| № п/п | Елементи змісту | Вмітивирішувати проблемні завдання та ситуації | С-9 |
|
| 26 | Ступінь із негативним цілим показником | Ступінь з натуральним показником, ступінь з негативним показником, множення, розподіл та зведення у ступінь ступеня числа | Матиуявлення про ступінь з натуральним показником, про ступінь з негативним показником, множення, розподіл і зведення в ступінь ступеня числа Вміти: – спрощувати вирази, використовуючи визначення ступеня з негативним показником та властивості ступеня; – складати текст наукового стилю | С-10 |
| 29 | Контрольна робота №2 «Перетворення раціональних виразів» | Вмітисамостійно вибрати раціональний спосіб перетворення раціональних виразів, доводити тотожність, вирішувати раціональні рівняння способом звільнення від знаменників, складаючи математичну модель реальної ситуації | К.Р. №2 |
 |
|
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
Запитання до заліку
Сформулюйте основну властивість дробу.
Сформулюйте
Алгоритм відшукання додаткового множника до дробу алгебри.
Правила складання та віднімання алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками.
Алгоритм відшукання спільного знаменника кількох дробів
Правило складання (віднімання) алгебраїчних дробів з різними знаменниками.
Правило множення алгебраїчних дробів
Правило поділу алгебраїчних дробів.
Правило зведення алгебраїчного дробу на ступінь.
На цьому уроці розглядається поняття дробу алгебри. З дробами людина зустрічається у найпростіших життєвих ситуаціях: коли необхідно розділити об'єкт на кілька частин, наприклад, розрізати торт порівну на десять осіб. Очевидно, що кожному дістанеться почасти торта. У зазначеному випадку ми стикаємося з поняттям числового дробу, проте можлива ситуація, коли об'єкт поділяється на невідому частину, наприклад, на x. У разі виникає поняття дробового висловлювання. З цілими виразами (що не містять розподіл на вирази зі змінними) та їх властивостями ви вже познайомилися у 7 класі. Далі ми розглянемо поняття раціонального дробу, і навіть допустимих значень змінних.
Тема:Алгебраїчні дроби. Арифметичні операції над алгебраїчними дробами
Урок:Основні поняття
1. Визначення та приклади алгебраїчних дробів
Раціональні вирази поділяються на цілі та дробові вирази.
Визначення. Раціональний дріб- Дробове вираз виду, де - многочлени. - чисельник знаменник.
Приклади раціональних виразів:
- Дробові вирази; - Цілі вирази. У першому вираженні, наприклад, у ролі чисельника виступає , а знаменника - .
Значення алгебраїчного дробу, як і будь-якого алгебраїчного виразузалежить від чисельного значення тих змінних, які до нього входять. Зокрема, у першому прикладі значення дробу залежить від значень змінних і , а у другому тільки від значення змінної .
2. Обчислення значення алгебраїчного дробу та два основні завдання на дроби
Розглянемо перше типове завдання: обчислення значення раціонального дробупри різних значеннях змінних, що входять до неї.
Приклад 1. Обчислити значення дробу при а), б), в)
Рішення. Підставимо значення змінних у зазначений дріб: а), б), в) - не існує (бо на нуль ділити не можна).
Відповідь: 3; 1; не існує.
Як бачимо, виникає два типові завдання для будь-якого дробу: 1) обчислення дробу; 2) знаходження допустимих та неприпустимих значеньлітерних змінних.
Визначення. Допустимі значення змінних- значення змінних, у яких вираз має сенс. Безліч всіх допустимих значень змінних називається ОДЗабо область визначення.
3. Допустимі (ОДЗ) та неприпустимі значення змінних у дробах з однією змінною
Значення літерних змінних може виявитися неприпустимим, якщо знаменник дробу за цих значень дорівнює нулю. У решті випадків значення змінних є допустимими, тому що дріб можна обчислити.
Приклад 2. Встановити, за яких значеннях змінної немає сенсу дріб .
Рішення. Щоб цей вислів мав сенс, необхідно і достатньо, щоб знаменник дробу не дорівнював нулю. Таким чином, недопустимими будуть ті значення змінної, у яких знаменник дорівнюватиме нулю. Знаменник дробу , тому розв'яжемо лінійне рівняння:
Отже, при значенні змінної дріб не має сенсу.
З рішення прикладу випливає правило знаходження неприпустимих значень змінних - знаменник дробу дорівнює нулю і є коріння відповідного рівняння.
Розглянемо кілька аналогічних прикладів.
Приклад 3. Встановити, за яких значеннях змінної немає сенсу дріб.
Рішення. .
Приклад 4. Встановити, за яких значеннях змінної немає сенсу дріб .
Рішення..
Зустрічаються й інші формулювання цієї задачі - знайти область визначенняабо область допустимих значень виразу (ОДЗ). Це означає знайти всі допустимі значення змінних. У нашому прикладі - це значення, крім . Область визначення зручно зображати на числовій осі.
Для цього на ній виколемо крапку, як це вказано на малюнку:
Таким чином, областю визначення дробубудуть усі числа, крім 3.
Приклад 5. Встановити, за яких значеннях змінної немає сенсу дріб .
Рішення..
Зобразимо отримане рішення на числовій осі:
4. Графічне подання області допустимих (ОДЗ) та неприпустимих значень змінних у дробах
Приклад 6. Встановити, за яких значеннях змінних немає сенсу дріб .
Рішення. Ми отримали рівність двох змінних, наведемо числові приклади: або і т.д.
Зобразимо це рішення на графіку в системі декартової координат:
Мал. 3. Графік функції.
Координати будь-якої точки, що лежить на даному графіку, не входять до області допустимих значень дробу.
5. Випадок типу "розподіл на нуль"
У розглянутих прикладах ми стикалися із ситуацією, коли виникало поділ на нуль. Тепер розглянемо випадок, коли виникає цікавіша ситуація з розподілом типу .
Приклад 7. Встановити, за яких значеннях змінних немає сенсу дріб .
Рішення..
Виходить, що дріб немає сенсу при . Але можна заперечити, що це не так, бо: 
.
Може здатися, що й кінцеве вираз дорівнює 8 при , те й вихідне теж можна обчислити, отже, має сенс при . Однак, якщо підставити у вихідний вираз, то отримаємо – не має сенсу.
Щоб докладніше розібратися з цим прикладом, розв'яжемо наступне завдання: за яких значень зазначений дріб дорівнює нулю?
(Дроб дорівнює нулю, коли її чисельник дорівнює нулю) 
. Але необхідно вирішити вихідне рівняння з дробом, а вона не має сенсу при тому, що при цьому значенні змінної знаменник дорівнює нулю. Значить, дане рівняння має лише один корінь.
6. Правило знаходження ОДЗ
Таким чином, можемо сформулювати точне правило знаходження області допустимих значень дробу: для знаходження ОДЗдробинеобхідно і достатньо прирівняти її знаменник до нуля та знайти коріння отриманого рівняння.
Ми розглянули два основні завдання: обчислення значення дробупри зазначених значеннях змінних та знаходження області допустимих значень дробу.
Розглянемо тепер ще кілька завдань, які можуть виникнути під час роботи з дробами.
7. Різні завдання та висновки
Приклад 8. Доведіть, що за будь-яких значень змінної дріб .
Доведення. Чисельник – число позитивне. . У результаті і чисельник, і знаменник - позитивні числа, отже, і дріб є позитивним числом.
Доведено.
Приклад 9. Відомо, що знайти .
Рішення. Поділимо дріб почленно. Скорочувати на ми маємо право, з огляду на те, що є неприпустимим значенням змінної для даного дробу.
На цьому уроці ми розглянули основні поняття, пов'язані з дробами. На наступному уроці ми розглянемо основна властивість дробу.
Список літератури
1. Башмаков М. І. Алгебра 8 клас. - М: Просвітництво, 2004.
2. Дорофєєв Г. В., Суворова С. Б., Бунімович Є. А. та ін Алгебра 8. - 5-те вид. - М: Просвітництво, 2010.
3. Микільський С. М., Потапов М. А., Решетніков Н. Н., Шевкін А. В. Алгебра 8 клас. Підручник для загальноосвітніх установ. - М: Просвітництво, 2006.
1. Фестиваль педагогічних ідей.
2. Стара школа.
3. Інтернет-портал lib2.podelise. ru .
Домашнє завдання
1. №4, 7, 9, 12, 13, 14. Дорофєєв Г. В., Суворова С. Б., Бунімович Є. А. та ін Алгебра 8. - 5-те вид. - М: Просвітництво, 2010.
2. Запишіть раціональний дріб, областю визначення якого є: а) множина , б) множина , в) вся числова вісь.
3. Доведіть, що за всіх допустимих значень змінної значення дробу невід'ємне.
4. Знайдіть область визначення виразу. Вказівка: розглянути окремо два випадки: коли знаменник нижнього дробу дорівнює нулю і коли знаменник вихідного дробу дорівнює нулю.
Розділ математики. Наскрізна лінія.
Числа та обчислення
Вирази та перетворення
Алгебраїчний дріб.
Скорочення дробів.
Дії з дробами алгебри.
| Програма | ^ Кількість годин | Контроль позначки | |
| У-1. Комбінований урок «Основні поняття» | 1 | Завдання для усного рахунку. Упр.1 «Числові вирази» |
|
| У-2. Урок-лекція "Основна властивість алгебраїчного дробу. Скорочення дробів" | 1 | Демонстраційний матеріал "Основна властивість алгебраїчного дробу" |
|
| У-3. Урок-закріплення вивченого | 1 | Усний рахунок Самостійна робота 1.1 «Основна властивість дробу. Скорочення дробів» | Завдання для усного рахунку. Упр.2 «Скорочення алгебраїчних дробів» |
| У-4. Комбінований урок "Складання та віднімання дробів з однаковими знаменниками" | 1 | |
|
| У-5. Урок- вирішення завдань | 1 | CD Математика 5-11 Вправи "Раціональні числа". |
|
| У-6. Комбінований урок "Складання та віднімання дробів з різними знаменниками" | 1 | Демонстраційний матеріал "Складання та віднімання алгебраїчних дробів" |
|
| У-7. Урок- вирішення завдань | 1 | Усний рахунок | Завдання для усного рахунку. Упр.3 «Складання та віднімання алгебраїчних дробів» |
| У-8. Урок-самостійна робота | 1 | Самостійна робота 1.2 «Складання та віднімання алгебраїчних дробів» | |
| У-9. Урок- вирішення завдань | 1 | ||
| У-10. Урок-контрольна робота | 1 | Контрольна робота №1 | |
| У-11. Комбінований урок "Умноження та розподіл алгебраїчних дробів. Зведення алгебраїчних дробів у ступінь" | 1 | ||
| У-12. Урок- вирішення завдань | 2 | Самостійна робота 1.3 «Множення та розподіл дробів» | |
| У-13. Комбінований урок "Перетворення раціональних виразів" | 1 | Усний рахунок | Завдання для усного рахунку. Упр.4 «Множення та розподіл алгебраїчних дробів» |
| У-14. Урок- вирішення завдань | 1 | ||
| У-15. Урок-самостійна робота | 1 | Самостійна робота 1.4 «Перетворення раціональних виразів» | |
| У-16. Урок-практикум "Перші уявлення про рішення раціональних рівнянь" | 1 | CD Математика 5-11 Віртуальна лабораторія "Графік функції". |
|
| У-17. Урок- вирішення завдань | 1 | Тест 1 «Алгебраїчні дроби» | |
| У-18. Урок-контрольна робота. | 1 | Контрольна робота №2 |
Вміти скорочувати алгебраїчні дроби.
Вміти виконувати основні дії з дробами алгебри.
Вміти виконувати комбіновані вправи на дії з дробами алгебри.
Тема 2. Квадратична функція. Функція . (18 годин)
Функція
Обов'язковий мінімум змісту освітньої галузі математика
програма. Контроль за її виконанням
| Програма | Кіль- за годину | Контроль позначки | Комп'ютерне забезпечення уроку |
| У-1. Комбінований урок «Функція , її властивості та графік» | 1 | |
|
| | 1 | Усний рахунок | Завдання для усного рахунку. Упр.5 «Функція» Демонстраційний матеріал «Парабола. Застосування в науці та техніці» |
| У-3. Урок-вирішення завдань | 1 | Самостійна робота 2.1 «Функція у = kx 2
» | |
| У-4. Урок-лекція "Функція та її графік" | 1 | Демонстраційний матеріал «Функція, її властивості та графік» |
|
| ^ У-5. Урок-вирішення завдань | 3 | Усний рахунок Самостійна робота 2.2 «Функція» | Завдання для усного рахунку. Упр.6 «Зворотна пропорційність» |
| У-6,7. Уроки-практикуми «Як побудувати графік функції » | 2 | Практична робота | |
| У-8,9. Уроки-практикуми «Як побудувати графік функції якщо відомий графік функції » | 2 | CD« Математика 5-11 кл.» Віртуальна лабораторія "Графіки функцій" |
|
| ^ У-10. Урок-контрольна робота | 1 | Контрольна робота №3 | |
| У-11 Уроки-практикум «Як побудувати графік функції якщо відомий графік функції » | 1 | CD« Математика 5-11 кл.» Віртуальна лабораторія "Графіки функцій" |
|
| У-12 Урок-практикум «Як побудувати графік функції якщо відомий графік функції » | 1 | Самостійна робота 2.3 «Графіки функцій» | CD« Математика 5-11 кл.» Віртуальна лабораторія "Графіки функцій" |
| У-13. Комбінований урок «Функція , її властивості та графік» | 1 | Демонстраційний матеріал «Властивості квадратичної функції» |
|
| У-14. Урок-закріплення вивченого. | 1 | Усний рахунок | Завдання для усного рахунку. Упр.7 «Квадратична функція» |
| У-15. Урок-вирішення завдань | 1 | Усний рахунок Самостійна робота 2.4 «Властивості та графік квадратичної функції» | Завдання для усного рахунку. Упр.8 «Властивості квадратичної функції» |
| У-16. Урок-тест | 1 | Тест 2 "Квадратична функція" | |
| ^ У-17. Урок-практикум «Графічне розв'язання квадратних рівнянь» | 1 | Демонстраційний матеріал «Графічне розв'язання квадратних рівнянь» |
|
| У-18. Урок-контрольна робота | 1 | Контрольна робота №4 |
Вимоги до математичної підготовки
Рівень обов'язкової підготовки учня
Рівень можливої підготовки учня
Тема 3 Функція . Властивості квадратного кореня (11 годин)
Розділ математики. Наскрізна лінія
Числа та обчислення
Вирази та перетворення
Функції
Квадратний корінь із числа. Арифметичний квадратний корінь.
Поняття про ірраціональне число. Ірраціональність числа.
Дійсні числа.
Властивості квадратних коренів та їх застосування у обчисленнях.
Функція.
програма. Контроль за її виконанням
| Програма | Кількість на годину | Контроль позначки | Комп'ютерне забезпечення уроку |
| ^ У-1. Урок-лекція "Поняття квадратного кореня з невід'ємного числа" | 1 | Демонстраційний матеріал «Поняття квадратного кореня» |
|
| У-2. Урок- вирішення завдань | 1 | Самостійна робота 3.1 «Арифметичний квадратний корінь» | |
| У-3. Комбінований урок «Функція , її властивості та графік» | 1 | Демонстраційний матеріал «Функція, її властивості та графік» |
|
| ^ У-4. Урок- вирішення завдань | 1 | Усний рахунок | Завдання для усного рахунку. Упр.9 «Арифметичний квадратний корінь» |
| ^ У-5. Комбінований урок «Властивості квадратного коріння» | 1 | Демонстраційний матеріал «Застосування властивостей арифметичного квадратного кореня» |
|
| ^ У-6 Урок- вирішення завдань | 1 | Усний рахунок Самостійна робота 3.2 «Властивості арифметичного квадратного кореня» | Завдання для усного рахунку. Упр.10 «Квадратний корінь із твору та дробу» |
| ^ У-7,8. Уроки-практикуми "Перетворення виразів, що містять операцію вилучення квадратного кореня". | 2 | Практична робота | |
| ^ У-9. Урок- вирішення завдань | 1 | Усний рахунок Самостійна робота 3.3 «Застосування властивостей арифметичного квадратного кореня» | Завдання для усного рахунку. Упр.11 «Квадратний корінь зі ступеня» |
| У-10. Урок- вирішення завдань | 1 | Тест 3 «Квадратне коріння» | |
| У-11. Урок-контрольна робота. | 1 | Контрольна робота №5 |
^ Вимоги до математичної підготовки
Рівень обов'язкової підготовки учня
Знаходити у нескладних випадках значення коренів.
Знати визначення та властивості функції , вміти будувати її графік.
Вміти застосовувати властивості арифметичних квадратних коренів для обчислення значень та найпростіших перетворень числових виразів, що містять квадратне коріння.
Рівень можливої підготовки учня
Знати поняття арифметичного квадратного кореня.
Вміти застосовувати властивості арифметичного квадратного кореня під час перетворення виразів.
Вміти використовувати властивості функції під час вирішення практичних завдань.
Мати уявлення про ірраціональні та дійсні числа.
^ Тема 4 Квадратні рівняння (21 год)
Розділ математики. Наскрізна лінія
Рівняння та нерівності
Обов'язковий мінімум змісту освітньої галузі математика
Квадратне рівняння: формула коренів квадратного рівняння.
Вирішення раціональних рівнянь.
Розв'язання текстових завдань за допомогою квадратних та дробових раціональних рівнянь.
програма. Контроль за її виконанням
| Програма | Кількість на годину | Контроль позначки | Комп'ютерне забезпечення уроку |
| ^ У-1. Урок-вивчення нового матеріалу "Основні поняття". | 1 | Демонстраційний матеріал «Квадратні рівняння» |
|
| У-2. Урок-закріплення вивченого. | 1 | Усний рахунок | Завдання для усного рахунку. Упр.12 «Квадратне рівняння та його коріння» |
| У-3. Комбінований урок "Формули коренів квадратного рівняння". | 1 | Самостійна робота 4.1 «Квадратне рівняння та його коріння» | |
| У-4,5. Уроки розв'язання задач | 2 | Усний рахунок | Завдання для усного рахунку. Упр.11 «Рішення квадратних рівнянь» |
| У-6. Урок-самостійна робота | 1 | Самостійна робота 4.2 «Рішення квадратних рівнянь за формулою» | |
| У-7. Комбінований урок «Раціональні рівняння» | 1 | Практична робота | |
| У-8,9. Уроки розв'язання задач | 2 | Самостійна робота 4.3 «Раціональні рівняння» | |
| У-10,11. Уроки-практикуми «Раціональні рівняння як математичні моделі реальних ситуацій». | 2 | ||
| У-12. Урок-вирішення завдань | 1 | ||
| У-13. Урок-самостійна робота | 1 | Самостійна робота 4.4 «Розв'язання задач за допомогою квадратних рівнянь» | |
| У-14. Комбінований урок "Ще одна формула коренів квадратного рівняння". | 1 | ||
| У-15. Урок- вирішення завдань | 1 | ||
| У-16. Комбінований урок "Теорема Вієта". | 1 | Демонстраційний матеріал «Теорема Вієта» |
|
| У-17. Урок- вирішення завдань | 1 | Усний рахунок | Завдання для усного рахунку. Упр.14 «Теорема Вієта» |
| У-18. Комбінований урок «Ірраціональні рівняння» | 1 | ||
| У-19. Урок- вирішення завдань | 1 | ||
| У-20. Урок-вирішення завдань | 1 | Тест 4 «Квадратні рівняння» | CD Математика 5-11. Віртуальна лабораторія «Графіки рівнянь та нерівностей» |
| У-21. Урок-контрольна робота. | 1 | Контрольна робота №6 |
^ Вимоги до математичної підготовки
Рівень обов'язкової підготовки учня
Вміти розв'язувати квадратні рівняння, прості раціональні та ірраціональні рівняння.
Вміти вирішувати нескладні текстові завдання за допомогою рівнянь.
Рівень можливої підготовки учня
Розуміти, що рівняння – це математичний апарат вирішення різноманітних завдань із математики, суміжних галузей знань, практики.
Вміти розв'язувати квадратні рівняння, раціональні та ірраціональні рівняння, що зводяться до квадратних.
Вміти застосовувати квадратні рівняння та раціональні рівняння під час вирішення завдань.
На цьому уроці ми продовжимо розглядати найпростіші операції з дробами алгебри - їх складання і віднімання. Сьогодні ми зробимо основний акцент на розгляді прикладів, у яких найважливішою частиною рішення буде розкладання знаменника на множники всіма способами, які нам відомі: з винесенням загального множника, методом угруповання, виділенням повного квадрата за допомогою формул скороченого множення. У ході уроку буде розглянуто кілька складних завдань на дроби.
Тема:Алгебраїчні дроби. Арифметичні операції над алгебраїчними дробами
Урок:Завдання на додавання та віднімання дробів
На уроці розглянемо та узагальним усі випадки складання та віднімання дробів: з однаковими та з різними знаменниками. У загальному вигляді вирішуватимемо завдання виду:
Раніше ми вже бачили, що при додаванні або відніманні алгебраїчних дробів однією з найважливіших операцій є розкладання знаменників на множники. Аналогічна процедура проходить у разі звичайних дробів. Ще раз пригадаємо, яким чином потрібно працювати зі звичайними дробами.
приклад 1.Обчислити.
Рішення.Скористаємося, як і раніше, основною теоремою арифметики про те, що будь-яке число можна розкласти на прості множники: 
.
Визначимо найменше загальне кратне знаменників: - це і буде загальний знаменник дробів, і, виходячи з нього, визначимо додаткові множники для кожного дробу: для першого дробу 
для другого дробу 
для третього дробу .
Відповідь..
У цьому прикладі ми користувалися основною теоремою арифметики для розкладання чисел на множники. Далі, коли в ролі знаменників виступатимуть багаточлени, їх необхідно буде розкладати на множники такими відомими нам методами: винесення загального множника, метод угруповання, виділення повного квадрата, використання формул скороченого множення.
приклад 2.Скласти та відняти дроби .
Рішення.Знаменники всіх трьох дробів є складними виразами, які необхідно розкласти на множники, потім знайти найменший загальний знаменник для них і вказати додаткові множники для кожного з дробів. Виконаємо всі ці дії окремо, а потім підставимо результати у вихідний вираз.
У першому знаменнику винесемо загальний множник: - після винесення загального множника можна побачити, що вираз у дужках згортається за формулою квадрата суми.
У другому знаменнику винесемо загальний множник: після винесення загального множника застосовуємо формулу різниці квадратів.
У третьому знаменнику виносимо загальний множник: .
Після розкладання на множники третього знаменника можна помітити, що у другому знаменнику можна виділити множник для зручнішого пошуку найменшого загального знаменника дробів, зробимо це за допомогою винесення мінуса за дужки , у другій дужці ми поміняли місцями складові для зручнішої форми записи.
Визначимо найменший загальний знаменник дробів як вираз, що ділиться попри всі знаменники одночасно, він дорівнює: .
Вкажемо додаткові множники: для першого дробу 
для другого дробу 
- винесений у знаменнику мінус не враховуємо, тому що запишемо його до всього дробу, для третього дробу 
.
Тепер виконаємо дії з дробами, не забувши поміняти знак перед другим дробом:
На останньому етапі рішення ми навели подібні доданки і записали їх у порядку спаду ступенів при змінній.
Відповідь..
На наведеному прикладі ми ще раз, як і на минулих уроках, продемонстрували алгоритм додавання/віднімання дробів, який полягає в наступному: розкласти на множники знаменники дробів, знайти найменший спільний знаменник, додаткові множники, виконати процедуру додавання/віднімання і, по можливості, спростити вираз і зробити скорочення. Цим алгоритмом ми користуватимемося і надалі. Розглянемо тепер простіші приклади.
приклад 3.Відняти дроби 
.
Рішення.У цьому прикладі важливо побачити можливість скоротити перший дріб до приведення його до спільного знаменника з другим дробом. Для цього чисельник та знаменник першого дробу розкладемо на множники.
Чисельник: - у першій дії розклали частину виразу за формулою різниці квадратів, а в другій - винесли загальний множник.
Знаменник: - у першій дії розклали частину виразу за формулою квадрата різниці, а в другому - винесли загальний множник. Підставимо отримані чисельник і знаменник у вихідний вираз і скоротимо перший дріб на загальний множник:
Відповідь:.
приклад 4.Виконати дії 
.
Рішення.У цьому прикладі, як і попередньому, важливо помітити та здійснити скорочення дробу до виконання дій. Розкладемо чисельник і знаменник на множники.
Тема:
Урок: Перетворення раціональних виразів
1. Раціональний вираз та методика його спрощення
Згадаймо спочатку визначення раціонального виразу.
Визначення. Раціональний вираз- алгебраїчне вираз, що не містить коренів і включає тільки дії додавання, віднімання, множення та поділу (зведення в ступінь).
Під поняттям «перетворити раціональне вираження» маємо на увазі, передусім, його спрощення. А це здійснюється у відомому нам порядку дій: спочатку дії у дужках, потім добуток чисел(зведення в ступінь), розподіл чисел, а потім дії додавання/віднімання.
2. Спрощення раціональних виразів із сумою/різністю дробів
Основною метою сьогоднішнього уроку буде набуття досвіду при вирішенні складніших завдань на спрощення раціональних виразів.
приклад 1.
Рішення.Спочатку може здатися, що зазначені дроби можна скоротити, тому що вирази в чисельниках дробів дуже схожі на формули повних квадратів відповідних знаменників. В даному випадку важливо не поспішати, а окремо перевірити, чи це так.
Перевіримо чисельник першого дробу: . Тепер чисельник другий: .
Як видно, наші очікування не виправдалися, і вирази в чисельниках не є повними квадратами, тому що вони не мають подвоєння твору. Такі вирази, якщо згадати курс 7 класу називають неповними квадратами. Слід бути дуже уважними в таких випадках, тому що переплутування формули повного квадрата з неповною дуже частою помилкою, а подібні приклади перевіряють уважність учня.
Оскільки скорочення неможливе, то виконаємо складання дробів. У знаменників немає спільних множників, тому вони просто перемножуються для отримання найменшого спільного знаменника, а додатковим множником для кожного дробу є знаменник іншого дробу.
Звичайно ж, далі можна розкрити дужки і привести потім подібні доданки, проте, в даному випадку можна обійтися меншими витратами сил і помітити в чисельнику перший доданок є формулою суми кубів, а друге різниці кубів. Для зручності згадаємо ці формули у загальному вигляді:
У нашому випадку вирази в чисельнику згортаються так:
, другий вираз аналогічно. Маємо:
Відповідь..
приклад 2.Спростити раціональний вираз 
.
Рішення.Цей приклад схожий на попередній, але тут відразу видно, що в чисельниках дробів знаходяться неповні квадрати, тому скорочення на початковому етапі рішення неможливе. Аналогічно попередньому прикладу складаємо дроби:
Тут ми аналогічно способу, зазначеному вище, помітили і згорнули вирази за формулами суми та різниці кубів.
Відповідь..
приклад 3.Спростити раціональний вираз.
Рішення.Можна зауважити, що знаменник другого дробу розкладається на множники за формулою суми кубів. Як ми вже знаємо, розкладання знаменників на множники є корисним для подальшого пошуку найменшого загального знаменника дробів.
Вкажемо найменший загальний знаменник дробів, він дорівнює: https://pandia.ru/text/80/351/images/image016_27.gif" alt=" 23332/d6838ff258e40dc138ebee9552f3b9fb.png" width="624" height="70">.!}
Відповідь.
3. Спрощення раціональних виразів зі складними багатоповерховими дробами
Розглянемо складніший приклад із «багатоповерховими» дробами.
приклад 4.Довести тотожність https://pandia.ru/text/80/351/images/image019_25.gif" alt="http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/23335/25bd4e84df065d139e3" width="402" height="55">. Доказано при всех допустимых значениях переменной.!}
Доведено.
На наступному уроці ми докладно розглянемо складніші приклади перетворення раціональних выражений.
Тема: Алгебраїчні дроби. Арифметичні операції над алгебраїчними дробами
Урок: Перетворення складніших раціональних виразів
1. Приклад на доказ тотожності за допомогою перетворень раціональних виразів
На цьому уроці ми розглянемо перетворення складніших раціональних виразів. Перший приклад буде присвячений доказу тотожності.
Приклад 1
Довести тотожність: .
Доведення:
Насамперед при перетворенні раціональних виразів необхідно визначитися з порядком дій. Нагадаємо, що в першу чергу виконуються дії в дужках, потім множення та розподіл, а потім уже додавання та віднімання. Тому в даному прикладі порядок дій буде таким: спочатку виконаємо дію в перших дужках, потім у других дужках, потім поділимо отримані результати, а потім до отриманого виразу додамо дріб. В результаті цих дій, а також спрощення, має вийти вираз.