Кут – основна геометрична фігура, яку розберемо протягом всієї теми. Визначення, способи завдання, позначення та вимірювання кута. Розберемо принципи виділення кутів на кресленнях. Вся теорія проілюстрована і має багато наочних креслень.
Визначення 1Кут- Проста важлива фігура в геометрії. Кут безпосередньо залежить від визначення променя, який у свою чергу складається з базових понять точки, прямої та площини. Для досконального вивчення необхідно заглибитись за темами пряма на площині – необхідні відомостіі площина – необхідні відомості.
Поняття кута починається з понять про точку, площину та пряму, зображену на цій площині.
Визначення 2
Дано пряму a на площині. На ній позначимо деяку точку O. Пряма розділена крапкою на дві частини, кожна з яких має назву промінь, А точка O - початок променя.
Інакше кажучи, промінь чи напівпряма -це частина прямої, що складається з точок заданої прямої, розташованих на одній стороні щодо початкової точки, тобто точки O .
Позначення променя допустимо у двох варіаціях: однієї малої або двома великими літерами латинського алфавіту. При позначенні двома літерами промінь має назву, що складається із двох літер. Розглянемо докладніше на кресленні.
Перейдемо до поняття визначення кута.
Визначення 3
Кут- це фігура, розташована в заданій площині, утворена двома променями, що не збігаються, що мають загальний початок. Сторона кутає променем, вершина- Загальний початок сторін.
Має місце випадок, коли сторони кута можуть виступати у ролі прямої лінії.
Визначення 4
Коли обидві сторони кута розташовані на одній прямій або його сторони служать як додаткові напівпрямі однієї прямої, такий кут називають розгорнутим.
На малюнку нижче зображено розгорнутий кут.
Крапка на прямій - це і є вершина кута. Найчастіше має місце її позначення точкою O.
Кут у математиці позначається знаком «∠». Коли сторони кута позначають малими латинськими, для правильного визначення кута записуються поспіль букви відповідно сторонам. Якщо дві сторони мають позначення k і h, то кут позначається як ∠ k h або ∠ h k.
Коли йде позначення великими літерами, відповідно сторони кута мають назви O A і O B . У такому разі кут має назву з трьох букв латинського алфавіту, записані поспіль, у центрі з вершиною - ∠ A O B і ∠ B O A . Існує позначення у вигляді цифр, коли кути не мають назв або літерних позначень. Нижче наведено малюнок, де різними способами позначаються кути.
Кут поділяє площину на дві частини. Якщо кут не розгорнутий, то одна частина площини має назву внутрішня область кута, інша – зовнішня область кута. Нижче наведено зображення, яке пояснює, які частини поверхні зовнішні, а які внутрішні.
При поділі розгорнутим кутом на площині кожна з його частин вважається внутрішньою областю розгорнутого кута.
Внутрішня область кута – елемент, який служить другого визначення кута.
Визначення 5
Кутомназивають геометричну фігуру, що складається з двох променів, що не збігаються, що мають загальний початок і відповідну внутрішню область кута.
Дане визначення є суворішим, ніж попереднє, оскільки має більше умов. Обидва визначення не бажано розглядати окремо, тому що кут – це геометрична фігура, перетворена за допомогою двох променів, що виходять із однієї точки. Коли необхідно виконувати дії з кутом, то під визначенням розуміють наявність двох променів із загальним початком та внутрішньою областю.
Визначення 6Два кути називають суміжнимиякщо є спільна сторона, а дві інші є додатковими напівпрямими або утворюють розгорнутий кут.
На малюнку видно, що суміжні кути доповнюють одне одного, оскільки є продовженням одне одного.
Визначення 7
Два кути називають вертикальнимиякщо сторони одного є додатковими напівпрямими іншого або є продовженнями сторін іншого. На малюнку нижче показано зображення вертикальних кутів.
При перетині прямих виходить 4 пари суміжних та 2 пари вертикальних кутів. Нижче показано малюнку.
Стаття показує визначення рівних та нерівних кутів. Розберемо який кут вважається більшим, яким меншим та інші властивості кута. Дві фігури вважаються рівними, якщо за накладення вони повністю збігаються. Така ж властивість застосовується для порівняння кутів.
Дано два кути. Необхідно дійти висновку, рівні ці кути чи ні.
Відомо, що має місце накладення вершин двох кутів та сторони першого кута з будь-якою іншою стороною другого. Тобто при повному збігу при накладенні кутів сторони заданих кутів поєднуються повністю, кути рівні.
Можливо так, що при накладенні сторони можуть не поєднатися, то кути нерівні, меншийз яких складається з іншого, а більшиймає у своєму складі повний інший кут. Нижче зображені нерівні кути, які не поєднані при накладенні.
Розгорнуті кути є рівними.
Вимірювання кутів починається з виміру боку вимірюваного кута та його внутрішньої області, заповнюючи яку одиничними кутами, прикладають один до одного. Необхідно порахувати кількість покладених кутів, вони й визначають міру кута, що вимірюється.
Одиниця виміру кута може бути виражена будь-яким кутом, що вимірюється. Є загальноприйняті одиниці виміру, які застосовують у науці та техніці. Вони спеціалізуються на інших назвах.
Найчастіше використовують поняття градус.
Визначення 8
Один градусназивають кутом, який має одну сто вісімдесяту частину розгорнутого кута.
Стандартне позначення градуса йде за допомогою "°", тоді один градус - 1°. Отже, розгорнутий кут складається із 180 таких кутів, що складаються з одного градуса. Всі наявні кути щільно укладені один до одного і сторони попереднього поєднані з наступним.
Відомо, що кількість покладених градусів у вугіллі, це і є той самий захід кута. Розгорнутий кут має 180 покладених кутів у своєму складі. Нижче на малюнку наводяться приклади, де укладання кута йде в 30 разів, тобто одна шоста розгорнутого, і 90 разів, тобто половина.
Для точності визначення вимірювання кутів використовуються хвилини та секунди. Їх застосовують, коли величина кута не є цілим позначенням градуса. Такі частини градуса дозволяють виконувати точніші розрахунки.
Визначення 9
Хвилиноюназивають одну шістдесяту частину градуса.
Визначення 10
Секундоюназивають одну шістдесяту частину хвилини.
Градус містить 3600 секунд. Хвилини позначають " " ", а секунди " " " ».
1 ° = 60 " = 3600 "" , 1 " = (1 60) ° , 1 " = 60 "", 1 "" = (1 60) " = (1 3600) ° ,
а позначення кута 17 градусів 3 хвилин і 59 секунд має вигляд 17 ° 3 "59"".
Визначення 11
Наведемо приклад позначення градусної міри кута рівного 17 ° 3 " 59 ". Запис має ще один вид 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600 .
Для точного виміру кутів використовують такий вимірювальний прилад, як транспортир. При позначенні кута ∠ A O B та його градусною мірою в 110 градусів застосовують зручніший запис ∠ A O B = 110 ° , який читається «Кут А О В дорівнює 110 градусам».
У геометрії використовується міра кута з інтервалу (0, 180], а в тригонометрії довільний градусний захід має назву кутів повороту.Значення кутів завжди виражається дійсним числом. Прямий кут- Це кут, що має 90 градусів. Гострий кут- Кут, який менше 90 градусів, а тупий- Більше.
Гострий кут вимірюється в інтервалі (0, 90), а тупий – (90, 180). Нижче наочно зображено три види кутів.
Будь-яка градусна міра будь-якого кута має однакове значення. Більший кут відповідно має більшу градусну міру, ніж менший. Градусна міра одного кута – це сума всіх градусних заходів внутрішніх кутів. Нижче наведено малюнок, де показаний кут АОВ, що складається з кутів АОС, СОD та DОВ. Докладно це виглядає так: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °.
Виходячи з цього, можна зробити висновок, що сумавсіх суміжних кутів дорівнює 180 градусів,бо всі вони й становлять розгорнутий кут.
Звідси випливає, що будь-які вертикальні кути рівні. Якщо розглянути це на прикладі, ми отримаємо, що кут А О В і С О D - вертикальні (на кресленні), тоді пари кутів А О В і В О С, С О D і В О С вважають суміжними. У такому випадку рівність ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° разом з ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° вважаються однозначно вірними. Звідси маємо, що ∠ A O B = ∠ C O D . Нижче наведено приклад зображення та позначення вертикальних улов.
Крім градусів, хвилин та секунд використовується ще одна одиниця виміру. Вона називається радіаном. Найчастіше її можна зустріти у тригонометрії при позначенні кутів багатокутників. Що ж називають радіаном?
Визначення 12
Кутом в один радіанназивають центральний кут, який має довжину радіуса кола рівну довжині дуги.
На малюнку радіан зображується у вигляді кола, де є центр, позначений точкою, з двома точками на колі, з'єднаними і перетвореними в радіуси ПРО і ОВ. Про А.
Позначення кута приймається за «рад». Тобто запис у 5 радіан скорочено позначається як 5 рад. Іноді можна зустріти позначення, що має назву пі. Радіани немає залежності від довжини заданого кола, оскільки постаті мають певне обмеження з допомогою кута та її дугою з центром, які у вершині заданого кута. Вони вважаються такими.
Радіани мають такий самий сенс, як і градуси, тільки різниця в їхній величині. Щоб визначити, необхідно обчислену довжину дуги центрального кута поділити на довжину її радіуса.
На практиці використовують переведення градусів у радіани та радіани у градусидля зручнішого вирішення завдань. Вказана стаття має інформацію про зв'язок градусної міри з радіанною, де можна докладно вивчити переклади з градусної до радіанної та назад.
Для наочного та зручного зображення дуг, кутів використовують креслення. Не завжди можна правильно зобразити та відзначити той чи інший кут, дугу чи назву. Рівні кути мають позначення як однакової кількості дуг, а нерівні як різного. На кресленні зображено правильне позначення гострих, рівних та нерівних кутів.
Коли необхідно відзначити більше 3 кутів, використовуються спеціальні позначення дуг, наприклад хвилясті або зубчасті. Це не має такого важливого значення. Нижче наведено малюнок, де показано їх позначення.
Позначення кутів повинні бути простими, щоб не заважали іншим значенням. При вирішенні задачі рекомендовано виділяти лише необхідні для розв'язання кути, щоб не захаращувати все креслення. Це не завадить рішенню та доказу, а також надасть естетичного вигляду малюнку.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Математика, геометрія – багатьом ці науки, як, втім, більшість інших точних, даються вкрай важко. Людям важко розібратися у формулах та дивній термінології. Що ховається під цим дивним поняттям?
Визначення
Для початку потрібно розглянути просто міру кута. У цьому допоможе зображення променя та прямої лінії. Спочатку необхідно провести, наприклад, горизонтальну пряму лінію. Потім від першої точки проводиться промінь, не паралельний прямий. Таким чином, між прямим і променем з'являється деяка відстань, невеликий кут. Міра кута – це розмір цього повороту променя.
Це поняття позначає певне цифрове значення, яке буде більшим за нуль. Воно виявляється у градусах, і навіть його складових частинах, тобто хвилинах і секундах. Та кількість градусів, яка поміститься в кут між променем і прямим, і буде градусним заходом.
Властивості кутів
- Абсолютно кожен кут матиме певний градусний захід.
- Якщо він повністю розгорнутий, то число дорівнюватиме 180 градусів.
- Для знаходження градусного заходу розглядається сума всіх кутів, які розбив промінь.
- За допомогою будь-якого променя можна створити напівплощину, в якій реально зробити кут. Він матиме градусний захід, величина якого буде менше 180, і такий кут може бути лише один.
Як дізнатися міру кута?
Як правило, мінімальним градусним заходом є 1 градус, який складе 1/180 від розгорнутого кута. Однак іноді не можна отримати такої чіткої цифри. У цих випадках застосовують секунди та хвилини.
При знаходженні значення можна перевести в градуси, в такий спосіб вийде частка градуса. Іноді застосовують дробові числа на кшталт 80,7 градуса.
Також важливо запам'ятати ключові величини. Прямий кут завжди дорівнюватиме 90 градусам. Якщо міра більша, то вона буде вважатися тупою, а якщо меншою, то гострим.
Градусний захід кута- Це позитивне число, що показує скільки разів градус і його частини укладаються у вугіллі.
Слово «кут» має різні тлумачення. У геометрії кутом називають частину площини, обмежену двома променями, що виходять із однієї точки, так званої вершини. Коли розглядаються прямі, гострі та розгорнуті кути, маються на увазі саме геометричні кути.
Як і будь-які геометричні фігури, кути можна порівнювати. В області геометрії описати, що один кут більшого чи меншого розміру в порівнянні з іншим сьогодні нескладно.
За одиницю виміру кутів взято градус – 1/180 частина розгорнутого кута.
У кожного кута є градусний захід, більший за нуль. Розгорнутий кут відповідає 180 градусів. Градусна міра кута дорівнює сумі всіх градусних заходів кутів, на які можна розбити вихідний кут променями.
Від будь-якого променя до заданої площини можна відкласти кут із градусним заходом трохи більше 180 градусів. Міра плоского кута, що є частиною напівплощини - це градусна міра кута, що має аналогічні сторони. Міру площини кута, у складі якого знаходиться напівплощина, позначають числом 360 – ?, де? є градусним заходом додаткового плоского кута.
Прямий кут завжди дорівнює 90 градусів, тупий - менше 180 градусів, але більше 90 градусів, гострий - не перевищує 90 градусів.
Крім градусної міри кута існує радіанна. У планіметрії довжину дуги кола позначають як L, радіус – r, а відповідному центральному куту дісталося позначення –?.. Співвідношення цих параметрів має такий вигляд: ? = L/r.
Кутом називається фігура, яка складається з точки - вершини кута та двох різних напівпрямих, що виходять з цієї точки, - сторін кута (рис. 14). Якщо сторони кута є додатковими променями, то кут називається розгорнутим.
Кут позначається або зазначенням його вершини, або зазначенням його сторін, або зазначенням трьох точок: вершини та двох точок на сторонах кута. Слово «кут» іноді заміняють
символом Кут малюнку 14 можна позначити трьома способами:
Кажуть, що промінь проходить між сторонами кута якщо він виходить з його вершини і перетинає якийсь відрізок з кінцями на сторонах кута.
На малюнку 15 промінь проходить між сторонами кута так як він перетинає відрізок
У разі розгорнутого кута будь-який промінь, що виходить з його вершини і відрізняється від його сторін, проходить між сторонами кута.
Кути вимірюються у градусах. Якщо взяти розгорнутий кут і розділити його на 180 рівних кутів, то градусна міра кожного з цих кутів називається градусом.
Основні властивості вимірювання кутів виражені в наступній аксіомі:
Кожен кут має певну градусну міру, більшу за нуль. Розгорнутий кут дорівнює 180 °. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних заходів кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.
Це означає, що якщо промінь проходить між сторонами кута, то кут дорівнює сумі кутів.
Градусний захід кута знаходиться за допомогою транспортира.
Кут, що дорівнює 90°, називається прямим кутом. Кут, менший за 90°, називається гострим кутом. Кут, більший за 90° і менший за 180°, називається тупим.
Сформулюємо основну властивість відкладання кутів.
Від будь-якої напівпрямої в задану напівплощину можна відкласти кут із заданим градусним заходом, меншим 180°, і тільки один.
Розглянемо напівпряму а. Продовжимо її за початкову точку А. Отримана пряма розбиває площину на дві напівплощини. На малюнку 16 показано, як за допомогою транспортира відкласти від напівпрямої а у верхню напівплощину кут з даною градусною мірою 60°.
Т. 1. 2. Якщо від даної напівпрямої відкласти в одну напівплощину два кути, то сторона меншого кута, відмінна від даної напівпрямої, проходить між сторонами більшого кута.
Нехай - кути, відкладені від даної напівпрямої, а в одну напівплощину, і нехай кут менше кута. У теоремі 1. 2 стверджується, що промінь проходить між сторонами кута (рис. 17).
Бісектриса кута називається промінь, який виходить з його вершини, проходить між сторонами і ділить кут навпіл. На малюнку 18 промінь - бісектриса кута
У геометрії існує поняття плоского кута. Плоським кутом називається частина площини, обмежена двома різними променями, що виходять із однієї точки. Ці промені називаються сторонами кута. Існують два плоскі кути з цими сторонами. Вони називаються додатковими. На малюнку 19 заштрихований один із плоских кутів зі сторонами а і
Кути вимірюють у різних одиницях вимірах. Це можуть бути градуси, радіани. Найчастіше кути вимірюють у градусах. (Не слід плутати цей градус із мірою вимірювання температури, де також використовується слово «градус»).
1 градус - це кут, що дорівнює 1/180 частини розгорнутого кута. Іншими словами, якщо взяти розгорнутий кут і поділити його на 180 рівних між собою частин-кутів, то кожен такий маленький кут дорівнюватиме 1 градусу. Розмір всіх інших кутів визначається тим, скільки таких маленьких кутів можна всередині кута укласти.
Позначається градус знаком °. Це не нуль і не буква О. Це такий спеціальний символ, введений для позначення градуса.
Таким чином, розгорнутий кут дорівнює 180 °, прямий кут дорівнює 90 °, гострі кути мають розмір менший, ніж 90 °, а тупі - більший, ніж 90 °.
У метричній системою для вимірювання відстані використовується метр. Однак використовуються і більші та дрібніші одиниці. Наприклад, сантиметр, міліметр, кілометр, дециметр. За аналогією з цим у градусній мірі кутів також виділяють хвилини та секунди.
Одна градусна хвилина дорівнює 1/60 градусів. Позначається вона одним знаком”.
Одна градусна секунда дорівнює 1/60 хвилин або 1/3600 градуса. Позначається секунда двома знаками ", тобто "".
У шкільній геометрії градусні хвилини і секунди використовуються рідко, проте треба вміти розуміти, наприклад, такий запис: 35 ° 21 "45"". Це означає, що кут дорівнює 35 градусів + 21 хвилина + 45 секунд.
З іншого боку, якщо кут не можна виміряти лише в цілих градусах, то не обов'язково вводити хвилини і секунди. Достатньо використовувати дробові значення градуса. Наприклад, 96,5 °.
Зрозуміло, що хвилини і секунди можна перевести у градуси, висловивши їх у частках градусів. Наприклад, 30" дорівнює (30/60) ° або 0,5 °. А 0,3 ° дорівнює (0,3 * 60)" або 18". Таким чином, використання хвилин і секунд - це лише питання зручності.