ФЕДЕРАЛЬНЕ АГЕНТСТВО З ОСВІТИ
ДЕРЖАВНИЙ ОСВІТНИЙ УСТАНОВА
ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ
«ВОРОНІЗЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА АГЛЕБРИ ТА ГЕОМЕТРІЇ
Комплексні числа
(Вибрані завдання)
ВИПУСКНА КВАЛІФІКАЦІЙНА РОБОТА
за фахом 050201.65 математика
(З додатковою спеціальністю 050202.65 інформатика)
Виконала: студентка 5 курсу
фізико-математичного
факультету
Науковий керівник:
Вороніж - 2008
1. Вступ……………………………………………………...…………..…
2. Комплексні числа (вибрані завдання)
2.1. Комплексні числа в формі алгебри….……...……….….
2.2. Геометрична інтерпретація комплексних чисел…………..…
2.3. Тригонометрична форма комплексних чисел
2.4. Додаток теорії комплексних чисел до вирішення рівнянь 3-го та 4-го ступеня……………..………………………………………………………
2.5. Комплексні числа та параметри………...……………………...….
3. Висновок…………………………………………………….................
4. Список літератури………………………….…………………...............
1. Вступ
У програмі математики шкільного курсу теорія чисел вводиться з прикладів множин натуральних чисел, цілих, раціональних, ірраціональних, тобто. на безлічі дійсних чисел, зображення яких заповнюють всю числову вісь. Але вже у 8 класі запасу дійсних чисел не вистачає, вирішуючи квадратні рівняння за негативного дискримінанта. Тому необхідно було поповнити запас дійсних чисел з допомогою комплексних чисел, котрим квадратний корінь з негативного числа має сенс.
Вибір теми «Комплексні числа», як теми моєї випускної кваліфікаційної роботи, полягає в тому, що поняття комплексного числа розширює знання учнів про числові системи, про розв'язання широкого класу завдань як алгебраїчного, так і геометричного змісту, про розв'язання рівнянь алгебри будь-якого ступеня і про вирішення завдань із параметрами.
У цій дипломній роботі розглянуто рішення 82-х завдань.
У першій частині основного розділу «Комплексні числа» наведено рішення задач з комплексними числами в формі алгебри, визначаються операції додавання, віднімання, множення, поділу, операція сполучення для комплексних чисел в формі алгебри, ступінь уявної одиниці, модуль комплексного числа, а також викладається правило вилучення квадратного кореня з комплексного числа.
У другій частині вирішуються задачі на геометричну інтерпретацію комплексних чисел у вигляді точок або векторів комплексної площини.
У третій частині розглянуто дії над комплексними числами у тригонометричній формі. Використовуються формули: Муавра та витяг кореня з комплексного числа.
Четверта частина присвячена вирішенню рівнянь 3-го та 4-го ступенів.
При вирішенні завдань останньої частини «Комплексні числа та параметри» використовуються та закріплюються відомості, наведені у попередніх частинах. Серія завдань розділу присвячена визначенню родин ліній у комплексній площині, заданих рівняннями (нерівностями) з параметром. У частині вправ необхідно розв'язати рівняння з параметром (над полем З). Є завдання, де комплексна змінна задовольняє водночас низку умов. Особливістю розв'язання завдань цього розділу є зведення багатьох із них до розв'язання рівнянь (нерівностей, систем) другого ступеня, ірраціональних, тригонометричних із параметром.
Особливістю викладу матеріалу кожної частини є початкове введення теоретичних основ, а згодом практичне їх застосування під час вирішення завдань.
Наприкінці дипломної роботи представлено список використаної літератури. У більшості з них досить докладно та доступно викладено теоретичний матеріал, розглянуто рішення деяких завдань та надано практичні завдання для самостійного вирішення. Особливу увагу хочеться звернути на такі джерела, як:
1. Гордієнко Н.А., Бєляєва Е.С., Фірстов В.Є., Серебрякова І.В. Комплексні числа та їх застосування: Навчальний посібник. . Матеріал навчального посібника викладено у вигляді лекційних та практичних занять.
2. Шклярський Д.О., Ченцов Н.М., Яглом І.М. Вибрані завдання та теореми елементарної математики. Арифметика та алгебра. Книга містить 320 завдань, що стосуються алгебри, арифметики та теорії чисел. За своїм характером ці завдання істотно відрізняються від стандартних шкільних завдань.
2. Комплексні числа (вибрані завдання)
2.1. Комплексні числа в формі алгебри
Рішення багатьох завдань математики, фізики зводиться до розв'язання рівнянь алгебри, тобто. рівнянь виду
,де a0, a1, …, an дійсні числа. Тому дослідження рівнянь алгебри є одним з найважливіших питань в математиці. Наприклад, дійсних коренів немає квадратне рівняння з негативним дискримінантом. Найпростішим таким рівнянням є рівняння
.Щоб це рівняння мало рішення, необхідно розширити безліч дійсних чисел шляхом приєднання до нього кореня рівняння
.Позначимо цей корінь через
. Таким чином, за визначенням , або ,отже,
. називається уявною одиницею. З його допомогою та за допомогою пари дійсних чисел і складається вираз виду.Отримане вираз назвали комплексними числами, оскільки вони містили як дійсну, так і уявну частини.
Отже, комплексними числами називаються вирази виду
, І – дійсні числа, а – деякий символ, що задовольняє умові . Число називається дійсною частиною комплексного числа, а число - його уявною частиною. Для позначення використовуються символи , .Комплексні числа виду
є дійсними числами і, отже, безліч комплексних чисел містить безліч дійсних чисел.Комплексні числа виду
називаються чисто уявними. Два комплексних числа виду і називаються рівними, якщо рівні їх дійсні та уявні частини, тобто. якщо виконуються рівності, .Алгебраїчна запис комплексних чисел дозволяє виконувати операції над ними за звичайними правилами алгебри.
Сумою двох комплексних чисел
і називається комплексне число виду.Добутком двох комплексних чисел
Для розв'язання задач із комплексними числами необхідно розібратися з основними визначеннями. Головне завдання цієї оглядової статті - пояснити, що таке комплексні числа, і пред'явити методи вирішення основних завдань з комплексними числами. Отже, комплексним числом називатимемо число виду z = a + bi, де a, b- Речові числа, які називають дійсною і уявною частиною комплексного числа відповідно і позначають a = Re (z), b = Im (z).
iназивається уявною одиницею. i 2 = -1. Зокрема, будь-яке речове число можна вважати комплексним: a = a + 0i, де a - речове. Якщо ж a = 0і b ≠ 0, то число прийнято називати чисто уявним.
Тепер запровадимо операції над комплексними числами.
Розглянемо два комплексні числа z 1 = a 1 + b 1 iі z 2 = a 2 + b 2 i.
Розглянемо z = a + bi.
Безліч комплексних чисел розширює безліч дійсних чисел, яке своєю чергою розширює безліч раціональних чисел тощо. Цей ланцюжок вкладень можна розглянути малюнку: N – натуральні числа, Z – цілі, Q – раціональні, R – речові, C – комплексні. 
Подання комплексних чисел
Алгебраїчна форма запису.
Розглянемо комплексне число z = a + bi, така форма запису комплексного числа називається алгебраїчної. Цю форму запису ми вже детально розібрали у попередньому розділі. Досить часто використовують наступний наочний малюнок 
Тригонометрична форма.
З малюнка видно, що число z = a + biможна записати інакше. Очевидно, що a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, отже z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
називається аргументом комплексного числа. Таке уявлення комплексного числа називається тригонометричною формою. Тригонометрична форма запису часом дуже зручна. Наприклад, її зручно використовувати для зведення комплексного числа в цілий ступінь, а саме, якщо z = rcos(φ) + rsin(φ)i, то z n = r cos (nφ) + r n sin(nφ)i, ця формула називається формулою Муавра.
Показова форма.
Розглянемо z = rcos(φ) + rsin(φ)i- Комплексне число в тригонометричній формі, запишемо в іншому вигляді z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, остання рівність випливає з формули Ейлера, таким чином ми отримали нову форму запису комплексного числа: z = re iφяка називається показовою. Така форма запису також дуже зручна для зведення комплексного числа в ступінь: z n = r n e inφ, тут nне обов'язково ціле, а може бути довільним речовим числом. Така форма запису часто використовується на вирішення завдань.
Основна теорема вищої алгебри
Припустимо, що у нас є квадратне рівняння x 2 + x + 1 = 0 . Очевидно, що дискримінант цього рівняння негативний і речових коренів воно не має, але виявляється, що це рівняння має два різні комплексні корені. Так от, основна теорема вищої алгебри стверджує, що будь-який багаточлен ступеня n має хоча б один комплексний корінь. З цього випливає, що будь-який багаточлен ступеня n має рівно n комплексного коріння з урахуванням їх кратності. Ця теорема є дуже важливим результатом математики і широко застосовується. Простим наслідком цієї теореми є такий результат: існує рівно n різних коренів ступеня n з одиниці.
Основні типи завдань
У цьому розділі будуть розглянуті основні типи найпростіших завдань на комплексні числа. Умовно завдання на комплексні числа можна розбити на такі категорії.
- Виконує найпростіші арифметичні операції над комплексними числами.
- Знаходження коріння багаточленів у комплексних числах.
- Зведення комплексних чисел у ступінь.
- Вилучення коренів із комплексних чисел.
- Застосування комплексних чисел для вирішення інших завдань.
Тепер розглянемо загальні методики розв'язання цих завдань.
Виконання найпростіших арифметичних операцій з комплексними числами відбувається за правилами описаними в першому розділі, якщо комплексні числа представлені в тригонометричній або показовій формах, то в цьому випадку можна перевести їх в форму алгебри і проводити операції за відомими правилами.
Знаходження коренів багаточленів зазвичай зводиться до знаходження коренів квадратного рівняння. Припустимо, що у нас є квадратне рівняння, якщо його дискримінант невід'ємний, то його коріння буде речовим і знаходиться за відомою формулою. Якщо ж дискримінант негативний, тобто D = -1∙a 2, де a- Деяке число, то можна представити дискримінант у вигляді D = (ia) 2, отже √D = i|a|а далі можна скористатися вже відомою формулою для коренів квадратного рівняння.
приклад. Повернемося до згаданого вище квадратного рівняння x2+x+1=0.
Дискримінант D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Тепер з легкістю знайдемо коріння: 
Зведення комплексних чисел у ступінь можна виконувати кількома способами. Якщо потрібно звести комплексне число в формі алгебри в невеликий ступінь (2 або 3), то можна зробити це безпосереднім перемноженням, але якщо ступінь більше (у завданнях вона часто буває набагато більше), то потрібно записати це число в тригонометричній або показовій формах і скористатися вже відомими методами.
приклад. Розглянемо z = 1 + i і зведемо до десятого ступеня.
Запишемо z у показовій формі: z = √2 e iπ/4 .
Тоді z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Повернемося до форми алгебри: z 10 = -32i .
Вилучення коренів із комплексних чисел є зворотною операцією по відношенню до операції зведення в ступінь, тому проводиться аналогічним чином. Для отримання коріння досить часто використовується показова форма запису числа.
приклад. Знайдемо все коріння ступеня 3 із одиниці. Для цього знайдемо всі корені рівняння z 3 = 1, коріння шукатимемо у показовій формі.
Підставимо в рівняння: r 3 e 3iφ = 1 або r 3 e 3iφ = e 0 .
Звідси: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, отже φ = 2πk/3.
Різне коріння виходить при φ = 0, 2π/3, 4π/3 .
Отже 1, e i2π/3, e i4π/3 - коріння.
Або в формі алгебри: 
Останній тип завдань включає в себе безліч завдань і немає загальних методів їх вирішення. Наведемо простий приклад такого завдання:
Знайти суму sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).
Хоч у формулюванні цього завдання й не йдеться про комплексні числа, але за допомогою їх можна легко вирішити. Для її вирішення використовуються такі уявлення: 
Якщо тепер підставити це уявлення у суму, то завдання зводиться до підсумовування звичайної геометричної прогресії.
Висновок
Комплексні числа широко застосовуються в математиці, у цій оглядовій статті було розглянуто основні операції над комплексними числами, описано кілька типів стандартних завдань та коротко описано загальні методи їх вирішення, для більш детального вивчення можливостей комплексних чисел рекомендується використовувати спеціалізовану літературу.
Література
Комплексні числа - це мінімальне розширення множини звичних нам дійсних чисел. Їх важлива відмінність у цьому, що утворюється елемент, що у квадраті дає -1, тобто. i, або .
Будь-яке комплексне число складається з двох частин: речовинної та уявної:
Таким чином видно, що безліч дійсних чисел збігаються з безліччю комплексних чисел з нульовою уявною частиною.
Найпопулярніша модель безлічі комплексних чисел – це звичайна площина. Перша координата кожної точки буде її речовою частиною, а друга -уявною. Тоді в ролі самих комплексних чисел будуть виступати вектори з початком у точці (0,0).
Операції над комплексними числами.
Насправді, якщо брати до уваги модель безлічі комплексних чисел, інтуїтивно зрозуміло, що додавання (віднімання) та множення двох комплексних чисел проводяться так само як відповідні операції над векторами. Причому мається на увазі векторний добуток векторів, тому що результатом цієї операції є знову ж таки вектор.
1.1 Додавання.
(Як видно, дана операція точно відповідає )
1.2 Віднімання, аналогічно, проводиться за таким правилом:
2. Множення.
3. Розподіл.
Визначається як зворотна операція до множення.
Тригонометрична форма.
Модулем комплексного числа z називається наступна величина:
,
очевидно, що це, знову ж таки, просто модуль (довжина) вектора (a, b).
Найчастіше модуль комплексного числа позначається як ρ.
Виявляється, що
z = ρ(cosφ+isinφ).
Безпосередньо із тригонометричної форми запису комплексного числа випливають такі формули :
Останню формулу називають Формулою Муавра. Безпосередньо з неї виводиться формула кореня n-ного ступеня з комплексного числа:
таким чином, існує n коренів n-го ступеня з комплексного числа z.
§ 1.Комплексні числа: визначення, геометрична інтерпретація, дії в алгебраїчній, тригонометричній та показовій формах
Визначення комплексного числа
Комплексні рівності
Геометричне зображення комплексних чисел
Модуль та аргумент комплексного числа
Алгебраїчна та тригонометрична форми комплексного числа
Показова форма комплексного числа
Формули Ейлера
§ 2. Цілі функції (багаточлени) та їх основні властивості. Розв'язання рівнянь алгебри на безлічі комплексних чисел
Визначення рівняння алгебри -й ступеня
Основні властивості багаточленів
Приклади розв'язання рівнянь алгебри на безлічі комплексних чисел
Запитання для самоперевірки
Глосарій
§ 1. Комплексні числа: визначення, геометрична інтерпретація, дії в алгебраїчній, тригонометричній та показовій формах
Визначення комплексного числа ( Сформулюйте визначення комплексного числа)
Комплексним числом z називається вираз такого виду:
Комплексне число в формі алгебри,(1)
Де x, y Î;
- комплексно пов'язане число числу z ;
- протилежне число числу z ;
- комплексний нуль ;
- Так позначається безліч комплексних чисел.
1)z = 1 + iÞ Re z= 1, Im z = 1, = 1 – i, = –1 – i ;
2)z = –1 + iÞ Re z= -1, Im z = , = –1 – i, = –1 –i ;
3)z = 5 + 0i= 5 Þ Re z= 5, Im z = 0, = 5 – 0i = 5, = –5 – 0i = –5
Якщо Im z= 0, то z = x- дійсне число;
4)z = 0 + 3i = 3iÞ Re z= 0, Im z = 3, = 0 – 3i = –3i , = –0 – 3i = – 3i
Якщо Re z= 0, то z = iy - чисто уявне число.
Комплексні рівності (Сформулюйте сенс комплексної рівності)
1) 
;
2)
.
Одна комплексна рівність рівносильна системі двох дійсних рівностей. Ці дійсні рівності виходять із комплексної рівності поділом дійсних та уявних частин.
1) 
;
2) 
.
Геометричне зображення комплексних чисел ( У чому полягає геометричне зображення комплексних чисел?)
Комплексне число zзображується точкою ( x , y) на комплексній площині або радіусом-вектором цієї точки.
Знак zу другій чверті означає, що система декартових координат використовуватиметься як комплексна площина.
Модуль та аргумент комплексного числа ( Що таке модуль та аргумент комплексного числа?)
Модулем комплексного числа називається невід'ємне дійсне число
.(2)
Геометрично модуль комплексного числа - це довжина вектора, що зображає число z, або полярний радіус точки ( x , y).
Зобразити на комплексній площині такі числа та записати їх у тригонометричній формі.
1)z = 1 + i Þ
,
Þ 
Þ 
;
,
Þ 
Þ 
;
,
5)
,
тобто для z = 0 буде
, jне визначено.
Арифметичні дії над комплексними числами (Дайте визначення та перерахуйте основні властивості арифметичних дій над комплексними числами.)
Додавання (віднімання) комплексних чисел
z 1 ± z 2 = (x 1 + iy 1) ± ( x 2 + iy 2) = (x 1 ± x 2) + i (y 1 ± y 2),(5)
тобто при складанні (відніманні) комплексних чисел складаються (віднімаються) їх дійсні та уявні частини.
1)(1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i ;
2)(1 + 2i) – (2 – 5i) = 1 + 2i – 2 + 5i = –1 + 7i .
Основні властивості додавання
1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;
2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);
3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);
4)z + (–z) = 0;
Розмноження комплексних чисел в алгебраїчній формі
z 1∙z 2 = (x 1 + iy 1)∙(x 2 + iy 2) = x 1x 2 + x 1iy 2 + iy 1x 2 + i 2y 1y 2 = (6)
= (x 1x 2 – y 1y 2) + i (x 1y 2 + y 1x 2),
тобто множення комплексних чисел в формі алгебри проводиться за правилом алгебраїчного множення двочлена на двочлен з наступною заміною і приведенням подібних за дійсними і уявними доданками.
1)(1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i 2 = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i ;
2)(1 + 4i)∙(1 – 4i) = 1 – 42 i 2 = 1 + 16 = 17;
3)(2 + i)2 = 22 + 4i + i 2 = 3 + 4i .
Розмноження комплексних чисел тригонометричної форми
z 1∙z 2 = r 1(cos j 1 + i sin j 1)× r 2(cos j 2 + i sin j 2) =
= r 1r 2(cos j 1cos j 2 + i cos j 1sin j 2 + i sin j 1cos j 2 + i 2 sin j 1sin j 2) =
= r 1r 2((cos j 1cos j 2 – sin j 1sin j 2) + i(cos j 1sin j 2 + sin j 1cos j 2))
Добуток комплексних чисел у тригонометричній формі, тобто при множенні комплексних чисел у тригонометричній формі їх модулі перемножуються, а аргументи складаються.
Основні властивості множення
1)z 1× z 2 = z 2× z 1 – комутативність;
2)z 1× z 2× z 3 = (z 1× z 2)× z 3 = z 1×( z 2× z 3) – асоціативність;
3)z 1×( z 2 + z 3) = z 1× z 2 + z 1× z 3 - дистрибутивність щодо додавання;
4)z×0 = 0; z×1 = z ;
Розподіл комплексних чисел
Поділ - це зворотна множення операція, тому
якщо z × z 2 = z 1 та z 2 ¹ 0, то .
При виконанні поділу в формі алгебри чисельник і знаменник дробу множаться на число, комплексно пов'язане знаменнику:
Розподіл комплексних чисел в формі алгебри.(7)
При виконанні поділу у тригонометричній формі модулі діляться, а аргументи віднімаються:
Розподіл комплексних чисел у тригонометричній формі.(8)
2)
.
Зведення комплексного числа у натуральний ступінь
Зведення в натуральний ступінь зручніше виконувати у тригонометричній формі:
Формула Муавра,(9)
тобто при зведенні комплексного числа в натуральну міру його модуль зводиться в цей ступінь, а аргумент множиться на показник ступеня.
Обчислити (1+ i)10.
Зауваження
1. При виконанні операцій множення та зведення в натуральний ступінь у тригонометричній формі можуть виходити значення кутів за межами одного повного обороту. Але їх можна звести до кутів чи скиданням цілого числа повних оборотів за властивостями періодичності функцій і .
2. Значення 
називають головним значенням аргументу комплексного числа;
при цьому значення всіх можливих кутів позначають;
Зрозуміло, що , .
Вилучення кореня натурального ступеня з комплексного числа
Формули Ейлера(16)
за якими тригонометричні функції та дійсною змінною виражаються через показову функцію (експоненту) з чисто уявним показником.
§ 2. Цілі функції (багаточлени) та його основні властивості. Розв'язання рівнянь алгебри на безлічі комплексних чисел
Два багаточлени одного ступеня nтотожно рівні один одному тоді і лише тоді, коли збігаються їх коефіцієнти при однакових ступенях змінної x, тобто
Доказ
w Тотожність (3) справедлива при "xÎ (або "xÎ)"
воно справедливе при ; підставляючи , отримаємо аn = bn .
Взаємно знищимо в (3) доданки аnі bnі поділимо обидві частини на x :
Це тотожність теж вірно при " x, у тому числі при x = 0
вважаючи x= 0, отримаємо аn – 1 = bn – 1.
Взаємно знищимо в (3") доданки аn- 1 і a n- 1 і поділимо обидві частини на x, в результаті отримаємо
Аналогічно продовжуючи міркування, отримаємо, що аn – 2 = bn –2, …, а 0 = b 0.
Таким чином, доведено, що з тотожної рівності 2-х багаточленів випливає збіг їх коефіцієнтів за однакових ступенів. x .
Зворотне твердження справедливо очевидно, тобто. якщо два многочлена мають однаковими всі коефіцієнти, всі вони є однакові функції, отже, їх значення збігаються при всіх значеннях аргументу, що означає їх тотожну рівність. Властивість 1 доведено повністю. v
При розподілі багаточлена Pn (x) на різницю ( x – х 0) виходить залишок, рівний Pn (x 0), тобто
Теорема Безу,(4)
де Qn – 1(x) - ціла частина від поділу, є багаточленом ступеня ( n – 1).
Доказ
w Запишемо формулу поділу із залишком:
Pn (x) = (x – х 0)∙Qn – 1(x) + A ,
де Qn – 1(x) - багаточлен ступеня ( n – 1),
A- залишок, який є числом унаслідок відомого алгоритму поділу багаточлена на двочлен «у стовпчик».
Ця рівність вірна при " x, у тому числі при x = х 0 Þ
Pn (x 0) = (x 0 – x 0)× Qn – 1(x 0) + A Þ
A = Pn (х 0), ч.т.д. v
Наслідок з теореми Безу. Про розподіл багаточлена на двочлен без залишку
Якщо число х 0 є нулем многочлена, цей многочлен ділиться на різницю ( x – х 0) без залишку, тобто
Þ 
.(5)
1) , оскільки P 3(1) º 0
2) , оскільки P 4(–2) º 0
3) , оскільки P 2(–1/2) º 0
Розподіл багаточленів на двочлени «в стовпчик»:
| _ |  |
_ | ||||||||||||
| _ | _ | |||||||||||||
| _ | ||||||||||||||
Кожен багаточлен ступеня n ³ 1 має принаймні один нуль, дійсний або комплексний
Доказ цієї теореми виходить за межі нашого курсу. Тому ухвалимо теорему без доказу.
Попрацюємо з цієї теореми і з теореми Безу з многочленом Pn (x).
Після n-кратного застосування цих теорем отримаємо, що
де a 0 - це коефіцієнт при x nв Pn (x).
Наслідок із основної теореми алгебри. Про розкладання багаточлена на лінійні множники
Будь-який багаточлен ступеня на безлічі комплексних чисел розкладається на nлінійних співмножників, тобто
Розкладання многочлена на лінійні множники,(6)
дех1, х2, … хn – це нулі багаточлена.
При цьому якщо kчисел із набору х 1, х 2, … хnзбігаються між собою і з числом a, то у творі (6) виходить множник ( x– a) k. Тоді число x= a називається k-кратним нулем багаточлена Pn ( x) . Якщо k= 1, то нуль називається простим нулем багаточлена Pn ( x) .
1)P 4(x) = (x – 2)(x– 4)3 Þ x 1 = 2 - простий нуль, x 2 = 4 – триразовий нуль;
2)P 4(x) = (x – i)4 Þ x = i- нуль кратності 4.
Властивість 4 (про кількість коренів рівняння алгебри)
Будь-яке рівняння алгебри Pn(x) = 0 ступеня n має на безлічі комплексних чисел рівно n коренів, якщо вважати кожен корінь стільки разів, яка його кратність.
1)x 2 – 4x+ 5 = 0 - рівняння алгебри другого ступеня
Þ x 1,2 = 2 ± = 2 ± i- два корені;
2)x 3 + 1 = 0 - рівняння алгебри третього ступеня
Þ x
1,2,3 = 
- три корені;
3)P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Þ x 1 = 1, т.к. P 3(1) = 0.
Розділимо багаточлен P 3(x) на ( x – 1):
| x 3 | + | x 2 | – | x | – | 1 | x – 1 |
| x 3 | – | x 2 | x 2 + 2x +1 | ||||
| 2x 2 | – | x | |||||
| 2x 2 | – | 2x | |||||
| x | – | 1 | |||||
| x | – | 1 | |||||
| 0 |
Вихідне рівняння
P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 û( x – 1)(x 2 + 2x+ 1) = 0 û( x – 1)(x + 1)2 = 0
Þ x 1 = 1 – простий корінь, x 2 = -1 - дворазовий корінь.
1) – парне комплексно пов'язане коріння;
Будь-який многочлен із дійсними коефіцієнтами розкладається на добуток лінійних та квадратичних функцій із дійсними коефіцієнтами.
Доказ
w Нехай x 0 = a + bi- нуль багаточлена Pn (x). Якщо всі коефіцієнти цього многочлена є дійсними числами, теж є його банкрутом (за якістю 5).
Обчислимо твір двочленів 
:
комплексне число багаточленів рівняння
Отримали ( x – a)2 + b 2 – квадратний тричленс дійсними коефіцієнтами.
Таким чином, будь-яка пара двочленів з комплексно сполученим корінням у формулі (6) призводить до квадратного тричлену з дійсними коефіцієнтами. v
1)P 3(x) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1);
2)P 4(x) = x 4 – x 3 + 4x 2 – 4x = x (x –1)(x 2 + 4).
Приклади розв'язання рівнянь алгебри на безлічі комплексних чисел ( Наведіть приклади розв'язання рівнянь алгебри на безлічі комплексних чисел)
1. Алгебраїчні рівняння першого ступеня:
, - Єдиний простий корінь.
2. Квадратні рівняння:
, 
- Завжди має два корені (різних або рівних).
1) 
.
3. Двуковані рівняння ступеня:
, – завжди має різного коріння.
,
Відповідь: , 
.
4. Розв'язати кубічне рівняння.
Рівняння третього ступеня має три корені (дійсні або комплексні), при цьому потрібно вважати кожен корінь стільки разів, як його кратність. Оскільки всі коефіцієнти даного рівняння є дійсними числами, то комплексне коріння рівняння, якщо вони є, будуть парними комплексно пов'язаними.
Підбором знаходимо перший корінь рівняння, оскільки.
По слідству з теореми Безу. Обчислюємо цей поділ «у стовпчик»:
| _ |  |
||||
| _ |  |
||||
| _ | |||||
Представляючи тепер многочлен як твори лінійно і квадратного множника, отримаємо:
.
Інші коріння знаходимо як коріння квадратного рівняння: 
Відповідь: , 
.
5. Скласти алгебраїчне рівняння найменшого ступеня з дійсними коефіцієнтами, якщо відомо, що числа x 1 = 3 та x 2 = 1 + iє його корінням, причому x 1 є дворазовим коренем, а x 2 – простим.
Число також є коренем рівняння, т.к. коефіцієнти рівняння мають бути дійсними.
Усього шукане рівняння має 4 корені: x 1, x 1,x 2, . Тому його ступінь дорівнює 4. Складаємо багаточлен 4-го ступеня з нулями x
11. Що таке комплексний нуль?
13. Сформулюйте сенс комплексної рівності.
15. Що таке модуль та аргумент комплексного числа?
17. Що таке аргумент комплексного числа?
18. Яку назву чи зміст має формула?
19. Поясніть зміст позначень у цій формулі:
27. Дайте визначення та перерахуйте основні властивості арифметичних дій над комплексними числами.
28. Яку назву чи зміст має формула?
29. Поясніть зміст позначень у цій формулі:
31. Яку назву чи зміст має формула?
32. Поясніть зміст позначень у цій формулі:
34. Яку назву чи зміст має формула?
35. Поясніть зміст позначень у цій формулі:
61. Перелічіть основні властивості багаточленів.
63. Сформулюйте властивість розподілу многочлена на різницю (x – х0).
65. Яку назву чи зміст має формула?
66. Поясніть зміст позначень у цій формулі:
67. ⌂ 
.
69. Сформулюйте основну теорему теорема алгебри.
70. Яку назву чи зміст має формула?
71. Поясніть зміст позначень у цій формулі:
75. Сформулюйте властивість кількості коренів алгебраїчного рівняння.
78. Сформулюйте властивість про розкладання багаточлена із дійсними коефіцієнтами на лінійні та квадратичні множники.
Глосарій
k-кратним нулем багаточлена називається... (Стор. 18)
алгебраїчним багаточленом називається ... (Стор. 14)
алгебраїчним рівнянням n-го ступеня називається... (стор. 14)
алгебраїчною формою комплексного числа називається... (стор. 5)
аргумент комплексного числа це... (стор. 4)
дійсна частина комплексного числа z це... (стор. 2)
комплексно пов'язане число це... (стор. 2)
комплексний нуль це... (стор. 2)
комплексним числом називається... (стор. 2)
коренем ступеня n із комплексного числа називається... (стор. 10)
коренем рівняння називається... (стор. 14)
коефіцієнти многочлена це... (стор. 14)
уявна одиниця це... (стор. 2)
уявна частина комплексного числа z це... (стор. 2)
модулем комплексного числа називається... (стор. 4)
нулем функції називається... (стор. 14)
показовою формою комплексного числа називається... (стор. 11)
поліномом називається... (стор. 14)
простим нулем багаточлена називається ... (Стор. 18)
протилежне число це... (стор. 2)
ступінь багаточлена це... (Стор. 14)
тригонометричною формою комплексного числа називається... (стор. 5)
формула Муавра це... (стор. 9)
формули Ейлера це... (Стор. 13)
цілою функцією називається... (стор. 14)
чисто уявне число це... (стор. 2)
Нагадаємо необхідні відомості про комплексні числа.
Комплексне число- це вираз виду a + bi, де a, b- дійсні числа, а i- так звана уявна одиниця, символ, квадрат якого дорівнює –1, тобто i 2 = -1. Число aназивається дійсною частиною, а число b - уявною частиноюкомплексного числа z = a + bi. Якщо b= 0, то замість a + 0iпишуть просто a. Видно, що дійсні числа – це окремий випадок комплексних чисел.
Арифметичні дії над комплексними числами ті ж, що й над дійсними: їх можна складати, віднімати, множити та ділити одна на одну. Додавання та віднімання відбуваються за правилом ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, а множення - за правилом ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i(тут використовується, що i 2 = -1). Число = a – biназивається комплексно-сполученимдо z = a + bi. Рівність z · = a 2 + b 2 дозволяє зрозуміти, як ділити одне комплексне число на інше (ненульове) комплексне число:
(Наприклад, 
.)
У комплексних чисел є зручне та наочне геометричне уявлення: число z = a + biможна зображати вектором з координатами ( a; b) на декартовій площині (або, що майже те саме, точкою - кінцем вектора з цими координатами). При цьому сума двох комплексних чисел зображується як сума відповідних векторів (яку можна знайти за правилом паралелограма). За теоремою Піфагора довжина вектора з координатами ( a; b) дорівнює. Ця величина називається модулемкомплексного числа z = a + biта позначається | z|. Кут, який цей вектор утворює з позитивним напрямом осі абсцис (відрахований проти годинникової стрілки), називається аргументомкомплексного числа zі позначається Arg z. Аргумент визначено не однозначно, а лише з точністю до збільшення величини, кратної 2 π
радіан (або 360 °, якщо рахувати в градусах) - адже ясно, що поворот на такий кут навколо початку координат не змінить вектор. Але якщо вектор довжини rутворює кут φ
з позитивним напрямом осі абсцис, його координати рівні ( r· cos φ
; r· sin φ
). Звідси виходить тригонометрична форма записукомплексного числа: z = |z| · (cos (Arg z) + i sin(Arg z)). Часто буває зручно записувати комплексні числа саме в такій формі, тому що це спрощує викладки. Множення комплексних чисел у тригонометричній формі виглядає дуже просто: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos (Arg z 1 + Arg z 2) + i sin(Arg z 1 + Arg z 2)) (при множенні двох комплексних чисел їх модулі перемножуються, а аргументи складаються). Звідси випливають формули Муавра: z n = |z|n· (cos ( n· (Arg z)) + i sin( n· (Arg z))). За допомогою цих формул легко навчитися отримувати коріння будь-якого ступеня із комплексних чисел. Корінь n-го ступеня з числа z- це таке комплексне число w, що w n = z. Видно, що 
, а де kможе приймати будь-яке значення з множини (0, 1, ..., n- 1). Це означає, що завжди є рівно nкоріння n-й ступеня з комплексного числа (на площині вони розташовуються у вершинах правильного n-кутника).