Метод невизначених коефіцієнтів онлайн із докладним рішенням. Метод невизначених коефіцієнтів

Метод застосовується для мінімізації функцій алгебри логіки від будь-якого числа змінних.

Розглянемо випадок трьох змінних. Булева функція в ДНФ може бути представлена у вигляді різноманітних кон'юнктивних членів, які можуть входити до ДНФ:

де kО(0,1) - коефіцієнти. Метод полягає у підборі коефіцієнтів таким чином, щоб отримувана ДНФ була мінімальною.

Якщо тепер задати різні значення змінних від 000 до 111, то отримаємо 2 n (2 3 =8) рівнянь для визначення коефіцієнтів k:

Розглядаючи набори, на яких функція набуває нульового значення, визначають коефіцієнти, які рівні 0, і викреслюють їх з рівнянь, у правій частині яких стоїть 1. З коефіцієнтів, що залишилися, в кожному рівнянні до одиниці прирівнюють по одному коефіцієнту, що визначає кон'юнкцію найменшого рангу. Інші коефіцієнти прирівнюють до 0. Отже, одиничні коефіцієнти kвизначають відповідну мінімальну форму.

приклад. Мінімізувати задану функцію

якщо відомі значення: ; ; ; ; ; ; ; .

Рішення.

Після викреслення нульових коефіцієнтів отримаємо:

=1;

=1.

Прирівняємо до одиниці коефіцієнт , що відповідає кон'юнкції найменшого рангу і що обертає чотири останні рівняння в 1, а в першому рівнянні доцільно прирівняти до 1 коефіцієнт . Інші коефіцієнти прирівнюють до 0.

Відповідь: вид мінімізованої функції.

Слід зазначити, що метод невизначених коефіцієнтів є ефективним, коли кількість змінних невелика і не перевищує 5-6.

Багатовимірний куб

Розглянемо графічне уявлення функції як багатомірного куба. Кожній вершині n-мірного куба можна поставити у відповідність до конституенту одиниці.

Підмножина зазначених вершин є відображенням на n-мірному кубі булевої функції від nзмінних у СДНФ.

Для відображення функції від nзмінних, представлених у будь-якій ДНФ, необхідно встановити відповідність між її мінітермами та елементами n-мірного куба

Мінітерм (n-1)-го рангу можна розглядати як результат склеювання двох мінітермів. n-го рангу, тобто.

на n-мірному кубі це відповідає заміні двох вершин, які відрізняються лише значеннями координат х i, що з'єднують ці вершини рубом (кажуть, що ребро покриває інцидентні йому вершини).

Таким чином, мінітермам ( n-1)-го порядку відповідають ребра n-мірного куба.

Аналогічно встановлюється відповідність мінітермів ( n-2)-го порядку граням n-мірного куба, кожна з яких покриває чотири вершини (і чотири ребра).

Елементи n-мірного куба, що характеризуються Sвимірами, називаються S-Кубами.

Так вершини є 0-кубами, ребра 1-кубами, грані 2-кубами і т.д.

Узагальнюючи, можна сказати, що мінітерм ( n-S) рангу в ДНФ для функції nзмінних відображається S-кубом, причому кожен S-Куб покриває всі ті куби нижчої розмірності, які пов'язані тільки з його вершинами.

приклад. На рис. дано відображення

Тут мінітерми і відповідають 1-кубам ( S=3-2=1), а мінітерм х 3відображається 2-кубам ( S=3-1=2).

Отже, будь-яка ДНФ відображається на n-мірному кубі сукупністю S-Кубів, які покривають всі вершини, що відповідають конституентам одиницям (0-куба)

Конституенти. Для змінних х 1,х 2,…х nвираз називають конституентою одиниці, а - конституентою нуля (означає або, або).

Дана конституента одиниці (нуля) звертається в одиницю (нуль) лише за одному відповідному їй наборі значень змінних, який виходить, якщо всі змінні прийняти рівними одиниці (нулю), які заперечення - нулю (одиниці).

Наприклад: конституент одиниці відповідає набір (1011), а конституент нуля - Набір (1001).

Оскільки ЦД(К)НФ є диз'юнкцією (кон'юнкцією) конституент одиниці (нуля), можна стверджувати, що представлена нею булева функція f(x 1, x 2, ..., x n) звертається в одиницю (нуль) тільки при наборах значень змінних x 1, x 2, ..., x n, які відповідають цим копституантам. На інших наборах ця функція звертається до 0 (одиницю).

Справедливе та зворотне твердження, на якому заснований спосіб представлення у вигляді будь-якої формулибулевої функції, заданою таблицею.

Для цього необхідно записати диз'юнкції (кон'юнкції) конституент одиниці (нуля), що відповідають наборам значень змінних, на яких функція набуває значення, що дорівнює одиниці (нулю).

Наприклад, функції, заданої таблицею

відповідають

Отримані вирази можна перетворити на інший вид виходячи з властивостей алгебри логіки.

Справедливе та зворотне твердження: якщо деяка сукупність S-Кубів покриває безліч всіх вершин, що відповідають одиничним значенням функції, то диз'юнкція відповідних цим S-кубам мінітермів є виразом цієї функції в ДНФ

Кажуть, що така сукупність S-Кубів (або відповідних їм мінітермів) утворює покриття функції. Прагнення мінімальної форми інтуїтивно розуміється як пошук такого покриття, число S-Кубів якого було б менше, а їх розмірність S- Більше. Покриття, що відповідає мінімальній формі, називають мінімальним покриттям.

Наприклад, для функції у= покриття відповідає мінімальній формі.

Вітаю всіх, любі друзі!

Ну що, вітаю! Ми з вами благополучно дісталися основного матеріалу в інтегруванні раціональних дробів. методу невизначених коефіцієнтів. Великого і могутнього.) У чому полягає його величність і могутність? А полягає воно у його універсальності. Чи має сенс ознайомитися, правда? Попереджу, що уроків з цієї теми буде кілька. Бо тема дуже довга, а матеріал дуже важливий.)

Відразу скажу, що в сьогоднішньому уроці (і наступних теж) ми займатимемося не так інтегруванням, як… розв'язуванням систем лінійних рівнянь!Так Так! Так що ті, хто має проблеми з системами, повторіть матриці, визначники і метод Крамера. А тих товаришів, у кого і з матрицями туго, закликаю, на крайній край, освіжити в пам'яті хоча б "шкільні" методи вирішення систем - метод підстановки та метод почленного складання/віднімання.

Для початку нашого знайомства відмотаємо плівку трохи назад. Ненадовго повернемося до минулих уроків і проаналізуємо всі ті дроби, які ми з вами до цього інтегрували. Безпосередньо, без будь-якого методу невизначених коефіцієнтів! Ось вони ці дроби. Я розсортував їх за трьома групами.

Група 1

У знаменнику – лінійна функціяабо сама по собі, або ж у ступені. Одним словом, у знаменнику стоїть твір однаковихдужок виду (х-а).

Наприклад:

(x+4) 1 = (x+4)

(x-10) 2 = (x-10) (x-10)

(2x+5) 3 = (2x+5)(2x+5)(2x+5)

І так далі. До речі, нехай вас не бентежать дужки (4х+5)або (2х+5) 3з коефіцієнтом kвсередині. Це все одно, за своєю суттю, дужки виду (х-а). Бо це саме kіз таких дужок завжди можна винести назовні.

Ось так:

Ось і все.) І неважливо, що саме при цьому стоїть у чисельнику – просто dxабо багаточлен який. Ми завжди розкладали чисельник за ступенями дужки (x-a), перетворювали великий дріб на суму маленьких, підводили (де треба) дужку під диференціал та інтегрували.

Група 2

Що спільного у цих дробів?

А спільне те, що у всіх знаменниках стоїть квадратний тричленax 2 + bx+ c. Але не просто, а саме в єдиному екземплярі. І неважливо тут, чи позитивний у нього дискримінант чи негативний.

Такі дроби завжди інтегрувалися одним із двох способів - або розкладанням чисельника за ступенями знаменника, або виділенням повного квадрата в знаменнику з наступною заміною змінної. Все залежить від конкретної підінтегральної функції.

Група 3

Це були найгірші для інтегрування дробу. У знаменнику – нерозкладний квадратний тричлен, та ще й у ступені n. Але, знову ж таки, в єдиному екземплярі. Бо, крім тричлена, інших множників у знаменнику немає. Такі дроби інтегрувалися за . Або безпосередньо, або зводилися до неї після виділення повного квадрата в знаменнику та наступної заміни змінної.

Однак, на жаль, все багате різноманіття раціональних дробів не обмежується тільки цими трьома розглянутими групами.

А як бути, якщо у знаменнику стоять різнідужки? Наприклад, щось типу:

(х-1)(х+1)(х+2)

Або одночасно дужка (х-а)і квадратний тричлен, щось типу (х-10) (х 2 -2х +17)? І в інших подібних випадках? Ось саме в таких випадках і приходить на допомогу метод невизначених коефіцієнтів!

Відразу скажу: працювати ми поки що будемо тільки з правильнимидробами. Тими, у яких ступінь чисельника строго менший від ступеня знаменника. Як бути з неправильними дробами, докладно розказано по дробах. Потрібно виділяти цілу частину (багаточлен). Поділом куточком чисельника на знаменник або розкладанням чисельника – як хочете. І навіть приклад розібрано. А багаточлен ви вже якось сяк-так проінтегруєте. Не маленькі вже йди.) Але на неправильні дроби теж вирішуємо приклади!

А тепер починаємо знайомитись. На відміну від більшості підручників з вищої математики, наше знайомство ми почнемо не з сухої та важкої теорії про основну теорему алгебри, теорему Безу, про розкладання раціонального дробу на суму найпростіших (про ці дроби пізніше) та іншого занудства, а почнемо ми з нескладного прикладу .

Наприклад, нам потрібно знайти ось такий невизначений інтеграл:

Перший погляд на підінтегральний дріб. У знаменнику стоїть твір трьох дужок:

(x-1)(x+3)(x+5)

Причому всі дужки різні. Тому наша стара технологія з розкладанням чисельника за ступенями знаменника цього разу вже не прокочує: яку саме дужку виділяти у чисельнику? (Х-1)? (Х +3)? Незрозуміло ... Виділення повного квадрата в знаменнику - теж не в касу: там багаточлен третьоюступеня (якщо перемножити всі дужки). Що робити?

При погляді на наш дріб виникає цілком природне бажання… Прямо-таки непереборне! З нашого великого дробу, який незручноінтегрувати, якось зробити три маленькі. Хоча б ось так:

Чому саме такий вид треба шукати? А все тому, що в такому вигляді наш вихідний дріб уже зручнадля інтегрування! Підводимо знаменник кожного маленького дробу і – вперед.)

А чи взагалі можна отримати таке розкладання? Новина хороша! Відповідна теорема математики каже – так можна! Таке розкладання існує єдино.

Але є одна проблема: коефіцієнти А, Уі Зми Бувайне знаємо. І зараз нашим основним завданням якраз і буде їх визначити. Дізнатися, чому ж рівні наші літери А, Уі З. Звідси і назва – метод невизначенихкоефіцієнтів. Почнемо нашу казкову подорож!

Отже, у нас є рівність, від якої ми починаємо танцювати:

Давайте приведемо праворуч всі три дроби до спільного знаменника і складемо:

Тепер можна сміливо відкинути знаменники (бо вони однакові) і прирівняти чисельники. Все як у звичайному

Наступним кроком розкриваємо всі дужки(коефіцієнти А, Уі З Бувайкраще залишити зовні):

А тепер (важливо!) вибудовуємо всю нашу конструкцію праворуч за старшинством ступенів: спочатку збираємо в купку всі члени з х 2 потім - просто з іксом і, нарешті, збираємо вільні члени. Фактично, просто наводимо подібні та групуємо доданки за ступенями ікс.

Ось так:

А тепер осмислюємо результат. Зліва – наш вихідний багаточлен. Другою мірою. Чисельник нашого підінтегрального дробу. Праворуч – теж деякий багаточлен другого ступеня.Але з невідомими коефіцієнтами.Ця рівність має бути справедливою при всіх допустимих значеннях ікс. Дроби ліворуч і праворуч були однакові (за нашою умовою)! Це означає, що їх чисельниківі (тобто наші багаточлени) – теж однакові. Отже, коефіцієнти при однакових ступенях іксу цих багаточленів обов'язково повинні бути рівними!

Починаємо з найстаршого ступеня. З квадрата. Дивимося, що за коефіцієнти у нас стоять за х 2 ліворуч і праворуч. Праворуч у нас коштує сума коефіцієнтів А+В+С, а ліворуч – двійка. Тож у нас народжується перше рівняння.

Записуємо:

А+В+С = 2

Є. Перше рівняння готове.)

Далі йдемо по траекторії, що знижується - дивимося на члени з іксом в першому ступені. Праворуч при ікс у нас стоїть 8А+4В+2С. Добре. А що у нас при ікс стоїть ліворуч? Гм ... Зліва взагалі ніякого доданку з іксом немає! Там тільки 2х2 – 3. Як бути? Дуже просто! Це означає, що коефіцієнт при ікс зліва у нас дорівнює нулю!Ми ж можемо записати нашу ліву частину так:

А що? Маємо повне право.) Звідси друге рівняння виглядає так:

8 A+4 B+2 C = 0

Ну ось, практично, і все. Залишилось прирівняти вільні члени:

15А-5В-3С = -3

Одним словом, прирівнювання коефіцієнтів при однакових ступенях іксу відбувається за такою схемою:

Усі три наші рівності мають виконуватися одночасно.Тому збираємо із наших виписаних рівнянь систему:

Системка не найважча для старанного студента – три рівняння та три невідомі. Як бажаєте, так і вирішуйте. Можна методом Крамера через матриці з визначниками, можна методом Гауса, можна навіть звичайною шкільною підстановкою.

Спершу я вирішу цю систему так, як зазвичай вирішують такі системи культурні студенти. А саме – методом Крамера.

Рішення починаємо зі складання матриці системи. Нагадую, що ця матриця - просто табличка, складена з коефіцієнтів за невідомих.

Ось вона:

Насамперед обчислюємо визначник матриці системи.Або, коротко, визначник системи.Зазвичай він позначається грецькою літерою ∆ ("дельта"):

Відмінно, визначник системи не дорівнює нулю (-48≠0) . З теорії систем лінійних рівнянь цей факт означає, що наша система спільна і має єдине рішення.

Наступним кроком обчислюємо визначники невідомих ∆ A , ∆ B , ∆ C. Нагадую, що кожен із цих трьох визначників виходить із основного визначника системи шляхом заміни стовпців із коефіцієнтами за відповідних невідомих на стовпець вільних членів.

Ось і складаємо визначники та вважаємо:

Докладно пояснювати техніку обчислення визначників третього порядку тут не буду. І не просіть. Це вже зовсім відхилення від теми.) Хто в темі, той розуміє, про що йдеться. І, можливо, вже здогадався, яким саме способом я обчислив ці три визначники.

Ось все і готове.)

Так зазвичай вирішують системи культурні студенти. Але… Не всі студенти дружать з та визначниками. На жаль. Для когось ці прості поняття вищої математики так назавжди залишаються китайською грамотою і таємничим монстром у тумані.

Що ж, спеціально для таких некультурних студентів пропоную звичний спосіб вирішення - метод послідовного виключення невідомих.Фактично, це просунутий "шкільний" метод підстановки. Тільки кроків більше буде.) Але суть та сама. Насамперед я виключу змінну З. Для цього я висловлю Зз першого рівняння та підставлю у друге та третє:

Спрощуємо, наводимо подібні та отримуємо нову систему, вже з двоманевідомими:

Тепер, у цій новій системі, теж можна висловити одну із змінних через іншу. Але найуважніші студенти, можливо, зауважать, що коефіцієнти перед змінною B – протилежні. Два та мінус два. Отже, дуже зручно буде скласти між собою обидва рівняння, щоб унеможливити змінну Уі залишити тільки букву А.

Складаємо ліві та праві частини, подумки скорочуємо 2Bі -2Bі вирішуємо рівняння лише щодо А:

Є. Перший коефіцієнт знайдено: А = -1/24.

Визначаємо другий коефіцієнт У. Наприклад, з верхнього рівняння:

Звідси отримуємо:

Чудово. Другий коефіцієнт також знайдено: B = -15/8 . Залишилася ще буква З. Для її визначення використовуємо найвище рівняння, де вона у нас виражена через Аі У:

Отже:

Ну от і все. Невідомі коефіцієнти знайдено! Не має значення, через Крамера чи через підстановку. Головне, правильнознайдені.)

Отже, наше розкладання великого дробу на суму маленьких виглядатиме ось так:

І нехай вас не бентежать отримані дробові коефіцієнти: у цій процедурі (методі невизначених коефіцієнтів) це звичайнісіньке явище. :)

А тепер дуже бажано перевірити, чи правильно ми знайшли наші коефіцієнти. A, Bі З. Тому зараз беремо чернетку і згадуємо восьмий клас – складаємо назад всі три наші маленькі дроби.

Якщо ми отримаємо вихідний великий дріб – це все добре. Ні - значить, бийте мене шукайте помилку.

Загальний знаменник, очевидно, буде 24(х-1)(х+3)(х+5).

Поїхали:

Єс! Отримали вихідний дріб. Що й потрібно було перевірити. Все гуд. Тож прошу не бити.)

А тепер повертаємось до нашого вихідного інтегралу. Найлегше він за цей час не став, так. Але тепер, коли наш дріб розкладено на суму маленьких, його інтегрування стало суцільним задоволенням!

Дивіться самі! Вставляємо наше розкладання у вихідний інтеграл.

Отримуємо:

Користуємося властивостями лінійності та розбиваємо наш великий інтеграл на суму маленьких, всі константи виносимо за знаки інтеграла.

Отримуємо:

А отримані три маленькі інтеграли вже легко беруться. .

Продовжуємо інтегрування:

Ось і все.) І не треба в даному уроці питати мене, звідки у відповіді взялися логарифми! Хто пам'ятає, той у темі і все зрозуміє. А хто не пам'ятає – гуляємо посиланнями. Я їх не так просто ставлю.

Остаточна відповідь:

Ось така красива трійця: три логарифми - боягуз, бувалий і балбес. :) І спробуй, здогадайся до такої хитрої відповіді з ходу! Тільки метод невизначених коефіцієнтів і рятує, так.) Власне, з цією метою і розуміємось. Що, як і звідки.

Як тренувальна вправа, пропоную вам попрактикуватися в методі і проінтегрувати такий дріб:

Потренуйтеся, знайдіть інтеграл, не вважайте за працю! Повинна вийти ось така відповідь:

Метод невизначених коефіцієнтів – штука сильна. Рятує навіть у безнадійній ситуації, коли і так дріб перетворюєш, і так. І ось тут у деяких уважних читачів, що цікавляться, можливо, виникла ціла низка питань:

- Що робити, якщо багаточлен у знаменнику взагалі не розкладений на множники?

- ЯК треба шукати розкладання будь-якого великого раціонального дробу на суму маленьких? В якому вигляді? Чому саме в такому, а не сякому?

- Що робити, якщо у розкладанні знаменника є кратні множники? Або дужки в ступенях типу (х-1) 2? Яким чином шукати розкладання?

- Що робити, якщо, окрім простих дужок виду (х-а), знаменник одночасно містить і нерозкладний квадратний тричлен? Скажімо, х 2+4х+5? Яким чином шукати розкладання?

Що ж, настав час ґрунтовно розбиратися, звідки ноги ростуть. У наступних уроках.)

Метод застосовується для мінімізації функцій алгебри логіки від будь-якого числа змінних.

де kÎ(0,1) - коефіцієнти. Метод полягає у підборі коефіцієнтів таким чином, щоб отримувана ДНФ була мінімальною.

приклад. Мінімізувати задану функцію

якщо відомі значення:
;
;
;
;
;
;
;
.

Рішення.

Після викреслення нульових коефіцієнтів отримаємо:

=1;

=1.

Прирівняємо до одиниці коефіцієнт , що відповідає кон'юнкції найменшого рангу і обертає чотири останні рівняння в 1, а в першому рівнянні доцільно прирівняти до 1 коефіцієнт . Інші коефіцієнти прирівнюють до 0.

Відповідь: вид мінімізованої функції.

Багатовимірний куб

Підмножина зазначених вершин є відображенням на n-мірному кубі булевої функції від nзмінних у СДНФ.

Мінітерм (n-1)-го рангу
можна розглядати як результат склеювання двох мінітермів n-го рангу, тобто.

на n-мірному кубі це відповідає заміні двох вершин, які відрізняються лише значеннями координат х i, що з'єднують ці вершини рубом (кажуть, що ребро покриває інцидентні йому вершини).

Таким чином, мінітермам ( n-1)-го порядку відповідають ребра n-мірного куба.

Елементи n-мірного куба, що характеризуються Sвимірами, називаються S-Кубами.

Так вершини є 0-кубами, ребра 1-кубами, грані 2-кубами і т.д.

приклад. На рис. дано відображення

Тут мінітерми
і
відповідають 1-кубам ( S=3-2=1), а мінітерм х 3 відображається 2-кубам ( S=3-1=2).

Конституенти. Для змінних х 1 ,х 2 ,…х nвираз
називають конституентою одиниці, а
- конституентою нуля ( означає або , або ).

Наприклад: конституент одиниці
відповідає набір (1011), а конституенті нуля
- Набір (1001).

Оскільки ЦД(К)НФ є диз'юнкцією (кон'юнкцією) конституент одиниці (нуля), можна стверджувати, що представлена нею булева функція f(x 1 , x 2 ,…, x n) звертається в одиницю (нуль) тільки при наборах значень змінних x 1 , x 2 ,…, x n, які відповідають цим копституантам. На інших наборах ця функція звертається до 0 (одиницю).

Наприклад, функції, заданої таблицею

відповідають

Отримані вирази можна перетворити на інший вид виходячи з властивостей алгебри логіки.

Наприклад, для функції у=
покриття відповідає мінімальній формі:

рис a) у=,

а покриття на рис б) у=
, рис в) у=
мінімальні.

Мал. Покриття функції у=:

а) немінімальна; б); в) мінімальне.

Відображення функції на n-мірному наочно і просто при n3. Чотиривимірний куб можна зобразити, як показано на рис., де відображені функції чотирьох змінних та її мінімальне покриття, що відповідає виразу у=

Використання цього методу при n>4 вимагає настільки складних побудов, що втрачає всі переваги.

Раціональна функція - це дріб виду, чисельник і знаменник якого - багаточлени або твори багаточленів.

приклад 1. Крок 2

Помножуємо невизначені коефіцієнти на багаточлени, яких немає в даному окремому дробі, але які є в інших отриманих дробах:

Розкриваємо дужки та прирівнюємо отриманий до отриманого виразу чисельник вихідного підінтегрального дробу:

В обох частинах рівності відшукуємо доданки з однаковими ступенями іксу і складаємо з них систему рівнянь:

Скорочуємо всі ікси та отримуємо еквівалентну систему рівнянь:

Таким чином, остаточне розкладання підінтегрального дробу на суму простих дробів:

приклад 2. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

Тепер починаємо шукати невизначені коефіцієнти. Для цього чисельник вихідного дробу у виразі функції прирівнюємо до чисельника виразу, отриманого після приведення суми дробів до спільного знаменника:

Тепер потрібно скласти та вирішити систему рівнянь. Для цього прирівнюємо коефіцієнти при змінній у відповідному ступені в чисельнику вихідного виразу функції та аналогічні коефіцієнти в отриманому на попередньому кроці виразу:

Вирішуємо отриману систему:

Отже, , звідси

приклад 3. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

Починаємо шукати невизначені коефіцієнти. Для цього чисельник вихідного дробу у виразі функції прирівнюємо до чисельника виразу, отриманого після приведення суми дробів до спільного знаменника:

Як і в попередніх прикладах, складаємо систему рівнянь:

Скорочуємо ікси та отримуємо еквівалентну систему рівнянь:

Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:

Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:

приклад 4. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

Як прирівнювати чисельник вихідного дробу до виразу в чисельнику, отриманому після розкладання дробу на суму простих дробів та приведення цієї суми до спільного знаменника, ми вже знаємо з попередніх прикладів. Тому лише для контролю наведемо систему рівнянь, що вийшла:

Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:

Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:

Приклад 5. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

Самостійно приводимо до спільного знаменника цю суму, прирівнювати чисельник цього виразу до чисельника вихідного дробу. В результаті має вийти наступна система рівнянь:

Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:

Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:

Приклад 6. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

Проводимо з цією сумою ті ж дії, що й у попередніх прикладах. В результаті має вийти наступна система рівнянь:

Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:

Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:

Приклад 7. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

Після відомих дій з отриманою сумою має вийти наступна система рівнянь:

Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:

Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:

Приклад 8. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:

Внесемо деякі зміни до вже доведених до автоматизму дій для отримання системи рівнянь. Є штучний прийом, який у деяких випадках допомагає уникнути зайвих обчислень. Наводячи суму дробів до спільного знаменника одержуємо і прирівнюючи чисельник цього виразу до чисельника вихідного дробу, одержуємо.

Рівність (I) є тотожністю. Привівши його до цілого виду, отримаємо рівність 2-х багаточленів. Але така рівність завжди виконується лише за умови почленної рівності цих багаточленів.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях х, що стоять у лівій та правій частинах рівності, отримаємо систему лінійних рівнянь щодо невідомих коефіцієнтів, яку слід розв'язати.

Так як розкладання (I) завжди існує для будь-якої правильної раціональної дробу, отримана система завжди спільна.

Такий метод знаходження коефіцієнтів називається методом невизначених коефіцієнтів (спосіб порівняння коефіцієнтів).

Наведемо приклад розкладання раціональної функції елементарні дроби.

Приклад 6.6.27. Розкласти дріб на елементарні.

останнє рівняння підставимо до другого

Таким чином,
.

x=2 ;

x=3 .

Слід; .

Метод приватних значень вимагає менших витрат праці і тому заслуговує на особливу увагу при інтегруванні раціональних дробів.

Якщо коріння знаменника лише дійсне, то визначення невідомих коефіцієнтів доцільно користуватися саме цим способом.

В інших випадках для визначення невідомих коефіцієнтів можна комбінувати обидва способи.

Зауваження. p align="justify"> Метод приватних значень застосовується і тоді, коли інші випадки, але тут потрібно тотожність диференціювати.

Таким чином, для інтегрування правильних раціональних дробів достатньо вміти:

1) інтегрувати елементарні дроби;

2) розкладати раціональні дроби на елементарні.

3. Інтегрування раціональних дробів

Схема інтегрування раціональних дробів:

Для інтегрування раціональних дробів ;

Де P(x) і Q(x) – багаточлени з дійсними коефіцієнтами, що послідовно виконують три кроки.

Перший крок. Якщо дріб неправильний, тобто ступінь чисельника P(x) більший або дорівнює ступеню знаменника Q(x), виділяють цілу частину раціонального дробу, ділячи чисельник на знаменник за правилом поділу багаточлена на багаточлен. Після цього раціональний дріб може бути записаний у вигляді суми:

1) виділеної цілої частини - многочлена М(х);

2) правильного залишкового дробу :

Другий крок.

Правильний залишковий дріб розкладають на такі дроби.

Для цього знаходять корені рівняння Q(x)=0 і розкладають знаменник Q(x) на множники першого та другого ступеня з дійсними коефіцієнтами:

У цьому розкладанні знаменника множники 1-го ступеня відповідають дійсним корінням, а множники 2-го ступеня – паралельного поєднаного коріння.

Коефіцієнт при більшому ступені х у знаменнику Q(x) вважатимуться рівним 1 бо цього можна домогтися, розподілом нього P(x) і Q(x).

Після цього правильний залишковий дріб розкладається на найпростіші (елементарні).

Третій крок. Знаходять інтеграли виділеної цілої частини та всіх елементарних дробів (методами, розглянутими вище), які потім складають.

Приклад6.6.28.

Під знаком інтеграла – неправильний раціональний дріб, оскільки ступінь чисельник дорівнює ступеню знаменника, тому виділяємо цілу частину.