Географія, біологія, хімія, алгебра, геометрія... Школярам доводиться мати справу з безліччю відомостей із різних наук. Однак є галузі знань, в яких досить просто розібратися, ознайомившись із їхніми основними законами. До них і геометрія. Щоб пізнати всі тонкощі цієї науки, треба обов'язково познайомитись з її азами, аксіомами. Адже без основ у геометрії нікуди.
Визначення прямокутника
Прямокутник – це геометрична фігура з чотирма прямими кутами. Визначення досить просте, але не варто думати, що у школяра не виникне проблем із вивченням такої теми, адже тут є низка особливостей. Розміри прямокутника залежать від довжини його сторін, які найчастіше позначаються латинськими літерами а та b.
Властивості прямокутника
- сторони, що лежать друга проти одного, рівні та паралельні;
- діагоналі фігури рівні;
- точка перетину діагоналей ділить їх навпіл;
- прямокутник можна поділити на два рівні
Ознаки прямокутника
Існує лише три ознаки, якими має прямокутник. Ось вони:
- паралелограм з рівними діагоналями – це прямокутник;
- паралелограм з одним прямим кутом – це прямокутник;
- чотирикутник із трьома прямими кутами - це прямокутник.
Ще трохи цікавого
Отже, що таке прямокутник, тепер зрозуміло, але яку роль він відіграє в геометричних задачах і при вимірах на практиці, ще потрібно розібратися. Так, в першу чергу треба сказати, що це найзручніша геометрична фігура, за допомогою якої можна ділити площу на ділянки і на відкритій місцевості, і в приміщеннях.
Що таке прямокутник? Як відомо, він є чотирикутником. Існує безліч різновидів останнього, серед яких можна назвати трапецію (тільки дві сторони рівні), паралелограм (протилежні сторони паралельні), квадрат (усі кути та сторони однакові), ромб (паралелограм з рівними сторонами) та інші. А окремим випадком прямокутника є квадрат, у якого всі кути прямі, а сторони рівні.
Не можна говорити про те, що таке прямокутник, і не згадати про те, як визначити його розміри. Площею цієї прийнято вважати добуток її ширини на довжину, а периметр ж, як і у будь-якої фігури, дорівнює сумі довжин усіх сторін. У цьому випадку він також дорівнює подвоєній сумі довжини та ширини, оскільки протилежні сторони прямокутника рівні. Тепер ви знаєте, що таке прямокутник і що з ним робити, вирішуючи завдання та осягаючи секрети такої загадкової та таємничої науки, як геометрія.
Прямокутник унікальний простотою. На основі цієї постаті учні починають пізнавати основи геометрії. Тому в старших класах губляться, не знаючи основних властивостей та ознак прямокутника, марно вважаючи цю фігуру надто простою.
Прямокутник
Визначення прямокутника відоме з початкової школи: це паралелограм, у якого всі кути дорівнюють 90 градусам. Виникає питання: що таке паралелограм?
Незважаючи на хитромудру назву, ця фігура настільки ж проста, як і прямокутник. Паралелограм це опуклий чотирикутник, сторони якого попарно рівні та паралельні.
У визначенні обов'язково виділяти слово опуклий. Оскільки опуклі та непуклі чотирикутники чітко поділяються в геометрії. Причому неопуклі фігури взагалі не вивчаються в шкільному курсі математики, тому що вони набагато непередбачувані у своїх властивостях.
Мал. 1. Випуклі чотирикутники
Прямокутник це окремий випадок паралелограма. При цьому існують як інші окремі випадки паралелограма, наприклад, ромб; так і інші окремі випадки прямокутника - квадрат. Тому перед тим, як доводити, що фігура є прямокутником, треба довести, що вона є паралелограмом.
Властивості прямокутника
Властивості прямокутника можна розбити на дві групи: властивості паралелограма та властивості прямокутника.
Властивості паралелограма:
- Протилежні сторони попарно рівні та паралельні.
- Протилежні кути рівні.
Мал. 2. Властивості паралелограма
Властивості прямокутника:
- Усі кути дорівнюють 90 градусам, що випливає з визначення фігури.
- Діагоналі прямокутника розбиває фігуру на два малі рівні прямокутні трикутники. Цю властивість легко довести. Трикутники будуть прямокутними, тому що включають по одному кутку в 90 градусів. При цьому діагональ буде спільною стороною, а катети виявляться рівними, так як протилежні сторони прямокутника попарно рівні і паралельні.
- Діагоналі прямокутника рівні.
Мал. 3. Промінь
Ознаки прямокутника
У прямокутника всього три основні ознаки:
- По кутку. Якщо один із кутів паралелограма дорівнює 90 градусам, то паралелограм є прямокутником.
- Якщо три кути чотирикутника дорівнюють 90 градусам, то такий чотирикутник є прямокутником. Зверніть увагу, що в цьому випадку немає необхідності доводити, що перед нами є паралелограм. Достатньо знати значення кутів чотирикутника.
- По діагоналі: якщо діагоналі паралелограма рівні, такий паралелограм є прямокутником.
Звертайте увагу на те, до якої фігури застосовується ознака, це має значення за доказом.
У чому різниця ознаки та властивості? Ознака це відмінність яким можна назвати постать серед інших. Як ім'я у людини. Ви бачите знайомого, згадуєте його ім'я та одразу знаєте, що від нього чекати. А ось очікування від людини — це вже властивості. Властивості можна застосовувати лише після того, як ви довели, що перед вами та чи інша фігура. А для цього докази нам і потрібні ознаки.
Що ми дізналися?
Ми дізналися, що таке паралелограм. Поговорили про окремі випадки паралелограма, у тому числі і про найпоширеніший - прямокутник. Виділили властивості та ознаки прямокутника. Звернули увагу, що частина ознак дійсно для будь-якого чотирикутника, а частина тільки для паралелограма.
Тест на тему
Оцінка статті
Середня оцінка: 4.1. Усього отримано оцінок: 268.
Прямокутник – це в першу чергугеометричні плоскі фігури. Вона складається з чотирьох точок, які з'єднані між собою двома парами рівних відрізків, що перпендикулярно перетинаються тільки в цих точках.
Прямокутник визначають через паралелограм. По-іншому, прямокутник - це паралелограм, кути якого всі прямі, тобто рівні 90 градусів. У геометрії Евкліда, якщо в геометричній фігурі 3 із 4 кутів дорівнюють 90 градусів, то четвертий кут автоматично дорівнює 90 градусам і таку фігуру можна назвати прямокутником.
фігури
дорівнює сумі квадратів двох сторін із однією загальною точкою; 2 – діагоналі мають рівну довжину; 3 – всі кути дорівнюють 90 градусам. За дотримання хоча б однієї умови можна назвати фігуру прямокутником..
Прямокутник утворюється замкнутою ламаною лінією, що складається з чотирьох ланок, і тією частиною площини, що знаходиться всередині ламаної.
мають рівну довжину; 3 – всі кути дорівнюють 90 градусам. За дотримання хоча б однієї умови можна назвати фігуру прямокутником.У тексті прямокутники позначаються чотирма великими латинськими літерами, що стоять на вершинах - ABCD, У прямокутників протилежні сторони паралельні та рівні:, крапки A B C і D - це, вершини прямокутника, , відрізки A AB - BC CD DA.
сторони
Властивості діагоналей
Відрізки, що з'єднують протилежні вершини прямокутника, називаються діагоналями.
Відрізки AC A BD- діагоналі, O- Точка перетину діагоналей.
У будь-якому прямокутнику можна провести лише дві діагоналі. Вони мають такі властивості:
- діагоналі прямокутника рівні
AC = BD
- точка перетину ділить кожну діагональ на два рівні відрізки
AO = OC A BO = OD
- оскільки діагоналі рівні, те й відрізки, куди вони поділяються у точці перетину, теж рівні між собою:
AO = OC = BO = OD
- кожна діагональ ділить прямокутник на два рівні трикутники:
Δ ABC = Δ CDAта Δ DAB = Δ BCD
Квадрат- Прямокутник, у якого всі сторони рівні. Діагоналі квадрата мають всі властивості діагоналей прямокутника. Також діагоналі квадрата мають і додаткові властивості:
- діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом, тобто вони взаємно перпендикулярні:
AC ⊥ BD
- діагоналі квадрата ділять його на чотири рівні трикутники:
Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ DAO
- діагоналі квадрата ділять внутрішні кути на дві рівні частини, тобто вони є бісектрисами
Визначення.Паралелограм називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.
Властивість.У паралелограмі протилежні сторони рівні та протилежні кути рівні.
Властивість.Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.
1 ознака паралелограма.Якщо чотирикутник дві сторони рівні і паралельні, цей чотирикутник - паралелограмм.
2 ознака паралелограма.Якщо чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, цей чотирикутник - паралелограмм.
3 ознака паралелограма.Якщо чотирикутнику діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, цей чотирикутник - паралелограмм.
Визначення.Трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не паралельні. Паралельні сторони називаються основами.
Трапеція називається рівнобедреної (рівнобічної)якщо її бічні сторони рівні. У рівнобедреній трапеції кути при основах рівні.
Трапеція, один із кутів якої прямий, називається прямокутної.
Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін, називається середньою лінією трапеції. Середня лінія паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.
Визначення.Прямокутником називається паралелограм, у якого всі кути прямі.
Властивість.Діагоналі прямокутника рівні.
Ознака прямокутника.Якщо в паралелограмі діагоналі рівні, цей паралелограм - прямокутник.
Визначення.Ромб називається паралелограм, у якого всі сторони рівні.
Властивість.Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і поділяють його кути навпіл.
Визначення.Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні.
Квадрат є приватним видом прямокутника, а також приватний вид ромба. Тому він має усі їхні властивості.
Властивості:
1. Усі кути квадрата прямі
2. Діагоналі квадрата рівні, взаємно перпендикулярні, точкою перетину діляться навпіл і ділять кути квадрата навпіл.
