Вивчення тригонометрії ми почнемо з прямокутного трикутника. Визначимо, що таке синус та косинус, а також тангенс та котангенс гострого кута. Це є основи тригонометрії.

Нагадаємо, що прямий кут- це кут, що дорівнює 90 градусів. Іншими словами, половина розгорнутого кута.

Гострий кут- менше 90 градусів.

Тупий кут- більший за 90 градусів. Стосовно такого кута «тупий» - не образа, а математичний термін:-)

Намалюємо прямокутний трикутник. Прямий кут зазвичай позначається. Звернімо увагу, що сторона, що лежить навпроти кута, позначається тією ж літерою, лише маленькою. Так, сторона, що лежить навпроти кута A, позначається .

Кут позначається відповідною грецькою літерою.

Гіпотенузапрямокутного трикутника - це сторона, що лежить навпроти прямого кута.

Катети- Сторони, що лежать навпроти гострих кутів.

Катет, що лежить навпроти кута, називається протилежним(По відношенню до кута). Інший катет, який лежить на одній із сторін кута, називається прилеглим.

Сінусгострого кута у прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катетадо гіпотенузи:

Косінусгострого кута у прямокутному трикутнику - відношення прилеглого катета до гіпотенузи:

Тангенсгострого кута в прямокутному трикутнику - відношення протилежного катета до прилеглого:

Інше (рівносильне) визначення: тангенсом гострого кута називається відношення синуса кута до його косинусу:

Котангенсгострого кута в прямокутному трикутнику - відношення прилеглого катета до протилежного (або, що те саме, відношення косинуса до синуса):

Зверніть увагу на основні співвідношення для синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, які наведені нижче. Вони стануть у нагоді нам при вирішенні завдань.

Давайте доведемо деякі з них.

Добре, ми дали визначення та записали формули. А для чого ж потрібні синус, косинус, тангенс і котангенс?

Ми знаємо, що сума кутів будь-якого трикутника дорівнює.

Знаємо співвідношення між сторонамипрямокутного трикутника. Це теорема Піфагора: .

Виходить, знаючи два кути в трикутнику, можна знайти третій. Знаючи дві сторони прямокутного трикутника, можна знайти третю. Значить, для кутів – своє співвідношення, для сторін – своє. А що робити, якщо у прямокутному трикутнику відомий один кут (крім прямого) та одна сторона, а знайти треба інші сторони?

З цим і зіткнулися люди в минулому, складаючи карти місцевості та зоряного неба. Адже не завжди можна безпосередньо виміряти усі сторони трикутника.

Синус, косинус та тангенс - їх ще називають тригонометричними функціями кута- дають співвідношення між сторонамиі кутамитрикутник. Знаючи кут, можна знайти всі його тригонометричні функціїза спеціальними таблицями. А знаючи синуси, косинуси та тангенси кутів трикутника та одну з його сторін, можна знайти інші.

Ми також намалюємо таблицю значень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу для «хороших» кутів від до .

Зверніть увагу на два червоні прочерки в таблиці. При відповідних значеннях кутів тангенс та котангенс не існують.

Розберемо кілька завдань із тригонометрії з Банку завдань ФІПД.

1. У трикутнику кут дорівнює . Знайдіть .

Завдання вирішується за чотири секунди.

Оскільки , .

2 . У трикутнику кут дорівнює , , . Знайдіть .

Знайдемо за теоремою Піфагора.

Завдання вирішено.

Часто в задачах зустрічаються трикутники з кутами або з кутами і . Основні співвідношення для них запам'ятовуйте напам'ять!

Для трикутника з кутами і катет, що лежить навпроти кута, дорівнює половині гіпотенузи.

Трикутник з кутами і рівнобедрений. У ньому гіпотенуза в раз більше катета.

Ми розглянули завдання вирішення прямокутних трикутників - тобто перебування невідомих сторінчи кутів. Але це не все! У варіантах ЄДІз математики безліч завдань, де фігурує синус, косинус, тангенс чи котангенс зовнішнього кута трикутника. Про це – у наступній статті.

Сінусгострого кута α прямокутного трикутника – це відношення протилежногокатета до гіпотенузи.
Позначається так: sin α.

Косінусгострого кута прямокутного трикутника α – це відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
Позначається так: cos α.

Тангенсгострого кута α – це відношення протилежного катета до прилеглого катета.
Позначається так: tg.

Котангенсгострого кута α – це відношення прилеглого катета до протилежного.
Позначається так: ctg?

Синус, косинус, тангенс та котангенс кута залежать тільки від величини кута.

Правила:

Основні тригонометричні тотожностіу прямокутному трикутнику:

(α - гострий кут, що протилежить катету b і прилеглий до катета a . Сторона з - Гіпотенуза. β - Другий гострий кут).

b sin α = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
a cos α = - c	1 1 + tg 2 α = - cos 2 α
b tg α = - a	1 1 + ctg 2 α = - sin 2 α
a ctg α = - b	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sin 2 α
sin α tg α = - cos α

При зростанні гострого кутаsin α таtg α зростають, аcos α зменшується.

Для будь-якого гострого кута:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Приклад-пояснення:

Нехай у прямокутному трикутнику АВС
АВ = 6,
НД = 3,
кут А = 30 º.

З'ясуємо синус кута А та косинус кута В.

Рішення .

1) Спочатку знаходимо величину кута В. Тут все просто: так як у прямокутному трикутнику сума гострих кутів дорівнює 90 º, то кут В = 60 º:

В = 90 º - 30 º = 60 º.

2) Обчислимо sin A. Ми знаємо, що синус дорівнює відношеннюпротилежного катета до гіпотенузи. Для кута А протилежним катетом є сторона ЗС. Отже:

BC 3 1
sin A = - = - = -
AB 6 2

3) Тепер обчислимо cos B. Ми знаємо, що косинус дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи. Для кута В ​​прилеглим катетом є та сама сторона ВС. Це означає, що знову треба розділити ВС на АВ – тобто здійснити самі дії, як і під час обчислення синуса кута А:

BC 3 1
cos B = - = - = -
AB 6 2

У результаті виходить:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

З цього випливає, що у прямокутному трикутнику синус одного гострого кута дорівнює косінусуіншого гострого кута – і навпаки. Саме це і означають наші дві формули:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Переконаємося в цьому ще раз:

1) Нехай α = 60 º. Підставивши значення в формулу синуса, отримаємо:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30 º = cos 60 º.

2) Нехай α = 30 º. Підставивши значення в формулу косинуса, отримаємо:
cos (90 ° - 30 º) = sin 30 º.
cos 60 ° = sin 30 º.

(Докладніше про тригонометрію - див. розділ Алгебра)

Тригонометрія - розділ математичної науки, В якому вивчаються тригонометричні функції та їх використання в геометрії. Розвиток тригонометрії почався ще за часів античної Греції. За часів середньовіччя важливий внесоку розвиток цієї науки внесли вчені Близького Сходу та Індії.

Ця стаття присвячена базовим поняттямта визначенням тригонометрії. У ній розглянуто визначення основних тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. Роз'яснено та проілюстровано їх зміст у контексті геометрії.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Спочатку визначення тригонометричних функцій, аргументом яких є кут, виражалися через співвідношення сторін прямокутного трикутника.

Визначення тригонометричних функцій

Синус кута (sin α) - відношення катета, що протилежить цьому куту, до гіпотенузи.

Косинус кута (cos α) – відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенс кута (t g α) - відношення протилежного катета до прилеглого.

Котангенс кута (c t g α) - відношення прилеглого катета до протилежного.

Дані визначення дано для гострого кута прямокутного трикутника!

Наведемо ілюстрацію.

У трикутнику ABCіз прямим кутом С синус кута А дорівнює відношенню катета BC до гіпотенузи AB.

Визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу дозволяють обчислювати значення цих функцій за відомими довжинами сторін трикутника.

Важливо пам'ятати!

Область значень синуса і косинуса: від -1 до 1. Іншими словами синус і косинус набувають значення від -1 до 1. Область значень тангенсу та котангенсу - вся числова пряма, тобто ці функції можуть набувати будь-яких значень.

Визначення, дані вище, відносяться до гострих кутів. У тригонометрії вводиться поняття кута повороту, величина якого, на відміну від гострого кута, не обмежена рамками від 0 до 90 градусів.

У цьому контексті можна дати визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу кута довільної величини. Уявімо одиничне коло з центром на початку декартової системи координат.

Початкова точка A з координатами (1 , 0) повертається навколо центру одиничного колана деякий кут α і перетворюється на точку A 1 . Визначення дається через координати точки A 1 (x, y).

Синус (sin) кута повороту

Синус кута повороту - це ордината точки A 1 (x , y). sin α = y

Косинус (cos) кута повороту

Косинус кута повороту α - це абсцис точки A 1 (x, y). cos α = х

Тангенс (tg) кута повороту

Тангенс кута повороту - це відношення ординати точки A 1 (x, y) до її абсцисі. t g α = y x

Котангенс (ctg) кута повороту

Котангенс кута повороту - це відношення абсциси точки A 1 (x, y) до її ординаті. c t g α = x y

Синус та косинус визначені для будь-якого кута повороту. Це логічно, адже абсцису та ординату точки після повороту можна визначити за будь-якого вугілля. Інакше справа з тангенсом і котангенсом. Тангенс не визначено, коли точка після повороту перетворюється на точку з нульовою абсцисою (0 , 1) і (0 , - 1). У таких випадках вираз для тангенсу t g α = y x просто не має сенсу, тому що в ньому є поділ на нуль. Аналогічно ситуація із котангенсом. Відмінністю у тому, що котангенс не визначено у випадках, як у нуль звертається ордината точки.

Важливо пам'ятати!

Синус та косинус визначені для будь-яких кутів α.

Тангенс визначений для всіх кутів, крім α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z)

Котангенс визначений для всіх кутів, крім α = 180 ° · k , k ∈ Z (α = π · k , k ∈ Z)

При вирішенні практичних прикладівне кажуть "синус кута повороту α". Слова "кут повороту" просто опускають, маючи на увазі, що з контексту і так зрозуміло, про що йдеться.

Числа

Як бути з визначенням синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу числа, а не кута повороту?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом числа tназивається число, яке відповідно дорівнює синусу, косинусу, тангенсу та котангенсу в tрадіан.

Наприклад, синус числа 10 π дорівнює синусу кута повороту величиною 10 π рад.

Існує й інший підхід до визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу числа. Розглянемо його докладніше.

Будь-кому дійсному числу tставиться у відповідність точка на одиничному колі з центром на початку прямокутної декартової системи координат. Синус, косинус, тангенс та котангенс визначаються через координати цієї точки.

Початкова точка на колі - точка A з координатами (1, 0).

Позитивного числа t

Негативному числу tвідповідає точка, в яку перейде початкова точка, якщо рухатиметься по колу проти годинникової стрілки та пройде шлях t.

Тепер, коли зв'язок числа та точки на колі встановлено, переходимо до визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу.

Синус (sin) числа t

Синус числа t- ордината точки одиничного кола, що відповідає числу t. sin t = y

Косинус (cos) числа t

Косинус числа t- абсцису точки одиничного кола, що відповідає числу t. cos t = x

Тангенс (tg) числа t

Тангенс числа t- відношення ординати до абсцису точки одиничного кола, що відповідає числу t. t g t = y x = sin t cos t

Останні визначення знаходяться у відповідності та не суперечать визначенню, даному на початку цього пункту. Крапка на колі, відповідна числу tзбігається з точкою, в яку переходить початкова точка після повороту на кут tрадіан.

Тригонометричні функції кутового та числового аргументу

Кожному значенню кута α відповідає певне значеннясинуса та косинуса цього кута. Також, як усім кутам α, відмінним від α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) відповідає певне значення тангенсу. Котангенс, як сказано вище, визначений для всіх α, крім α = 180 ° · k , k ∈ Z (α = π · k , k ∈ Z).

Можна сказати, що sin α, cos α, t g α, c t g α - це функції кута альфа, або функції кутового аргументу.

Аналогічно можна говорити про синус, косинус, тангенс і котангенс, як про функції числового аргументу. Кожному дійсному числу tвідповідає певне значення синуса чи косинуса числа t. Усім числам, відмінним від π 2 + π · k, k ∈ Z відповідає значення тангенсу. Котангенс, аналогічно, визначено всім чисел, крім π · k , k ∈ Z.

Основні функції тригонометрії

Синус, косинус, тангенс та котангенс - основні тригонометричні функції.

З контексту зазвичай зрозуміло, з яким аргументом тригонометричної функції (кутовий аргумент чи числовий аргумент) ми маємо справу.

Повернемося до даних на самому початку визначень і кутку альфа, що лежить у межах від 0 до 90 градусів. Тригонометричні визначеннясинуса, косинуса, тангенсу та котангенсу повністю узгоджуються з геометричними визначеннями, даними за допомогою співвідношень сторін прямокутного трикутника Покажемо це.

Візьмемо одиничне коло з центром у прямокутній декартовій системікоординат. Повернемо початкову точку A (1 , 0) на кут величиною до 90 градусів і проведемо з отриманої точки A 1 (x , y) перпендикуляр осі абсцис. В отриманому прямокутному трикутнику кут A 1 O H дорівнює кутуповороту α , довжина катета O H дорівнює абсцис точки A 1 (x , y) . Довжина катета, що протилежить куту, дорівнює ординаті точки A 1 (x , y) , а довжина гіпотенузи дорівнює одиниці, оскільки вона є радіусом одиничного кола.

Відповідно до визначення геометрії, синус кута α дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Значить, визначення синуса гострого кута в прямокутному трикутнику через співвідношення сторін еквівалентно визначенню синуса кута повороту α при альфа лежить в межах від 0 до 90 градусів.

Аналогічно відповідність визначень можна показати для косинуса, тангенсу та котангенсу.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

У цій статті ми покажемо, як даються визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу кута та числа в тригонометрії. Тут ми поговоримо про позначення, наведемо приклади записів, дамо графічні ілюстрації. На закінчення проведемо паралель між визначеннями синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу в тригонометрії та геометрії.

Навігація на сторінці.

Визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу

Простежимо за тим, як формуються уявлення про синус, косинус, тангенс і котангенс в шкільному курсіматематики. На уроках геометрії дається визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу гострого кута у прямокутному трикутнику. А пізніше вивчається тригонометрія, де йдеться про синус, косинус, тангенс і котангенс кута повороту і числа. Наведемо всі ці визначення, наведемо приклади та дамо необхідні коментарі.

гострого кута в прямокутному трикутнику

З курсу геометрії відомі визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу гострого кута у прямокутному трикутнику. Вони даються як відношення сторін прямокутного трикутника. Наведемо їх формулювання.

Визначення.

Синус гострого кута у прямокутному трикутнику- Це ставлення протилежного катета до гіпотенузи.

Визначення.

Косинус гострого кута у прямокутному трикутнику- Це ставлення прилеглого катета до гіпотенузи.

Визначення.

Тангенс гострого кута у прямокутному трикутнику- Це ставлення протилежного катета до прилеглого.

Визначення.

Котангенс гострого кута у прямокутному трикутнику- Це ставлення прилеглого катета до протилежного.

Там же вводяться позначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу - sin, cos, tg і ctg відповідно.

Наприклад, якщо АВС – прямокутний трикутник із прямим кутом З , то синус гострого кута A дорівнює відношенню протилежного катета BC до гіпотенузи AB , тобто, sin∠A=BC/AB .

Ці визначення дозволяють обчислювати значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу гострого кута за відомими довжинами сторін прямокутного трикутника, а також по відомим значеннямсинуса, косинуса, тангенсу, котангенсу та довжині однієї зі сторін знаходити довжини інших сторін. Наприклад, якби знали, що у прямокутному трикутнику катет AC дорівнює 3 , а гіпотенуза AB дорівнює 7 , ми могли б обчислити значення косинуса гострого кута A за визначенням: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Кута повороту

У тригонометрії на кут починають дивитися ширше - вводять поняття кута повороту. Величина кута повороту, на відміну від гострого кута, не обмежена рамками від 0 до 90 градусів, кут повороту в градусах (і в радіанах) може виражатися будь-яким дійсним числом від −∞ до +∞ .

У цьому вся світлі дають визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенса не гострого кута, а кута довільної величини - кута повороту. Вони даються через координати x і y точки A 1 , яку переходить так звана початкова точка A(1, 0) після її повороту на кут α навколо точки O - початку прямокутної декартової системи координат і центру одиничного кола .

Визначення.

Синус кута поворотуα - це ордината точки A 1 тобто sinα = y .

Визначення.

Косинусом кута поворотуα називають абсцис точки A 1 , тобто, cosα = x .

Визначення.

Тангенс кута поворотуα - це відношення ординати точки A 1 до її абсциси, тобто tgα=y/x.

Визначення.

Котангенсом кута поворотуα називають відношення абсциси точки A 1 до її ординати, тобто ctgα=x/y .

Синус і косинус визначені для будь-якого кута α, тому що ми завжди можемо визначити абсцису та ординату точки, яка виходить в результаті повороту початкової точки на кут α. А тангенс та котангенс визначені не для будь-якого кута. Тангенс не визначений для таких кутів α , при яких початкова точка перетворюється на точку з нульовою абсцисою (0, 1) або (0, −1) , а це має місце при кутах 90°+180°·k , k∈Z (π /2+π·k радий). Справді, за таких кутах повороту вираз tgα=y/x немає сенсу, оскільки у ньому присутній розподіл на нуль. Що ж до котангенсу, то він не визначений для таких кутів α , при яких початкова точка переходить до точки з нульовою ординатою (1, 0) або (-1, 0) , а це має місце для кутів 180°k, k ∈Z (π·k радий).

Отже, синус і косинус визначені для будь-яких кутів повороту, тангенс визначений для всіх кутів, крім 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk радий), а котангенс – для всіх кутів, крім 180° ·k, k∈Z (π·k радий).

У визначеннях фігурують вже відомі нам позначення sin, cos, tg і ctg, вони використовуються і для позначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу кута повороту (іноді можна зустріти позначення tan і cot, що відповідають тангенсу та котангенсу). Так синус кута повороту 30 градусів можна записати як sin30° записам tg(−24°17′) і ctgα відповідають тангенс кута повороту −24 градуси 17 хвилин і котангенс кута повороту α . Нагадаємо, що при записі радіанної міри кута позначення "рад" часто опускають. Наприклад, косинус кута повороту в три піради зазвичай позначають cos3·π.

На закінчення цього пункту варто зауважити, що у розмові про синус, косинус, тангенс і котангенс кута повороту часто опускають словосполучення «кут повороту» або слово повороту. Тобто замість фрази "синус кута повороту альфа" зазвичай використовують фразу "синус кута альфа" або ще коротше - "синус альфа". Це саме стосується і косинуса, і тангенсу, і котангенсу.

Також скажемо, що визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенса гострого кута в прямокутному трикутнику узгоджуються з щойно даними визначеннями синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута повороту величиною від 0 до 90 градусів. Це ми обґрунтуємо.

Числа

Визначення.

Синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом числа t називають число, рівне синусу, косинусу, тангенсу та котангенсу кута повороту в t радіанів відповідно.

Наприклад, косинус числа 8 π за визначенням є число, рівне косінусукута в 8 π рад. А косинус кута в 8 π рад дорівнює одиницітому косинус числа 8·π дорівнює 1 .

Існує й інший підхід до визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу числа. Він полягає в тому, що кожному дійсному числу t ставиться у відповідність точка одиничного кола з центром на початку прямокутної системикоординат і синус, косинус, тангенс і котангенс визначаються через координати цієї точки. Зупинимося на цьому детальніше.

Покажемо, як встановлюється відповідність між дійсними числами та точками кола:

• числу 0 ставиться у відповідність початкова точка A(1, 0);
• позитивному числу t ставиться у відповідність точка одиничного кола, в яке ми потрапимо, якщо будемо рухатися по колу з початкової точки в напрямку проти годинникової стрілки та пройдемо шляхдовжиною t;
• негативному числу t ставиться у відповідність точка одиничного кола, в яку ми потрапимо, якщо рухатимемося по колу з початкової точки в напрямку за годинниковою стрілкою і пройдемо шлях завдовжки |t| .

Тепер переходимо до визначення синусу, косинуса, тангенсу і котангенсу числа t . Припустимо, що t відповідає точка кола A 1 (x, y) (наприклад, числу &pi/2; відповідає точка A 1 (0, 1) ).

Визначення.

Синусом числа t називають ординату точки одиничного кола, що відповідає числу t, тобто, sint = y.

Визначення.

Косинусом числа t називають абсцису точки одиничного кола, що відповідає числу t, тобто, cost = x.

Визначення.

Тангенсом числа t називають відношення ординати до абсцисі точки одиничного кола, що відповідає числу t, тобто, tgt=y/x. В іншому рівносильному формулюванні тангенс числа t - це відношення синуса цього числа до косинусу, тобто tgt = sint / cost.

Визначення.

Котангенсом числа t називають відношення абсциси до ординати точки одиничного кола, що відповідає числу t, тобто ctgt=x/y . Інше формулювання така: тангенс числа t - це відношення косинуса числа t до синуса числа t: ctgt = cost / sint.

Тут зазначимо, що дані визначення узгоджуються з визначенням, даним на початку цього пункту. Дійсно, точка одиничного кола, відповідна числу t збігається з точкою, отриманої в результаті повороту початкової точки на кут в t радіанів.

Ще варто з'ясувати такий момент. Допустимо, перед нами запис sin3 . Як зрозуміти, про синус числа 3 або про синус кута повороту в радіану 3 йдеться? Зазвичай це ясно з контексту, в інакшеце, швидше за все, не має принципового значення.

Тригонометричні функції кутового та числового аргументу

Згідно з даними у попередньому пунктівизначенням, кожному куту повороту α відповідають цілком певне значення sinα, як і значення cosα. Крім того, всім кутам повороту, відмінним від 90°+180°·k , k∈Z (π/2+π·k рад) відповідають значення tgα , а відмінним від 180°·k , k∈Z (π·k рад ) – значення ctgα. Тому sinα, cosα, tgα та ctgα - це функції кута α. Інакше кажучи – це функції кутового аргумента.

Аналогічно можна говорити про функції синус, косинус, тангенс і котангенс числового аргументу. Дійсно, кожному дійсному числу t відповідає цілком певне значення sint, як і cost. Крім того, всім числам, відмінним від π/2+π·k , k∈Z відповідають значення tgt , а числам π·k , k∈Z - значення ctgt .

Функції синус, косинус, тангенс та котангенс називають основними тригонометричними функціями.

З контексту зазвичай зрозуміло, з тригонометричними функціями кутового аргументу чи числового аргументу ми маємо справу. В іншому випадку ми можемо вважати незалежну змінну як мірою кута (кутовим аргументом), так і числовим аргументом.

Проте, у школі переважно вивчаються числові функціїтобто функції, аргументи яких, як і відповідні їм значення функції, є числами. Тому, якщо мова йдесаме про функції, доцільно вважати тригонометричні функції функціями числових аргументів.

Зв'язок визначень з геометрії та тригонометрії

Якщо розглядати кут повороту величиною від 0 до 90 градусів, то дані в контексті тригонометрії визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута повороту повністю узгоджуються з визначеннями синуса, косинуса, тангенса і котангенса гострого кута в прямокутному трикутнику, які даються в курсі геометрії. Обґрунтуємо це.

Зобразимо у прямокутній декартовій системі координат Oxy одиничне коло. Зазначимо початкову точку A(1, 0). Повернемо її на кут величиною від 0 до 90 градусів, отримаємо точку A 1 (x, y) . Опустимо з точки А1 на вісь Ox перпендикуляр A1H.

Легко бачити, що в прямокутному трикутнику кут A 1 OH дорівнює куту повороту α , довжина катета OH, що прилягає до цього кута, дорівнює абсцисі точки A 1 , тобто, |OH|=x , довжина протилежного до кута катета A 1 H дорівнює ординаті точки A 1 тобто, |A 1 H|=y , а довжина гіпотенузи OA 1 дорівнює одиниці, так як вона є радіусом одиничного кола. Тоді за визначенням з геометрії синус гострого кута у прямокутному трикутнику A 1 OH дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи, тобто, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |=y/1=y . А за визначенням з тригонометрії синус кута повороту дорівнює ординаті точки A 1 , тобто, sinα = y . Звідси видно, що визначення синуса гострого кута в прямокутному трикутнику еквівалентне визначенню синуса кута повороту при α від 0 до 90 градусів.

Аналогічно можна показати, що і визначення косинуса, тангенсу та котангенсу гострого кута узгоджуються з визначеннями косинуса, тангенсу та котангенсу кута повороту α .

Список літератури.

1. Геометрія. 7-9 класи: навч. для загальноосвіт. установ/[Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев та ін]. - 20-те вид. М.: Просвітництво, 2010. – 384 с.: іл. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Погорєлов А. В.Геометрія: Навч. для 7-9 кл. загальноосвіт. установ/А. В. Погорелов. - 2-ге вид - М.: Просвітництво, 2001. - 224 с.: іл. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Алгебра та елементарні функції : Навчальний посібникдля учнів 9 класу середньої школи/ Є. С. Кочетков, Є. С. Кочеткова; За редакцією доктора фізико-математичних наук О. Н. Головіна. - 4-те вид. М: Просвітництво, 1969.
4. Алгебра:Навч. для 9 кл. середовищ. шк./Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; За ред. С. А. Теляковського.- М.: Просвітництво, 1990.- 272 с.: Іл.- ISBN 5-09-002727-7
5. Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.
6. Мордковіч А. Г.Алгебра та початку аналізу. 10 клас. О 2 год. Ч. 1: підручник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 4-те вид., Дод. – М.: Мнемозіна, 2007. – 424 с.: іл. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Алгебраі почала математичного аналізу. 10 клас: навч. для загальноосвіт. установ: базовий та профіль. рівні/[Ю. М. Колягін, М. В. Ткачова, Н. Є. Федорова, М. І. Шабунін]; за ред. А. Б. Жижченко. - 3-тє вид. – І.: Просвітництво, 2010. – 368 с.: Іл. – ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Башмаков М. І.Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 1993. - 351 с.: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників у технікуми): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Середній рівень

Прямокутний трикутник. Повний ілюстрований гід (2019)

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК. ПОЧАТКОВИЙ РІВЕНЬ.

У задачах прямий кут зовсім не обов'язково - лівий нижній, так що тобі потрібно навчитися впізнавати прямокутний трикутник і в такому вигляді,

і в такому,

і в такому

Що ж хорошого є у прямокутному трикутнику? Ну..., по-перше, є спеціальні красиві назвидля його сторін.

Увага на малюнок!

Запам'ятай і не плутай: катетів – два, а гіпотенуза – всього одна(Єдина, неповторна і найдовша)!

Ну ось назви обговорили, тепер найважливіше: Теорема Піфагора.

Теорема Піфагора.

Ця теорема - ключик до вирішення багатьох завдань за участю прямокутного трикутника. Її довів Піфагор в абсолютно незапам'ятні часи, І з того часу вона принесла багато користі тим, хто її знає. А найкраще в ній те, що вона проста.

Отже, Теорема Піфагора:

Пам'ятаєш жарт: «Піфагорові штани на всі боки рівні!»?

Давай намалюємо ці піфагорові штани і подивимося на них.

Щоправда, схоже на якісь шорти? Ну і на які сторони, і де вона рівні? Чому і звідки виник жарт? А жарт цей пов'язаний саме з теоремою Піфагора, точніше з тим, як сам Піфагор формулював свою теорему. А формулював він її так:

«Сума площ квадратів, побудованих на катетах, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі»

Щоправда, трохи по-іншому звучить? І ось, коли Піфагор намалював твердження своєї теореми, якраз і вийшла така картинка.

На цьому малюнку сума площ маленьких квадратів дорівнює площі великого квадрата. А щоб діти краще запам'ятовували, що сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, хтось дотепний і вигадав цей жарт про Піфагорові штани.

Чому ж ми зараз формулюємо теорему Піфагора

А Піфагор мучився і міркував про майдани?

Розумієш, у давнину не було… алгебри! Не було жодних позначень і таке інше. Не було написів. Уявляєш, як бідним древнім учням було жахливо запам'ятовувати все словами??! А ми можемо радіти, що ми маємо просте формулювання теореми Піфагора. Давай її ще раз повторимо, щоб краще запам'ятати:

Тепер уже має бути легко:

Квадрат гіпотенузи дорівнює суміквадратів катетів.

Ну ось, найголовнішу теорему про прямокутний трикутник обговорили. Якщо тобі цікаво, як вона доводиться, читай такі рівні теорії, а зараз підемо далі… темний ліс… тригонометрії! До жахливих слів синус, косинус, тангенс та котангенс.

Синус, косинус, тангенс, котангенс у прямокутному трикутнику.

Насправді все зовсім не таке страшно. Звичайно, «справжнє» визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу потрібно дивитися у статті. Але дуже не хочеться, правда? Можемо порадувати: для вирішення задач про прямокутний трикутник можна просто заповнити такі прості речі:

А чому все тільки про кут? Де ж кут? Щоб у цьому розібратися, треба зазначити, як твердження 1 - 4 записуються словами. Дивись, розумій та запам'ятай!

1.
Взагалі звучить це так:

А що ж кут? Чи є катет, який знаходиться навпроти кута, тобто катет, що протилежить (для кута)? Звичайно є! Це катет!

А як же кут? Подивись уважно. Який катет прилягає до кутка? Звісно ж, катет. Значить, для кута катет – прилеглий, та

А тепер, увага! Подивися, що в нас вийшло:

Бачиш, як чудово:

Тепер перейдемо до тангенсу та котангенсу.

Як це тепер записати словами? Катет яким є по відношенню до кута? Протилежним, звісно – він «лежать» навпроти кута. А катет? Прилягає до кутку. Виходить, що в нас вийшло?

Бачиш, чисельник та знаменник помінялися місцями?

І тепер знову кути і здійснили обмін:

Резюме

Давайте коротко запишемо все, що ми дізналися.

Теорема Піфагора:

Головна теорема про прямокутний трикутник - теорема Піфагора.

теорема Піфагора

До речі, чи добре ти пам'ятаєш, що таке катети та гіпотенуза? Якщо не дуже, то дивись на малюнок – освіжай знання

Цілком можливо, що ти вже багато разів використовував теорему Піфагора, а ось чи ти замислювався, чому ж вірна така теорема. Як би її довести? А давай вчинимо, як давні греки. Намалюємо квадрат зі стороною.

Бачиш, як хитро ми поділили його сторони на відрізки довжин і!

А тепер з'єднаємо зазначені точки

Тут ми, щоправда, ще дещо відзначили, але ти сам подивися на малюнок і подумай, чому так.

Чому ж дорівнює площа більшого квадрата? Правильно, . А площа меншого? Звичайно, . Залишилася сумарна площа чотирьох куточків. Уяви, що ми взяли їх по два і притулили один до одного гіпотенузами. Що вийшло? Два прямокутники. Значить, площа обрізків дорівнює.

Давай тепер зберемо все разом.

Перетворюємо:

Ось і побували ми Піфагором – довели його теорему давнім способом.

Прямокутний трикутник та тригонометрія

Для прямокутного трикутника виконуються такі співвідношення:

Синус гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи

Косинус гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета.

Котангенс гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до протилежного катета.

І ще раз все це у вигляді таблички:

Це дуже зручно!

Ознаки рівності прямокутних трикутників

I. За двома катетами

ІІ. По катету та гіпотенузі

ІІІ. По гіпотенузі та гострому куту

IV. По катету та гострому куту

a)

b)

Увага! Тут дуже важливо, щоб катети були «відповідні». Наприклад, якщо буде так:

То ТРИКУТНИКИ НЕ РІВНІ, незважаючи на те, що мають один однаковий гострий кут.

Потрібно, щоб в обох трикутниках катет був прилеглим, або в обох - протилежним.

Ти помітив чим відрізняються ознаки рівності прямокутних трикутників від звичайних ознак рівності трикутників? Заглянь у тему « і зверни увагу те що, що з рівності « рядових » трикутників потрібна рівність трьох їх елементів: дві сторони і кут з-поміж них, два кута і сторона з-поміж них чи три стороны. А ось для рівності прямокутних трикутників достатньо лише двох відповідних елементів. Здорово, правда?

Приблизно така сама ситуація і з ознаками подоби прямокутних трикутників.

Ознаки подоби прямокутних трикутників

I. По гострому кутку

ІІ. За двома катетами

ІІІ. По катету та гіпотенузі

Медіана у прямокутному трикутнику

Чому це так?

Розглянемо замість прямокутного трикутника цілий прямокутник.

Проведемо діагональ і розглянемо точку – точку перетину діагоналей. Що відомо про діагоналі прямокутника?

І що з цього випливає?

Ось і вийшло, що

1. - медіана:

Запам'ятай цей факт! Дуже допомагає!

А що ще дивовижніше, так це те, що вірне і зворотне твердження.

Що ж хорошого можна отримати з того, що медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи? А давай подивимося на картинку

Подивись уважно. У нас є: тобто відстані від точки до всіх трьох вершин трикутника виявилися рівними. Але в трикутнику є всього одна точка, відстані від якої про всі три вершини трикутника рівні, і це - ЦЕНТР ОПИСАНОГО ОКРУЖЕННЯ. Виходить, що вийшло?

Ось давай ми почнемо з цього «крім того...».

Подивимося на в.

Але у подібних трикутниківвсі кути рівні!

Те саме можна сказати і про і

А тепер намалюємо це разом:

Яку ж користь можна отримати з цієї «троїстої» подоби.

Ну наприклад - дві формули для висоти прямокутного трикутника.

Запишемо відносини відповідних сторін:

Для знаходження висоти вирішуємо пропорцію та отримуємо першу формулу "Висота у прямокутному трикутнику":

Отже, застосуємо подібність: .

Що тепер вийде?

Знову вирішуємо пропорцію і отримуємо другу формулу:

Обидві ці формули потрібно дуже добре пам'ятати та застосовувати ту, яку зручніше. Запишемо їх ще раз

Теорема Піфагора:

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: .

Ознаки рівності прямокутних трикутників:

• по двох катетах:
• по катету та гіпотенузі: або
• по катету та прилеглому гострому кутку: або
• по катету та протилежному гострому куту: або
• з гіпотенузи та гострого кута: або.

Ознаки подоби прямокутних трикутників:

• одному гострому кутку: або
• із пропорційності двох катетів:
• з пропорційності катета та гіпотенузи: або.

Синус, косинус, тангенс, котангенс у прямокутному трикутнику

• Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи:
• Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи:
• Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого:
• Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного: .

Висота прямокутного трикутника: або.

У прямокутному трикутнику медіана, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи: .

Площа прямокутного трикутника:

• через катети: