У шкільному курсіу геометрії серед основних завдань значну увагу приділено прикладам обчислення площі та периметра ромба.Згадаймо, що ромб належить до окремому класучотирикутників і виділяється серед них рівними сторонами. Ромб також є окремим випадком паралелограма якщо у останнього всі сторони дорівнюють AB=BC=CD=AD . Нижче наведено малюнок, на якому зображено ромб.
Властивості ромба
Оскільки ромб займає деяку частину паралелограмів, то властивості в них будуть схожими.
- Протилежні кути ромба, як і паралелограма, рівні.
- Сума кутів ромба, що прилягають до однієї сторони, дорівнює 180°.
- Діагоналі ромба перетинаються під кутом 90 градусів.
- Діагоналі ромба є одночасно бісектрисами його кутів.
- Діагоналі ромба у точці перетину діляться навпіл.
Ознаки ромба
Усі ознаки ромба випливають із його властивостей і допомагають розрізняти його серед чотирикутників, прямокутників, паралелограмів.
- Паралелограм, у якого діагоналі перетинаються під прямим кутом, є ромбом.
- Паралелограм у якого діагоналі є бісектрисами є ромбом.
- Паралелограм із рівними сторонами є ромбом.
- Чотирьохкутник у якого всі сторони рівні є ромбом.
- Чотирьохкутник у якого діагоналі є бісектрисами кутів і перетинаються під прямим кутом є ромбом.
- Паралелограм з однаковими висотами є ромбом.
Формула периметра ромба
Периметр за визначенням дорівнює сумівсіх сторін. Оскільки в ромба всі сторони рівні, то його периметр обчислюємо за формулою.
Периметр обчислюється у одиницях довжини.
Радіус кола вписаного в ромб
Одними з поширених завдань щодо ромба є знаходження радіуса чи діаметра вписаної окружности. На малюнку зображеному нижче наведені одні з поширених формул радіусу вписаного кола в ромб.
Перша формула показує, що радіус кола вписаного в ромб дорівнює творудіагоналей поділеному на суму всіх сторін (4а).
Інша формула показує, що радіус кола вписаного в ромб дорівнює половинівисоти ромба
Друга формула малюнку є модифікацією першої і застосовується при обчисленні радіуса кола вписаної в ромб коли відомі діагоналі ромба, тобто невідомі сторони.
Третя формула радіусу вписаного кола фактично знаходить половину висоти малого трикутника, який утворюється перетином діагоналей.
Серед менш популярних формул для обчислення радіуса кола вписаного в ромб можна ще навести такі
тут D – діагональ ромба, alpha – кут, який розтинає діагональ.
Якщо відома площа (S) ромба та величина гострого кута(alpha) то для обчислення радіусу вписаного кола потрібно знайти квадратний коріньіз чверті твору площі на синус гострого кута: 
З наведених формул Ви без проблем знайдете радіус вписаного в ромб кола, якщо в прикладі будуть необхідний набір даних.
Формула площі ромба
Формули для обчислення площі наведені на малюнку.
Найпростіша виводиться як сума площ двох трикутників, на які поділяє ромб його діагональ.
Друга формула площі застосовується до завдань, у яких відомі діагоналі ромба. Тоді площа ромба дорівнює половині твору діагоналей.
Вона досить проста для того, щоб запам'ятати, а також - для обчислень.
Третя формула площі має сенс, коли відомий кут між сторонами. Відповідно до неї площа ромба дорівнює добутку квадрата сторони на синус кута. Гострий він чи ні значення не має, оскільки синус обох кутів набуває однакового значення.
Математика шкільний предмет, що вивчається всіма, незалежно від профілю класу. Однак вона не всіма кохана. Часом незаслужено. Ця наука постійно підкидає учням завдання, які дозволяють їхньому мозку розвиватися. Математика чудово справляється з тим, щоб не дати розумовим можливостям дітей згаснути. Особливо добре з цим справляється один із її розділів – геометрія.
Будь-яка з тем, які в ній вивчаються, варта уваги та поваги. Геометрія - це спосіб розвинути просторова уява. Прикладом може бути тема про площі фігур, зокрема ромбів. Ці завдання можуть завести в глухий кут, якщо не розібратися в деталях. Тому що можливі різні підходидля пошуку відповіді. Комусь простіше запам'ятати різні варіантиформул, які написані нижче, а хтось здатний сам їх отримати із раніше засвоєного матеріалу. В будь-якому випадку безвихідних ситуаційне буває. Якщо трохи подумати, рішення обов'язково знайдеться.
Відповісти на це питання потрібно, щоб зрозуміти принципи отримання формул і перебіг міркування у завданнях. Адже щоб розібратися в тому, як знайти площу ромба, потрібно чітко розуміти, що це за фігура та які її властивості.
Для зручності розгляду паралелограм, який є чотирикутником з попарно паралельними сторонами, Приймемо за "батька". У нього є двоє "дітей": прямокутник та ромб. Обидва є паралелограмами. Якщо продовжувати паралелі, то це – прізвище. Отже, щоб знайти площу ромба, можна скористатися вже вивченою формулою для паралелограма.
Але, як і всі діти, ромб має щось своє. Це трохи відрізняє його від "батька" і дозволяє розглядати як окрему фігуру. Адже прямокутник не ромб. Повертаючись до паралелей – вони як брат та сестра. У них багато спільного, але вони все ж таки різняться. Ці відмінності - їх особливі властивості, якими потрібно скористатися. Було б дивно знати про них і не застосовувати у вирішенні завдань.
Якщо продовжити аналогії та згадати ще одну фігуру - квадрат, то вона буде продовженням ромба та прямокутника. У цій фігурі об'єднані всі властивості й одного, й іншого.
Властивості ромба
Їх п'ять, і вони перераховані нижче. Причому деякі з них повторюють властивості паралелограма, а якісь властиві лише розглянутій фігурі.
- Ромб - це паралелограм, який прийняв особливу форму. З цього випливає, що його сторони є паралельно паралельними і рівними. Причому вони рівні непросто попарно, а все. Як було б у квадрата.
- Діагоналі цього чотирикутника перетинаються під кутом, що дорівнює 90º. Це зручно і багато в чому спрощує перебіг міркувань під час вирішення завдань.
- Інша властивість діагоналей: кожна з них ділиться точкою перетину на рівні відрізки.
- Кути, що лежать навпроти одного, у цієї фігури рівні.
- І остання властивість: діагоналі ромба збігаються з бісектрисами кутів.
Позначення, прийняті у розглянутих формулах
У математиці потрібно вирішувати завдання з використанням загальних буквених виразів, Які називаються формулами. Тема для площі не є винятком.
Для того щоб перейти до записів, які розкажуть, як знайти площу ромба, потрібно домовитись про літери, якими замінені всі числові значенняелементів фігури.
Тепер настав час написання формул.
Серед даних завдання - лише діагоналі ромба
Правило стверджує, що знаходження невідомої величини потрібно перемножити довжини діагоналей, та був твір розділити навпіл. Результат поділу - це і є площа ромба через діагоналі.
Формула для цього випадку виглядатиме так:
Нехай ця формула буде під номером 1.
У задачі дано сторону ромба та його висота
Щоб обчислити площу, потрібно знайти добуток цих двох величин. Мабуть, це сама проста формула. Причому вона відома ще з теми про площу паралелограма. Там така формула вже вивчалася.
Математичний запис:
Номер цієї формули – 2.
Відомі сторона та гострий кут
І тут потрібно звести у квадрат величину боку ромба. Потім знайти синус кута. І третьою дією обчислити добуток двох величин, що утворилися. Відповіддю буде площа ромба.
Літерний вираз:
Його порядковий номер — 3.
Дані величини: радіус вписаного кола та гострий кут
Для обчислення площі ромба потрібно знайти квадрат радіусу та помножити його на 4. Визначити значення синуса кута. Потім поділити твір на другу величину.
Формула набуває такого вигляду:
Вона буде пронумерована цифрою 4.
У завданні фігурують сторона та радіус вписаного кола
Щоб визначити, як знайти площу ромба, потрібно обчислити добуток даних величин та числа 2.
Формула для цього завдання виглядатиме так:
Її номер по порядку - 5.
Приклади можливих завдань
Завдання 1
Одна з діагоналей ромба дорівнює 8, а інша — 14 см. Потрібно знайти площу фігури та довжину її сторони.
Рішення
Для знаходження першої величини знадобиться формула 1, у якій Д 1 = 8, Д 2 = 14. Тоді площа обчислюється так: (8 * 14) / 2 = 56 (см 2).
Діагоналі ділять ромб на 4 трикутники. Кожен із них обов'язково буде прямокутним. Цим потрібно скористатися, щоб визначити значення другої невідомої. Сторона ромба стане гіпотенузою трикутника, а катетами буде половина діагоналей.
Тоді а 2 = (Д 1 / 2) 2 + (Д 2 / 2) 2 . Після підстановки всіх значень виходить: а 2 = (8/2) 2 + (14/2) 2 = 16 + 49 = 65. Але це квадрат сторони. Отже, потрібно витягти квадратний корінь із 65. Тоді довжина сторони приблизно дорівнює 8,06 см.
Відповідь: площа 56 см2, а сторона 8,06 см.
Завдання 2
Сторона ромба має значення 5,5 дм, а його висота - 3,5 дм. Знайти площу фігури.
Рішення
Щоб знайти відповідь потрібна буде формула 2. У ній а = 5,5, Н = 3,5. Тоді, замінивши у формулі літери на числа, отримаємо, що величина, що шукається, дорівнює 5,5 * 3,5 = 19,25 (дм 2).
Відповідь: площа ромба дорівнює 19,25 дм2.
Завдання 3
Гострий кут деякого ромба дорівнює 60º, яке менша діагональ — 12 див. Потрібно обчислити його площа.
Рішення
Щоб отримати результат, потрібна буде формула під номером 3. У ній замість Абуде 60, а значення аневідомо.
Для знаходження боку ромба потрібно згадати теорему синусів. У прямокутному трикутнику абуде гіпотенузою, менший катет дорівнює половині діагоналі, а кут ділиться навпіл (відомо з властивості, де згадується бісектриса).
Тоді сторона адорівнюватиме добутку катета на синус кута.
Катет необхідно визначити як Д/2 = 12/2 = 6 (см). Синус(А/2) дорівнюватиме його значенню для кута 30º, тобто 1/2.
Виконавши прості обчислення, отримаємо таке значення сторони ромба: а = 3 (см).
Тепер площа — це добуток 3 2 та синуса 60º, тобто 9*(√3)/2 = (9√3)/2 (см 2).
Відповідь: потрібна величина дорівнює (9√3)/2 см 2 .
Підсумки: все можливо
Тут було розглянуто деякі варіанти того, як знайти площу ромба. Якщо задачі безпосередньо незрозуміло, яку формулу використовувати, потрібно трохи подумати і спробувати пов'язати раніше вивчені теми. В інших темах обов'язково знайдеться підказка, яка допоможе пов'язати відомі величиниз тими, що є у формулах. І завдання вирішиться. Головне – пам'ятати, що все раніше вивчене можна і потрібно використати.
Крім запропонованих завдань, можливі і обернені завдання, коли за площею фігури потрібно обчислити значення будь-якого елемента ромба. Тоді потрібно скористатися тим рівнянням, яке найближче до умови. А потім перетворити формулу, залишивши у лівій частині рівності невідому величину.
Незважаючи на те, що математика – цариця наук, а арифметика – цариця математики, найбільшу складність у вивченні у школярів викликає геометрія. Планіметрія – розділ геометрії, що вивчає плоскі фігури. Однією з таких фігур є ромб. Більшість завдань щодо вирішення чотирикутників зводяться до знаходження їх площ. Систематизуємо відомі формулиі різні способиобчислення площі ромба.
Ромб - це паралелограм, усі чотири сторони якого рівні. Нагадаємо, що паралелограма має чотири кути і чотири попарно паралельні. рівні сторони. Як будь-який чотирикутник, ромб має ряд властивостей, які зводяться до наступних: при перетині діагоналі утворюють кут, що дорівнює 90 градусів (AC ⊥ BD), точка перетину ділить кожну на два рівних відрізка. Діагоналі ромба також є бісектрисами його кутів (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD і т. д.). Звідси випливає, що вони ділять ромб на чотири рівні прямокутний трикутник. Сума довжин діагоналей, зведених на другий ступінь, дорівнює довжині сторони на другий ступеня, помноженої на 4, тобто. BD 2 + AC 2 = 4AB 2 . Існує безліч методів, які у планіметрії до розрахунку площі ромба, застосування яких залежить від вихідних даних. Якщо відомі довжина сторони та будь-який кут, можна скористатисянаступною формулою : площа ромба дорівнює квадрату сторони, помноженому на синус кута. З курсу тригонометрії відомо, що sin (π – α) = sin α, отже, у розрахунках можна використовувати синус будь-якого кута – як гострого, і тупого. Приватним випадком є ромб, який має всі кути прямі. Це квадрат. Відомо, що синус прямого кутадорівнює одиниці
Як бачите, існує безліч способів знаходження площі ромба. Звичайно, щоб запам'ятати кожен з них, знадобиться терпіння, уважність і, звичайно ж, час. Але надалі ви зможете легко вибрати метод, який підходить для вашого завдання, і переконайтеся, що геометрія – це нескладно.
Ромб – це окремий випадокпаралелограма. Він є плоскою чотирикутну фігуру, у якій усі сторони рівні. Ця властивістьвизначає те, що у ромбів паралельні протилежні сторониі рівні протилежні кути. Діагоналі ромба припиняються під прямим кутом, точці їх перетину припадає на середину кожної діагоналі, а кути з яких вони виходять діляться навпіл. Тобто діагоналі ромба є бісектрисами кутів. Виходячи з наведених визначень та перерахованих властивостейромбів їх площа може бути визначена у різний спосіб.
1. Якщо відомі обидві діагоналі ромба AC і BD, площа ромба може бути визначена як половина твору діагоналей.
S = ½ ∙ AC ∙ BD
де AC, BD – довжина діагоналей ромба.
Щоб зрозуміти, чому це так, можна подумки вписати в ромб прямокутник таким чином, щоб сторони останнього були перпендикулярні діагоналям ромба. Стає очевидним, що площа ромба дорівнюватиме половині площі вписаного даним чином в ромб прямокутника, довжина і ширина якого будуть відповідати величині діагоналей ромба.
2. За аналогією з паралелепіпедом площа ромба може бути знайдена як добуток його сторони, на висоту перпендикуляра з опущеного до цієї сторони з протилежної сторони.
S = а ∙ h
де а – сторона ромба;
h - висота перпендикуляра, опущеного на цю сторону.
3. Площа ромба також дорівнює квадрату його сторони, помноженому на синус кута α.
S = a 2 ∙ sin α
де a - сторона ромба;
α – кут між сторонами.
4. Також площа ромба може бути знайдена через його бік і радіус вписаного в нього кола.
S = 2 ∙ a ∙ r
де a - сторона ромба;
r - радіус вписаної в ромб кола.
Слово ромб походить від давньогрецького rombus, що в перекладі означає бубен. У ті часи бубни справді мали ромбоподібну форму, а не круглу, як ми звикли бачити їх нині. З тих же часів відбулася і назва карткової масті "бубни". Дуже широко ромби різних видіввикористовуються у геральдиці.
Ромб (з давньогрецького ῥόμβος і з латинського rombus «бубон») є паралелограмом, для якого характерна наявність однакових по довжині сторін. У разі коли кути становлять 90 градусів (або прямий кут), таку геометричну фігуру називають квадратом. Ромб - геометрична фігура, різновид чотирикутників. Можливо і квадратом, і паралелограмом.
Походження цього терміна
Поговоримо трохи про історію цієї постаті, що допоможе трохи розкрити для себе загадкові таємниці стародавнього світу. Звичне для нас слово, що часто зустрічається в шкільної літератури, «Ромб», бере свій початок від давньогрецького слова «Бубен». У Стародавню Греціюці музичні інструментивироблялися у вигляді ромба чи квадрата (на відміну сучасних пристосувань). Напевно ви помітили, що карткова масть - бубна - має ромбічну форму. Формування цієї масті походить від тих часів, коли круглі бубни не використовувалися в побуті. Отже, ромб – найдавніша історична фігураяка була винайдена людством задовго до появи колеса.
Вперше таке слово, як «ромб» було вжито так відомими особистостями, як Герон та Папа Олександрійський.
Властивості ромба
- Оскільки сторони ромба протилежать одна одній і є попарно паралельними, то ромб, безперечно, паралелограм (АВ | CD, AD | ВС).
- Ромбічні діагоналі мають перетин під прямим кутом (AC ⊥ BD), а, отже, перпендикулярні. Отже, перетин ділить діагоналі навпіл.
- Бісектрисами ромбічних кутів є діагоналі ромба (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD і т. д.).
- З тотожності паралелограмів випливає, що сума всіх квадратів діагоналей ромба становить число квадрата сторони, яке помножили на 4.
Ознаки ромба
Ромб у тих випадках є паралелограмом, коли відповідає наступним умовам:
- Усі сторони паралелограма рівні.
- Діагоналі ромба перетинає прямий кут, тобто вони перпендикулярні один до одного (AC⊥BD). Це доводить правило трьох сторін (сторони рівні і перебувають під кутом 90 градусів).
- Діагоналі паралелограма поділяють кути порівну, оскільки сторони є рівними.
Площа ромбу
- Площа ромба дорівнює числу, яке є половиною добутку всіх його діагоналей.
- Оскільки ромб - це своєрідний паралелограм, площа ромба (S) є числом твори боку паралелограма з його висоту (h).
- Крім того, площа ромба може бути обчислена за формулою, що є твором зведеної квадрат боку ромба на синус кута. Синус кута – альфа – кут, що знаходиться між сторонами вихідного ромба.
- Цілком прийнятною для правильного рішеннявважається формула, яка є твором подвоєного кута альфа та радіуса вписаного кола (r).