.
Окремо зупинимося на ступені з нульовою основою та дробовим показником. Виразу виду 0 m n можна надати такий зміст: якщо m n > 0, то 0 m n = 0 m n = 0; якщо m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную позитивний ступіньпризводить до нуля: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а цілу негативну - значення не має: 0 - 4 3 .
Як звести число до ірраціонального ступеня
Необхідність обчислити значення ступеня, у показнику якого стоїть ірраціональне число, З'являється не так часто. Насправді зазвичай завдання обмежується обчисленням приблизного значення(До деякої кількості знаків після коми). Зазвичай це вважають на комп'ютері через складність таких підрахунків, тому докладно зупинятись на цьому не будемо, зазначимо лише основні положення.
Якщо потрібно обчислити значення ступеня a з ірраціональним показником a , ми беремо десяткове наближення показника і вважаємо у ньому. Результат і буде наближеною відповіддю. Чим точніше взяте десяткове наближення, то точніше відповідь. Покажемо на прикладі:
Приклад 11
Обчисліть наближене значення 21, 174367.
Рішення
Обмежимося десятковим наближенням a n = 1,17. Проведемо обчислення з використанням цього числа: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Якщо взяти, наприклад, наближення a n = 1 , 1743 , то відповідь буде трохи точніше: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 , 1743 ≈ 2 , 256833 .
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Зведення в ступінь - операція, тісно пов'язана з множенням, це операція - результат багаторазового множення якогось числа на себе. Зобразимо формулою: a1 * a2 * ... * an = an.
Наприклад, а = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2 ^ 3 = 8 .
Взагалі зведення в ступінь часто використовується в різних формулахз математики та фізики. Ця функція має більш наукове призначення, ніж чотири основні: Додавання, Віднімання, Множення, Поділ.
Зведення числа до ступеня
Зведення числа у ступінь – операція не складна. Воно пов'язане з множенням подібно до зв'язку множення і додавання. Запис an – короткий запис n-ого кількість чисел «а» помножених друг на друга.
Розглянь будівництво на самих простих прикладах, переходячи до складних.
Наприклад, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Чотири в квадраті (другою мірою) дорівнює шістнадцяти. Якщо вам не зрозуміло множення 4*4, то читайте нашу стать про множення.
Розглянемо ще один приклад: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . П'ять у кубі (у третьому ступені) дорівнює ста двадцяти п'яти.
Ще один приклад: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Дев'ять у кубі дорівнює семи сотням двадцяти дев'яти.
Формули зведення у ступінь
Щоб грамотно зводити в ступінь, потрібно пам'ятати і знати формули, вказані нижче. У цьому немає нічого понад природне, головне зрозуміти суть і тоді вони не тільки запам'ятаються, а й видадуться легкими.
Зведення одночлена в ступінь
Що таке одночлен? Це твір чисел та змінних у будь-якій кількості. Наприклад, двох – одночлен. І саме про зведення у ступінь таких одночленів дана стаття.
Користуючись формулами зведення на ступінь обчислити зведення одночлена на ступінь буде легко.
Наприклад, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Якщо зводити одночлен у ступінь, то ступінь зводиться кожна складова одночлена.
Зводячи в ступінь змінну ступінь, що вже має, то ступеня перемножуються. Наприклад, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6;
Зведення у негативний ступінь
Негативний ступінь – зворотне число. Що таке зворотне число? Будь-якому числу Х зворотним буде 1/X. Тобто Х-1 = 1/X. Це і є суть негативного ступеня.
Розглянемо приклад (3Y)^-3:
(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).
Чому так? Так як у ступеня є мінус, то просто переносимо до знаменника даний вираз, а потім зводимо до його третього ступеня. Чи не так?
Зведення в дробовий ступінь
Почнемо розгляд питання на конкретному прикладі. 43/2. Що означає ступінь 3/2? 3 – чисельник, означає зведення числа (у даному випадку 4) у куб. Число 2 - знаменник, це витяг кореня другого ступеня з числа (в даному випадку 4).
Тоді отримуємо квадратний корінь із 43 = 2^3 = 8 . Відповідь: 8.
Отже, знаменник дробового ступеня може бути як 3, так і 4 і до нескінченності будь-яким числом і це число визначає ступінь квадратного кореня, що витягується з заданого числа. Звичайно ж, знаменник не може дорівнювати нулю.
Зведення кореня до ступеня
Якщо корінь зводиться до ступеня, рівного ступенясамого кореня, то відповіддю буде підкорене вираз. Наприклад, (√х)2 = х. І так у будь-якому разі рівності ступеня кореня та ступеня зведення кореня.
Якщо (√x) ^4. Те (√ x) ^ 4 = x ^ 2. Щоб перевірити рішення переведемо вираз у вираз із дробовим ступенем. Оскільки корінь квадратний, то знаменник дорівнює 2. Якщо корінь зводиться четверту ступінь, то чисельник 4. Отримуємо 4/2=2. Відповідь: x = 2.
В будь-якому випадку кращий варіантпросто перевести вираз у вираз із дробовим ступенем. Якщо не скорочуватиметься дріб, значить така відповідь і буде, за умови, що корінь із заданого числа не виділяється.
Зведення до ступеня комплексного числа
Що таке комплексне число? Комплексне число- Вираз, що має формулу a + b * i; a, b – дійсні числа. i - Число, яке при зведенні в квадрат дає число -1.
Розглянемо приклад. (2 + 3i) ^2.
(2 + 3i) ^ 2 = 22 + 2 * 2 * 3i + (3i) ^ 2 = 4 + 12i ^-9 = -5 + 12i.
Запишіться на курс "Прискорюємо усний рахунок, НЕ ментальна арифметика", щоб навчитися швидко і правильно складати, віднімати, множити, ділити, зводити числа в квадрат і навіть добувати коріння. За 30 днів ви навчитеся використовувати легкі прийоми для спрощення арифметичних операцій. У кожному уроці нові прийоми, зрозумілі прикладиі корисні завдання.
Зведення в ступінь онлайн
За допомогою нашого калькулятора Ви зможете порахувати зведення числа в ступінь:
Зведення до ступеня 7 клас
Зведення у ступінь починають проходити школярі лише у сьомому класі.
Зведення в ступінь - операція, тісно пов'язана з множенням, це операція - результат багаторазового множення якогось числа на себе. Зобразимо формулою: a1 * a2 * ... * an = an.
Наприклад, а = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2 ^ 3 = 8.
Приклади для вирішення:
Зведення у ступінь презентація
Презентація зі зведення у ступінь, розрахований на семикласників. Презентація може пояснити деякі незрозумілі моментиале, ймовірно, таких моментів не буде завдяки нашій статті.
Підсумок
Ми розглянули лише верхівку айсберга, щоб зрозуміти математику краще – записуйтесь на наш курс: Прискорюємо усний рахунок – НЕ ментальна арифметика.
З курсу ви не просто дізнаєтесь десятки прийомів для спрощеного та швидкого множення, додавання, множення, поділу, вирахування відсотків, але й відпрацюєте їх у спеціальних завданнях та розвиваючих іграх! Усний рахунок також вимагає багато уваги та концентрації, які активно тренуються при вирішенні цікавих завдань.