Сума двох квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. Як застосовувати теорему піфагору

теорема Піфагора- Одна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення

між сторонами прямокутного трикутника.

Вважається, що доведено грецьким математиком Піфагором, на честь якого названо.

Геометричне формулювання теореми Піфагора.

Спочатку теорема була сформульована наступним чином:

У прямокутному трикутникуплоща квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів,

побудованих на катетах.

Алгебраїчне формулювання теореми Піфагора.

У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює суміквадратів довжин катетів.

Тобто, позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c, а довжини катетів через aі b:

Обидві формулювання теореми Піфагораеквівалентні, але друге формулювання більш елементарне, воно не

потребує поняття площі. Тобто друге твердження можна перевірити, нічого не знаючи про площу та

вимірявши тільки довжини сторін прямокутного трикутника.

Зворотний теорема Піфагора.

Якщо квадрат однієї сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то

трикутник прямокутний.

Або, іншими словами:

Для будь-якої трійки позитивних чисел a, bі c, такий, що

існує прямокутний трикутник із катетами aі bта гіпотенузою c.

Теорема Піфагора для рівнобедреного трикутника.

Теорема Піфагор для рівностороннього трикутника.

Докази теореми Піфагора.

на Наразів науковій літературізафіксовано 367 доказів цієї теореми. Ймовірно, теорема

Піфагора є єдиною теоремою з настільки значним числом доказів. Таке різноманіття

можна пояснити лише фундаментальним значенням теореми для геометрії.

Зрозуміло, концептуально їх можна розбити на малу кількість класів. Найвідоміші з них:

докази методом площ, аксіоматичніі екзотичні докази(наприклад,

за допомогою диференціальних рівнянь ).

1. Доказ теореми Піфагора через трикутники.

Наступний доказ алгебраїчного формулювання - найпростіший з доказів, що будуються

безпосередньо з аксіом. Зокрема воно не використовує поняття площі фігури.

Нехай ABCє прямокутний трикутник із прямим кутом C. Проведемо висоту з Cі позначимо

її заснування через H.

Трикутник ACHподібний до трикутника ABЗ двома кутами. Аналогічно трикутник CBHподібний ABC.

Ввівши позначення:

отримуємо:

,

що відповідає -

Склавши a 2 та b 2, отримуємо:

або , що потрібно було довести.

2. Підтвердження теореми Піфагора шляхом площ.

Нижче наведені докази, незважаючи на їх здається простоту, зовсім не такі прості. Всі вони

використовують властивості площі, докази яких складніше доказисамої теореми Піфагора.

  • Доказ через рівнодоповнюваність.

Розташуємо чотири рівні прямокутні

трикутника так, як показано на малюнку

праворуч.

Чотирикутник зі сторонами c- Квадратом,

тому що сума двох гострих кутів 90°, а

розгорнутий кут - 180 °.

Площа всієї фігури дорівнює, з одного боку,

площі квадрата зі стороною ( a+b), а з іншого боку, сумі площ чотирьохтрикутників і

Що й потрібно було довести.

3. Доказ теореми Піфагора методом нескінченно малих.

​


Розглядаючи креслення, показане на малюнку, і

спостерігаючи зміну сторониa, ми можемо

записати наступне співвідношення для нескінченно

малих прирощень сторінзі a(використовуючи подобу

трикутників):

Використовуючи метод поділу змінних, знаходимо:

Більше загальний вираздля зміни гіпотенузи у разі збільшення обох катетів:

Інтегруючи дане рівнянняі використовуючи початкові умови, отримуємо:

Таким чином, ми приходимо до бажаної відповіді:

Як неважко бачити, квадратична залежністьу остаточній формулі з'являється завдяки лінійній

пропорційності між сторонами трикутника та прирощеннями, тоді як сума пов'язана з незалежними

вкладами від збільшення різних катетів.

Простіший доказ можна отримати, якщо вважати, що один з катетів не відчуває збільшення

(у даному випадкукатет b). Тоді для константи інтегрування отримаємо:

Потенціал до творчості зазвичай приписують гуманітарним дисциплінам, природно науковим залишаючи аналіз, практичний підхіді суха мова формул і цифр. Математику до гуманітарним предметамніяк не віднесеш. Але без творчості в «цариці всіх наук» далеко не поїдеш – про це людям відомо з давніх пір. З часів Піфагора, наприклад.

Шкільні підручники, на жаль, зазвичай не пояснюють, що в математиці важливо не лише зубрити теореми, аксіоми та формули. Важливо розуміти та відчувати її фундаментальні принципи. І при цьому спробувати звільнити свій розум від штампів та абеткових істин – тільки в таких умовах народжуються всі великі відкриття.

До таких відкриттів можна віднести і те, що сьогодні ми знаємо як теорему Піфагора. З його допомогою ми спробуємо показати, що математика не тільки може, а й має бути цікавою. І що ця пригода підходить не тільки ботанікам у товстих окулярах, а всім, хто міцний розумом і сильним духом.

З історії питання

Строго кажучи, хоч теорема і називається «теорема Піфагора», сам Піфагор її не відкривав. Прямокутний трикутник та його особливі властивості вивчалися задовго до нього. Є дві полярні погляди на це питання. За однією версією Піфагор першим знайшов повноцінний доказ теореми. За іншим доказом не належить авторству Піфагора.

Сьогодні вже не перевіриш, хто має рацію, а хто помиляється. Відомо лише, що докази Піфагора, якщо вона будь-коли існувало, не збереглося. Втім, висловлюються припущення, що знаменитий доказ із «Початків» Евкліда може належати Піфагору, і Евклід його тільки зафіксував.

Також сьогодні відомо, що завдання про прямокутний трикутник зустрічаються в єгипетських джерелах часів фараона Аменемхета I, на вавилонських глиняних табличках періоду правління царя Хаммурапі, в давньоіндійському трактаті «Сульва сутра» та давньокитайському творі «Чжоубі-сунь».

Як бачите, теорема Піфагора займала уми математиків з найдавніших часів. Підтвердженням є і близько 367 різноманітних доказів, які існують сьогодні. У цьому з нею не може тягатися жодна інша теорема. Серед знаменитих авторів доказів можна згадати Леонардо да Вінчі та двадцятого президента США Джеймса Гарфілда. Все це говорить про надзвичайну важливість цієї теореми для математики: з неї виводиться або так чи інакше пов'язана з нею більшість теорем геометрії.

Докази теореми Піфагора

У шкільних підручникахв основному наводять докази алгебри. Але суть теореми в геометрії, тож давайте розглянемо насамперед ті докази знаменитої теореми, які спираються на цю науку.

Доказ 1

Для найпростішого доказу теореми Піфагора для прямокутного трикутника потрібно задати ідеальні умови: нехай трикутник буде не тільки прямокутним, а й рівнобедреним. Є підстави вважати, що саме такий трикутник спочатку розглядали математику давнини.

Твердження "квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на його катетах"можна проілюструвати наступним кресленням:

Подивіться на рівнобедрений прямокутний трикутник ABC: На гіпотенузі АС можна побудувати квадрат, що складається з чотирьох трикутників, що дорівнює вихідному АВС. А на катетах АВ і ПС побудовано по квадрату, кожен з яких містить по два аналогічні трикутники.

До речі, це креслення лягло основою численних анекдотів і карикатур, присвячених теоремі Піфагора. Найзнаменитіший, мабуть, це «Піфагорові штани на всі боки рівні»:

Доказ 2

Цей метод поєднує в собі алгебру та геометрію і може розглядатися як варіант давньоіндійського доказу математика Бхаскарі.

Побудуйте прямокутний трикутник зі сторонами a, b і c(Рис.1). Потім збудуйте два квадрати зі сторонами, рівними сумі довжин двох катетів, – (a+b). У кожному із квадратів виконайте побудови, як на рисунках 2 та 3.

У першому квадраті збудуйте чотири таких трикутники, як на малюнку 1. У результаті виходить два квадрати: один зі стороною a, другий зі стороною b.

У другому квадраті чотири побудованих аналогічних трикутника утворюють квадрат зі стороною, рівної гіпотенузи c.

Сума площ збудованих квадратів на рис.2 дорівнює площі збудованого нами квадрата зі стороною з на рис.3. Це легко перевірити, вирахувавши площі квадратів на рис. 2 за формулою. А площа вписаного квадрата на малюнку 3. шляхом віднімання площ чотирьох рівних між собою вписаних у квадрат прямокутних трикутників із площі великого квадрата зі стороною (a+b).

Записавши все це, маємо: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Розкрийте дужки, проведіть усі необхідні алгебраїчні обчислення та отримайте, що a 2 +b 2 = a 2 +b 2. У цьому площа вписаного на рис.3. квадрата можна обчислити і за традиційною формулою S=c 2. Тобто. a 2 +b 2 =c 2- Ви довели теорему Піфагора.

Доказ 3

Сам же давньоіндійський доказ описаний у XII столітті в трактаті «Вінець знання» («Сіддханта широмані») і як головний аргумент автор використовує заклик, звернений до математичних талантів та спостережливості учнів та послідовників: «Дивись!».

Але ми розберемо цей доказ більш докладно:

Усередині квадрата побудуйте чотири прямокутні трикутники так, як це позначено на кресленні. Сторону великого квадрата, вона ж гіпотенуза, позначимо з. Катети трикутника назвемо аі b. Відповідно до креслення сторона внутрішнього квадрата це (a-b).

Використовуйте формулу площі квадрата S=c 2, щоб обчислити площу зовнішнього квадрата. І одночасно вирахуйте ту ж величину, склавши площу внутрішнього квадрата і площі всіх чотирьох прямокутних трикутників: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Ви можете використовувати обидва варіанти обчислення площі квадрата, щоб переконатися, що вони дадуть однаковий результат. І це дає вам право записати, що c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. В результаті рішення ви отримаєте формулу теореми Піфагора c 2 =a 2 +b 2. Теорему доведено.

Доказ 4

Цей цікавий давньокитайський доказ отримав назву «Стілець нареченої» - через схожу на стілець фігуру, яка виходить в результаті всіх побудов:

У ньому використовується креслення, яке ми вже бачили на рис.3 у другому доказі. А внутрішній квадрат зі стороною з побудований так само, як у давньоіндійському доказі, наведеному вище.

Якщо подумки відрізати від креслення на рис.1 два зелені прямокутні трикутники, перенести їх до рис. протилежним сторонамквадрата зі стороною з і гіпотенузами прикласти до гіпотенуз бузкових трикутників, вийде постать під назвою «стілець нареченої» (рис.2). Для наочності можна те саме зробити з паперовими квадратами і трикутниками. Ви переконаєтеся, що «стілець нареченої» утворюють два квадрати: маленькі зі стороною bі великий зі стороною a.

Ці побудови дозволили давньокитайським математикам і нам слідом за ними дійти висновку, що c 2 =a 2 +b 2.

Доказ 5

Це ще один спосіб знайти рішення для теореми Піфагора, спираючись на геометрію. Називається він "Метод Гарфілда".

Побудуйте прямокутний трикутник АВС. Нам треба довести, що НД 2 =АС 2 +АВ 2.

Для цього продовжіть катет АСта побудуйте відрізок CD, який дорівнює катету АВ. Опустіть перпендикулярний ADвідрізок ED. Відрізки EDі АСрівні. З'єднайте точки Еі У, а також Еі Зі отримайте креслення, як на малюнку нижче:

Щоб довести терему, ми знову вдається до вже випробуваного нами способу: знайдемо площу фігури, що вийшла, двома способами і прирівняємо вирази один до одного.

Знайти площу багатокутника ABEDможна, склавши площу трьох трикутників, які її утворюють. Причому один із них, ЄСВ, є не лише прямокутним, а й рівнобедреним. Не забуваємо також, що АВ = CD, АС = EDі ВС = РЄ– це дозволить нам спростити запис та не перевантажувати його. Отже, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

При цьому очевидно, що ABED- Це трапеція. Тому обчислюємо її площу за формулою: S ABED = (DE + AB) * 1/2AD. Для наших обчислень зручніше та наочніше уявити відрізок ADяк суму відрізків АСі CD.

Запишемо обидва способи обчислити площу фігури, поставивши з-поміж них знак рівності: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Використовуємо вже відому нам і описану вище рівність відрізків, щоб спростити праву частину запису: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(АВ+АС) 2. А тепер розкриємо дужки і перетворюємо рівність: AB*AC+1/2BC 2 =1/2АС 2 +2*1/2(АВ*АС)+1/2АВ 2. Закінчивши всі перетворення, отримаємо саме те, що нам треба: НД 2 =АС 2 +АВ 2. Ми довели теорему.

Звісно, ​​цей перелік доказів далеко не повний. Теорему Піфагора також можна довести за допомогою векторів, комплексних чисел, диференціальні рівняння, стереометрії і т.п. І навіть фізики: якщо, наприклад, в аналогічних представлених на кресленнях квадратні та трикутні обсяги залити рідину. Переливаючи рідину, можна довести рівність площ і саму теорему у результаті.

Пару слів про Піфагорові трійки

Це питання мало чи взагалі не вивчається у шкільній програмі. А тим часом він є дуже цікавим і має велике значенняу геометрії. Піфагорові трійки застосовуються для вирішення багатьох математичних завдань. Уявлення про них може стати вам у нагоді в подальшій освіті.

Так що ж таке Піфагорові трійки? Так називають натуральні числа, Зібрані по троє, сума квадратів двох з яких дорівнює третьому числу в квадраті.

Піфагорові трійки можуть бути:

  • примітивними (всі три числа – взаємно прості);
  • не примітивними (якщо кожне число трійки помножити на те саме число, вийде нова трійка, яка не є примітивною).

Ще до нашої ери стародавніх єгиптян заворожувала манія чисел Піфагорових трійок: у завданнях вони розглядали прямокутний трикутник із сторонами 3,4 та 5 одиниць. До речі, будь-який трикутник, сторони якого дорівнюють числам з піфагорової трійки, за замовчуванням є прямокутним.

Приклади Піфагорових трійок: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 48, 50), (30, 40, 50) і т.д.

Практичне застосування теореми

Теорема Піфагора знаходить застосування у математиці, а й у архітектурі та будівництві, астрономії і навіть літературі.

Спочатку про будівництво: теорема Піфагора знаходить у ньому широке застосування у завданнях різного рівняскладності. Наприклад, подивіться на вікно у романському стилі:

Позначимо ширину вікна як bтоді радіус великого півкола можна позначити як Rі виразити через b: R=b/2. Радіус менших півкола також виразимо через b: r=b/4. У цьому завдання нас цікавить радіус внутрішнього кола вікна (назвемо його p).

Теорема Піфагора якраз і стане в нагоді, щоб обчислити р. Для цього використовуємо прямокутний трикутник, що на малюнку позначений пунктиром. Гіпотенуза трикутника складається із двох радіусів: b/4+p. Один катет є радіусом. b/4, інший b/2-p. Використовуючи теорему Піфагора, запишемо: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Далі розкриємо дужки та отримаємо b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Перетворимо цей вираз на bp/2=b 2 /4-bp. А потім розділимо всі члени на b, наведемо подібні, щоб отримати 3/2*p=b/4. І в результаті знайдемо, що p=b/6- Що нам і потрібно.

За допомогою теореми можна обчислити довжину крокви для двосхилого даху. Визначити, якою висоти вишка мобільного зв'язку потрібна, щоб сигнал досягав певного населеного пункту. І навіть стійко встановити новорічну ялинку на міському майдані. Як бачите, ця теорема живе не тільки на сторінках підручників, а й часто буває корисною у реальному житті.

Щодо літератури, то теорема Піфагора надихала письменників з часів античності і продовжує це робити у наш час. Наприклад, німецького письменника ХІХ століття Адельберта фон Шаміссо вона надихнула на написання сонета:

Світло істини розсіється не скоро,
Але, засяявши, розсіється навряд
І, як тисячоліття тому,
Не викликає сумнівів і суперечки.

Наймудріші, коли торкнеться погляду
Світло істини, богів дякують;
І сто биків, заколоті, лежать.
Дар у відповідь Пифагора.

З того часу бики відчайдушно ревуть:
Навіки сполошило бичаче плем'я
Подія, згадана тут.

Їм здається: ось-ось настане час,
І знову їх у жертву принесуть
Якийсь великій теоремі.

(Переклад Віктора Топорова)

А в ХХ столітті радянський письменник Євген Велтистов у книзі «Пригоди Електроніка» доказам теореми Піфагора відвів цілий розділ. І ще півголови розповіді про двомірному світі, який міг би існувати, якби теорема Піфагора стала основним законом і навіть релігією окремо взятого світу. Жити в ньому було б набагато простіше, але й набагато нудніше: наприклад, там ніхто не розуміє значення слів «круглий» та «пухнастий».

А ще у книзі «Пригоди Електроніка» автор вустами вчителя математики Таратара каже: «Головне у математиці – рух думки, нові ідеї». Саме цей творчий політ думки породжує теорема Піфагора - не дарма у неї стільки різноманітних доказів. Вона допомагає вийти за межі звичного і на знайомі речі подивитися по-новому.

Висновок

Ця стаття створена, щоб ви могли заглянути за межі шкільної програмиз математики та дізнатися не лише ті докази теореми Піфагора, які наведені у підручниках «Геометрія 7-9» (Л.С. Атанасян, В.М. Руденко) та «Геометрія 7-11» (А.В. Погорєлов), але та інші цікаві способи довести знамениту теорему. А також побачити приклади, як теорема Піфагора може застосовуватись у звичайному житті.

По-перше, ця інформація дозволить вам претендувати на більш високі балина уроках математики – відомості з предмета з додаткових джерелзавжди високо оцінюються.

По-друге, нам хотілося допомогти вам відчути, наскільки математика цікава наука. Переконатися на конкретні приклади, що у ній є місце творчості. Ми сподіваємося, що теорема Піфагора і ця стаття надихнуть вас на самостійні пошукита хвилюючі відкриття в математиці та інших науках.

Розкажіть нам у коментарях, чи здалися вам наведені у статті докази цікавими. Чи знадобилися вам ці відомості у навчанні. Напишіть нам, що думаєте про теорему Піфагора та цю статтю – нам буде приємно обговорити все це з вами.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Кожен школяр знає, що квадрат гіпотенузи завжди дорівнює сумі катетів, кожен із яких зведений у квадрат. Ця твердження зветься теореми Піфагора. Вона є однією з найвідоміших теорем тригонометрії та математики в цілому. Розглянемо її докладніше.

Поняття про прямокутний трикутник

Перед тим, як переходити до розгляду теореми Піфагора, в якій квадрат гіпотенузи дорівнює сумі катетів, зведених у квадрат, слід розглянути поняття та властивості прямокутного трикутника, для якого справедлива теорема.

Трикутник - плоска фігура, Що має три кути та три сторони. Прямокутний трикутник, як випливає з його назви, має один прямий кут, тобто цей кут дорівнює 90 o .

З загальних властивостейвсім трикутників відомо, що сума всіх трьох кутів цієї фігури дорівнює 180 o , а це означає, що для прямокутного трикутника сума двох кутів, які не є прямими, становить 180 o - 90 o = 90 o . Останній фактозначає, що будь-який кут прямокутному трикутнику, який не є прямим, буде завжди менше 90 o .

Сторону, яка лежить проти прямого кута, прийнято називати гіпотенузою Дві інші сторони є катетами трикутника, вони можуть бути рівні між собою, а можуть і відрізнятися. З тригонометрії відомо, що чим більший кут, проти якого лежить сторона у трикутнику, тим більша довжина цієї сторони. Це означає, що у прямокутному трикутнику гіпотенуза (лежить проти кута 90 o) буде завжди більше будь-якого з катетів (лежать проти кутів< 90 o).

Математичний запис теореми Піфагора

Ця теорема свідчить, що квадрат гіпотенузи дорівнює сума катетів, кожен з яких попередньо зведений в квадрат. Щоб математично записати це формулювання, розглянемо прямокутний трикутник, у якому сторони a, b та c є двома катетами та гіпотенузою, відповідно. У цьому випадку теорема, яка формулюється, як квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, такою формулою може бути представлена: c 2 = a 2 + b 2 . Звідси можуть бути отримані інші важливі для практики формули: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) та c = √(a 2 + b 2).

Зазначимо, що у разі прямокутного рівностороннього трикутникатобто a = b, формулювання: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі катетів, кожен з яких зведений у квадрат, математично запишеться так: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2 , звідки випливає рівність: c = a√2.

Історична довідка

Теорема Піфагора, яка свідчить, що квадрат гіпотенузи дорівнює сума катетів, кожен з яких зведений у квадрат, була відома задовго до того, коли на неї звернув увагу знаменитий грецький філософ. Багато папірусів Стародавнього Єгипту, і навіть глиняні таблички Вавилонян підтверджують, що це народи використовували зазначене властивість сторін прямокутного трикутника. Наприклад, одна з перших єгипетських пірамід, Піраміда Хефрена, будівництво якої відноситься до XXVI століття до нашої ери (за 2000 років до життя Піфагора), була побудована, виходячи зі знання співвідношення сторін у прямокутному трикутнику 3x4x5.

Чому ж тоді нині теорема носить ім'я грека? Відповідь проста: Піфагор є першим, хто математично довів цю теорему. У вавилонських і єгипетських, що збереглися письмових джерелахйдеться лише про її використання, але не наводиться жодного математичного доказу.

Вважається, що Піфагор довів розглянуту теорему шляхом використання властивостей подібних трикутників, які він отримав, провівши висоту прямокутному трикутнику з кута 90 o до гіпотенузи.

Приклад використання теореми Піфагора

Розглянемо просте завдання: необхідно визначити довжину похилих сходів L, якщо відомо, що вона має висоту H = 3 метри, і відстань від стіни, в яку впираються сходи, до її підніжжя дорівнює P = 2,5 метра.

У разі H і P - це катети, а L - гіпотенуза. Оскільки довжина гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, отримуємо: L 2 = H 2 + P 2 , звідки L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2,5 2) = 3,905 метра або 3 м і 90, 5 див.

    Незабутня теорема Піфагора. Квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів його катетів. Тобто прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих з його катетах.

    Позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c, а довжини катетів через a та b:

    Гіпотенуза- це одна із сторін прямокутного трикутника. Також у цьому трикутнику є два катета.

    При цьому гіпотенуза - це сторона, яка знаходиться навпроти прямого кута. А катети – це сторони, які утворюють цей кут.

    Відповідно до теореми Піфагора, квадрат гіпотенузи дорівнюватиме сумі квадратів катетів.

    Тобто AB = AC + BC.

    Також вірне і зворотне твердження - якщо виконується ця рівність у трикутнику, цей трикутник є прямокутним.

    Ця властивість допомагає вирішувати чимало геометричних завдань.

    Існує і дещо інше формулювання цієї теореми: площа квадрата, який побудований на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.

    Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів ... зі школи напам'ять. Це одне з тих правил, які запам'яталися назавжди.)))

    Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів

    Це точно, що квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Безумовно це нам викладали і що це теорема Піфагора не залишає сумніву, так приємно серед звичайної рутини згадати те, що вчили зовсім давно.

    Це залежить від довжини цієї гіпотенузи. Якщо вона дорівнює одному метру, тобто квадрат - один квадратний метр. А якщо вона, наприклад, дорівнює 39,37 дюйма, тобто квадрат дорівнює 1550 квадратних дюймів, тут вже нічого не поробиш.

    Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів – теорема Піфагора (до речі, найлегший параграф у підручнику геометрії)

    Так, квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Начебто так нас навчали у школі. Скільки років минуло, а ми досі пам'ятаємо цю теорему, яку ми любимо. Напевно, напружитись та довести змогу, як за шкільною програмою.

    Ще говорили лічилку Піфагорові штани, на всі боки рівні

    Нам вчителька говорила, що якщо ви спите і раптом пожежа - Ви повинні знати теорему Піфагора))) дорівнює сумі квадратів катетів

    Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів двох інших сторін трикутника (катетів).

    Це можна запам'ятати, а можна раз і назавжди зрозуміти, чому це так.

    Спочатку розглянемо прямокутний трикутник з однаковими катетами і розташуємо його всередині квадрата зі стороною, що дорівнює гіпотенузі.

    Площа великого квадрата дорівнюватиме площі чотирьох однакових трикутниківусередині нього.

    Швидко все порахуємо та отримаємо потрібний нам результат.

    Якщо катети не однакові, теж все досить просто:

    площа великого квадрата дорівнює сумі площ чотирьох однакових трикутників плюс площа квадрата посередині.

    Як не крути - завжди отримуємо рівність

    сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи.

    Одна з найвідоміших у геометрії теорема Піфагора говорить:

    Ця теорема стосується прямокутного трикутника, тобто такого, один з кутів якого дорівнює 90 градусів. Сторони прямого кута називаються катетами, а косою – гіпотенузою. Так от, якщо намалювати три квадрати з основою у кожної із сторін трикутника, то площі двох квадратів біля катета дорівнює площі квадрату біля гіпотенузи.

теорема Піфагора: Сума площ квадратів, що спираються на катети ( aі b), дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі ( c).

Геометричне формулювання:

Спочатку теорема була сформульована наступним чином:

Алгебраїчне формулювання:

Тобто, позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c, а довжини катетів через aі b :

a 2 + b 2 = c 2

Обидві формулювання теореми еквівалентні, але друге формулювання більш елементарне, вона вимагає поняття площі . Тобто друге твердження можна перевірити, нічого не знаючи про площу та вимірявши лише довжини сторін прямокутного трикутника.

Зворотня теорема Піфагора:

Докази

На даний момент у науковій літературі зафіксовано 367 доказів цієї теореми. Ймовірно, теорема Піфагора є єдиною теоремою з настільки значним числом доказів. Таке різноманіття можна пояснити лише фундаментальним значенням теореми для геометрії.

Зрозуміло, концептуально їх можна розбити на малу кількість класів. Найвідоміші з них: докази методом площ, аксіоматичні та екзотичні докази (наприклад, за допомогою диференціальних рівнянь).

Через подібні трикутники

Наступний доказ алгебраїчної формулювання - найпростіший з доказів, що будуються безпосередньо з аксіом. Зокрема, воно не використовує поняття площі фігури.

Нехай ABCє прямокутний трикутник із прямим кутом C. Проведемо висоту з Cі позначимо її основу через H. Трикутник ACHподібний до трикутника ABCпо двох кутах. Аналогічно трикутник CBHподібний ABC. Ввівши позначення

отримуємо

Що еквівалентно

Склавши, отримуємо

Докази методом площ

Нижче наведені докази, незважаючи на їхню простоту, зовсім не такі прості. Всі вони використовують властивості площі, докази яких складніші за доказ самої теореми Піфагора.

Доказ через рівнодоповнюваність

  1. Розташуємо чотири рівні прямокутні трикутники так, як показано на малюнку 1.
  2. Чотирикутник зі сторонами cє квадратом, оскільки сума двох гострих кутів 90 °, а розгорнутий кут - 180 °.
  3. Площа всієї фігури дорівнює, з одного боку, площі квадрата зі стороною (a+b), з другого боку, сумі площ чотирьох трикутників і двох внутрішніх квадратів.

Що й потрібно було довести.

Докази через рівноскладність

Елегантний доказ за допомогою перестановки

Приклад одного з таких доказів вказано на кресленні праворуч, де квадрат, побудований на гіпотенузі, перестановкою перетворюється на два квадрати, побудованих на катетах.

Доказ Евкліда

Креслення до доказу Евкліда

Ілюстрація до доказу Евкліда

Ідея доказу Евкліда полягає в наступному: спробуємо довести, що половина площі квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, а тоді площі великого і двох малих квадратів рівні.

Розглянемо креслення зліва. На ньому ми побудували квадрати на сторонах прямокутного трикутника і провели з вершини прямого кута С промінь перпендикулярно до гіпотенузи AB, він розсікає квадрат ABIK, побудований на гіпотенузі, на два прямокутники - BHJI і HAKJ відповідно. Виявляється, що площі даних прямокутників точно рівні площам квадратів, побудованих на відповідних катетах.

Спробуємо довести, що площа квадрата DECA дорівнює площі прямокутника AHJK Для цього скористаємося допоміжним спостереженням: Площа трикутника з тією самою висотою та основою, що і даний прямокутник, що дорівнює половині площі заданого прямокутника. Це наслідок визначення площі трикутника як половини добутку основи висоту. З цього спостереження випливає, що площа трикутника ACK дорівнює площі трикутника AHK (не зображеного на малюнку), яка, у свою чергу, дорівнює половині площі прямокутника AHJK.

Доведемо тепер, що площа трикутника ACK також дорівнює половині площі квадрата DECA. Єдине, що необхідно для цього зробити, - це довести рівність трикутників ACK і BDA (оскільки площа трикутника BDA дорівнює половині площі квадрата за вказаною вище властивістю). Рівність це очевидно, трикутники рівні з обох боків та кутку між ними. Саме - AB=AK,AD=AC - рівність кутів CAK і BAD легко довести методом руху: повернемо трикутник CAK на 90° проти годинникової стрілки, тоді очевидно, що відповідні сторони двох трикутників, що розглядаються, збігатимуться (через кут при вершині квадрата - 90 °).

Міркування про рівність площ квадрата BCFG і прямокутника BHJI абсолютно аналогічне.

Тим самим було доведено, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, складається з площ квадратів, побудованих на катетах. Ідея цього доказу додатково проілюстрована за допомогою анімації, яка розташована вище.

Доказ Леонардо да Вінчі

Доказ Леонардо да Вінчі

Головні елементи доказу – симетрія та рух.

Розглянемо креслення, як видно з симетрії, відрізок CIрозсікає квадрат ABHJ на дві однакові частини (оскільки трикутники ABCі JHIрівні за побудовою). Користуючись поворотом на 90 градусів проти годинникової стрілки, ми вбачаємо рівність заштрихованих фігур CAJI і GDAB . Тепер ясно, що площа заштрихованої нами фігури дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, та площі вихідного трикутника. З іншого боку, вона дорівнює половині площі квадрата, побудованого на гіпотенузі плюс площа вихідного трикутника. Останній крок у доказі надається читачеві.

Доказ методом нескінченно малих

Наступний доказ за допомогою диференціальних рівнянь часто приписують відомому англійському математику Харді, який жив у першій половині XX ст.

Розглядаючи креслення, показане на малюнку, і спостерігаючи зміну сторони a, ми можемо записати наступне співвідношення для нескінченно малих прирощень сторін зі a(використовуючи подобу трикутників):

Доказ методом нескінченно малих

Користуючись методом поділу змінних, знаходимо

Більше загальний вираз зміни гіпотенузи у разі прирощень обох катетов

Інтегруючи дане рівняння та використовуючи початкові умови, отримуємо

c 2 = a 2 + b 2+ constant.

Таким чином, ми приходимо до бажаної відповіді

c 2 = a 2 + b 2 .

Як неважко бачити, квадратична залежність в остаточній формулі з'являється завдяки лінійної пропорційностіміж сторонами трикутника та прирощеннями, тоді як сума пов'язана з незалежними вкладами від збільшення різних катетів.

Простіший доказ можна отримати, якщо вважати, що один з катетів не відчуває збільшення (в даному випадку катет b). Тоді для константи інтегрування отримаємо

Варіації та узагальнення

  • Якщо замість квадратів побудувати на катетах інші подібні фігури, то вірно наступне узагальнення теореми Піфагора: У прямокутному трикутнику сума площ подібних фігур, побудованих на катетах, дорівнює площі фігури, побудованої на гіпотенузіЗокрема:
    • Сума площ правильних трикутників, побудованих на катетах, дорівнює площі правильного трикутникапобудований на гіпотенузі.
    • Сума площ півколів, побудованих на катетах (як діаметрі), дорівнює площі півкола, побудованого на гіпотенузі. Цей приклад використовується при доказі властивостей фігур, обмежених дугами двох кіл і носять ім'я гіпократових луночек.

Історія

Чу-пей 500-200 до н. Зліва напис: сума квадратів довжин висоти та основи є квадрат довжини гіпотенузи.

У давньокитайській книзі Чу-пей йдеться про піфагоровому трикутникузі сторонами 3, 4 та 5: У цій же книзі запропоновано малюнок, який збігається з одним із креслень індуської геометрії Басхари.

Кантор (найбільший німецький історик математики) вважає, що рівність 3 + 4 + 5 = було відомо вже єгиптянам ще близько 2300 до н. е.., за часів царя Аменемхета I (згідно з папірусом 6619 Берлінського музею). На думку Кантора гарпедонапти, або натягувачі мотузок, будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 і 5.

Дуже легко можна відтворити їхній спосіб побудови. Візьмемо мотузку завдовжки 12 м і прив'яжемо до неї по кольоровій смужці на відстані 3м. від одного кінця та 4 метри від іншого. Прямий кут виявиться ув'язненим між сторонами завдовжки 3 і 4 метри. Гарпедонаптам можна було б заперечити, що їх спосіб побудови ставати зайвим, якщо скористатися, наприклад, дерев'яним косинцем, що застосовується всіма теслярами. Відомі єгипетські малюнки, на яких зустрічається такий інструмент, наприклад малюнки, що зображують столярну майстерню.

Дещо більше відомо про теорему Піфагора у вавилонян. В одному тексті, що відноситься до часу Хаммурабі, тобто до 2000 до н. е., наводиться наближене обчислення гіпотенузи прямокутного трикутника. Звідси можна дійти невтішного висновку, що у Дворіччя вміли робити обчислення з прямокутними трикутниками, по крайнього заходу у деяких випадках. Грунтуючись, з одного боку, на сьогоднішньому рівні знань про єгипетську та вавілонську математику, а з іншого – на критичному вивченні грецьких джерел, Ван-дер-Варден (голландський математик) зробив такий висновок:

Література

Російською мовою

  • Скопець З. А.Геометричні мініатюри. М., 1990
  • Єленьський Щ.Слідами Піфагора. М., 1961
  • Ван-дер-Варден Б. Л.Пробуджена наука. Математика Стародавнього Єгипту, Вавилону та Греції. М., 1959
  • Глейзер Г. І.Історія математики у школі. М., 1982
  • Ст Літцман, «Теорема Піфагора» М., 1960.
    • Сайт про теорему Піфагора з великою кількістю доказів матеріал взятий із книги В.Літцмана, велике числокреслень представлено у вигляді окремих графічних файлів.
  • Теорема Піфагора і трійки Піфагора глава з книги Д. В. Аносова «Погляд на математику і щось з неї»
  • Про теорему Піфагора та способи її доказу Г. Глейзер, академік РАВ, Москва

Англійською

  • Теорема Піфагора на WolframMathWorld (англ.)
  • Cut-The-Knot, секція присвячена теоремі піфагора, близько 70 доказів та додаткова інформація (англ.)

Wikimedia Foundation.