З нерівностями ми познайомилися у школі, де застосовуємо числові нерівності. У статті розглянемо характеристики числових нерівностей, яких будуються принципи роботи з ними.
Властивості нерівностей аналогічні властивостям числових нерівностей. Буде розглянуто властивості, його обґрунтування, наведемо приклади.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Числові нерівності: визначення, приклади
При запровадженні поняття нерівності маємо, що й визначення проводиться у вигляді записи. Є вирази алгебри, які мають знаки ≠ ,< , >, ≤ , ≥ . Дамо визначення.
Визначення 1
Числовою нерівністюназивають нерівність, у запису якого обидві сторони мають числа та числові вирази.
Числові нерівності розглядаємо ще школі після вивчення натуральних чисел. Такі операції порівняння вивчаються поетапно. Початкові маю вигляд 1< 5 , 5 + 7 >3 . Після цього правила доповнюються, а нерівності ускладнюються, тоді отримуємо нерівності виду 5 2 3 > 5 , 1 (2) , ln 0 . 73 - 17 2< 0 .
Властивості числових нерівностей
Щоб правильно працювати з нерівностями, необхідно використовувати властивості числових нерівностей. Вони йдуть із поняття нерівності. Таке поняття задається за допомогою твердження, яке позначається як "більше" або "менше".
Визначення 2
- число a більше b, коли різницю a - b - позитивне число;
- число a менше b, коли різницю a - b – від'ємне число;
- число a дорівнює b коли різниця a - b дорівнює нулю.
Визначення використовується при розв'язанні нерівностей з відносинами "менше або одно", "більше або одно". Отримуємо, що
Визначення 3
- a більше або дорівнює b коли a - b є невід'ємним числом;
- a менше або дорівнює b коли a - b є непозитивним числом.
Визначення буде використано при доказах властивостей числових нерівностей.
Основні властивості
Розглянемо 3 основні нерівності. Використання знаків< и >характерно при властивостях:
Визначення 4
- антирефлексивності, Що говорить про те, що будь-яке число a з нерівностей a< a и a >a вважається неправильним. Відомо, що для будь-якого a має місце бути рівність a − a = 0 , звідси отримуємо, що а = а. Значить, a< a и a >a неправильно. Наприклад, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 є неправильними.
- асиметричності. Коли числа a та b є такими, що a< b , то b >a якщо а > b , то b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >a. Аналогічним чином доводиться і його частина.
Приклад 1
Наприклад, при заданій нерівності 5< 11 имеем, что 11 >5 , отже його числова нерівність − 0 , 27 > − 1 , 3 перепишеться у вигляді − 1 , 3< − 0 , 27 .
Перед тим, як перейти до наступної властивості, зауважимо, що за допомогою асиметричності можна читати нерівність праворуч наліво та навпаки. Таким чином, числова нерівність можна змінювати та змінювати місцями.
Визначення 5
- транзитивності. Коли числа a, b, c відповідають умові a< b и b < c , тогда a < c , и если a >b і b > c тоді a > c .
Доказ 1
Перше твердження можна довести. Умова a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.
Аналогічним чином доводиться друга частина із властивістю транізитивності.
Приклад 2
Розібрану властивість розглядаємо на прикладі нерівностей − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 і 1 8 > 1 32 випливає, що 1 2 > 1 32 .
Числові нерівності, які записуються за допомогою нестрогих знаків нерівності, мають властивість рефлексивності, тому що a ≤ a і a ≥ a можуть мати випадок рівності а = а. їм властива асиметричність та транзитивність.
Визначення 6
Нерівності, що мають у записі знаки ≤ і ≥, мають властивості:
- рефлексивності a ≥ a та a ≤ a вважаються вірними нерівностями;
- антисиметричності, коли a b, тоді b a, і якщо a b, тоді b a.
- транзитивності, коли a b і b c , тоді a c , а також, якщо a b і b c , то a c .
Доказ провадиться аналогічним чином.
Інші важливі властивості числових нерівностей
Для доповнення основних властивостей нерівностей використовуються результати, що мають практичне значення. Застосовується принцип методу оцінка значень виразів, у яких і базуються принципи розв'язання нерівностей.
Цей пункт розкриває характеристики нерівностей одного символу суворого неарвенства. Аналогічно виготовляється для нестрогих. Розглянемо на прикладі, сформулювавши нерівність якщо a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:
- якщо a > b, то a + c > b + c;
- якщо a ≤ b , то a + c ≤ b + c;
- якщо a b , то a + c b + c .
Для зручного подання дамо відповідне твердження, яке записується та наводяться докази, показуються приклади використання.
Визначення 7
Додавання чи обчислення числа до обох сторін. Інакше кажучи, коли a та b відповідають нерівності a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .
Доказ 2
Щоб довести це, необхідно, щоб рівняння відповідало умові a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.
Приклад 3
Наприклад, якщо обидві частини нерівності 7 > 3 збільшуємо на 15 тоді одержуємо, що 7 + 15 > 3 + 15 . Це дорівнює 22> 18 .
Визначення 8
Коли обидві частини нерівності помножити або розділити на те саме число c , отримаємо правильну нерівність. Якщо взяти число з негативним, знак зміниться на протилежний. Інакше це виглядає так: для a та b нерівність виконується, коли a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >b · c.
Доказ 3
Коли є випадок c > 0 необхідно скласти різницю лівої і правої частин нерівності. Тоді отримуємо, що a · c - b · c = (a - b) · c. З умови a< b , то a − b < 0 , а c >0 тоді добуток (a − b) · c буде негативним. Звідси випливає, що a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.
За доказом розподіл на ціле число можна замінити множенням на зворотне заданому, тобто 1 c . Розглянемо приклад якості на певних числах.
Приклад 4
Дозволено обидві частини нерівності 4< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .
Тепер сформулюємо два результати, що випливають, які використовуються при вирішенні нерівностей:
- Наслідок 1. При зміні знаків частин числової нерівності змінюється сам знак нерівності на протилежний, як a< b , как − a >− b . Це відповідає правилу множення обох частин на -1. Воно застосовується для переходу. Наприклад, − 6< − 2 , то 6 > 2 .
- Наслідок 2. При заміні оберненими числами частин числової нерівності на протилежний, змінюється його знак, причому нерівність залишиться правильним. Звідси маємо, що a та b є позитивними числами, a< b , 1 a >1 b.
При розподілі обох частин нерівності a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 маємо, що 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1b може вийти невірним.
Приклад 5
Наприклад, − 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 є невірною рівністю.
Усі пункти поєднує те, що дії над частинами нерівності дають правильну нерівність на виході. Розглянемо властивості, де спочатку є кілька числових нерівностей, яке результат отримаємо при додаванні чи множенні його частин.
Визначення 9
Коли числа a, b, c, d справедливі для нерівностей a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.
Доказ 4
Доведемо, що (a + c) − (b + d) є негативним числом, тоді отримаємо, що a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.
Властивість застосовується для почленного додавання трьох, чотирьох і більше числових нерівностей. Числам a 1 , a 2 , … , a n і b 1 , b 2 , … , b n справедливі нерівності a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .
Приклад 6
Наприклад, за даних трьох числових нерівностей одного знака − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.
Визначення 10
Почленное множення обох частин дає у результаті позитивне число. При a< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.
Доказ 5
Щоб довести це, необхідно обидві частини нерівності a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .
Ця властивість вважається справедливою кількості чисел, куди необхідно помножити обидві частини нерівності. Тоді a 1 , a 2 , … , a nі b 1 , b 2 , … , b nє позитивними числами, де a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .
Зауважимо, що з запису нерівностей є непозитивні числа, їх почленное множення призводить до неправильним нерівностей.
Приклад 7
Наприклад, нерівність 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.
Наслідок: Почленное множення нерівностей a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .
Властивості числових нерівностей
Розглянемо нижче наведену властивості числових нерівностей.
- a< a , a >a - неправильні нерівності,
a ≤ a , a ≥ a - правильні нерівності. - Якщо a< b , то b >a – антисиметричність.
- Якщо a< b и b < c то a < c - транзитивность.
- Якщо a< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
- Якщо a< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
Якщо a< b и c - отрицательное число, то a · c >b · c.
Наслідок 1: якщо a< b , то - a >- b.
Наслідок 2: якщо a та b - позитивні числа та a< b , то 1 a >1 b.
- Якщо a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
- Якщо a 1 , a 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n - позитивні числа та a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .
Слідство 1: якщо a< b , a і b - Позитивні числа, то a n< b n .
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Числові нерівності та їх властивості
У презентації докладно викладено зміст тем ЧИСЛОВІ НЕРАВЕНСТВА та ВЛАСТИВОСТІ ЧИСЛОВИХ НЕРАВЕНСТВ, наведено приклади на доказ числових нерівностей. (Алгебра 8 клас, автор Макарічев Ю.М.)
Перегляд вмісту документа
«Числові нерівності та їх властивості»
Числові нерівності
та їх властивості
вчитель математики МОУ «Упшинська ЗОШ»
Оршанського району Республіки Марій Ел
(До підручника Ю.А.Макаричева Алгебра 8
Числові нерівності
Результат порівняння двох чи більше чисел записують як нерівностей, використовуючи знаки , , =
Порівняння чисел ми здійснюємо, користуючись різнимиправилами (методами). Зручно мати узагальненийспосіб порівняння, який охоплює усі випадки.
Визначення:
Число а більше числа b, якщо різниця ( a – b) – позитивне число.
Число а менше числа b, якщо різниця ( a – b) – від'ємне число.
Число а дорівнює числу b, якщо різниця ( a – b) – дорівнює нулю
Узагальнений спосіб порівняння чисел
приклад 1.
Застосування узагальненого способу порівняння чисел для доказу нерівностей
Приклад 2. Довести, що середнє арифметичне двох позитивних чисел не менше від середнього геометричного цих чисел.
Якщо обидві частини правильної нерівності помножити або розділити на те саме позитивне число, то вийде правильна нерівність.
Якщо обидві частини правильної нерівності помножити або розділити на те саме негативне число і змінити знак нерівності на протилежний, то вийде правильна нерівність.
Р = 3а
Помножимо на 3 обидві частини кожної з нерівностей
54,2 ∙ 3 а ∙ 3
162,6
Застосування властивостей числових нерівностей
Представлені основні види нерівностей, включаючи нерівності Бернуллі, Коші – Буняковського, Мінківського, Чебишева. Розглянуто властивості нерівностей та події з них. Дано основні методи вирішення нерівностей.
Формули основних нерівностей
Формули універсальних нерівностей
Універсальні нерівності виконуються за будь-яких значень входять до них величин. Нижче наведено основні види універсальних нерівностей.
1) | a b | ≤ |a| + | b | ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + | a 2 | + ... + | a n |
2) |a| + | b | ≥ | a - b | ≥ | |a| - |b| |
3)
Рівність має місце лише за a 1 = a 2 = ... = a n .
4)
Нерівність Коші – Буняковського
Рівність має місце тоді й тільки тоді, коли a k = b k для всіх k = 1, 2, ..., n і деяких α, β, |α| + |β| >0.
5)
Нерівність Мінковськогопри p ≥ 1
Формули здійсненних нерівностей
Здійснювані нерівності виконуються за певних значень входять до них величин.
1)
Нерівність Бернуллі:
.
У більш загальному вигляді:
,
де , числа одного знака і більше, ніж -1
:
.
Лемма Бернуллі:
.
Див. «Докази нерівностей та леми Бернуллі».
2)
при a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n).
3)
Нерівність Чебишева
при 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
і 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
При 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
і b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.
4)
Узагальнені нерівності Чебишева
при 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
і 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
і k натуральному
.
При 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
і b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.
Властивості нерівностей
Властивості нерівностей - це набір тих правил, які виконуються за її перетворення. Нижче представлені властивості нерівностей. Мається на увазі, що вихідні нерівності виконуються при значеннях x i (i = 1, 2, 3, 4), що належать деякому, наперед визначеному інтервалу.
1) При зміні порядку слідування сторін знак нерівності змінюється на протилежний.
Якщо x 1< x 2
,
то x 2 >х 1 .
Якщо x 1 ≤ x 2 то x 2 ≥ x 1 .
Якщо x 1 ≥ x 2 то x 2 ≤ x 1 .
Якщо x 1 > x 2 то x 2< x 1
.
2) Одна рівність еквівалентна двом несуворим нерівностям різного знака.
Якщо x 1 = x 2 , то x 1 ≤ x 2 та x 1 ≥ x 2 .
Якщо x 1 ≤ x 2 і x 1 ≥ x 2 то x 1 = x 2 .
3) Властивість транзитивності
Якщо x 1< x 2
и x 2 < x 3
,
то x 1 < x 3
.
Якщо x 1< x 2
и x 2 ≤ x 3
,
то x 1 < x 3
.
Якщо x 1 ≤ x 2 та x 2< x 3
,
то x 1 < x 3
.
Якщо x 1 ≤ x 2 і x 2 ≤ x 3 , то x 1 ≤ x 3 .
4) До обох частин нерівності можна додати (відняти) одне й те число.
Якщо x 1< x 2
,
то x 1 + A < x 2 + A
.
Якщо x 1 ≤ x 2 то x 1 + A ≤ x 2 + A .
Якщо x 1 ≥ x 2 то x 1 + A ≥ x 2 + A .
Якщо x 1 > x 2 то x 1 + A > x 2 + A .
5) Якщо є дві або більше нерівностей зі знаком одного напрямку, то їх ліві та праві частини можна скласти.
Якщо x 1< x 2
,
x 3 < x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Якщо x 1< x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Якщо x 1 ≤ x 2 x 3< x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Якщо x 1 ≤ x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4 .
Аналогічні вирази мають місце знаків ≥, >.
Якщо у вихідних нерівностях є знаки не строгих нерівностей і хоча б одна строга нерівність (але всі знаки мають однаковий напрямок), то при складанні виходить сувора нерівність.
6) Обидві частини нерівності можна помножити (розділити) на позитивне число.
Якщо x 1< x 2
и A >0 , то A · x 1< A · x 2
.
Якщо x 1 ≤ x 2 і A > 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Якщо x 1 ≥ x 2 та A > 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Якщо x 1 > x 2 та A > 0 , то A · x 1 > A · x 2 .
7) Обидві частини нерівності можна помножити (розділити) на негативне число. У цьому знак нерівності зміниться протилежний.
Якщо x 1< x 2
и A < 0
,
то A · x 1 >A · x 2 .
Якщо x 1 ≤ x 2 та A< 0
,
то A · x 1 ≥ A · x 2
.
Якщо x 1 ≥ x 2 та A< 0
,
то A · x 1 ≤ A · x 2
.
Якщо x 1 > x 2 та A< 0
,
то A · x 1 < A · x 2
.
8) Якщо є дві або більше нерівностей із позитивними членами, зі знаком одного напрямку, то їх ліві та праві частини можна помножити одна на одну.
Якщо x 1< x 2
,
x 3 < x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 то x 1 · x 3< x 2 · x 4
.
Якщо x 1< x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 то x 1 · x 3< x 2 · x 4
.
Якщо x 1 ≤ x 2 x 3< x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 то x 1 · x 3< x 2 · x 4
.
Якщо x 1 ≤ x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 то x 1 · x 3 ≤ x 2 · x 4 .
Аналогічні вирази мають місце знаків ≥, >.
Якщо у вихідних нерівностях є знаки не строгих нерівностей і хоча б одна сувора нерівність (але всі знаки мають однаковий напрямок), то при множенні виходить сувора нерівність.
9) Нехай f(x) - монотонно зростаюча функція. Тобто за будь-яких x 1 > x 2 , f(x 1) > f(x 2) . Тоді до обох частин нерівності можна застосувати цю функцію, від чого знак нерівності не зміниться.
Якщо x 1< x 2
,
то f(x 1) < f(x 2)
.
Якщо x 1 ≤ x 2 то f(x 1) ≤ f(x 2) .
Якщо x 1 ≥ x 2 то f(x 1) ≥ f(x 2) .
Якщо x 1 > x 2 то f(x 1) > f(x 2) .
10) Нехай f(x) - монотонно спадна функція, Тобто за будь-яких x 1 > x 2 , f(x 1)< f(x 2)
.
Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Якщо x 1< x 2
,
то f(x 1) >f(x 2) .
Якщо x 1 ≤ x 2 то f(x 1) ≥ f(x 2) .
Якщо x 1 ≥ x 2 то f(x 1) ≤ f(x 2) .
Якщо x 1 > x 2 то f(x 1)< f(x 2)
.
Методи вирішення нерівностей
Розв'язання нерівностей методом інтервалів
Метод інтервалів застосуємо, якщо в нерівність входить одна змінна, яку позначимо як x, і вона має вигляд:
f(x) > 0
де f(x) - безперервна функція, що має кінцеве число точок розривів. Знак нерівності може бути будь-яким: >, ≥,<, ≤
.
Метод інтервалів ось у чому.
1) Знаходимо область визначення функції f(x) і відзначаємо її інтервалами на числовій осі.
2) Знаходимо точки розриву функції f(x). Наприклад, якщо це дріб, то знаходимо точки, в яких знаменник перетворюється на нуль. Зазначаємо ці точки на числовій осі.
3) Вирішуємо рівняння
f(x) = 0 .
Коріння цього рівняння відзначаємо на числовій осі.
4) У результаті числова вісь виявиться розбитою точками на інтервали (відрізки). Усередині кожного інтервалу, що входить в область визначення, вибираємо будь-яку точку і в цій точці обчислюємо значення функції. Якщо це значення більше за нуль, то над відрізком (інтервалом) ставимо знак „+“ . Якщо це значення менше за нуль, то над відрізком (інтервалом) ставимо знак „-“ .
5) Якщо нерівність має вигляд: f(x) > 0, то вибираємо інтервали зі знаком „+“. Рішенням нерівності буде об'єднання цих інтервалів, до яких не входять їхні межі.
Якщо нерівність має вигляд: f(x) ≥ 0 то до рішення додаємо точки, в яких f(x) = 0 . Тобто частина інтервалів, можливо, матимуть закриті межі (кордон належить інтервалу). інша частина може мати відкриті межі (кордон не належить до інтервалу).
Аналогічно, якщо нерівність має вигляд: f(x)< 0
,
то выбираем интервалы с знаком „-“
.
Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Якщо нерівність має вигляд: f(x) ≤ 0 то до рішення додаємо точки, в яких f(x) = 0 .
Вирішення нерівностей, застосовуючи їх властивості
Цей метод застосовується для нерівностей будь-якої складності. Він полягає в тому, щоб, застосовуючи властивості (представлені вище), привести нерівності до більш простого вигляду та отримати рішення. Цілком можливо, що при цьому вийде не одна, а система нерівностей. Це – універсальний метод. Він застосовується для будь-яких нерівностей.
Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.
Урок та презентація на тему: "Основні властивості числових нерівностей та способи їх вирішення."
Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.
Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 8 класу
Комбінаторика та теорія ймовірностей Рівняння та нерівності
Введення в числові нерівності
Діти, з нерівностями ми вже стикалися, наприклад, коли починали знайомитися з поняттям квадратного кореня. Інтуїтивно зрозуміло, що за допомогою нерівностей можна оцінити, яке з цих чисел більше чи менше. Для математичного опису досить додати спеціальний символ, який означатиме чи більше, чи менше.Запис виразу $a>b$ математичною мовою означає, що число $a$ більше за число $b$. У свою чергу це означає, що $a-b$ - позитивне число. Як і майже всі математичні об'єкти нерівності мають деякі характеристики. Вивченням цих властивостей ми займемося на цьому уроці. Властивість 1. Доказ. Найбільш наочно цю властивість можна показати, використовуючи числову пряму. Якщо $a>b$, то число $a$ на числовій прямій лежатиме праворуч від $b$. Відповідно, якщо $b>c$, то число $b$ лежатиме праворуч від числа $с$. Властивість 2. Властивість 3. Властивість 4. Доказ. Властивість 5. Доказ. Визначення. Тоді властивість 5 можна перефразувати. При множенні нерівностей одного сенсу, у яких ліві та праві частини позитивні, виходить нерівність того самого сенсу. Властивість 6. Властивість 7. Доказ. Ми знаємо, що $a-b$ - позитивне число, і добуток двох позитивних чисел - теж позитивне число, тобто. $ ab> 0 $. Властивість 8. Доказ. Властивість 9.Нерівність Коші (середнє арифметичне більше або дорівнює середнього геометричного). Доказ. Рішення. Б) Скористаємося властивістю 3. Помножимо на негативне число, отже знак нерівності змінюється. Г) Помножимо всі частини нерівності $3.1 Д) Усі частини нерівності позитивні, звівши їх у квадрат, отримаємо нерівність тієї самої сенсу. Е) Ступінь нерівності непарна, тоді можна сміливо зводити у ступінь і не міняти знак. Ж) Скористаємося властивістю 7. приклад 2. Рішення. Безліч всіх дійсних чисел можна уявити, як поєднання трьох множин: безліч позитивних чисел, безліч негативних чисел і безліч, що складається з одного числа - число нуль. Для того щоб вказати, що число апозитивно, користуються записом а > 0, для вказівки від'ємного числа використовують інший запи a< 0
. Сума та добуток позитивних чисел також є позитивними числами. Якщо число анегативно, то число -апозитивно (і навпаки). Для будь-якого позитивного числа знайдеться таке позитивне раціональне число r, що r< а
. Ці факти і є основою теорії нерівностей. За визначенням нерівність а > b (або, що те саме, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, тобто якщо число а – b позитивно. Розглянемо, зокрема, нерівність а< 0
. Що означає ця нерівність? Згідно з наведеним вище визначенням воно означає, що 0 - а > 0, тобто. -а > 0або, інакше, що число -апозитивно. Але це має місце в тому і тільки в тому випадку, якщо число анегативно. Отже, нерівність а< 0
означає, що число а негативно. Часто використовується також запис аb(або, що те саме, bа). (a b) [(a > b) V (a = b)] приклад 1.Чи правильні нерівності 5 0, 0 0? Нерівність 50 - це складне висловлювання, що складається з двох простих висловлювань, пов'язаних логічною зв'язкою "або" (диз'юнкція). Або 5 > 0 чи 5 = 0. Перше висловлювання 5 > 0 - істинно, друге висловлювання 5 = 0 - хибно. За визначенням диз'юнкції такий складний вислів істинний. Аналогічно обговорюється запис 00. Нерівності виду а > b, а< b
будемо називати строгими, а нерівності виду ab, ab- Нестрогі. Нерівності а > bі з > d(або а< b
і з< d
) називатимемо нерівностями однакового сенсу, а нерівності а > bі c< d
- Нерівностями протилежного сенсу. Зазначимо, що ці два терміни (нерівності однакового та протилежного сенсу) відносяться лише до форми запису нерівностей, а не до самих фактів, що виражаються цими нерівностями. Так, стосовно нерівності а< b
нерівність з< d
є нерівністю того самого сенсу, а в записі d > c(що означає те саме) - нерівністю протилежного сенсу. Поряд з нерівностями виду a > b, abвикористовуються так звані подвійні нерівності, тобто нерівності виду а< с < b
, ас< b
, a< cb
, а< с < b
(1) а< с
і з< b.
Аналогічний сенс мають нерівності асb, ас< b, а < сb.
Подвійну нерівність (1) можна записати так: (a< c < b) [(a < c) & (c < b)] а подвійна нерівність a ≤ c ≤ bможна записати в наступному вигляді: (a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)] Перейдемо тепер до викладу основних властивостей та правил дій над нерівностями, домовившись, що у цій статті літери a, b, спозначають дійсні числа, а nозначає натуральне число. 1) Якщо а > b та b > с, то a > с (транзитивність). Д о до з а т е л с т в о. Бо за умовою а > bі b > c, то числа а - bі b - зпозитивні, і, отже, число а - с = (а - b) + (b - с)Як сума позитивних чисел, також є позитивним. Це означає, за визначенням, що а > с. 2) Якщо а > b, то за будь-якого з має місце нерівність а + с > b + c. Д о до з а т е л с т в о. Бо а > b, то число а - bпозитивно. Отже, число (а + с) - (b + с) = a + c - b - c = а - bтакож є позитивним, тобто. 3) Якщо a + b > c, то a > b - c,тобто будь-яке доданок можна перенести з однієї частини нерівності в іншу, змінивши знак цього доданка на протилежний. Доказ випливає з якості 2) досить до обох частин нерівності а + b > сдодати число - b. 4) Якщо а > b та с > d, то а + с > b + d,т. е. під час складання двох нерівностей однієї й тієї ж сенсу виходить нерівність тієї самої сенсу. Д о до з а т е л с т в о. Через визначення нерівності досить показати, що різниця Слідство. З правил 2) і 4) випливає наступне Правило віднімання нерівностей: якщо а > b, з > d, то a - d > b - с(Для доказу достатньо до обох частин нерівності а + с > b + dдодати число - c - d). 5) Якщо а > b, то при с > 0 маємо ас > bc, а при с< 0 имеем ас < bc.
Інакше висловлюючись, при множенні обох частин нерівності ні позитивне число знак нерівності зберігається (т. е. виходить нерівність, тієї самої сенсу), а при множенні на негативне число знак нерівності змінюється на протилежний (т. е. виходить нерівність протилежного сенсу. Д о до з а т е л с т в о. Якщо а > b, то а - bє число позитивне. Отже, знак різниці ас-bс = с(а - b)збігається зі знаком числа з: якщо з- позитивне число, те й різниця ас - bcпозитивна і тому ас > bс, а якщо з< 0
, то ця різниця негативна і тому bc - аспозитивно, тобто. bc > ас. 6) Якщо а > b > 0 і > d > 0, то ас > bd,т. е. якщо всі члени двох нерівностей однакового сенсу позитивні, то при почленном множенні цих нерівностей виходить нерівність того самого сенсу. Д о до з а т е л с т в о. Маємо ас - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Бо з > 0, b > 0, a - b > 0, з - d > 0, то ас - bd > 0, тобто ас > bd. Зауваження.З доказу видно, що умова d > 0у формулюванні властивості 6) несуттєво: для справедливості цієї властивості достатньо, щоб були виконані умови a > b > 0, > d, з > 0. Якщо ж (при виконанні нерівностей a > b, з > d) числа а, b, сне будуть всі позитивними, то нерівність ас > bdможе виконуватися. Наприклад, при а = 2, b =1, c= -2, d= -3 маємо a > b, з > d, але нерівність ас > bd(т. е. -4 > -3) не виконано. Таким чином, вимога позитивності чисел а, b, с у формулюванні властивості 6) суттєво. 7) Якщо a b > 0 і c > d > 0, то (розподіл нерівностей). Д о до з а т е л с т в о. Маємо Зауваження.Зазначимо важливий окремий випадок правила 7), що виходить за а = b = 1: якщо з > d > 0, то. Таким чином, якщо члени нерівності позитивні, то при переході до обернених величин отримуємо нерівність протилежного змісту. Пропонуємо читачам перевірити, що це правило зберігається і в7) Якщо ab > 0 і c > d > 0, то (поділ нерівностей). Д о до з а т е л с т в о. те. Ми довели вище кілька властивостей нерівностей, записаних за допомогою знака >
(Більше). Проте ці властивості можна було б формулювати з допомогою знака <
(менше), оскільки нерівність b< а
означає, за визначенням, те саме, що й нерівність а > b. Крім того, як це неважко перевірити, доведені вище властивості зберігаються і для несуворих нерівностей. Наприклад, властивість 1) для нестрогих нерівностей матиме такий вигляд: якщо аb та bс, то ас. Очевидно, сказаним вище не обмежуються загальні характеристики нерівностей. Існує ще ціла низка нерівностей загального виду, пов'язаних з розглядом статечної, показової, логарифмічної та тригонометричних функцій. Загальний підхід для написання таких нерівностей полягає в наступному. Якщо деяка функція у = f(х)монотонно зростає на відрізку [а, b], то при x 1 > x 2 (де x 1 та x 2 належать цьому відрізку) ми маємо f (x 1) > f(x 2). Аналогічно, якщо функція y = f(x)монотонно зменшується на відрізку [а, b], то при х 1 > х 2 (де х 1і х 2 належать цьому відрізку) ми маємо f(x 1)< f(x 2
). Зрозуміло, сказане не відрізняється від визначення монотонності, але для запам'ятовування та написання нерівностей цей прийом дуже зручний. Так, наприклад, для будь-якого натурального n функція у = х nє монотонно зростаючою на промені }
Запис виразу $a
Якщо $a>b$ і $b>c$, то $a>c$.
Очевидно, що $10>5$, і $5>2$, і звичайно $10>2$. Але математика любить суворі докази для загального випадку.
Якщо $a>b$, $a-b$ - позитивне число. Якщо $b>c$, $b-c$ - позитивне число. Давайте складемо два отримані позитивні числа.
$a-b+b-c=a-c$.
Сума двох позитивних чисел є позитивним числом, але тоді $a-c$ також позитивним числом. З чого випливає, що $a>c$. Властивість доведено.
Як видно з малюнка, точка $a$ у нашому випадку знаходиться правіше точки $c$, а це означає, що $a>c$.
Якщо $a>b$, то $a+c>b+c$.
Інакше кажучи, якщо число $a$ більше за число $b$, то яке б ми число не додали (позитивне або негативне) до цих чисел, знак нерівності буде також зберігатися. Доводиться ця властивість дуже легко. Потрібно виконати віднімання. Та змінна, яку додавали, зникне і вийде правильна вихідна нерівність.
а) Якщо обидві частини нерівності помножити на позитивне число, знак нерівності зберігається.
Якщо $a>b$ і $c>0$, тоді $ac>bc$.
б) Якщо обидві частини нерівності помножити на негативне число, знак нерівності слід поміняти на протилежний.
Якщо $a>b$ і $c Якщо $a
При розподілі слід діяти так само (ділимо на позитивне число - знак зберігається, ділимо на негативно число - знак змінюється).
Якщо $a>b$ і $c>d$, то $a+c>b+d$.
З умови: $a-b$ - позитивне число та $c-d$ - позитивне число.
Тоді сума $(a-b)+(c-d)$ - теж позитивне число.
Поміняємо місцями деякі доданки $(a+с)-(b+d)$.
Від зміни місць доданків сума не змінюється.
Отже $(a+с)-(b+d)$ - позитивне число і $a+c>b+d$.
Властивість доведено.
Якщо $a, b, c, d$ - позитивні числа і $a>b$, $c>d$, то $ac>bd$.
Оскільки $a>b$ і $c>0$, то, використовуючи властивість 3, маємо $ac>bc$.
Оскільки $c>d$ і $b>0$, то, використовуючи властивість 3, маємо $cb>bd$.
Отже, $ac>bc$ та $bc >bd$.
Тоді, використовуючи властивості 1, отримуємо $ac>bd$. Що й потрібно було довести.
Нерівності виду $a>b$ і $c>d$ ($a
Якщо $a>b$ ($a>0$, $b>0$), $a^n>b^n$, де $n$ – будь-яке натуральне число.
Якщо обидві частини нерівності позитивні числа та його звести на одну й ту саму натуральну ступінь, то вийде нерівність тієї самої сенсу.
Зауважимо: якщо $n$ – непарне число, то будь-яких по знаку чисел $a$ і $b$ властивість 6 виконується.
Якщо $a>b$ ($a>0$, $b>0$), то $\frac(1)(a)
Щоб довести цю властивість, необхідно при відніманні $\frac(1)(a)-\frac(1)(b)$ отримати від'ємне число.
$\frac(1)(a)-\frac(1)(b)=\frac(b-a)(ab)=\frac(-(a-b))(ab)$.
Тоді $\frac(-(a-b))(ab)$ - від'ємне число. Властивість доведено.
Якщо $a>0$, то виконується нерівність: $a+\frac(1)(a)≥2$.
Розглянемо різницю.
$a+\frac(1)(a)-2=\frac(a^2-2a+1)(a)=\frac((a-1)^2)(a)$ - невід'ємне число.
Властивість доведено.
Якщо $a$ і $b$ - невід'ємні числа, виконується нерівність: $\frac(a+b)(2)≥\sqrt(ab)$.
Розглянемо різницю:
$\frac(a+b)(2)-\sqrt(ab)=\frac(a-2\sqrt(ab)+b)(2)=\frac((\sqrt(a)-\sqrt(b) )) ^ 2) (2) $ - невід'ємне число.
Властивість доведено.Приклади розв'язання нерівностей
приклад 1.
Відомо, що $-1.5
б) $-2b $.
в) $a+b$.
г) $a-b$.
д) $ b ^ 2 $.
е) $a^3$.
ж) $ \ frac (1) (b) $.
а) Скористаємося властивістю 3. Помножимо на позитивне число, отже знак нерівності не змінюється.
$-1.5*3
$-2*3.1>-2*b>-2*5.3$.
$-10.3
в) Склавши нерівності однакового сенсу, отримаємо нерівність того самого сенсу.
$-1.5+3.1
Тепер виконаємо операцію додавання.
$-1.5-5.3
${3.1}^2
${(-1.5)}^3
$\frac(1)(5.3)<\frac{1}{b}<\frac{1}{3.1}$.
$\frac(10)(53)<\frac{1}{b}<\frac{10}{31}$.
Порівняйте числа:
а) $ sqrt (5) + sqrt (7) $ і $ 2 + sqrt (8) $.
б) $π+sqrt(8)$ і $4+sqrt(10)$.
а) Зведемо кожне із чисел у квадрат.
$(sqrt(5)+sqrt(7))^2=5+2sqrt(35)+7=12+sqrt(140)$.
$(2+\sqrt(8))^2=4+4sqrt(8)+8=12+sqrt(128)$.
Обчислимо різницю квадратів цих квадратів.
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2-(2+\sqrt(8))^2=12+\sqrt(140)-12-\sqrt(128)=\sqrt(140) -\sqrt(128)$.
Очевидно, отримали позитивне число, що означає:
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2>(2+\sqrt(8))^2$.
Так як обидва числа позитивних, то:
$\sqrt(5)+sqrt(7)>2+sqrt(8)$.Завдання для самостійного вирішення
1. Відомо, що $-2.2
а) $4a$.
б) $-3b $.
в) $a+b$.
г) $a-b$.
д) $ b ^ 4 $.
е) $a^3$.
ж) $ \ frac (1) (b) $.
2. Порівняйте числа:
а) $ sqrt (6) + sqrt (10) $ і $ 3 + sqrt (7) $.
б) $π+sqrt(5)$ і $2+sqrt(3)$.
Запис аb, за визначенням, означає, що або а > b, або а = b. Якщо розглядати запис аbяк невизначений вислів, то в позначеннях математичної логіки можна записати
acb. За визначенням запис
означає, що мають місце обидві нерівності:
a + с > b + с.
(а + с) - (b + c)позитивна. Цю різницю можна записати так:
(a + c) - (b + d) = (а - b) + (с - d).
Оскільки за умовою числа а - bі с - dпозитивні, то (a + с) - (b + d)також є позитивне число.
Чисельник дробу, що стоїть у правій частині, позитивний (див. властивості 5), 6)), знаменник також позитивний. Отже. Цим властивість 7) доведено.