Тригонометрія, як наука, зародилася на Стародавньому Сході. Перші тригонометричні співвідношеннябули виведені астрономами для створення точного календарята орієнтування за зірками. Дані обчислення належали до сферичної тригонометрії, у той час як у шкільному курсівивчають співвідношення сторін та кута плоского трикутника.

Тригонометрія - це розділ математики, що займається властивостями тригонометричних функційі залежністю між сторонами та кутами трикутників.

У період розквіту культури та науки I тисячоліття нашої ери знання поширилися з Стародавнього Сходув Грецію. Але основні відкриття тригонометрії – це заслуга чоловіків арабського халіфату. Зокрема, туркменський учений аль-Маразві ввів такі функції, як тангенс та котангенс, склав перші таблиці значень для синусів, тангенсів та котангенсів. Поняття синуса та косинуса введено індійськими вченими. Тригонометрії присвячено чимало уваги у працях таких великих діячів давнини, як Евкліда, Архімеда та Ератосфена.

Основні величини тригонометрії

Основні тригонометричні функції числового аргументу– це синус, косинус, тангенс та котангенс. Кожна з них має свій графік: синусоїда, косінусоїда, тангенсоїда та котангенсоїда.

У основі формул до розрахунку значень зазначених величин лежить теорема Піфагора. Школярам вона більше відома у формулюванні: «Піфагорові штани, на всі боки рівні», оскільки доказ наводиться на прикладі рівнобедреного прямокутного трикутника.

Синус, косинус та інші залежності встановлюють зв'язок між гострими кутами та сторонами будь-якого прямокутного трикутника. Наведемо формули для розрахунку цих величин для кута A і простежимо взаємозв'язки тригонометричних функцій:

Як видно, tg і ctg є зворотними функціями. Якщо уявити катет a як добуток sin A і гіпотенузи с, а катет b в вигляді cos A*c, то отримаємо наступні формулидля тангенсу та котангенсу:

Тригонометричне коло

Графічно співвідношення згаданих величин можна так:

Коло, в даному випадку, являє собою все можливі значеннякута α - від 0 ° до 360 °. Як видно з малюнка, кожна функція приймає негативне або позитивне значеннязалежно від величини кута. Наприклад, sin α буде зі знаком «+», якщо α належить І і ІІ чверті кола, тобто знаходиться у проміжку від 0° до 180°. При від 180° до 360° (III і IV чверті) sin α може бути тільки негативним значенням.

Спробуємо збудувати тригонометричні таблицідля конкретних кутів і дізнатися значення величин.

Значення α рівні 30°, 45°, 60°, 90°, 180° тощо – називають окремими випадками. Значення тригонометричних функцій їм прораховані і представлені у вигляді спеціальних таблиць.

Ці кути обрані зовсім не випадково. Позначення π у таблицях стоїть для радіан. Радий - це кут, при якому довжина дуги кола відповідає її радіусу. Ця величинабула введена для того, щоб встановити універсальну залежність, при розрахунках у радіанах не має значення дійсна довжина радіуса см.

Кути в таблицях для тригонометричних функцій відповідають значенням радіан:

Отже, не важко здогадатися, що 2π – це повне колоабо 360 °.

Властивості тригонометричних функцій: синус та косинус

Для того, щоб розглянути та порівняти основні властивості синуса та косинуса, тангенсу та котангенсу, необхідно накреслити їх функції. Зробити це можна у вигляді кривої, розташованої в двовимірної системикоординат.

Розглянь порівняльну таблицювластивостей для синусоїди та косинусоїди:

Синусоїда	Косинусоїда
y = sin x	y = cos x
ОДЗ [-1; 1]	ОДЗ [-1; 1]
sin x = 0, при x = πk, де k ϵ Z	cos x = 0 при x = π/2 + πk, де k ϵ Z
sin x = 1, за x = π/2 + 2πk, де k ϵ Z	cos x = 1 при x = 2πk, де k ϵ Z
sin x = - 1 при x = 3π/2 + 2πk, де k ϵ Z	cos x = - 1 при x = π + 2πk, де k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, тобто функція непарна	cos (-x) = cos x, тобто функція парна
	функція періодична, найменший період- 2π
sin x › 0, при x належить I і II чвертям або від 0° до 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, при x належить I і IV чвертям або від 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, при x належить III і IV чвертям або від 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, при x належить II і III чвертям або від 90° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
зростає на проміжку [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	зростає на проміжку [-π + 2πk, 2πk]
зменшується на проміжках [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	зменшується на проміжках
похідна (sin x)’ = cos x	похідна (cos x)' = - sin x

Визначити чи є функція парною чи ні дуже просто. Достатньо уявити тригонометричний круг зі знаками тригонометричних величин і подумки «скласти» графік щодо осі OX. Якщо знаки збігаються, функція парна, інакше- Непарна.

Введення радіан та перерахування основних властивостей синусоїди та косінусоїди дозволяють навести наступну закономірність:

Переконатись у вірності формули дуже просто. Наприклад, для x = π/2 синус дорівнює 1, як і косинус x = 0. Перевірку можна здійснити звернули до таблиць або простеживши криві функцій для заданих значень.

Властивості тангенсоїди та котангенсоїди

Графіки функцій тангенсу та котангенсу значно відрізняються від синусоїди та косинусоїди. Величини tg та ctg є зворотними один одному.

1. Y = tg x.
2. Тангенсоіда прагне значень y при x = π/2 + πk, але ніколи не досягає їх.
3. Найменший позитивний періодтангенсоіди дорівнює π.
4. Tg (-x) = - tg x, тобто функція непарна.
5. Tg x = 0 при x = πk.
6. Функція є зростаючою.
7. Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, при x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Похідна (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Розглянемо графічне зображеннякотангенсоіди нижче за текстом.

Основні властивості котангенсоїди:

1. Y = ctg x.
2. На відміну від функцій синуса і косинуса, в тангенсоіді Y може набувати значення безлічі всіх дійсних чисел.
3. Котангенсоіда прагне значень y при x = πk, але ніколи не досягає їх.
4. Найменший позитивний період котангенсоіди дорівнює π.
5. Ctg (-x) = - ctg x, тобто функція непарна.
6. Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
7. Функція є спадною.
8. Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Похідна (ctg x)’ = — 1/sin 2 ⁡x Виправити

Лекція: Синус, косинус, тангенс, котангенс довільного кута

Синус, косинус довільного кута

Щоб зрозуміти, що таке тригонометричні функції, звернемося до кола з одиничним радіусом. Це коло має центр на початку координат на координатної площини. Для визначення заданих функційбудемо використовувати радіус-вектор ВР, який починається в центрі кола, а точка Рє точкою кола. Даний радіус-вектор утворює кут альфа з віссю ОХ. Так як коло має радіус, рівний одиниці, то ОР = R = 1.

Якщо з точки Ропустити перпендикуляр на вісь ОХ, то отримаємо прямокутний трикутник з гіпотенузою, що дорівнює одиниці.

Якщо радіус-вектор рухається за годинниковою стрілкою, то цей напрямокназивається негативним, якщо він рухається проти руху годинникової стрілки - позитивним.

Синусом кута ВР, є ордината точки Рвектор на колі.

Тобто для отримання значення синуса даного кутаальфа необхідно визначитися з координатою Уна площині.

Як дане значеннябуло отримано? Оскільки ми знаємо, що синус довільного кута у прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катетадо гіпотенузи, отримаємо, що

А оскільки R = 1, то sin(α) = y 0 .

У одиничного колазначення ординати може бути менше -1 і більше 1, отже,

Синус набуває позитивного значення в першій і другій чверті одиничного кола, а в третій і четвертій - негативне.

Косинусом кутаданого кола, утвореного радіусом-вектором ВР, є абсциса точки Рвектор на колі.

Тобто для отримання значення косинуса даного кута альфа необхідно визначитися з координатою Хна площині.

Косинус довільного кута у прямокутному трикутнику - це відношення прилеглого катетадо гіпотенузи, отримаємо, що

А оскільки R = 1, то cos(α) = x 0 .

У одиничному колі значення абсциси може бути менше -1 і більше 1, отже,

Косинус набуває позитивного значення в першій і четвертій чверті одиничного кола, а в другій і в третій - негативне.

Тангенсомдовільного кутавважається ставлення синуса до косінус.

Якщо розглядати прямокутний трикутник, це відношення протилежного катета до прилеглого. Якщо ж мова йдепро одиничне коло, це ставлення ординати до абсцисі.

Судячи з даних відносин, можна зрозуміти, що тангенс не може існувати, якщо значення абсциси дорівнює нулю, тобто при куті 90 градусів. Всі інші значення може приймати тангенс.

Тангенс має позитивне значення у першій та третій чверті одиничного кола, а у другій та четвертій є негативним.

ЄДІ на 4? А чи не луснеш від щастя?

Питання, як кажуть, цікаве... Можна, можна здати на 4! І при цьому не луснути... Головна умова – займатися регулярно. Тут – основна підготовка до ЄДІ з математики. З усіма секретами та таємницями ЄДІ, про які Ви не прочитаєте у підручниках... Вивчайте цей розділ, вирішуйте більше завданьз різних джерел- І все вийде! Передбачається, що базовий розділ "З тебе і трійки вистачить!" у вас труднощів не викликає. Але якщо раптом... За посиланнями ходіть, не лінуйтеся!

І почнемо ми з великої та жахливої ​​теми.

Тригонометрія

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Ця тема завдає безліч проблем учням. Вважається однією з найсуворіших. Що таке синус та косинус? Що таке тангенс та котангенс? Що таке числове коло? Варто поставити ці невинні питання, як людина блідне і намагається відвести розмову убік… А даремно. Це прості поняття. І нічим ця тема не складніша за інші. Просто потрібно з самого початку чітко усвідомити відповіді на ці питання. Це дуже важливо. Якщо зрозуміли – тригонометрія вам сподобається. Отже,

Що таке синус та косинус? Що таке тангенс та котангенс?

Почнемо з глибокої давнини. Не хвилюйтеся, всі 20 століть тригонометрії ми пройдемо хвилин за 15. І непомітно для себе, повторимо шматочок геометрії з 8 класу.

Намалюємо прямокутний трикутник зі сторонами а, в, зта кутом х. Ось такий.

Нагадаю, що сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами. а і в- Катети. Їх два. Сторона, що залишилася, називається гіпотенузою. з- Гіпотенуза.

Трикутник та трикутник, подумаєш! Що з нею робити? А ось давні люди знали, що робити! Повторимо їх дії. Виміряємо бік в. На малюнку спеціально клітини намальовані, як у завданнях ЄДІбуває. вСторона дорівнює чотирьом клітинам. Гаразд. Виміряємо біка.

Три клітини. А тепер поділимо довжину сторониа вна довжину сторони А тепер поділимо довжину сторони. Або, як ще кажуть, візьмемо відношення в. до= 3/4.

а/в вМожна навпаки, поділити дорівнює чотирьом клітинам. Гаразд. Виміряємо бікна вОтримаємо 4/3. Можна, можливо поділити нас. зГіпотенузу по клітинах не порахувати, але вона дорівнює 5. Отримаємов/с

= 4/5. Коротше, можна ділити довжини сторін один на одного та отримувати якісь числа. Ну і що? Який сенс у цьомуцікавому занятті

? Поки що ніякого. Безглузде заняття, прямо скажемо.) А тепер зробимо ось що. Збільшимо трикутник. Продовжимо сторонив і з хале так, щоб трикутник залишився прямокутним. Кут , Звісно, ​​не змінюється. Щоб це побачити, наведіть курсор мишки на картинку, або торкніться її (якщо у вас планшет). Сторониа, в і з перетворяться на m, n, k

, і, ясна річ, довжини сторін зміняться.

А ось їхні стосунки – ні! доСтавлення добуло: = 3/4, стало m/n = 6/8 = 3/4. Відносини інших відповідних сторін також не зміняться . Можна як завгодно змінювати довжини сторін у прямокутному трикутнику, збільшувати, зменшувати, – не змінюючи кута х відносини відповідних сторін не зміняться

. Можна перевірити, а можна повірити давнім людям на слово.

А це вже дуже важливо! Відносини сторін у прямокутному трикутнику ніяк не залежать від довжин сторін (при тому самому вугіллі). Це настільки важливо, що відносини сторін заслужили свої спеціальні назви. Свої імена, так би мовити.) Знайомтеся. ? Це ставлення протилежного катета до гіпотенузи:

sinx = а/с

Що таке косинус кута х ? Це ставлення прилеглого катета до гіпотенузи:

зosx= в/с

Що таке тангенс кута х ? Це ставлення протилежного катета до прилеглого:

tgx =до

Що таке котангенс кута х ? Це ставлення прилеглого катета до протилежного:

ctgx = в/а

Все дуже просто. Синус, косинус, тангенс та котангенс – це деякі числа. Безрозмірні. Просто числа. Для кожного кута – свої.

Навіщо я так занудно все повторюю? Тому, що це потрібно запам `ятати. Залізно запам'ятати. Запам'ятовування можна полегшити. Фраза «Почнемо здалеку…» знайома? Ось і починайте здалеку.

Сінускута – це відношення далекоговід кута катета до гіпотенузи. Косінус- Відношення ближнього до гіпотенузи.

Тангенскута – це відношення далекоговід кута катета до ближнього. Котангенс- Навпаки.

Вже простіше, правда?

Ну а якщо запам'ятати, що в тангенсі та котангенсі сидять тільки катети, а в синусі та косинусі гіпотенуза з'являється, то все стане зовсім просто.

Всю цю славну родину – синус, косинус, тангенс та котангенс називають ще тригонометричними функціями.

А зараз питання на міркування.

Чому ми говоримо синус, косинус, тангенс та котангенс кута?Йдеться про відносини сторін, начебто... При чому тут кут?

Дивимося на другу картинку. Таку саму, як і перша.

Наведіть мишку на картинку. Я змінив кут х. Збільшив його з х до Х.Усі стосунки змінилися! Ставлення добуло 3/4, а відповідне відношення t/встало 6/4.

І всі інші стосунки стали іншими!

Отже, відносини сторін ніяк не залежать від їх довжин (при одному вугіллі х), але різко залежать від цього самого кута! І лише від нього.Тому терміни синус, косинус, тангенс та котангенс відносяться до кутку.Кут тут – головний.

Потрібно залізно усвідомити, що кут нерозривно пов'язаний зі своїми тригонометричними функціями. Кожен кут має свій синус і косинус. І майже у кожного – свій тангенс та котангенс.Це важливо. Вважається, що якщо нам дано кут, то його синус, косинус, тангенс та котангенс нам відомі ! І навпаки. Даний синус, або будь-яка інша тригонометрична функція – це означає, що ми знаємо кут.

Існують спеціальні таблиці, де для кожного кута розписано його тригонометричні функції. Таблиці Брадіса називаються. Вони дуже давно складені. Коли ще не було ні калькуляторів, ні комп'ютерів.

Звісно, ​​тригонометричні функції всіх кутів запам'ятати не можна. Ви повинні знати їх лише для кількох кутів, про це далі буде. Але заклинання « знаю кут – отже, знаю його тригонометричні функції» -працює завжди!

Ось ми й повторили шматочок геометрії із 8-го класу. Воно нам потрібне для ЄДІ? Потрібно. Ось вам своєрідне завдання з ЄДІ. Для вирішення якої достатньо 8-го класу. Дана картинка:

Всі. Більше жодних даних немає. Потрібно знайти довжину катета ВС.

Клітини слабо допомагають, трикутник якось неправильно розташований .... Спеціально, мабуть ... З інформації є довжина гіпотенузи. 8 клітин. Ще навіщось дано кут.

Ось тут треба одразу згадувати про тригонометрію. Є кут, отже, ми знаємо всі його тригонометричні функції. Яку функцію із чотирьох у справу пустити? А подивимося, що нам відомо? Нам відомі гіпотенуза, кут, а знайти треба прилеглийдо цього кута катет! Зрозуміло, косинус треба в справу запускати! Ось і запускаємо. Просто пишемо, за визначенням косинуса (ставлення прилеглогокатета до гіпотенузи):

cosC = НД/8

Кут С у нас 60 градусів, його косинус дорівнює 1/2. Це знати треба, без жодних таблиць! Стало бути:

1/2 = НД/8

Елементарне лінійне рівняння. Невідоме – НД. Хто призабув, як вирішувати рівняння, прогуляйтеся за посиланням, решта вирішує:

НД = 4

Коли давні люди зрозуміли, що у кожного кута є свій комплект тригонометричних функцій, у них виникло резонне питання. А чи не пов'язані якось синус, косинус, тангенс і котангенс між собою?Тож знаючи одну функцію кута, можна було знайти інші? Чи не обчислюючи сам кут?

Ось такі вони були невгамовні...)

Зв'язок між тригонометричними функціями одного кута.

Звичайно, синус, косинус, тангенс і котангенс одного й того самого кута пов'язані між собою. Будь-який зв'язок між виразами задається в математиці формулами. У тригонометрії формул – колосальна кількість. Але тут ми розглянемо найголовніші. Ці формули так і називаються: основні тригонометричні тотожності.Ось вони:

Ці формули треба знати залізно. Без них взагалі в тригонометрії робити нема чого. З цих основних тотожностей випливають ще три допоміжні тотожності:

Відразу попереджаю, що останні три формули швидко випадають з пам'яті. Чомусь.) Можна, звичайно, вивести ці формули з перших трьох. Але, в важку хвилину... Самі розумієте.)

У стандартних завданнях, типу тих, що наведені нижче, є спосіб обійтися без цих формул, що незапам'ятовуються. І різко зменшити помилкипо забудькуватості, та й у обчисленнях теж. Цей практичний прийом - у Розділі 555, урок "Зв'язок між тригонометричними функціями одного кута."

У яких завданнях та як використовуються основні тригонометричні тотожності? Найпопулярніше завдання - знайти якусь функцію кута, якщо дана інша. У ЄДІ таке завдання рік у рік присутнє.) Наприклад:

Знайти значення sinxякщо х - гострий кут, а cosx = 0,8.

Завдання майже елементарне. Шукаємо формулу, де є синус та косинус. Ось вона ця формула:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Підставляємо сюди відому величину, А саме, 0,8 замість косинуса:

sin 2 x + 0,8 2 = 1

Ну і вважаємо, як завжди:

sin 2 x + 0,64 = 1

sin 2 x = 1 - 0,64

Ось практично і все. Ми вирахували квадрат синуса, залишилося витягти квадратний корінь і відповідь готова! Корінь із 0,36 буде 0,6.

Завдання майже елементарне. Але слово "майже" тут не дарма стоїть ... Справа в тому, що відповідь sinx = - 0,6 теж підходить ... (-0,6) 2 теж 0,36 буде.

Дві різні відповіді виходять. А потрібний один. Другий – неправильний. Як бути!? Та як завжди.) Уважно прочитати завдання. Там навіщось написано: ... якщо х – гострий кут...А в завданнях кожне слово має сенс, так... Ця фраза - і є додаткова інформація до вирішення.

Гострий кут – це кут менше 90°. А у таких кутів Усетригонометричні функції - і синус, і косинус, і тангенс з котангенсом - позитивні.Тобто. негативну відповідь ми тут просто відкидаємо. Маємо право.

Власне, восьмикласникам такі тонкощі не потрібні. Вони працюють лише з прямокутними трикутниками, де кути можуть бути лише гострими. І не знають, щасливі, що бувають і негативні кути, і кути в 1000°... І всі ці кошмарні кути мають свої тригонометричні функції і з плюсом, і з мінусом...

А ось старшокласникам без урахування знаку – ніяк. Багато знань множать печалі, так...) правильного рішенняу завданні обов'язково є додаткова інформація (якщо вона необхідна). Наприклад, вона може бути дана таким записом:

Або якось інакше. У прикладах нижче побачите.) Для вирішення таких прикладів потрібно знати, в яку чверть потрапляє заданий кут х і який знак має необхідна тригонометрична функція цієї чверті.

Ці ази тригонометрії розглянуті в уроках що таке тригонометричний круг, відлік кутів на цьому колі, радіальна міра кута. Іноді потрібно знати і таблицю синусів косінусів тангенсів та котангенсів.

Отже, відзначимо найголовніше:

Практичні поради:

1. Запам'ятайте визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. Дуже знадобиться.

2. Чітко засвоюємо: синус, косинус, тангенс та котангенс міцно пов'язані з кутами. Знаємо одне – значить, знаємо й інше.

3. Чітко засвоюємо: синус, косинус, тангенс та котангенс одного кута пов'язані між собою основними тригонометричними тотожностями. Знаємо одну функцію - отже, можемо (за наявності необхідної додаткової інформації) обчислити решту.

А тепер вирішуємо, як водиться. Спочатку завдання обсягом 8-го класу. Але й старшокласникам теж можна...)

1. Обчислити значення tgА, якщо ctgА = 0,4.

2. β - кут у прямокутному трикутнику. Знайти значення tgβ, якщо sinβ = 12/13.

3. Визначити синус гострого кута х, якщо tgх = 4/3.

4. Знайти значення виразу:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Знайти значення виразу:

(1-cosx)(1+cosx), якщо sinx = 0,3

Відповіді (через точку з комою, безладно):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Вийшло? Чудово! Восьмикласники можуть вже пройти за своїми п'ятірками.)

Чи не все вийшло? Завдання 2 та 3 якось не дуже...? Не біда! Є один гарний прийом для подібних завдань. Все вирішується практично взагалі без формул! Отож, без помилок. Цей прийом в уроці: "Зв'язок між тригонометричними функціями одного кута" у Розділі 555 описаний. Там же розібрано й решту завдань.

Це були завдання типу ЄДІ, але у урізаному варіанті. ЄДІ – лайт). А зараз майже такі ж завдання, але у повноцінному єгешному вигляді. Для обтяжених знаннями старшокласників.)

6. Знайти значення tgβ, якщо sinβ = 12/13, а

7. Визначити sinх, якщо tgх = 4/3, а х належить інтервалу (-540 °; - 450 °).

8. Знайти значення виразу sinβ·cosβ, якщо ctgβ = 1.

Відповіді (безладно):

0,8; 0,5; -2,4.

Тут у задачі 6 кут заданий якось не дуже однозначно... А в задачі 8 взагалі не заданий! Це спеціально). додаткова інформаціяне тільки із завдання береться, а й із голови.) Зате вже якщо вирішили - одне вірне завдання гарантоване!

А як не вирішили? Гм... Ну, тут допоможе. Там розв'язання всіх цих завдань докладно розписано, важко не розібратися.

У цьому вся уроці дано дуже обмежене поняття тригонометричних функцій. У межах 8 класу. А у старших залишаються питання...

Наприклад, якщо кут х(Дивіться другу картинку на цій сторінці) - зробити тупим!? Трикутник взагалі розвалиться! І як бути? Ні катета не буде, ні гіпотенузи... Зник синус...

Якби давні люди не знайшли вихід із цього становища, не було б у нас зараз ні мобільних телефонів, ні TV, ні електрики. Так Так! Теоретична основавсіх цих речей без тригонометричних функцій – нуль без палички. Але давні люди не підвели. Як вони викрутилися – у наступному уроці.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Одним із розділів математики, з якими школярі справляються з найбільшими труднощами, є тригонометрія. Не дивно: щоб вільно оволодіти цією областю знань, потрібна наявність просторового мислення, вміння знаходити синуси, косинуси, тангенси, котангенси за формулами, спрощувати висловлювання, вміти застосовувати у обчисленнях число пі. Крім цього, потрібно вміти застосовувати тригонометрію за доказом теорем, а це вимагає або розвиненої математичної пам'яті, або вміння виводити непрості логічні ланцюжки.

Витоки тригонометрії

Знайомство з цією наукою слід розпочати з визначення синуса, косинуса і тангенса кута, проте спочатку необхідно розібратися, чим займається тригонометрія.

Історично головним об'єктом дослідження цього розділу математичної наукибули прямокутні трикутники. Наявність кута в 90 градусів дає можливість здійснювати різні операції, що дозволяють по двох сторонах і одному куті або по двох кутах і одній стороні визначати значення всіх параметрів фігури, що розглядається. У минулому люди помітили цю закономірність і стали активно нею користуватися при будівництві будівель, навігації, астрономії і навіть у мистецтві.

Початковий етап

Спочатку люди міркували про взаємини кутів і сторін винятково з прикладу прямокутних трикутників. Потім були відкриті особливі формули, що дозволили розширити межі вживання в повсякденному життіцього розділу математики.

Вивчення тригонометрії у школі сьогодні починається з прямокутних трикутників, після чого отримані знання використовуються учнями у фізиці та вирішенні абстрактних тригонометричних рівнянь, робота з якими починається у старших класах

Сферична тригонометрія

Пізніше, коли наука вийшла на наступний рівень розвитку, формули із синусом, косінусом, тангенсом, котангенсом стали використовуватися у сферичній геометрії, де діють інші правила, а сума кутів у трикутнику завжди більша за 180 градусів. Цей розділне вивчається у школі, проте знати про його існування необхідно як мінімум тому, що земна поверхня, Та й поверхня будь-якої іншої планети, є опуклою, а значить, будь-яка розмітка поверхні буде в тривимірному просторі"дугоподібної".

Візьміть глобус та нитку. Прикладіть нитку до двох будь-яких точок на глобусі, щоб вона виявилася натягнутою. Зверніть увагу - вона набула форми дуги. З такими формами і має справу сферична геометрія, що застосовується в геодезії, астрономії та інших теоретичних та прикладних сферах.

Прямокутний трикутник

Дещо дізнавшись про способи застосування тригонометрії, повернемося до базової тригонометрії, щоб надалі розібратися, що таке синус, косинус, тангенс, які розрахунки можна з їх допомогою виконувати і які формули при цьому використовувати.

Насамперед необхідно усвідомити поняття, які стосуються прямокутного трикутника. По-перше, гіпотенуза - це сторона, що лежить навпроти кута 90 градусів. Вона є найдовшою. Ми пам'ятаємо, що з теореми Піфагора її чисельне значеннядорівнює кореню із суми квадратів двох інших сторін.

Наприклад, якщо дві сторони дорівнюють 3 і 4 сантиметрам відповідно, довжина гіпотенузи становитиме 5 сантиметрів. До речі, про це знали ще давні єгиптяни близько чотирьох із половиною тисяч років тому.

Дві сторони, що залишилися, які утворюють прямий кут, звуться катетів. Крім того, треба пам'ятати, що сума кутів у трикутнику прямокутної системикоординат дорівнює 180 градусів.

Визначення

Нарешті, твердо розуміючи геометричну основу, можна звернутися до визначення синуса, косинуса та тангенсу кута.

Синусом кута називається відношення протилежного катета (тобто сторони, що знаходиться навпроти потрібного кута) до гіпотенузи. Косинусом кута називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Запам'ятайте, що ні синус, ні косинус не може бути більше одиниці! Чому? Тому що гіпотенуза - це за умовчанням найдовша Яким би довгим не був катет, він буде коротшим за гіпотенузу, а значить, їх відношення завжди буде менше одиниці. Таким чином, якщо у вас у відповіді до завдання вийшов синус або косинус зі значенням більшим, ніж 1, шукайте помилку в розрахунках або міркуваннях. Ця відповідь однозначно невірна.

Нарешті, тангенсом кута називається відношення протилежної сторони до прилеглої. Той самий результат дасть поділ синуса на косинус. Подивіться: відповідно до формули ми ділимо довжину боку на гіпотенузу, після чого ділимо на довжину другої сторони та множимо на гіпотенузу. Таким чином, ми отримуємо те саме співвідношення, що і у визначенні тангенсу.

Котангенс, відповідно, є відношенням прилеглої до кута сторони до протилежної. Той самий результат ми отримаємо, розділивши одиницю на тангенс.

Отже, ми розглянули визначення, що таке синус, косинус, тангенс та котангенс, і можемо зайнятися формулами.

Найпростіші формули

У тригонометрії не обійтися без формул – як знайти синус, косинус, тангенс, котангенс без них? Адже саме це потрібно при вирішенні завдань.

Перша формула, яку необхідно знати, починаючи вивчати тригонометрію, свідчить, що сума квадратів синуса і косинуса кута дорівнює одиниці. Ця формулає прямим наслідком теореми Піфагора, проте дозволяє заощадити час, якщо потрібно дізнатися про величину кута, а не сторони.

Багато учнів що неспроможні запам'ятати другу формулу, також дуже популярну під час вирішення шкільних завдань: сума одиниці та квадрата тангенсу кута дорівнює одиниці, поділеній на квадрат косинуса кута. Придивіться: адже це те саме твердження, що й у першій формулі, тільки обидві сторони тотожності були поділені на квадрат косинуса. Виходить, проста математична операція робить тригонометричну формулуабсолютно невпізнанною. Пам'ятайте: знаючи, що таке синус, косинус, тангенс та котангенс, правила перетворення та кілька базових формулви будь-якої миті зможете самі вивести необхідні більше складні формулина папері.

Формули подвійного кута та складання аргументів

Ще дві формули, які потрібно вивчити, пов'язані зі значеннями синуса та косинуса при сумі та різниці кутів. Вони представлені нижче. Зверніть увагу, що в першому випадку обидва рази перемножується синус та косинус, а в другому складається попарний твір синуса та косинуса.

Також є формули, пов'язані з аргументами у вигляді подвійного кута. Вони повністю виводяться з попередніх - як тренування спробуйте отримати їх самостійно, прийнявши кут альфа рівним кутубета.

Нарешті, зверніть увагу, що формули подвійного кута можна перетворити те щоб знизити ступінь синуса, косинуса, тангенса альфа.

Теореми

Двома основними теоремами в базовій тригонометрії є теорема синусів та теорема косінусів. За допомогою цих теорем ви легко зможете зрозуміти, як знайти синус, косинус і тангенс, а отже, і площу фігури, і величину кожної сторони тощо.

Теорема синусів стверджує, що в результаті розподілу довжини кожної зі сторін трикутника на величину протилежного кута ми отримаємо однакове число. Більше того, це число дорівнюватиме двом радіусам описаного кола, тобто кола, що містить всі точки даного трикутника.

Теорема косінусів узагальнює теорему Піфагора, проеціруя її будь-які трикутники. Виявляється, із суми квадратів двох сторін відняти їх добуток, помножений на подвійний косинус суміжного їм кута - отримане значення виявиться рівним квадрату третьої сторони. Таким чином, теорема Піфагора виявляється окремим випадком теореми косінусів.

Помилки з неуважності

Навіть знаючи, що таке синус, косинус і тангенс, легко зробити помилку через неуважність або помилки в найпростіших розрахунках. Щоб уникнути таких помилок, ознайомимося з найпопулярнішими з них.

По-перше, не слід перетворювати звичайні дроби на десяткові до отримання остаточного результату - можна й відповідь залишити у вигляді звичайного дробу, якщо умові не обумовлено зворотне. Таке перетворення не можна назвати помилкою, проте слід пам'ятати, що на кожному етапі завдання можуть з'явитися нові корені, які за задумом автора повинні скоротитися. У цьому випадку ви дарма витратите час на зайві математичні операції. Особливо це актуально для таких значень, як корінь із трьох або з двох, адже вони зустрічаються в завданнях на кожному кроці. Те саме стосується заокруглень «некрасивих» чисел.

Далі, зверніть увагу, що до будь-якого трикутника застосовна теорема косінусів, але не теорема Піфагора! Якщо ви помилково забудете відняти подвійний твір сторін, помножений на косинус кута між ними, ви не тільки отримаєте абсолютно невірний результат, але й продемонструєте повне нерозуміння предмета. Це гірше, ніж помилка через неуважність.

По-третє, не плутайте значення для кутів 30 і 60 градусів для синусів, косінусів, тангенсів, котангенсів. Запам'ятайте ці значення, адже синус 30 градусів дорівнює косінусу 60, і навпаки. Їх легко переплутати, внаслідок чого ви неминуче отримаєте хибний результат.

Застосування

Багато учнів не поспішають братися до вивчення тригонометрії, оскільки розуміють її прикладного сенсу. Що таке синус, косинус, тангенс для інженера чи астронома? Це поняття, завдяки яким можна обчислити відстань до далеких зірокпередбачити падіння метеорита, відправити дослідний зонд на іншу планету. Без них не можна збудувати будинок, спроектувати автомобіль, розрахувати навантаження на поверхню або траєкторію руху предмета. І це тільки самі очевидні приклади! Адже тригонометрія у тому чи іншому вигляді використовується всюди, починаючи від музики та закінчуючи медициною.

На закінчення

Отже, ви синус, косинус, тангенс. Ви можете використовувати їх у розрахунках та успішно вирішувати шкільні завдання.

Вся суть тригонометрії зводиться до того, що за відомими параметрами трикутника потрібно вирахувати невідомі. Усього цих параметрів шість: довжини трьохсторін та величини трьох кутів. Вся різниця в завданнях полягає в тому, що даються різні вхідні дані.

Як знайти синус, косинус, тангенс, виходячи з відомих довжин катетів або гіпотенузи, ви тепер знаєте. Оскільки ці терміни позначають не що інше, як відношення, а відношення - це дріб, головною метою тригонометричного завданнястає знаходження коренів нормального рівняння або системи рівнянь. І тут вам допоможе звична шкільна математика.

Спочатку синус і косинус виникли через необхідність розраховувати величини прямокутних трикутниках. Було помічено, що й значення градусної міри кутів у прямокутному трикутнику не змінювати, то співвідношення сторін, хоч би ці сторони змінювалися у довжині, залишається завжди однаковим.

Саме так і було введено поняття синуса та косинуса. Синус гострого кута у прямокутному трикутнику – це відношення протилежного катета до гіпотенузи, а косинус – прилеглого до гіпотенузи.

Теореми косінусів та синусів

Але косинуси та синуси можуть застосовуватися не тільки у прямокутних трикутниках. Щоб знайти значення тупого чи гострого кута, сторони будь-якого трикутника, достатньо застосувати теорему косінусів та синусів.

Теорема косінусів досить проста: «Квадрат сторони трикутника дорівнює суміквадратів двох інших сторін за вирахуванням подвоєного твору цих сторін на косинус кута між ними».

Існує два трактування теореми синусів: мала та розширена. Згідно з малою: «У трикутнику кути пропорційні протилежним сторонам». Цю теоремучасто розширюють за рахунок властивості описаного біля трикутника кола: «У трикутнику кути пропорційні протилежним сторонам, а їх відношення дорівнює діаметру описаного кола».

Похідні

Похідна – математичний інструмент, що показує, як швидко змінюється функція щодо зміни її аргументу. Похідні використовуються , геометрії, і ряд технічних дисциплін.

При вирішенні завдань потрібно знати табличні значення похідних тригонометричних функцій: синуса та косинуса. Похідною синуса є косинус, а косинуса – синус, але зі знаком «мінус».

Застосування математики

Особливо часто синуси та косинуси використовуються при вирішенні прямокутних трикутників та задач, пов'язаних з ними.

Зручність синусів і косінусів знайшло своє відображення і в техніці. Кути та сторони було просто оцінювати за теоремами косинусів та синусів, розбиваючи складні фігурита об'єкти на «прості» трикутники. Інженери і , часто мають справу з розрахунками співвідношення сторін і градусних заходів, Витрачали чимало часу та зусиль для обчислення косінусів та синусів не табличних кутів.

Тоді «на допомогу» прийшли таблиці Брадіса, що містять тисячі значень синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів. різних кутів. У радянський часдеякі викладачі змушували своїх підопічних сторінки таблиць Брадіса напам'ять.

Радіан - кутова величинадуги, за довжиною рівної радіусуабо 57,295779513 градусів.

Градус (у геометрії) - 1/360 частина кола або 1/90 частина прямого кута.

π = 3.141592653589793238462… ( приблизне значеннячисла Пі).

Таблиця косинусів для кутів: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330 °, 360 °.

Кут х (у градусах)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150 °	180 °	210°	225°	240°	270°	300 °	315°	330°	360°
Кут х (у радіанах)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11 x π/6	2 x π
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1