Досить широко та вільно. Таке формальне перенесення значень із природничих наук у гуманітарні нерідко призводить до заміни понять. Тим часом цей специфічний термін має особливий зміст, який, втім, може бути інтерпретований залежно від контексту.

Слово «біфуркація» походить від латинського терміна, що позначає роздвоєність. Його використовують у природних, коли хочуть описати якісну перебудову того чи іншого об'єкта та пов'язані з нею метаморфози.

Коли система еволюційним чином її стан залежить від одного або декількох параметрів, які можуть змінюватися плавно. Але іноді одна з характеристик набуває критичного значення, а система при цьому входить до стадії кардинальної якісної зміни.

Той самий момент, коли режим змін у системі перебудовується, і називається точкою біфуркації. А під біфуркацією при цьому розуміють саму розбудову системи.

Що відбувається, якщо система змінюється безперервно? І тут спостерігаються звані каскади біфуркацій, які послідовно один одного змінюють.

Опис цих системних змін є одним із сценаріїв переходу від простого до складного, від упорядкованого руху до хаотичного.

Точка біфуркації як момент істини

Описуючи систему як послідовність біфуркацій, що змінюють одна одну, можна створити модель розвитку будь-якої більш менш складної системи, до якої області знання вона не ставилася.

Точки біфуркації можна спостерігати не тільки в біологічних та фізичних, але також в економічних та соціальних системах.

З погляду буденності перехід системи через точку біфуркації можна порівняти з поведінкою людини чи живого організму ситуації, де можливий лише одне із безлічі варіантів вибору. Яскравим прикладом тут може бути витязь на роздоріжжі, який зупинився у задумі перед каменем із написами.

Перед задумливим воїном відкривається два чи навіть три шляхи, кожен з яких має для мандрівника рівноцінне значення. Те, яку дорогу обере витязь, залежить від якогось

Що вивчає теорія біфуркацій.

Біфуркація

Біфуркація(Від лат. Bifurcus - роздвоєний) являє собою процес якісного переходу від стану рівноваги до хаосу через послідовне дуже мала зміна (наприклад, подвоєння Фейгенбаума при біфуркації подвоєння) періодичних точок.

Обов'язково слід зазначити, що відбувається якісне зміна властивостей системи, т.зв. катастрофічний стрибок. Момент стрибка (роздвоєння під час біфуркації подвоєння) відбувається у точці біфуркації.

Хаосможе виникнути через біфуркацію, що показав Мітчел Фейгенбаум (Feigenbaum). Під час створення власної Фейгенбаум, переважно, аналізував логістичне рівняння:

Xn+1=CXn - С(Хn) 2,

де З- Зовнішній параметр.

Звідки висновок, що з деяких обмеженнях у всіх подібних рівняннях відбувається перехід від рівноважного стану до хаосу.

Приклад біфуркації

Нижче розглянуто класичний біологічний приклад цього рівняння.

Наприклад, ізольовано живе населення особин нормованою чисельністю Xn. Через рік з'являється потомство чисельністю Xn +1. Зростання популяції описується першим членом правої частини рівняння (СХn), де коефіцієнт визначає швидкість зростання і є визначальним параметром. Збитки тварин (за рахунок перенаселеності, нестачі їжі тощо) визначається другим, нелінійним членом С(Хn) 2.

Результатом розрахунків є такі висновки:

1. При З<1 популяція зі зростанням n вимирає;
2. В області 1<С<3 чисельність населення наближається до постійного значення Х0 = 1-1/Сщо є областю стаціонарних, фіксованих рішень. При значенні C=3точка біфуркації стає фіксацією, що відштовхує, точкою. З цього моменту функція вже ніколи не сходиться до однієї точки. До цього крапка була притягуюча фіксована;
3. У діапазоні 3<С
4. При C> 3.57 відбувається перекриття областей різних рішень (вони хіба що зафарбовуються) і поведінка системи стає хаотичним.

Звідси висновок - заключним станом фізичних систем, що еволюціонують, є стан динамічного хаосу.

Залежність чисельності населення від параметра Знаведено на наступному малюнку.

Рисунок 1 - Перехід до хаосу через біфуркації, початкова стадія рівняння Xn+1=CXn - С(Хn) 2

Динамічні змінні Xnприймають значення, що сильно залежать від початкових умов. При проведених на комп'ютері розрахунках навіть дуже близьких початкових значень З підсумкові значення можуть різко відрізнятися. Більше того, розрахунки стають некоректними, оскільки починають залежати від випадкових процесів у самому комп'ютері (стрибки напруги тощо).

Таким чином, стан системи в момент біфуркації є вкрай нестійким і нескінченно малий вплив може призвести до вибору подальшого руху, а це, як ми вже знаємо, є головною ознакою хаотичної системи (суттєва залежність від початкових умов).

Фейгенбаум встановив універсальні закономірності переходу до динамічного хаосу при подвоєнні періоду, експериментально підтверджених для широкого класу механічних, гідродинамічних, хімічних та інших систем. Результатом досліджень Фейгенбаум стало т.зв. "".

Малюнок 2 - Дерево Фейгенбаума (розрахунок на основі зміненої лог. формули)

Позначимо через значення параметра, у яких відбувалися подвоєння періоду. У 1971 р. американський вчений М. Фейгенбаум встановив цікаву закономірність: послідовність утворює зростаючу послідовність, швидко сходиться з точкою накопичення 3,5699... Різниця значень, що відповідають двом послідовним біфуркаціям, зменшується щоразу приблизно з однаковим коефіцієнтом:

Знаменник прогресії = 4,6692 тепер називається постійної Фейгенбаума.

Поняття біфуркації

Що ж таке біфуркації у буденності. Як ми знаємо з визначення, біфуркаціївиникають при переході системи стану видимої стабільності і рівноваги до хаосу. Прикладами таких переходів є дим, вода і багато інших звичайнісіньких природних явищ. Так, що піднімається дим спочатку виглядає як упорядкований стовп.

Дим як приклад виникнення біфуркації під час переходу системи від стану видимої стабільності та рівноваги до хаосу

Однак через деякий час він починає зазнавати змін, спочатку здаються впорядкованими, проте потім стають хаотично непередбачуваними. Фактично перший перехід від стабільності до деякої форми видимої впорядкованості, але вже мінливості відбувається в першій точці біфуркації. Далі кількість біфуркацій збільшується, досягаючи величезних величин. З кожною біфуркацією функція турбулентності диму наближається до хаосу.

За допомогою теорії біфуркаційможна передбачити характер руху, що виникає при переході системи в якісно інший стан, а також область існування системи та оцінити її стійкість.

На жаль, саме існування теорії хаосу важко сумісне з класичною наукою. Звичайно, наукові ідеї перевіряються на підставі передбачень та їх звірки з реальними результатами. Однак, як ми вже знаємо, хаос непередбачуваний, коли вивчаєш хаотичну систему, можна прогнозувати лише модель її поведінки. Тому за допомогою хаосу не тільки не можна збудувати точний прогноз, а й, відповідно, перевірити його. Однак це не повинно говорити про невірність теорії хаосу, підтверджену як у математичних розрахунках, так і в житті.

На даний момент ще не існує математично точного апарату застосування теорії хаосу для дослідження ринкових цін, тому поспішати із застосуванням знань про хаос не можна. Разом з тим, це справді найперспективніший сучасний напрямок математики з точки зору прикладних досліджень фінансових ринків.

«Дивність» хаотичного атрактора полягає не стільки в незвичайному вигляді, скільки в тих нових властивостях, якими він володіє. Дивний атрактор - це насамперед приваблива область для траєкторій із навколишніх областей. При цьому всі траєкторії всередині дивного атрактора динамічно нестійкі.

Іншими словами, якщо уявити граничну множину як «клубок» у фазовому просторі, то точка, що характеризує стан системи, належати цьому «клубку» і не піде в іншу область фазового простору. Однак ми не можемо сказати, де клубка знаходиться крапка в даний момент часу.

Позитивний ляпунівський показник

Однією з таких парадоксальних властивостей є чутливість до початкових даних. Проілюструємо це. Виберемо дві близькі точки х"(0) і х»(0), що належать траєкторії атрактору, і подивимося, як змінюється відстань d(t) = |x"(t) - x»(t) | згодом. Якщо атрактором є особлива точка, то d(t) = 0. Якщо атрактор — граничний цикл, то d(t) буде періодичною функцією часу. Величина лямба називається ляпунівським показником. Позитивний ляпунівський показник характеризує середню швидкість розгону нескінченно близьких траєкторій.

Позитивні значення Ляпунівського показника та чутливість системи до початкових даних дозволили зовсім інакше поглянути на проблему прогнозу. Раніше передбачалося, що прогноз поведінки детермінованих систем, на відміну стохастичних, може бути на будь-який бажаний час.

Проте дослідження останніх десятиліть показали, що є клас детермінованих систем (навіть порівняно простих), поведінка яких можна передбачити лише на обмежений період. У дивного атрактора через дві години спочатку близькі траєкторії перестають бути близькими. Скільки завгодно мала неточність у визначенні початкового стану зростає з часом, і ми в принципі не можемо дати довгостроковий прогноз. Таким чином, існує обрій прогнозу, що обмежує наші здібності передбачати.

Фрактальна структура

Іншою цікавою характеристикою хаотичного режиму є фрактальна структура. Геометрична структура дивного атрактора не може бути представлена ​​у вигляді кривих або площин або геометричних елементів цілої розмірності. Розмірність дивного атрактора є дробовою, або, як кажуть, фрактальной.

Крапка біфуркації- Зміна встановленого режиму роботи системи. Термін з нерівноважної термодинаміки та синергетики.

Крапка біфуркації- критичний стан системи, при якому система стає нестійкою щодо флуктуацій і виникає невизначеність: чи стане стан системи хаотичним, чи вона перейде на новий, більш диференційований та високий рівень упорядкованості. Термін із теорії самоорганізації.

Властивості точки біфуркації

1. Непередбачуваність. Зазвичай, точка біфуркації має кілька гілочок атрактора (стійких режимів роботи), по одному з яких піде система. Проте заздалегідь неможливо передбачити, який новий атрактор займе система.
2. Точка біфуркації має короткочасний характер і поділяє більш тривалі стійкі режими системи.
3. Лавинний ефект хеш-функцій передбачає заплановані точки біфуркації, які навмисно вносять непередбачувані для спостерігача зміни кінцевого виду хеш-рядка при зміні навіть єдиного символу у вихідному рядку.

також

Напишіть відгук про статтю "Точка біфуркації"

Література

• // Лебедєв С. А.Філософія науки: Словник основних термінів. – М.: Академічний Проект, 2004. – 320 с. - (Серія "Gaudeamus").

Уривок, що характеризує Точка біфуркації

– Cette pauvre armee, – сказав він раптом, – elle a bien diminue depuis Smolensk. La fortune est une franche courtisane, Rapp; Ma le la garde, Rapp, la garde est intacte? [Бідна армія! вона дуже зменшилася від Смоленська. Фортуна справжня розпусниця, Рапп. Рапп, гвардія ціла?] – запитально сказав він.
– Oui, Sire, [Так, пане.] – відповів Рапп.
Наполеон узяв пастильку, поклав її в рот і подивився на годинник. Спати йому не хотілося, до ранку було далеко; а щоб убити час, розпоряджень ніяких не можна було вже робити, бо всі були зроблені і виконувалися тепер.
– A t on distribue les biscuits et le ris aux regiments de la garde? [Чи роздали сухарі та рис гвардійцям?] – суворо запитав Наполеон.
- Oui, Sire. [Так, пане.]
- Mais le riz? [Але рис?]
Рапп відповів, що він передав накази государя про рис, але Наполеон невдоволено похитав головою, ніби не вірив, щоб наказ його було виконано. Слуга увійшов із пуншем. Наполеон звелів подати другу склянку Раппу і мовчки відпивав горлянки зі свого.
— Я не маю ні смаку, ні нюху, — сказав він, принюхуючись до склянки. – Цей нежить набрид мені. Вони говорять про медицину. Яка медицина, коли вони не можуть вилікувати нежить? Корвізар дав мені пастильки, але вони нічого не допомагають. Що вони можуть лікувати? Лікувати не можна. Notre corps est une machine a vivre. Il est organise pour cela, c'est sa nature; laissez y la vie a son aise, qu'elle s'y defende elle meme: elle fera plus si vous la paralysiez en l'encombrant de remedes. Notre corps est comme une montre parfaite qui doit aller un certain temps; 'horloger n'a pas la faculte de l'ouvrir, il ne peut la manier qu'a tatons et les yeux bandes. Notre corps est une machine a vivre, voila tout. [Наше тіло є машина для життя. Воно для цього влаштоване. Дайте йому життя в спокої, нехай вона сама захищається, вона більше зробить одна, ніж коли ви їй заважатимете ліками. Наше тіло подібне годинникам, які повинні йти певний час; годинникар не може відкрити їх і тільки на дотик і із зав'язаними очима може керувати ними. Наше тіло є машиною для життя. Ось і все.] - І ніби вступивши на шлях визначень, definitions, які любив Наполеон, він несподівано зробив нове визначення. - Ви знаєте, Раппе, що таке військове мистецтво? - Запитав він. – Мистецтво бути сильнішим за ворога у певний момент. Voila tout. [Ось і все.]

Дисипативні відкриті системи. Крапка біфуркації.

Відкриті системи, у яких спостерігається приріст ентропії, називають дисипативними. У таких системах енергія впорядкованого руху перетворюється на енергію невпорядкованого хаотичного руху, тепло. Якщо замкнута система (гамільтонова система), виведена зі стану рівноваги, завжди прагне знову прийти до максимуму ентропії, то у відкритій системі відтік ентропії може врівноважити її зростання у самій системі і є ймовірність виникнення стаціонарного стану. Якщо ж відтік ентропії перевищить її внутрішнє зростання, виникають і розростаються до макроскопічного рівня великомасштабні флюктуації, а за певних умов у системі починають відбуватися самоорганізаційні процеси, створення упорядкованих структур.
При вивченні систем їх часто описують системою диференціальних рівнянь. Подання розв'язання цих рівнянь як руху деякої точки у просторі з розмірністю, що дорівнює кількості змінних, називають фазовими траєкторіями системи. Поведінка фазової траєкторії в сенсі стійкості показує, що існує кілька основних його типів, коли всі рішення системи зрештою зосереджуються на деякому підмножині. Така підмножина називається атрактором. Атрактормає область тяжіння, безліч початкових точок, таких, що при збільшенні часу всі фазові траєкторії, що почалися в них прагнуть саме цього атрактора.
Основними типами атракторів є:

· стійкі граничні точки

· стійкі цикли (траєкторія прагне до деякої замкнутої кривої)

· Тори (до поверхні яких наближається траєкторія)

Рух точки у разі має періодичний чи квазипериодический характер. Існують також характерні тільки для дисипативних систем так звані дивні атрактори, які, на відміну від звичайних не є підбагачення фазового простору (точка, цикл, тор, гіпертор - є) і рух точки на них є нестійким, будь-які дві траєкторії на ньому завжди розходяться, Мінімальна зміна початкових даних призводить до різних шляхів розвитку. Іншими словами, динаміка систем із дивними атракторами є хаотичною.
Рівняння, що мають дивні атрактори, зовсім не є екзотичними. Як приклад такої системи можна назвати систему Лоренца, отриману з рівнянь гідродинаміки в задачі про термоконвекцію шару рідини, що підігрівається знизу.
Чудовою є будова дивних атракторів. Їх унікальною властивістю є скейлінгова структура або масштабна самоповторюваність. Це означає, що збільшуючи ділянку атрактора, що містить нескінченну кількість кривих, можна переконатися в його подобі великому уявленню частини атрактора. Для об'єктів, які мають здатність нескінченно повторювати власну структуру на мікрорівні, існує спеціальна назва - фрактали.
Для динамічних систем, які від деякого параметра, характерно, зазвичай, плавне зміна характеру поведінки за зміни параметра. Однак для параметра може бути деяке критичне (біфуркаційне) значення, при переході через яке атрактор зазнає якісної перебудови і, відповідно, різко змінюється динаміка системи, наприклад, втрачається стійкість. Втрата стійкості відбувається, як правило, переходом від точки стійкості до стійкого циклу (м'яка втрата стійкості), вихід траєкторії із стійкого положення (жорстка втрата стійкості), народження циклів з подвоєним періодом. При подальшій зміні параметра можливе виникнення торів і далі дивних атракторів, тобто хаотичних процесів.
Тут треба зазначити, що у спеціальному значенні цього слова хаос означає нерегулярний рух, що описується детерміністичними рівняннями. Нерегулярний рух має на увазі неможливість його опису сумою гармонійних рухів.

Крапка біфуркації- одне з найзначніших понять теорії самоорганізації. Це такий період чи момент історії системи, коли вона перетворюється з однієї системної визначеності на іншу. Її якісні характеристики після виходу на точку біфуркації приречені на важливу зміну, що веде до зміни сутності самої системи. Механізм трансформації системи, що у такі моменти, пов'язані з розгалуженням системної траєкторії, який визначається наявністю конкуренції атракторів.

Крапки біфуркації- особливі моменти у розвитку живих і неживих систем, коли сталий розвиток, здатність гасити випадкові відхилення від основного напряму змінюються нестійкістю. Стійкими стають два чи кілька (замість одного) нових станів. Вибір з-поміж них визначається випадком, у явищах життя - вольовим рішенням. Після здійснення вибору механізми саморегулювання підтримують систему в одному стані (на одній траєкторії), перехід на іншу траєкторію стає скрутним. Наприклад, еволюція живих організмів та виникнення нових видів повністю укладаються у цю схему. У міру зміни умов, вид, раніше добре пристосований, втрачає стійкість, і в результаті біфуркації дає два нові види, що відрізняються від колишнього, і ще більшою мірою - один від одного. Приклади точок біфуркації: замерзання переохолодженої води; зміна політичного устрою держави у вигляді революції.

Крапка біфуркації- такий період розвитку системи, коли колишній стійкий, лінійний і передбачуваний шлях розвитку системи стає неможливим, це точка критичної нестійкості розвитку, у якій система перебудовується, вибирає одне із можливих шляхів подальшого розвитку, тобто відбувається якийсь фазовий перехід.

Прикладами біфуркаціїу різних системах можуть бути такі: бифуркация річок - поділ русла річки та її долини на дві гілки, які надалі не зливаються і впадають у різні басейни; у медицині - поділ трубчастого органу (судина або бронха) на 2 гілки однакового калібру, що відходять убік під однаковими кутами; механічна біфуркація - придбання нової якості в рухах динамічної системи за малої зміни її параметрів; у системі освіти – поділ старших класів навчального закладу на два відділення; біфуркація часу-простору (у науковій фантастиці) - поділ часу кілька потоків, у кожному з яких відбуваються свої події. У паралельному часі-просторі у героїв бувають різні життя.