Відеоурок «Функція y = sinx, ee властивості та графік» представляє наочний матеріал з цієї теми, а також коментарі до нього. У ході демонстрації розглядається вид функції, її властивості, детально розписується поведінка на різних відрізках координатної площини, особливості графіка, описується приклад графічного розв'язання тригонометричних рівнянь, що містять синус. За допомогою відеоуроку вчителю легше сформувати поняття у учня про цю функцію, навчити вирішувати завдання графічним способом.
У відеоуроці застосовуються засоби, за допомогою яких полегшується запам'ятовування та розуміння навчальної інформації. У поданні графіків та при описі розв'язання задач використовуються анімаційні ефекти, які допомагають зрозуміти поведінку функції, уявити хід рішення послідовно. Також озвучування матеріалу доповнює його важливими коментарями, які замінюють пояснення вчителя. Таким чином, даний матеріал може застосовуватися як наочний посібник. І як самостійна частина уроку замість пояснення вчителя з нової теми.
Демонстрація починається з подання теми уроку. Надається функція синус, опис якої виділено в рамку для запам'ятовування - s = sint, в якій аргумент може бути будь-яким дійсним числом. Опис властивостей цієї функції починається з області визначення. Зазначається, що областю визначення функції є вся числова вісь дійсних чисел, тобто D(f)=(-∞;+∞). Як другий властивості виділяється непарність функції синуса. Учням нагадується, що це властивість вивчалося в 9 класі, коли зазначалося, що з непарної функції виконується рівність f(-x)=-f(x). Для синуса підтвердження непарності функції демонструється на одиничному колі, розбитому на чверті. Знаючи, який знак приймає функція у різних чвертях координатної площині, зазначається, що з аргументів з протилежними знаками з прикладу точок L(t) і N(-t) для синуса виконується умова непарності. Тому s = sint - непарна функція. Це означає симетричність графіка функції щодо початку координат.
Третя властивість синуса демонструє проміжки зростання та зменшення функції. У ньому зазначається, що у відрізку дана функція зростає, на відрізку [π/2;π] зменшується. Властивість демонструється малюнку, у якому зображена одинична коло і під час руху від точки А проти годинникової стрілки ординату зростає, тобто зростає значення функції до π/2. При русі від точки до С, тобто при зміні кута від π/2 до π значення ординати зменшується. У третій чверті кола при русі від точки З до точки Dордината зменшується від 0 до -1, тобто значення синуса зменшується. В останній чверті під час руху від точки Dдо точки А значення ординати зростає від -1 до 0. Таким чином можна зробити загальний висновок про поведінку функції. На екрані відображається висновок, що sint зростає на відрізку [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], зменшується на відрізку [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] для будь-якого цілого k.
Четверта властивість синуса розглядає обмеженість функції. Зазначається, що функція sint обмежена і зверху, і знизу. Учням нагадується відомості з алгебри 9 класу, що вони познайомилися з поняттям обмеженості функції. На екран виводиться умова обмеженої зверху функції, для якої існує деяке число, для якого виконується нерівність f(x)>=М у будь-якій точці функції. Також нагадується умова обмеженої знизу функції, для якої існує число m, менше кожної точки функції. Для sint виконується умова -1<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.
У п'ятій властивості розглядається найменше та найбільше значення функції. Відзначається досягнення найменшого значення -1 у кожній точці t=-(π/2)+2πk, а найбільшого - у точках t=(π/2)+2πk.
На основі розглянутих властивостей проводиться побудова графіка функції sint на відрізку. Для побудови функції використовуються табличні значення синуса у відповідних точках. На координатній площині відзначаються координати точок π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Відзначивши табличні значення функції у даних точках і з'єднавши їх плавною лінією, будуємо графік.
Для побудови графіка функції sint на відрізку [-π;π] використовується властивість симетрії функції щодо початку координат. На малюнку видно, як отримана в результаті побудови лінія плавно переноситься симетрично щодо початку координат відрізок [-π;0].
Використовуючи властивість функції sint, виражену у формулі приведення sin(х+2π)= sin х, зазначається, що через кожні 2π графік синуса повторюється. Таким чином, на відрізку [π; 3π] графік буде такий самий, як на [-π;π]. Таким чином, графік даної функції є повторювані фрагменти [-π;π] по всій області визначення. Окремо зазначено, що такий графік функції називається синусоїдою. Також вводиться поняття хвилі синусоїди – фрагмента графіка, побудованого на відрізку [-π;π], та арки синусоїди, побудованої на відрізку . Ці фрагменти ще раз демонструються для запам'ятовування.
Зазначається, що функція sint є безперервною функцією по всій області визначення, і навіть, що область значень функції полягає у безлічі значень відрізка [-1;1].
Наприкінці відеоуроку розглядається графічне рішення рівняння sin x = x + π. Очевидно, що графічним рішенням рівняння буде перетин графіка функції, даної виразом у лівій частині та функції, даної виразом у правій частині. Для розв'язання задачі будується координатна площина, на якій окреслюється відповідна синусоїда у=sin х, а також будується пряма, що відповідає графіку функції у=х+π. Побудовані графіки перетинаються в єдиній точці (-π; 0). Тому х=-π і буде розв'язком рівняння.
Відеоурок «Функція y = sinx, ee властивості та графік» допоможе підвищити ефективність уроку традиційного уроку математики у школі. Також використовувати наочний матеріал можна під час виконання дистанційного навчання. Посібник може допомогти опанувати тему учням, яким потрібні додаткові заняття для глибшого розуміння матеріалу.
ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ:
Тема нашого заняття «Функція у = sin x, її властивості та графік».
Раніше ми вже познайомилися з функцією s = sin t, де tϵR (ес і синус те, де те належить безлічі дійсних чисел). Вивчимо властивості цієї функції:
СВОЙСИВО 1.Область визначення - безліч дійсних чисел R (ер), тобто D(f) = (-; +) (де від еф представляє проміжок від мінус нескінченності до плюс нескінченності).
ВЛАСТИВОСТІ 2. Функція s = sin t є непарною.
На уроках у 9 класі ми вивчили, що функція у = f(x), х ϵХ (ігрок дорівнює еф від ікс, де ікс належить множині ікс велике) називається непарною, якщо для будь-якого значення х із множини Х виконується рівність
f (- x) = - f (x) (еф від мінус ікс і мінус еф від ікс).
Оскільки ординати у симетричних щодо осі абсцис точок L і N протилежні, то sin(- t) = -sint.
Тобто s = sin t - непарна функція та графік функції s = sin t симетричний щодо початку координат у прямокутній системі координат tOs(те про ес).
Розглянемо ВЛАСТИВОСТІ 3. На відрізку [0; ] (від нуля до пі на два) функція s = sin t зростає, а зменшується на відрізку [; ](від пі на два до пі).
Це добре видно за малюнками: при русі точки по числовому колу від нуля до пі на два (від точки А до В) ордината поступово збільшується від 0 до 1, а при русі від пі на два до пі (від точки В до С) ордината поступово зменшується від 1 до 0.
При русі точки по третій чверті (від точки З до точки D) ордината точки, що рухається, зменшується від нуля до мінус одиниці, а при русі по четвертій чверті - ордината збільшується від мінус одиниці до нуля. Тому можна зробити загальний висновок: функція s = sin t збільшується на відрізку
(від мінус пі на два плюс два піку до пі на два плюс два піку), а меншає на відрізку [; (від пі на два плюс два піки до трьох пі на два плюс два піки), де
(належить безлічі цілих чисел).
ВЛАСТИВОСТІ 4. Функція s = sin t обмежена зверху та знизу.
З курсу 9 класу пригадаємо визначення обмеженості: функція у = f(x) називається обмеженою знизу, якщо всі значення функції не менші за якесь число m mтаке, що для будь-якого значення х з області визначення функції виконується нерівність f(x) ≥ m(Еф від ікс більше або одно ем). Функція у = f(x) називається обмеженою зверху, якщо всі значення функції не більші за якесь число М, це означає, що існує число Мтаке, що для будь-якого значення х з області визначення функції виконується нерівність f(x) ≤ М(Еф від ікс менше або одно ем). Функція називається обмеженою, якщо вона обмежена і знизу, і зверху.
Повернемося до нашої функції: обмеженість випливає з того, що для будь-якого те вірна нерівність - 1 ≤ sint≤ 1.(синус те більше або одно мінус одиниці, але менше або одно одиниці).
ВЛАСТИВОСТІ 5. Найменше значення функції дорівнює мінус одному і функція досягає цього значення в будь-якій точці виду t = (те дорівнює мінус пі на два плюс два піки, а найбільше значення функції дорівнює одному і досягається функцією в будь-якій точці виду t = (те одно пи на два плюс два піки).
Найбільше та найменше значення функції s = sin t позначають s найм. і s наиб. .
Використовуючи отримані властивості, побудуємо графік функції у = sin х (гравець і синус ікс), тому що нам звичніше запис у = f (x), а не s = f (t).
Для початку виберемо масштаб: по осі ординат одиничний відрізок візьмемо дві клітини, а по осі абсцис дві клітини - це пі на три (т.к. ≈ 1). Спочатку Побудуємо графік функції у = sin х на відрізку. Нам потрібна таблиця значень функції у цьому відрізку, щодо її побудови скористаємося таблицею значень відповідних кутів косинуса і синуса:
Таким чином, щоб побудувати таблицю значень аргументу та функції необхідно пам'ятати, що х(ікс) це число відповідно рівне куту на проміжку від нуля до пі , а у(Ігрек) значення синуса цього кута.
Зазначимо ці точки координатної площині. Відповідно до ВЛАСТИВОСТІ 3 на відрізку
[0; ] (від нуля до пі на два) функція у = sin х зростає, а зменшується на відрізку [; ](від пі на два до пі) і з'єднавши плавною лінією отримані точки, отримаємо частину графіка.(рис.1)
Використовуючи симетрію графіка непарної функції щодо початку відліку, отримаємо графік функції у = sin x вже на відрізку
[-π; π] (від мінус пі до пі). (рис. 2)
Згадаймо, що sin(x + 2π)= sinx
(синус від ікс плюс два пі дорівнює синусу ікс). Це означає, що у точці x + 2π функція у = sin х приймає те значення, що у точці х. Оскільки (x + 2π)ϵ [π; 3π ](ікс плюс два пі належить відрізку від пі до трьох пі), якщо хϵ[-π; π], то на відрізку[π; 3π ] графік функції виглядає так само, як і на відрізку [-π; π]. Аналогічно, на відрізках , , [-3π; -π] і так далі графік функції у = sin х виглядає так само, як на відрізку
[-π; π]. (рис.3)
Лінію, яка є графіком функції у = sin х, називають синусоїдою. Частину синусоїди, зображеної малюнку 2, називають хвилею синусоїди, але в малюнку 1 називають аркою синусоїди чи напівхвильою.
Використовуючи побудований графік, запишемо ще кілька властивостей цієї функції.
ВЛАСТИВОСТІ 6. Функція у = sin x є безперервною функцією. Це означає, що графік функції суцільний, тобто немає стрибків і проколів.
ВЛАСТИВОСТІ 7. Області значень функції у = sin х є відрізок [-1; 1] (від мінус одиниці до одиниці) або це можна записати так: (е від еф дорівнює відрізку від мінус одиниці до одиниці).
Розглянемо ПРИКЛАД. Розв'язати графічно рівняння sin х = х + π(синус ікс і ікс плюс пі).
Рішення. Побудуємо графіки функцій у = sin хі у = х + π.
Графіком функції у = sin x є синусоїда.
у = х + π - це лінійна функція, графіком якої є пряма, що проходить через точки з координатами (0; π) і (- π; 0).
Побудовані графіки мають одну точку перетину - точку В(- π;0) (бе з координатами мінус пі, нуль). Це означає, що у цього рівняння лише один корінь - абсцис точки В - -π. Відповідь: х = - π.
Ми з'ясували, що поведінка тригонометричних функцій і функції у = sin х зокрема, на всій числовій прямій (або при всіх значеннях аргументу х) повністю визначається її поведінкою в інтервалі 0 < х < π / 2 .
Тому перш за все ми побудуємо графік функції у = sin х саме у цьому інтервалі.
Складемо таку таблицю значень нашої функції;
Позначаючи відповідні точки на площині координат та з'єднуючи їх плавною лінією, ми отримуємо криву, представлену на малюнку
Отриману криву можна було б побудувати і геометрично, не становлячи таблиці значень функції у = sin х .
1. Першу чверть кола радіуса 1 розділимо на 8 рівних частин. Ординати точок поділу кола є синуси відповідних кутів.
2.Перша чверть кола відповідає кутам від 0 до π / 2 . Тому на осі хВізьмемо відрізок і розділимо його на 8 рівних частин.
3. Проведемо прямі, паралельні осі х, та якщо з точок поділу відновимо перпендикуляри до перетину з горизонтальними прямими.
4.Точки перетину з'єднаємо плавною лінією.
Тепер звернемося до інтервалу π /
2
<
х <
π
.
Кожне значення аргументу хз цього інтервалу можна подати у вигляді
x = π / 2 + φ
де 0 < φ < π / 2 . За формулами наведення
sin ( π / 2 + φ ) = соs φ = sin ( π / 2 - φ ).
Точки осі хз абцисами π / 2 + φ і π / 2 - φ симетричні один одному щодо точки осі хз абсцисою π / 2 , і синуси у цих точках однакові. Це дозволяє отримати графік функції у = sin х в інтервалі [ π / 2 , π ] шляхом простого симетричного відображення графіка цієї функції в інтервалі щодо прямої х = π / 2 .
Тепер, використовуючи властивість непарності функції у = sin х,
sin (- х) = - sin х,
легко побудувати графік цієї функції в інтервалі [- π , 0].
Функція у = sin x періодична з періодом 2π ;. Тому для побудови всього графіка цієї функції досить криву, зображену на малюнку, продовжити вліво та вправо періодично з періодом 2π .
Отримана внаслідок цього крива називається синусоїдою . Вона і є графіком функції у = sin х.
Малюнок добре ілюструє всі властивості функції у = sin х , які раніше було доведено нами. Нагадаємо ці властивості.
1) Функція у = sin х визначено для всіх значень х , Отже областю її визначення є сукупність всіх дійсних чисел.
2) Функція у = sin х обмежена. Усі значення, які вона набуває, укладені в інтервалі від -1 до 1, включаючи ці два числа. Отже, сфера зміни цієї функції визначається нерівністю -1 < у < 1. При х = π / 2 + 2k π функція набуває найбільших значень, рівні 1, а при х = - π / 2 + 2k π - Найменші значення, рівні - 1.
3) Функція у = sin х є непарною (синусоїда симетрична щодо початку координат).
4) Функція у = sin х періодична з періодом 2 π .
5) В інтервалах 2n π < x < π + 2n π (n - будь-яке ціле число) вона позитивна, а інтервалах π + 2k π < х < 2π + 2k π (k – будь-яке ціле число) вона негативна. При х = k π функція перетворюється на нуль. Тому ці значення аргументу х (0; ± π ; ±2 π ; ...) називаються нулями функції у = sin x
6) В інтервалах - π / 2 + 2n π < х < π / 2 + 2n π функція у = sin x монотонно зростає, а в інтервалах π / 2 + 2k π < х < 3π / 2 + 2k π вона монотонно зменшується.
Варто особливо звернути увагу на поведінку функції у = sin x поблизу точки х = 0 .
Наприклад, sin 0,012 ≈ 0,012; sin (-0,05) ≈ -0,05;
sin 2° = sin π 2 / 180 = sin π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.
Водночас слід зазначити, що за будь-яких значень х
| sin x| < | x | . (1)
Дійсно, нехай радіус кола, представленого на малюнку, дорівнює 1,
a /
AОВ = х.
Тоді sin x= АС. Але АС< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол х. Довжина цієї дуги дорівнює, очевидно, х, Так як радіус кола дорівнює 1. Отже, при 0< х < π / 2
sin х< х.
Звідси через непарність функції у = sin x легко показати, що при - π / 2 < х < 0
| sin x| < | x | .
Нарешті, при x = 0
| sin x | = | х |.
Отже, для | х | < π / 2 нерівність (1) доведено. Насправді це нерівність вірно і за | x | > π / 2 через те, що | sin х | < 1, а π / 2 > 1
Вправи
1.По графіку функції у = sin x визначити: a) sin 2; б) sin 4; в) sin(-3).
2.По графіку функції у = sin x
визначити, яке число з інтервалу
[ - π /
2 ,
π /
2
] має синус, рівний: а) 0,6; б) -0,8.
3. За графіком функції у = sin x
визначити, які числа мають синус,
рівний 1/2.
4. Знайти приблизно (без використання таблиць): a) sin 1°; б) sin 0,03;
в) sin (-0,015); г) sin (-2 ° 30 ").
На цьому уроці ми докладно розглянемо функцію у = sin х, її основні властивості та графік. На початку уроку дамо визначення тригонометричної функції у = sin t на координатному колі та розглянемо графік функції на колі та прямий. Покажемо періодичність цієї функції на графіку та розглянемо основні властивості функції. Наприкінці уроку вирішимо кілька найпростіших завдань із використанням графіка функції та її властивостей.
Тема: Тригонометричні функції
Урок: Функція y=sinx, її основні властивості та графік
При розгляді функції важливо кожному значенню аргументу поставити у відповідність єдине значення функції. Цей закон відповідностіі називається функцією.
Визначимо закон відповідності для .
Будь-якому дійсному числу відповідає єдина точка на одиничному колі У точки є єдина ордината, яка називається синусом числа (рис. 1).
Кожному значенню аргументу ставиться у відповідність єдине значення функції.
З визначення синуса випливають очевидні властивості.
На малюнку видно, що 
т.к. це ордината точки одиничного кола.
Розглянемо графік функції. Згадаймо геометричну інтерпретацію аргументу. Аргумент – це центральний кут, що вимірюється в радіанах. По осі ми відкладатимемо дійсні числа або кути в радіанах, по осі відповідні значення функції.
Наприклад, кут на одиничному колі відповідає точці на графіку (рис. 2)
Ми отримали графік функції дільниці Але знаючи період синуса ми можемо зобразити графік функції по всій області визначення (рис. 3).
Основним періодом функції є це означає, що графік можна отримати на відрізку, а потім продовжити на всю область визначення.
Розглянемо властивості функції:
1) Область визначення:
2) Область значень: 
3) Функція непарна:
4) Найменший позитивний період:
5) Координати точок перетину графіка з віссю абсцис: 
6) Координати точки перетину графіка з віссю ординат:
7) Проміжки, на яких функція набуває позитивних значень:
8) Проміжки, на яких функція набуває негативних значень:
9) Проміжки зростання:
10) Проміжки зменшення:
11) Точки мінімуму: 
12) Мінімум функції:
13) Точки максимуму: 
14) Максимум функції:
Ми розглянули властивості функції та її графік. Властивості неодноразово використовуватимуться під час вирішення завдань.
Список літератури
1. Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Підручник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2009.
2. Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2007.
3. Віленкін Н.Я., Івашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.І. Алгебра та математичний аналіз для 10 класу (навчальний посібник для учнів шкіл та класів з поглибленим вивченням математики).-М.: Просвітництво, 1996.
4. Галицький М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.І. Поглиблене вивчення алгебри та математичного анализа.-М.: Просвітництво, 1997.
5. Збірник завдань з математики для вступників до ВТУЗи (під ред. М.І.Сканаві).-М.: Вища школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебраїчний тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Завдання з алгебри та початку аналізу (посібник учнів 10-11 класів общеобразов. установ).-М.: Просвітництво, 2003.
8. Карп А.П. Збірник завдань з алгебри та початків аналізу: навч. посібник для 10-11 кл. з поглибл. вивч. математики.-М.: Просвітництво, 2006.
Домашнє завдання
Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред.
А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Додаткові веб-ресурси
3. Освітній портал для підготовки до іспитів ().
Функціяy = sinx
Графіком функції є синусоїда.
Повну неповторну частину синусоїди називають хвилею синусоїди.
Половину хвилі синусоїди називають напівхвильової синусоїди (або аркою).
Властивості функціїy =
sinx:
3) Це непарна функція. 4) Це безперервна функція.
6) На відрізку [-π/2; π/2] функція зростає, на відрізку [π/2; 3π/2] – зменшується. 7) На проміжках функція набуває позитивних значень. 8) Проміжки зростання функції: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]. 9) Точки мінімуму функції: -π/2 + 2πn. |
Для побудови графіка функції y= sin xзручно застосовувати такі масштаби:
На аркуші в клітину за одиницю відрізка приймемо довжину дві клітинки.
На осі xвідміряємо довжину π. При цьому для зручності 3,14 представимо у вигляді 3 - тобто без дробу. Тоді на листі в клітину π складе 6 клітин (тричі по 2 клітини). А кожна клітина отримає своє закономірне ім'я (від першої до шостої): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Це значення x.
На осі y відзначимо 1, що включає дві клітини.
Складемо таблицю значень функції, застосовуючи наші значення x:
√3 | √3 |
Далі складемо графік. Вийде напівхвиля, найвища точка якої (π/2; 1). Це графік функції y= sin xна відрізку. Додамо до побудованого графіку симетричну напівхвилю (симетричну щодо початку координат, тобто на відрізку -?). Гребінь цієї напівхвилі - під віссю x з координатами (-1; -1). В результаті вийде хвиля. Це графік функції y= sin xна відрізку [-π; π].
Можна продовжити хвилю, побудувавши її на відрізку [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] і т.д. На всіх цих відрізках графік функції виглядатиме так само, як на відрізку [-π; π]. Вийде безперервна хвиляста лінія з однаковими хвилями.
Функціяy = cosx.
Графіком функції є синусоїда (її іноді називають косінусоїдою).
Властивості функціїy = cosx:
1) Область визначення функції – безліч дійсних чисел. 2) Область значень функції – відрізок [-1; 1] 3) Це парна функція. 4) Це безперервна функція. 5) Координати точок перетину графіка: 6) На відрізку функція зменшується, на відрізку [π; 2π] – зростає. 7) На проміжках [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] функція набуває позитивних значень. 8) Проміжки зростання: [-π + 2πn; 2πn]. 9) Точки мінімуму функції: π + 2πn. 10) Функція обмежена зверху та знизу. Найменше значення функції –1, 11) Це періодична функція з періодом 2π (Т = 2π) |
Функціяy = mf(x).
Візьмемо попередню функцію y= cos x. Як ви вже знаєте, її графіком є синусоїда. Якщо ми помножимо косинус цієї функції на певне число m, хвиля розтягнеться від осі x(або стиснеться, залежно від величини m).
Ця нова хвиля буде графіком функції y = mf(x), де m – будь-яке дійсне число.
Таким чином, функція y = mf(x) – це звична для нас функція y = f(x), помножена на m.
Якщоm< 1, то синусоида сжимается к оси xна коефіцієнтm. Якщоm > 1, то синусоїда розтягується від осіxна коефіцієнтm.
Виконуючи розтяг або стиск, можна спочатку побудувати лише одну напівхвилю синусоїди, а потім вже добудувати весь графік.
Функціяy = f(kx).
Якщо функція y =mf(x) призводить до розтягування синусоїди від осі xабо стиску до осі x, то функція y = f(kx) призводить до розтягування від осі yабо стиску до осі y.
Причому k – будь-яке дійсне число.
При 0< k< 1 синусоида растягивается от оси yна коефіцієнтk. Якщоk > 1, то синусоїда стискається до осіyна коефіцієнтk.
Складаючи графік цієї функції, можна спочатку побудувати одну напівхвилю синусоїди, а по ній потім добудувати весь графік.
Функціяy = tgx.
Графіком функції y= tg xє тангенсоїд.
Достатньо побудувати частину графіка на проміжку від 0 до π/2, а потім можна симетрично продовжити на проміжку від 0 до 3π/2.
Властивості функціїy = tgx:
Функціяy = ctgx
Графіком функції y= ctg xтакож є тангенсоіда (її іноді називають котангенсоід).
Властивості функціїy = ctgx:
Урок та презентація на тему: "Функція y=sin(x). Визначення та властивості"
Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.
Посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 10 класу від 1С
Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову для 7-10 класів
Програмне середовище "1С: Математичний конструктор 6.1"
Що вивчатимемо:
- Властивості функції Y = sin (X).
- Графік функції.
- Як будувати графік та його масштаб.
- приклади.
Властивості синусу. Y=sin(X)
Діти, ми вже познайомилися з тригонометричними функціями числового аргументу. Ви пам'ятаєте їх?
Давайте познайомимося ближче із функцією Y=sin(X)
Запишемо деякі властивості цієї функції:
1) Область визначення – безліч дійсних чисел.
2) Функція непарна. Згадаймо визначення непарної функції. Функція називається непарною якщо виконується рівність: y(-x)=-y(x). Як пам'ятаємо з формул привида: sin(-x)=-sin(x). Визначення виконалося, отже Y = sin (X) - непарна функція.
3) Функція Y=sin(X) зростає на відрізку та зменшується на відрізку [π/2; π]. Коли ми рухаємось по першій чверті (проти годинникової стрілки), ордината збільшується, а під час руху по другій чверті вона зменшується.
4) Функція Y=sin(X) обмежена знизу та зверху. Ця властивість випливає з того, що
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Найменше значення функції дорівнює -1 (при х = - π/2+ πk). Найбільше значення функції дорівнює 1 (при х = π/2+ πk).
Давайте, скориставшись властивостями 1-5, збудуємо графік функції Y=sin(X). Будуватимемо наш графік послідовно, застосовуючи наші властивості. Почнемо будувати графік на відрізку.
Особливу увагу варто звернути на масштаб. На осі ординат зручніше прийняти одиничний відрізок, що дорівнює 2 клітинам, а на осі абсцис - одиничний відрізок (дві клітини) прийняти рівним π/3 (дивіться малюнок).
_2.png)
Побудова графіка функції синус x, y=sin(x)
Порахуємо значення функції на нашому відрізку:
_3.png)
Побудуємо графік за нашими точками, з урахуванням третьої якості.
_4.png)
Таблиця перетворень для формул привиду
Скористаємося другою властивістю, яка говорить, що наша функція непарна, а це означає, що її можна відобразити симетрично щодо початку координат:
_5.png)
Ми знаємо, що sin(x+2π) = sin(x). Це означає, що у відрізку [- π; π] графік виглядає так само, як на відрізку [π; 3π] або або [-3π; - π] і так далі. Нам залишається акуратно перемалювати графік на попередньому малюнку на всю вісь абсцис.
_6.png)
Графік функції Y=sin(X) називають синусоїдою.
Напишемо ще кілька властивостей згідно з побудованим графіком:
6) Функція Y=sin(X) зростає будь-якому відрізку виду: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k – ціле число і зменшується на будь-якому відрізку виду: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – ціле число.
7) Функція Y=sin(X) – безперервна функція. Подивимося на графік функції і переконаємося, що наша функція не має розривів, це означає безперервність.
8) Область значень: відрізок [-1; 1]. Це також добре видно з графіка функції.
9) Функція Y = sin (X) - періодична функція. Подивимося знову на графік і побачимо, що функція набуває одні й самі значення, через деякі проміжки.
Приклади завдань із синусом
1. Розв'язати рівняння sin(x)= x-π
Рішення: Побудуємо 2 графіки функції: y=sin(x) і y=x-π (див. рисунок).
Наші графіки перетинаються в одній точці А(π;0), і є відповідь: x = π
_7.png)
2. Побудувати графік функції y=sin(π/6+x)-1
Рішення: Шуканий графік вийде шляхом перенесення графіка функції y=sin(x) на π/6 одиниць вліво та 1 одиницю вниз.
_8.png)
Рішення: Побудуємо графік функції та розглянемо наш відрізок [π/2; 5π/4].
На графіку функції видно, що найбільші та найменші значення досягаються на кінцях відрізка, у точках π/2 та 5π/4 відповідно.
Відповідь: sin(π/2) = 1 – найбільше значення, sin(5π/4) = найменше значення.
_9.png)
Завдання на синус для самостійного вирішення
- Розв'яжіть рівняння: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
- Побудувати графік функції y=sin(π/3+x)-2
- Побудувати графік функції y=sin(-2π/3+x)+1
- Знайти найбільше та найменше значення функції y=sin(x) на відрізку
- Знайти найбільше та найменше значення функції y=sin(x) на відрізку [- π/3; 5π/6]