Кожен школяр знає, що завжди є квадрат гіпотенузи дорівнює сумікатетів, кожен із яких зведений у квадрат. Ця твердження зветься теореми Піфагора. Вона є однією з найвідоміших теорем тригонометрії та математики в цілому. Розглянемо її докладніше.
Поняття про прямокутний трикутник
Перед тим, як переходити до розгляду теореми Піфагора, в якій квадрат гіпотенузи дорівнює сумі катетів, зведених у квадрат, слід розглянути поняття та властивості прямокутного трикутника, для якого справедлива теорема.
Трикутник - плоска фігура, Що має три кути та три сторони. Прямокутний трикутник, як випливає з його назви, має один прямий кут, тобто цей кут дорівнює 90 o .
З загальних властивостейвсім трикутників відомо, що сума всіх трьох кутів цієї фігури дорівнює 180 o , а це означає, що для прямокутного трикутника сума двох кутів, які не є прямими, становить 180 o - 90 o = 90 o . Останній фактозначає, що будь-який кут в прямокутному трикутнику, Що не є прямим, буде завжди менше 90 o .
Сторону, яка лежить проти прямого кута, прийнято називати гіпотенузою Дві інші сторони є катетами трикутника, вони можуть бути рівні між собою, а можуть і відрізнятися. З тригонометрії відомо, що чим більший кут, проти якого лежить сторона у трикутнику, тим більша довжина цієї сторони. Це означає, що у прямокутному трикутнику гіпотенуза (лежить проти кута 90 o) буде завжди більше будь-якого з катетів (лежать проти кутів< 90 o).
Математичний запис теореми Піфагора
Ця теорема свідчить, що квадрат гіпотенузи дорівнює сума катетів, кожен з яких попередньо зведений в квадрат. Щоб математично записати це формулювання, розглянемо прямокутний трикутник, у якому сторони a, b та c є двома катетами та гіпотенузою, відповідно. У цьому випадку теорема, яка формулюється, як квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, такою формулою може бути представлена: c 2 = a 2 + b 2 . Звідси можуть бути отримані інші важливі для практики формули: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) та c = √(a 2 + b 2).
Зазначимо, що у разі прямокутного рівностороннього трикутникатобто a = b, формулювання: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі катетів, кожен з яких зведений у квадрат, математично запишеться так: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2 , звідки випливає рівність: c = a√2.
Історична довідка
Теорема Піфагора, яка свідчить, що квадрат гіпотенузи дорівнює сума катетів, кожен з яких зведений у квадрат, була відома задовго до того, коли на неї звернув увагу знаменитий грецький філософ. Багато папірусів Стародавнього Єгипту, і навіть глиняні таблички Вавилонян підтверджують, що це народи використовували зазначене властивість сторін прямокутного трикутника. Наприклад, одна з перших єгипетських пірамід, Піраміда Хефрена, будівництво якої відноситься до XXVI століття до нашої ери (за 2000 років до життя Піфагора), була побудована, виходячи зі знання співвідношення сторін у прямокутному трикутнику 3x4x5.
Чому ж тоді нині теорема носить ім'я грека? Відповідь проста: Піфагор є першим, хто математично довів цю теорему. У вавилонських і єгипетських, що збереглися письмових джерелахйдеться лише про її використання, але не наводиться жодного математичного доказу.
Вважається, що Піфагор довів розглянуту теорему шляхом використання властивостей подібних трикутників, які він отримав, провівши висоту прямокутному трикутнику з кута 90 o до гіпотенузи.
Приклад використання теореми Піфагора
Розглянемо просте завдання: необхідно визначити довжину похилих сходів L, якщо відомо, що вона має висоту H = 3 метри, і відстань від стіни, в яку впираються сходи, до її підніжжя дорівнює P = 2,5 метра.
У даному випадку H і P – це катети, а L – гіпотенуза. Оскільки довжина гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, отримуємо: L 2 = H 2 + P 2 , звідки L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2,5 2) = 3,905 метра або 3 м і 90, 5 див.
В одному можна бути впевненим на всі сто відсотків, що на питання, чому дорівнює квадратгіпотенузи, будь-яка доросла людина сміливо відповість: «Сумі квадратів катетів». Ця теорема міцно засіла у свідомості кожного освіченої людиниАле досить лише попросити когось її довести, і тут можуть виникнути складності. Тому давайте згадаємо та розглянемо різні способидокази теореми Піфагора.
Короткий огляд біографії
Теорема Піфагора знайома практично кожному, але чомусь біографія людини, яка справила її на світ, не така популярна. Це можна виправити. Тому як вивчити різні методи підтвердження теореми Піфагора, необхідно коротко познайомитися з його особистістю.
Піфагор - філософ, математик, мислитель родом із Сьогодні дуже складно відрізнити його біографію від легенд, які склалися на згадку про цю велику людину. Але, як випливає з праць його послідовників, Піфагор Самоський народився на острові Самос. Його батько був звичайний каменеріз, а ось мати походила зі знатного роду.
Судячи з легенди, поява на світ Піфагора передбачила жінка на ім'я Піфія, на чию честь і назвали хлопчика. За її пророцтвом народжений хлопчик мав принести багато користі та добра людству. Що взагалі він і зробив.
Народження теореми
У юності Піфагор переїхав до Єгипту, щоб зустрітися там з відомими єгипетськими мудрецями. Після зустрічі з ними він був допущений до навчання, де й пізнав усі великі досягнення єгипетської філософії, математики та медицини.
Ймовірно, саме в Єгипті Піфагор надихнувся величністю та красою пірамід та створив свою велику теорію. Це може шокувати читачів, але сучасні історикивважають, що Піфагор не доводив своєї теорії. А лише передав своє знання послідовникам, які згодом і завершили всі необхідні математичні обчислення.
Як би там не було, сьогодні відома не одна методика доказу цієї теореми, а відразу кілька. Сьогодні залишається лише гадати, як саме давні греки робили свої обчислення, тому тут розглянемо різні способи доказу теореми Піфагора.
теорема Піфагора
Перш ніж починати будь-які обчислення, потрібно з'ясувати, яку теорію доведеться довести. Теорема Піфагора звучить так: «У трикутнику, у якого один із кутів дорівнює 90 про, сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи».
Усього існує 15 різних методів підтвердження теореми Піфагора. Це досить велика цифра, тому приділимо увагу найпопулярнішим із них.
Спосіб перший
Спочатку позначимо, що нам дано. Ці дані будуть поширюватися і інші способи доказів теореми Піфагора, тому варто відразу запам'ятати всі наявні позначення.
Припустимо, дано прямокутний трикутник, з катетами а, в і гіпотенузою, що дорівнює с. Перший спосіб доказу полягає в тому, що з прямокутного трикутника потрібно домалювати квадрат.
Щоб це зробити, потрібно до катета довжиною а домалювати відрізок рівний катету, і навпаки. Так має вийти дві рівні сторониквадрат. Залишається тільки намалювати дві паралельні прямі, і квадрат готовий.
Усередині фігури, що вийшла, потрібно накреслити ще один квадрат зі стороною рівної гіпотенузивихідного трикутника. Для цього від вершин ас і св потрібно намалювати два паралельних відрізкарівних с. Таким чином, вийти три сторони квадрата, одна з яких і є гіпотенуза вихідного прямокутного трикутника. Залишається лише докреслити четвертий відрізок.
На підставі малюнка можна зробити висновок, що площа зовнішнього квадрата дорівнює (а + в) 2 . Якщо заглянути всередину фігури, можна побачити, що крім внутрішнього квадрата в ній є чотири прямокутні трикутники. Площа кожного дорівнює 0,5 ав.
Тому площа дорівнює: 4*0,5ав+с2 =2ав+с2
Звідси (а+в) 2 =2ав+з 2
І, отже, з 2 = а 2 + 2
Теорему доведено.
Спосіб два: подібні трикутники
Ця формула доказу теореми Піфагора була виведена на підставі затвердження з розділу геометрії про подібні трикутники. Воно говорить, що катет прямокутного трикутника - середнє пропорційне для його гіпотенузи та відрізка гіпотенузи, що виходить з вершини кута 90 о.
Вихідні дані залишаються самі, тому почнемо відразу з докази. Проведемо перпендикулярний стороні АВ відрізок ЦД. Ґрунтуючись на вищеописаному затвердженні катети трикутників рівні:
АС=√АВ*АД, СВ=√АВ*ДВ.
Щоб відповісти питанням, як довести теорему Піфагора, доказ потрібно прокласти зведенням у квадрат обох нерівностей.
АС 2 = АВ * АД і СВ 2 = АВ * ДВ
Тепер потрібно скласти нерівності.
АС 2 + СВ 2 = АВ * (АД * ДВ), де АД + ДВ = АВ
Виходить що:
АС 2 + СВ 2 = АВ * АВ
І, отже:
АС2 + СВ2 = АВ2
Доказ теореми Піфагора та різні способи її вирішення потребують різнобічного підходу до цього завдання. Однак цей варіант є одним із найпростіших.
Ще одна методика розрахунків
Опис різних способів доказу теореми Піфагора можуть ні про що не сказати, доти поки самостійно не приступиш до практики. Багато методик передбачають як математичні розрахунки, а й побудова з вихідного трикутника нових постатей.
У разі необхідно від катета ВС добудувати ще один прямокутний трикутник ВСД. Таким чином, тепер є два трикутники із загальним катетом ВС.
Знаючи, що площі подібних фігурмають співвідношення як квадрати їх подібних лінійних розмірів, то:
S авс * з 2 - S авд *в 2 =S авд *а 2 - S всд *а 2
S авс *(з 2 -в 2)=а 2 *(S авд -S нд)
з 2 -2 = а 2
з 2 = а 2 + 2
Оскільки з різних способів доказів теореми Піфагора для 8 класу цей варіант навряд чи підійде, можна скористатися такою методикою.
Найпростіший спосіб довести теорему Піфагора. Відгуки
Як вважають історики, цей спосіб був вперше використаний для доказу теореми ще в стародавньої Греції. Він є найпростішим, тому що не вимагає жодних розрахунків. Якщо правильно накреслити малюнок, то доказ твердження, що а 2 + 2 = с 2 буде видно наочно.
Умови для даного способутрохи відрізнятиметься від попереднього. Щоб довести теорему, припустимо, що прямокутний трикутник АВС- рівнобедрений.
Гіпотенузу АС приймаємо за бік квадрата та докреслюємо три його сторони. Крім цього необхідно провести дві діагональні прямі в квадраті, що вийшов. Таким чином, щоб усередині нього вийшло чотири рівнобедрених трикутники.
До катетів АВ і СВ також потрібно докреслити по квадрату і провести по одній діагональній прямій у кожному з них. Першу пряму креслимо з вершини А, другу - із З.
Тепер потрібно уважно вдивитися в малюнок, що вийшов. Оскільки на гіпотенузі АС лежить чотири трикутники, рівні вихідному, а на катетах по два, це говорить про правдивість цієї теореми.
До речі, завдяки даній методиці доказу теореми Піфагора і з'явилася світ знаменита фраза: «Піфагорові штани на всі боки рівні»
Доказ Дж. Гарфілда
Джеймс Гарфілд – двадцятий президент Сполучених Штатів Америки. Крім того, що він залишив свій слід в історії як правитель США, він був ще й обдарованим самоуком.
На початку своєї кар'єри він був звичайним викладачем у народній школі, але незабаром став директором однієї з вищих навчальних закладів. Прагнення саморозвитку і дозволило йому запропонувати нову теоріюдокази теореми Піфагора. Теорема та приклад її вирішення виглядає наступним чином.
Спочатку потрібно накреслити на аркуші паперу два прямокутні трикутники таким чином, щоб катет одного з них був продовженням другого. Вершини цих трикутників потрібно з'єднати, щоб зрештою вийшла трапеція.
Як відомо, площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав на висоту.
S=а+в/2* (а+в)
Якщо розглянути трапецію, як фігуру, що складається з трьох трикутників, то її площу можна знайти так:
S=ав/2 *2 + з 2/2
Тепер необхідно зрівняти два вихідні вирази
2ав/2 + с/2=(а+в) 2 /2
з 2 = а 2 + 2
Про теорему Піфагора та способи її доказу можна написати не один том навчального посібника. Але чи є в ньому сенс, коли ці знання не можна застосувати на практиці?
Практичне застосування теореми Піфагора
На жаль, у сучасних шкільних програмахпередбачено використання даної теореми тільки в геометричних задачах. Випускники скоро покинуть шкільні стіни, так і не дізнавшись, а як вони можуть застосувати свої знання та вміння на практиці.
Насправді ж використовувати теорему Піфагора у своїй повсякденному життіможе кожен. Причому не тільки в професійної діяльності, а й у звичайних домашніх справах. Розглянемо кілька випадків, коли теорема Піфагора і її докази можуть виявитися вкрай необхідними.
Зв'язок теореми та астрономії
Здавалося б, як можуть бути пов'язані зірки та трикутники на папері. Насправді ж астрономія - це наукова сфера, В якій широко використовується теорема Піфагора.
Наприклад, розглянемо рух світлового променяу космосі. Відомо, що світло рухається в обидві сторони однаковою швидкістю. Траєкторію АВ, якою рухається промінь світла назвемо l. А половину часу, який необхідно світлу, щоб потрапити з точки А до точки Б, назвемо t. І швидкість променя - c. Виходить що: c*t=l
Якщо подивитися на цей промінь з іншої площини, наприклад, з космічного лайнера, який рухається зі швидкістю v, то при такому спостереженні тіл їх швидкість зміниться. При цьому навіть нерухомі елементи рухатимуться зі швидкістю v у зворотному напрямку.
Припустимо, комічний лайнер пливе праворуч. Тоді точки А і В, між якими метається промінь, рухатимуться вліво. Причому, коли промінь рухається від точки А до точки В, точка А встигає переміститися і, відповідно, світло вже прибуде в нову точкуЩоб знайти половину відстані, на яку змістилася точка А, потрібно швидкість лайнера помножити на половину часу подорожі променя (t").
А щоб знайти, яку відстань за цей час зміг пройти промінь світла, потрібно позначити половину шляху нової букової s і отримати такий вираз:
Якщо уявити, що точки світла С та В, а також космічний лайнер – це вершини рівнобедреного трикутника, то відрізок від точки А до лайнера розділить його на два прямокутні трикутники. Тому завдяки теоремі Піфагора можна знайти відстань, яку зміг пройти промінь світла.
Цей приклад, звичайно, не найвдаліший, тому що тільки одиницям може пощастити випробувати його на практиці. Тому розглянемо приземлені варіанти застосування цієї теореми.
Радіус передачі мобільного сигналу
Сучасне життя вже неможливо уявити без смартфонів. Але чи багато було б від них користі, якби вони не могли з'єднувати абонентів за допомогою мобільного зв'язку?!
Якість мобільного зв'язку безпосередньо залежить від того, на якій висоті знаходиться антена мобільного оператора. Для того, щоб обчислити, яку відстань від мобільної вежі телефон може приймати сигнал, можна застосувати теорему Піфагора.
Допустимо, потрібно знайти приблизну висоту стаціонарної вежі, щоб вона могла поширювати сигнал у радіусі 200 кілометрів.
АВ (висота вежі) = х;
НД (радіус передачі сигналу) = 200 км;
ОС (радіус земної кулі) = 6380 км;
ОВ=ОА+АВОВ=r+х
Застосувавши теорему Піфагора, з'ясуємо, що мінімальна висотавежі має становити 2,3 кілометра.
Теорема Піфагора у побуті
Як не дивно, теорема Піфагора може бути корисною навіть у побутових справах, таких як визначення висоти шафи-купе, наприклад. На перший погляд, немає необхідності використовувати такі складні обчисленняадже можна просто зняти мірки за допомогою рулетки. Але багато хто дивується, чому в процесі складання виникають певні проблеми, якщо всі мірки були зняті більш ніж точно.
Справа в тому, що шафа-купе збирається в горизонтальному положенні і тільки потім піднімається та встановлюється до стіни. Тому боковина шафи в процесі підйому конструкції повинна вільно проходити і висотою, і по діагоналі приміщення.
Припустимо, є шафа-купе глибиною 800 мм. Відстань від підлоги до стелі – 2600 мм. Досвідчений мебляр скаже, що висота шафи повинна бути на 126 мм менше, ніж висота приміщення. Але чому саме на 126 мм? Розглянемо з прикладу.
При ідеальних габаритах шафи перевіримо дію теореми Піфагора:
АС=√АВ 2 +√ВС 2
АС = √2474 2 +800 2 =2600 мм - все сходиться.
Допустимо, висота шафи дорівнює не 2474 мм, а 2505 мм. Тоді:
АС=√2505 2 +√800 2 =2629 мм.
Отже, ця шафа не підійде для встановлення у цьому приміщенні. Так як при піднятті його у вертикальне положення можна завдати шкоди його корпусу.
Мабуть, розглянувши різні методи підтвердження теореми Піфагора різними вченими, можна дійти невтішного висновку, що вона більш ніж правдива. Тепер можна використовувати отриману інформацію у своєму повсякденному житті і бути цілком впевненим, що всі розрахунки будуть не тільки корисними, а й вірними.
теорема Піфагора: Сума площ квадратів, що спираються на катети ( aі b), дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі ( c).
Геометричне формулювання:
Спочатку теорема була сформульована наступним чином:
Алгебраїчне формулювання:
Тобто, позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c, а довжини катетів через aі b :
a 2 + b 2 = c 2Обидві формулювання теореми еквівалентні, але друге формулювання більш елементарне, вона вимагає поняття площі . Тобто друге твердження можна перевірити, нічого не знаючи про площу та вимірявши лише довжини сторін прямокутного трикутника.
Зворотня теорема Піфагора:
Докази
на Наразів науковій літературізафіксовано 367 доказів цієї теореми. Ймовірно, теорема Піфагора є єдиною теоремою з настільки значним числом доказів. Таке різноманіття можна пояснити лише фундаментальним значенням теореми для геометрії.
Зрозуміло, концептуально їх можна розбити на малу кількість класів. Найвідоміші з них: докази методом площ, аксіоматичні та екзотичні докази (наприклад, за допомогою диференціальних рівнянь).
Через подібні трикутники
Наступний доказ алгебраїчної формулювання - найпростіший з доказів, що будуються безпосередньо з аксіом. Зокрема, воно не використовує поняття площі фігури.
Нехай ABCє прямокутний трикутник із прямим кутом C. Проведемо висоту з Cі позначимо її основу через H. Трикутник ACHподібний до трикутника ABCпо двох кутах. Аналогічно трикутник CBHподібний ABC. Ввівши позначення
отримуємо
Що еквівалентно
Склавши, отримуємо
Докази методом площ
Нижче наведені докази, незважаючи на їх здається простоту, зовсім не такі прості. Усі вони використовують властивості площі, докази яких складніше доказисамої теореми Піфагора.
Доказ через рівнодоповнюваність
- Розташуємо чотири рівні прямокутні трикутники так, як показано на малюнку 1.
- Чотирикутник зі сторонами cє квадратом, оскільки сума двох гострих кутів 90 °, а розгорнутий кут - 180 °.
- Площа всієї фігури дорівнює, з одного боку, площі квадрата зі стороною (a+b), з другого боку, сумі площ чотирьохтрикутників та двох внутрішніх квадратів.
Що й потрібно було довести.
Докази через рівноскладність
Елегантний доказ за допомогою перестановки
Приклад одного з таких доказів вказано на кресленні праворуч, де квадрат, побудований на гіпотенузі, перестановкою перетворюється на два квадрати, побудованих на катетах.
Доказ Евкліда
Креслення до доказу Евкліда
Ілюстрація до доказу Евкліда
Ідея доказу Евкліда полягає в наступному: спробуємо довести, що половина площі квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, а тоді площі великого і двох малих квадратів рівні.
Розглянемо креслення зліва. На ньому ми побудували квадрати на сторонах прямокутного трикутника і провели з вершини прямого кута С промінь перпендикулярно до гіпотенузи AB, він розсікає квадрат ABIK, побудований на гіпотенузі, на два прямокутники - BHJI і HAKJ відповідно. Виявляється, що площі даних прямокутників точно рівні площам квадратів, побудованих на відповідних катетах.
Спробуємо довести, що площа квадрата DECA дорівнює площі прямокутника AHJK Для цього скористаємося допоміжним спостереженням: Площа трикутника з тією самою висотою та основою, що і даний прямокутник, що дорівнює половині площі заданого прямокутника. Це наслідок визначення площі трикутника як половини добутку основи висоту. З цього спостереження випливає, що площа трикутника ACK дорівнює площі трикутника AHK (не зображеного на малюнку), яка, у свою чергу, дорівнює половині площі прямокутника AHJK.
Доведемо тепер, що площа трикутника ACK також дорівнює половині площі квадрата DECA. Єдине, що необхідно для цього зробити, - це довести рівність трикутників ACK і BDA (оскільки площа трикутника BDA дорівнює половині площі квадрата за вказаною вище властивістю). Рівність це очевидно, трикутники рівні з обох боків та кутку між ними. Саме - AB=AK,AD=AC - рівність кутів CAK і BAD легко довести методом руху: повернемо трикутник CAK на 90° проти годинникової стрілки, тоді очевидно, що відповідні сторони двох трикутників, що розглядаються, збігатимуться (через кут при вершині квадрата - 90 °).
Міркування про рівність площ квадрата BCFG і прямокутника BHJI абсолютно аналогічне.
Тим самим було доведено, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, складається з площ квадратів, побудованих на катетах. Ідея цього доказу додатково проілюстрована за допомогою анімації, яка розташована вище.
Доказ Леонардо да Вінчі
Доказ Леонардо да Вінчі
Головні елементи доказу – симетрія та рух.
Розглянемо креслення, як видно з симетрії, відрізок CIрозсікає квадрат ABHJ на дві однакові частини (оскільки трикутники ABCі JHIрівні за побудовою). Користуючись поворотом на 90 градусів проти годинникової стрілки, ми вбачаємо рівність заштрихованих фігур CAJI і GDAB . Тепер ясно, що площа заштрихованої нами фігури дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, та площі вихідного трикутника. З іншого боку, вона дорівнює половині площі квадрата, побудованого на гіпотенузі плюс площа вихідного трикутника. Останній крок у доказі надається читачеві.
Доказ методом нескінченно малих
Наступний доказ за допомогою диференціальних рівнянь часто приписують відомому англійському математику Харді, який жив у першій половині XX ст.
Розглядаючи креслення, показане на малюнку, і спостерігаючи зміну сторони a, ми можемо записати наступне співвідношення для нескінченно малих прирощень сторін зі a(використовуючи подобу трикутників):
Доказ методом нескінченно малих
Користуючись методом поділу змінних, знаходимо
Більше загальний вираздля зміни гіпотенузи у разі збільшення обох катетів
Інтегруючи дане рівнянняі використовуючи початкові умови, отримуємо
c 2 = a 2 + b 2+ constant.Таким чином, ми приходимо до бажаної відповіді
c 2 = a 2 + b 2 .Як неважко бачити, квадратична залежністьв остаточній формулі з'являється завдяки лінійної пропорційностіміж сторонами трикутника та прирощеннями, тоді як сума пов'язана з незалежними вкладами від збільшення різних катетів.
Простіший доказ можна отримати, якщо вважати, що один з катетів не відчуває збільшення (в даному випадку катет b). Тоді для константи інтегрування отримаємо
Варіації та узагальнення
- Якщо замість квадратів побудувати на катетах інші подібні фігури, то вірно наступне узагальнення теореми Піфагора: У прямокутному трикутнику сума площ подібних фігур, побудованих на катетах, дорівнює площі фігури, побудованої на гіпотенузі.Зокрема:
- Сума площ правильних трикутників, побудованих на катетах, дорівнює площі правильного трикутникапобудований на гіпотенузі.
- Сума площ півколів, побудованих на катетах (як діаметрі), дорівнює площі півкола, побудованого на гіпотенузі. Цей приклад використовується при доказі властивостей фігур, обмежених дугами двох кіл і носять ім'я гіпократових луночек.
Історія
Чу-пей 500-200 до н. Зліва напис: сума квадратів довжин висоти та основи є квадрат довжини гіпотенузи.
У давньокитайській книзі Чу-пей йдеться про піфагоровому трикутникузі сторонами 3, 4 та 5: У цій же книзі запропоновано малюнок, який збігається з одним із креслень індуської геометрії Басхари.
Кантор (найбільший німецький історик математики) вважає, що рівність 3 + 4 + 5 = було відомо вже єгиптянам ще близько 2300 до н. е.., за часів царя Аменемхета I (згідно з папірусом 6619 Берлінського музею). На думку Кантора гарпедонапти, або натягувачі мотузок, будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 і 5.
Дуже легко можна відтворити їхній спосіб побудови. Візьмемо мотузку завдовжки 12 м і прив'яжемо до неї по кольоровій смужці на відстані 3м. від одного кінця та 4 метри від іншого. Прямий кут виявиться ув'язненим між сторонами завдовжки 3 і 4 метри. Гарпедонаптам можна було б заперечити, що їх спосіб побудови ставати зайвим, якщо скористатися, наприклад, дерев'яним косинцем, що застосовується всіма теслярами. Відомі єгипетські малюнки, на яких зустрічається такий інструмент, наприклад малюнки, що зображують столярну майстерню.
Дещо більше відомо про теорему Піфагора у вавилонян. В одному тексті, що відноситься до часу Хаммурабі, тобто до 2000 до н. е., наводиться наближене обчислення гіпотенузи прямокутного трикутника. Звідси можна дійти невтішного висновку, що у Дворіччя вміли робити обчислення з прямокутними трикутниками, по крайнього заходу у деяких випадках. Грунтуючись, з одного боку, на сьогоднішньому рівні знань про єгипетську та вавілонську математику, а з іншого – на критичному вивченні грецьких джерел, Ван-дер-Варден (голландський математик) зробив такий висновок:
Література
Російською мовою
- Скопець З. А.Геометричні мініатюри. М., 1990
- Єленьський Щ.Слідами Піфагора. М., 1961
- Ван-дер-Варден Б. Л.Пробуджена наука. Математика Стародавнього Єгипту, Вавилону та Греції. М., 1959
- Глейзер Г. І.Історія математики у школі. М., 1982
- Ст Літцман, «Теорема Піфагора» М., 1960.
- Сайт про теорему Піфагора з великою кількістю доказів матеріал взятий із книги В.Літцмана, велике числокреслень представлено у вигляді окремих графічних файлів.
- Теорема Піфагора і трійки Піфагора глава з книги Д. В. Аносова «Погляд на математику і щось з неї»
- Про теорему Піфагора та способи її доказу Г. Глейзер, академік РАВ, Москва
Англійською
- Теорема Піфагора на WolframMathWorld (англ.)
- Cut-The-Knot, секція присвячена теоремі піфагора, близько 70 доказів та додаткова інформація (англ.)
Wikimedia Foundation.
теорема Піфагора
Аналогічно, трикутник CBH подібний до ABC. Ввівши позначення 
1. Розташуємо чотири рівні прямокутні трикутники так, як показано на малюнку. 
Ідея доказу Евкліда полягає в наступному: спробуємо довести, що половина площі квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, а тоді площі великого і двох малих квадратів рівні. Розглянемо креслення зліва. На ньому ми побудували квадрати на сторонах прямокутного трикутника і провели з вершини прямого кута С промінь перпендикулярно до гіпотенузи AB, він розсікає квадрат ABIK, побудований на гіпотенузі, на два прямокутники - BHJI і HAKJ відповідно. Виявляється, що площі даних прямокутників точно рівні площам квадратів, побудованих на відповідних катетах. Спробуємо довести, що площа квадрата DECA дорівнює площі прямокутника AHJK Для цього скористаємося допоміжним спостереженням: Площа трикутника з тією самою висотою та основою, що й даний прямокутник дорівнює половині площі заданого прямокутника. Це наслідок визначення площі трикутника як половини добутку основи висоту. З цього спостереження випливає, що площа трикутника ACK дорівнює площі трикутника AHK (не зображеного на малюнку), яка, у свою чергу, дорівнює половині площі прямокутника AHJK. Доведемо тепер, що площа трикутника ACK також дорівнює половині площі квадрата DECA. Єдине, що необхідно для цього зробити, - це довести рівність трикутників ACK і BDA (оскільки площа трикутника BDA дорівнює половині площі квадрата за вказаною вище властивістю). Рівність це очевидно, трикутники рівні з обох боків та кутку між ними. Саме - AB=AK,AD=AC - рівність кутів CAK і BAD легко довести методом руху: повернемо трикутник CAK на 90° проти годинникової стрілки, тоді очевидно, що відповідні сторони двох трикутників, що розглядаються, збігатимуться (через кут при вершині квадрата - 90 °). Міркування про рівність площ квадрата BCFG і прямокутника BHJI абсолютно аналогічне. Тим самим було доведено, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, складається з площ квадратів, побудованих на катетах. 
Розглянемо креслення, як видно з симетрії, відрізок CI розсікає квадрат ABHJ на дві однакові частини (оскільки Середній рівень
Прямокутний трикутник. Повний ілюстрований гід (2019)
ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК. ПОЧАТКОВИЙ РІВЕНЬ.
У задачах прямий кут зовсім не обов'язково - лівий нижній, так що тобі потрібно навчитися впізнавати прямокутний трикутник і в такому вигляді,
і в такому,
і в такому 
Що ж хорошого є у прямокутному трикутнику? Ну..., по-перше, є спеціальні красиві назвидля його сторін.
Увага на малюнок!
Запам'ятай і не плутай: катетів – два, а гіпотенуза – всього одна(Єдина, неповторна і найдовша)!
Ну ось назви обговорили, тепер найважливіше: Теорема Піфагора.
Теорема Піфагора.
Ця теорема - ключик до вирішення багатьох завдань за участю прямокутного трикутника. Її довів Піфагор в абсолютно незапам'ятні часи, і з того часу вона принесла багато користі тим, хто її знає. А найкраще в ній те, що вона проста.
Отже, Теорема Піфагора:
Пам'ятаєш жарт: «Піфагорові штани на всі боки рівні!»?
Давай намалюємо ці піфагорові штани і подивимося на них. 
Щоправда, схоже на якісь шорти? Ну і на які сторони, і де вона рівні? Чому і звідки виник жарт? А жарт цей пов'язаний саме з теоремою Піфагора, точніше з тим, як сам Піфагор формулював свою теорему. А формулював він її так:
«Сума площ квадратів, побудованих на катетах, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі».
Щоправда, трохи по-іншому звучить? І ось, коли Піфагор намалював твердження своєї теореми, якраз і вийшла така картинка.
На цьому малюнку сума площ маленьких квадратів дорівнює площі великого квадрата. А щоб діти краще запам'ятовували, що сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, хтось дотепний і вигадав цей жарт про Піфагорові штани.
Чому ж ми зараз формулюємо теорему Піфагора
А Піфагор мучився і міркував про майдани?
Розумієш, у давнину не було… алгебри! Не було жодних позначень і таке інше. Не було написів. Уявляєш, як бідним древнім учням було жахливо запам'ятовувати все словами??! А ми можемо радіти, що ми маємо просте формулювання теореми Піфагора. Давай її ще раз повторимо, щоб краще запам'ятати:
Тепер уже має бути легко:
| Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. |
Ну ось, найголовнішу теорему про прямокутний трикутник обговорили. Якщо тобі цікаво, як вона доводиться, читай такі рівні теорії, а зараз підемо далі… темний ліс… тригонометрії! До жахливих слів синус, косинус, тангенс та котангенс.
Синус, косинус, тангенс, котангенс у прямокутному трикутнику.
Насправді все зовсім не таке страшно. Звичайно, «справжнє» визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу потрібно дивитися у статті. Але дуже не хочеться, правда? Можемо порадувати: для вирішення задач про прямокутний трикутник можна просто заповнити такі прості речі:
А чому все тільки про кут? Де ж кут? Щоб у цьому розібратися, треба зазначити, як твердження 1 - 4 записуються словами. Дивись, розумій та запам'ятай!
1.
Взагалі звучить це так:
А що ж кут? Чи є катет, який знаходиться навпроти кута, тобто катет, що протилежить (для кута)? Звичайно є! Це катет!
А як же кут? Подивись уважно. Який катет прилягає до кута? Звісно ж, катет. Значить, для кута катет – прилеглий, та
А тепер, увага! Подивися, що в нас вийшло:
Бачиш, як чудово:
Тепер перейдемо до тангенсу та котангенсу.
Як це тепер записати словами? Катет яким є по відношенню до кута? Протилежним, звісно – він «лежать» навпроти кута. А катет? Прилягає до кутку. Виходить, що в нас вийшло?
Бачиш, чисельник та знаменник помінялися місцями?
І тепер знову кути і здійснили обмін:
Резюме
Давайте коротко запишемо все, що ми дізналися.
 |
Теорема Піфагора: |
Головна теорема про прямокутний трикутник - теорема Піфагора.
теорема Піфагора
До речі, чи добре ти пам'ятаєш, що таке катети та гіпотенуза? Якщо не дуже, то дивись на малюнок – освіжай знання
Цілком можливо, що ти вже багато разів використовував теорему Піфагора, а ось чи ти замислювався, чому ж вірна така теорема. Як би її довести? А давай вчинимо, як давні греки. Намалюємо квадрат зі стороною.
Бачиш, як хитро ми поділили його сторони на відрізки довжин і!
А тепер з'єднаємо зазначені точки
Тут ми, щоправда, ще дещо відзначили, але ти сам подивися на малюнок і подумай, чому так.
Чому ж дорівнює площа більшого квадрата? Правильно, . А площа меншого? Звичайно, . Залишилася сумарна площа чотирьох куточків. Уяви, що ми взяли їх по два і притулили один до одного гіпотенузами. Що вийшло? Два прямокутники. Отже, площа «обрізків» дорівнює.
Давай тепер зберемо все разом.
Перетворюємо:
Ось і побували ми Піфагором – довели його теорему давнім способом.
Прямокутний трикутник та тригонометрія
Для прямокутного трикутника виконуються такі співвідношення:
Сінус гострого кута дорівнює відношенню протилежного катетадо гіпотенузи
Косинус гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катетадо гіпотенузи.
Тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета.
Котангенс гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до протилежного катета.
І ще раз все це у вигляді таблички:
Це дуже зручно!
Ознаки рівності прямокутних трикутників
I. За двома катетами
ІІ. По катету та гіпотенузі
ІІІ. По гіпотенузі та гострому куту
IV. По катету та гострому куту
a) 
b) 
Увага! Тут дуже важливо, щоб катети були «відповідні». Наприклад, якщо буде так:
То ТРИКУТНИКИ НЕ РІВНІ, незважаючи на те, що мають один однаковий гострий кут.
Потрібно, щоб в обох трикутниках катет був прилеглим, або в обох - протилежним.
Ти помітив чим відрізняються ознаки рівності прямокутних трикутників від звичайних ознак рівності трикутників? Заглянь у тему « і зверни увагу те що, що з рівності « рядових » трикутників потрібна рівність трьох їх елементів: дві сторони і кут з-поміж них, два кута і сторона з-поміж них чи три стороны. А ось для рівності прямокутних трикутників достатньо лише двох відповідних елементів. Здорово, правда?
Приблизно така сама ситуація і з ознаками подоби прямокутних трикутників.
Ознаки подоби прямокутних трикутників
I. По гострому кутку
ІІ. За двома катетами
ІІІ. По катету та гіпотенузі
Медіана у прямокутному трикутнику
Чому це так?
Розглянемо замість прямокутного трикутника цілий прямокутник.
Проведемо діагональ і розглянемо точку – точку перетину діагоналей. Що відомо про діагоналі прямокутника?
І що з цього випливає?
Ось і вийшло, що
- - медіана:
Запам'ятай цей факт! Дуже допомагає!
А що ще дивовижніше, так це те, що вірне і зворотне твердження.
Що ж хорошого можна отримати з того, що медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи? А давай подивимося на картинку
Подивись уважно. У нас є: тобто відстані від точки до всіх трьох вершин трикутника виявилися рівними. Але в трикутнику є всього одна точка, відстані від якої про всі три вершини трикутника рівні, і це - ЦЕНТР ОПИСАНОГО ОКРУЖЕННЯ. Виходить, що вийшло?
Ось давай ми почнемо з цього «крім того...».
Подивимося на в.
Але у подібних трикутників усі кути рівні!
Те саме можна сказати і про і
А тепер намалюємо це разом:
Яку ж користь можна отримати з цієї «троїстої» подоби.
Ну наприклад - дві формули для висоти прямокутного трикутника.
Запишемо відносини відповідних сторін:
Для знаходження висоти вирішуємо пропорцію та отримуємо першу формулу "Висота у прямокутному трикутнику":
Отже, застосуємо подібність: .
Що тепер вийде?
Знову вирішуємо пропорцію і отримуємо другу формулу:
Обидві ці формули потрібно дуже добре пам'ятати та застосовувати ту, яку зручніше. Запишемо їх ще раз
Теорема Піфагора:
У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: .
Ознаки рівності прямокутних трикутників:
- по двох катетах:
- по катету та гіпотенузі: або
- по катету та прилеглому гострому кутку: або
- по катету та протилежному гострому куту: або
- з гіпотенузи та гострого кута: або.
Ознаки подоби прямокутних трикутників:
- одному гострому кутку: або
- із пропорційності двох катетів:
- з пропорційності катета та гіпотенузи: або.
Синус, косинус, тангенс, котангенс у прямокутному трикутнику
- Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи:
- Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи:
- Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого:
- Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного: .
Висота прямокутного трикутника: або.
У прямокутному трикутнику медіана, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи: .
Площа прямокутного трикутника:
- через катети: