Перш ніж знайти площу трапеції, необхідно визначитися з відомими елементами трапеції. Трапеція – це геометричний об'єкт, а саме: чотирикутник, який має дві паралельні сторони (дві основи). Інші дві сторони – бічні. Якщо паралельні будуть і ці дві сторони чотирикутника, то це вже буде не трапеція, а паралелограм. Якщо хоча б один кут трапеції дорівнює 90 градусів, то така трапеція називається прямокутною. Як знайти площу прямокутної трапеції, розглянемо пізніше. Існує також рівнобедрена трапеція, назва якої говорить сама за себе: бічні сторони такої трапеції рівні. Відстань між основами трапеції називається висотою, висота дуже часто використовується для знаходження площі. Середня лінія трапеції – це відрізок, який сполучає середини бічних сторін.
Основні формули знаходження площі трапеції
- S = h * (a + b) / 2
Де h – висота трапеції, a, b – основи. Найчастіше використовувана формула пошуку площі трапеції виглядає як напівсума підстав, помножена на висоту. - S = m*h
Де m – середня лінія трапеції, h – висота. Площа трапеції також дорівнює добутку середньої лінії трапеції її висоту. - S=1/2*d1*d2*sin(d1^d2)
Де d1, d2 – це діагоналі трапеції, sin(d1^d2) – це синус кута між діагоналями трапеції.
Існують також різні формули, виведені з основних, а також формула для розрахунку площі трапеції, коли відомі всі її сторони. Однак ця формула досить громіздка і використовується рідко, адже знаючи всі сторони трапеції можна просто визначити висоту або її середню лінію. Також у рівнобедрену трапецію можна вписати коло. У цьому випадку площа трапеції вираховуватиметься за формулою: радіус кола в квадраті.
Як знайти площу прямокутної трапеції
Як і говорилося раніше, прямокутною називається та трапеція, яка має хоча б один кут прямої. Знайти площу такої трапеції дуже просто. В основному для пошуку площі прямокутної трапеції використовуються ті ж формули, що і для звичайної трапеції. Однак варто пам'ятати, що одна з боків такої трапеції і буде висотою. Також часто розв'язання задач пошуку площі прямокутної трапеції зводиться до пошуку площі прямокутника та трикутника, утворених опущеною висотою. Такі завдання досить прості.
І. Тепер можна приступити до розгляду питання, як знайти площу трапеції. Це завдання в побуті виникає дуже рідко, але іноді виявляється необхідною, наприклад, щоб знайти площу кімнати у формі трапеції, які все частіше застосовують при будівництві сучасних квартир, або в дизайн-проектах з ремонту.
Трапеція - це геометрична фігура, утворена чотирма відрізками, що перетинаються, два з яких паралельні між собою і називаються основами трапеції. Два інші відрізки називаються сторонами трапеції. Крім того, надалі нам знадобиться ще одне визначення. Це середня лінія трапеції, яка є відрізком, що з'єднує середини бічних сторін і висота трапеції, яка дорівнює відстані між основами.
Як і у трикутників, у трапеція є приватні види у вигляді рівнобедреної (рівнобічної) трапеції, у якої довжина бічних сторін однакові і прямокутної трапеції, у якої одна зі сторін утворює з основами прямий кут.
Трапеції мають деякі цікаві властивості:
- Середня лінія трапеції дорівнює напівсумі основ і паралельна їм.
- У рівнобедрених трапецій бічні сторони та кути які вони утворюють з основами рівні.
- Середини діагоналей трапеції та точка перетину її діагоналей знаходяться на одній прямій.
- Якщо сума бічних сторін трапеції дорівнює сумі підстав, то до неї можна вписати коло
- Якщо сума кутів, утворених сторонами трапеції у будь-якого її основи дорівнює 90, то довжина відрізка, що з'єднує середини основ, дорівнює їх напіврізності.
- Рівностегнову трапецію можна описати колом. І навпаки. Якщо в трапеція вписується в коло, значить вона рівностегна.
- Відрізок, що проходить через середини основ рівнобедреної трапеції буде перпендикулярний її основам і є вісь симетрії.
Як знайти площу трапеції.
Площа трапеції дорівнюватиме напівсумі її основ, помноженої на висоту. У вигляді формули це записується у вигляді виразу:
де S-площа трапеції, a,b-довжина кожної з основ трапеції, h-висота трапеції.
Зрозуміти і запам'ятати цю формулу можна так. Як випливає з малюнка нижче трапецію з використанням середньої лінії можна перетворити на прямокутник, довжина якого і дорівнюватиме напівсумі основ.
Можна також будь-яку трапецію розкласти на простіші постаті: прямокутник і один, або два трикутники і якщо вам так простіше, то знайти площу трапеції, як суму площ складових її фігур.
Є ще одна проста формула для підрахунку її площі. Відповідно до неї площа трапеції дорівнює добутку її середньої лінії на висоту трапеції та записується у вигляді: S = m*h, де S-площа, m-довжина середньої лінії, h-висота трапеції. Дана формула більше підходить для математичних завдань, ніж для побутових завдань, тому що в реальних умовах вам не буде відома довжина середньої лінії без попередніх розрахунків. А відомі вам будуть лише довжини основ та бокових сторін.
У цьому випадку площа трапеції може бути знайдена за такою формулою:
S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2
де S-площа, a,b-основи, c,d-бічні сторони трапеції.
Існує ще кілька способів того, як знайти площі трапеції. Але, вони також незручні як і остання формула, отже немає сенсу ними зупинятися. Тому рекомендуємо вам користуватися першою формулою зі статті та бажаємо завжди отримувати точні результати.
Існує безліч способів знайти площу трапеції. Зазвичай репетитор з математики має кілька прийомів її обчислення, зупинимося на них докладніше:
1) 
де AD і BC основи, а BH-висота трапеції. Доказ: проведемо діагональ BD і виразимо площі трикутників ABD та CDB через напіввитвор їх підстав на висоту:
, де DP - зовнішня висота в
Складемо почленно ці рівності та враховуючи, що висоти BH та DP рівні, отримаємо:
Винесемо за дужку
Що й потрібно було довести.
Наслідок із формули площі трапеції:
Так як напівсума основ дорівнює MN - середньої лінії трапеції, то
2) Застосування загальної формули площі чотирикутника.
Площа чотирикутника дорівнює половині твору діагоналей, помноженої на синус кута між ними.
Для доказу достатньо розбити трапецію на 4 трикутники, висловити площу кожного через «половину твору діагоналей на синус кута між ними» (як кут береться, скласти вирази, винести за дужку і розкладаю цю дужку на множники методом угруповання отримати її рівність виразу.
3) Метод зсуву діагоналі
Це моя назва. У шкільних підручниках репетитор з математики не зустріне такого заголовка. Опис прийому можна знайти лише у додаткових навчальних посібниках як приклад вирішення якоїсь задачі. Зазначу, що більшість цікавих та корисних фактів планиметрії репетитори з математики відкривають учням у процесі виконання практичної роботи. Це вкрай неоптимально, бо школяру треба виділяти в окремі теореми і називати «гучними іменами». Одне з таких – «зсув діагоналі». Про що йде мова? Проведемо через вершину B пряму паралельну до АС до перетину з нижньою основою в точці E. У такому разі чотирикутник EBCA буде паралелограмом (за визначенням) і тому BC=EA та EB=AC. Нам зараз важлива перша рівність. Маємо:
Зауважимо, що трикутник BED, площа якого дорівнює площі трапеції, має ще кілька чудових властивостей:
1) Його площа дорівнює площі трапеції
2) Його рівнобедреність відбувається одночасно з рівнобедреністю самої трапеції
3) Верхній його кут при вершині B дорівнює куту між діагоналями трапеції (що часто використовується в задачах) 
4) Його медіана BK дорівнює відстані QS між серединами основ трапеції. Із застосуванням цієї властивості я нещодавно зіткнувся під час підготовки учня на мехмат МДУ за підручником Ткачука, варіант 1973 (завдання наводиться внизу сторінки).
Спеціальні прийоми репетитора з математики.
Іноді я пропоную завдання на дуже хитрий шлях знаходження я площі трапеції. Я відношу його до спецприйомів, бо на практиці репетитор їх використовує вкрай рідко. Якщо вам потрібна підготовка до ЄДІ з математики тільки в частині B, можна про них не читати. Для решти розповідаю далі. Виявляється площа трапеції вдвічі більша за площу трикутника з вершинами в кінцях однієї бічної сторони і серединою іншої, тобто трикутника ABS на малюнку: 
Доказ: проведемо висоти SM та SN у трикутниках BCS та ADS та висловимо суму площ цих трикутників:
Оскільки точка S – середина CD, то (доведіть це самі).Знайдемо суму площ трикутників:
Так як ця сума дорівнювала половині площі трапеції, то — друга її половина. Ч.т.д.
У скарбничку спецприйомів репетитора я відніс форму обчислення площі рівнобедреної трапеції по її сторонах: де p - напівпериметр трапеції. Доказ я наводити не буду. Інакше ваш репетитор з математики залишиться без роботи:). Приходьте на заняття!
Завдання на площу трапеції:
Зауваження репетитора з математики: Нижченаведений список не є методичним супроводом до теми, це лише невелика добірка цікавих завдань на вищезазначені прийоми.
1) Нижня основа рівнобедреної трапеції дорівнює 13, а верхня дорівнює 5. Знайдіть площу трапеції, якщо її діагональ перпендикулярна бічній стороні.
2) Знайдіть площу трапеції, якщо її основи дорівнюють 2см і 5см, а бічні сторони 2см і 3см.
3) У рівнобокій трапеції більша основа дорівнює 11, бічна сторона дорівнює 5, а діагональ дорівнює Знайти площу трапеції.
4) Діагональ рівнобічної трапеції дорівнює 5, а середня лінія дорівнює 4. Знайти площу.
5) У рівнобедреній трапеції основи дорівнюють 12 і 20, а діагоналі взаємно перпендикулярні. Обчислити площу трапеції
6) Діагональ рівнобічної трапеції складає з її нижньою основою кут. Знайти площу трапеції, якщо її висота дорівнює 6см.
7) Площа трапеції дорівнює 20, а одна з її бічних сторін дорівнює 4 см. Знайдіть відстань до неї від середини протилежної бічної сторони.
8) Діагональ рівнобічної трапеції ділить її на трикутники з площами 6 та 14. Знайти висоту, якщо бічна сторона дорівнює 4.
9) У трапеції діагоналі дорівнюють 3 і 5, а відрізок, що з'єднує середини основ дорівнює 2. Знайти площу трапеції (Мехмат МДУ, 1970р).
Я вибирав не найскладніші завдання (не варто лякатися мехмата!) з розрахунком на можливість самостійного їх вирішення. Вирішуйте на здоров'я! Якщо вам потрібна підготовка до ЄДІ з математики, то без участі у цьому формули площі трапеції можуть виникнути серйозні проблеми навіть із завданням B6 і тим більше з C4. Не запускайте тему та у разі будь-яких труднощів звертайтеся за допомогою. Репетитор з математики завжди радий вам допомогти.
Ковпаков О.М.
Репетитор з математики у Москві, підготовка до ЄДІ у Строгіному.
Площа трапеції. Вітаю вас! У цій публікації ми розглянемо зазначену формулу. Чому вона саме така та як її зрозуміти. Якщо буде розуміння, то і вчити її вам не потрібно. Якщо ж ви просто хочете подивитися цю формулу і при чому терміново, то одразу можете прокрутити сторінку вниз))
Тепер докладно та по порядку.
Трапеція це чотирикутник, дві сторони цього чотирикутника паралельні, дві інші немає. Ті, що не є паралельними – це підстави трапеції. Дві інші називаються бічними сторонами.
Якщо бічні сторони рівні, то трапеція називається рівнобедреною. Якщо одна з бічних сторін перпендикулярна до основ, то така трапеція називається прямокутною.
У класичному вигляді трапецію зображують в такий спосіб – більша основа знаходиться внизу, відповідно менша вгорі. Але ніхто не забороняє зображати її і навпаки. Ось ескізи:
Наступне важливе поняття.
Середня лінія трапеції – це відрізок, який з'єднує середини бічних сторін. Середня лінія паралельна основам трапеції і дорівнює їх напівсумі.
Тепер давайте вникнемо глибше. Чому так?
Розглянемо трапецію з основами a і bта із середньою лінією l, і виконаємо деякі додаткові побудови: через основи проведемо прямі, а через кінці середньої лінії перпендикуляри до перетину з основами:
*Буквенні позначення вершин та інших точок не введені навмисне, щоб уникнути зайвих позначень.
Подивіться, трикутники 1 і 2 дорівнюють другою ознакою рівності трикутників, трикутники 3 і 4 теж саме. З рівності трикутників випливає рівність елементів, а саме катетів (вони позначені відповідно синім та червоним кольором).
Тепер увага! Якщо ми подумки «відріжемо» від нижньої основи синій і червоний відрізок, то залишиться відрізок (це сторона прямокутника) рівний середньої лінії. Далі, якщо ми «приклеїмо» відрізані синій та червоний відрізок до верхньої основи трапеції, то в нас вийде також відрізок (це теж сторона прямокутника) рівний середній лінії трапеції.
Вловили? Виходить, що сума підстав дорівнюватиме двом середнім лініям трапеції:
Подивитися ще одне пояснення
Зробимо наступне – побудуємо пряму трапецію, що проходить через нижню основу, і пряму, яка пройде через точки А і В:
Отримаємо трикутники 1 і 2, вони рівні по стороні і прилеглим до неї кутам (друга ознака рівності трикутників). Це означає, що отриманий відрізок (на ескізі він позначений синім) дорівнює верхньому підставі трапеції.
Тепер розглянемо трикутник:
*Середня лінія даної трапеції та середня лінія трикутника збігаються.
Відомо, що трикутника дорівнює половині паралельної їй основи, тобто:
Добре, розібралися. Тепер про площу трапеції.
Площа трапеції формула:
Кажуть: площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав та висоти.
Тобто, виходить, що вона дорівнює добутку середньої лінії та висоти:
Ви, мабуть, помітили, що це очевидно. Геометрично це можна сказати так: якщо ми подумки відріжемо від трапеції трикутники 2 і 4 і покладемо їх відповідно на трикутники 1 і 3:
То в нас вийде прямокутник за площею рівний площі нашої трапеції. Площа цього прямокутника дорівнюватиме добутку середньої лінії та висоти, тобто можемо записати:
Але річ тут не в записі, звичайно, а в розумінні.
Завантажити (переглянути) матеріал статті у форматі *pdf
На цьому все. Успіху вам!
З повагою, Олександр.
Трапецієюназивається чотирикутник, у якого тільки двісторони паралельні між собою.
Вони називаються основами фігури, що залишилися – бічними сторонами. Окремими випадками фігури вважається паралелограм. Також існує криволінійна трапеція, яка включає графік функції. Формули площі трапеції включають практично всі її елементи, і краще рішення підбирається в залежності від заданих величин.
Основні ролі у трапеції відводяться висоті та середній лінії. Середня лінія- Це лінія, що з'єднує середини бічних сторін. Висотатрапеції проводиться під прямим кутом від верхнього кута до основи.
Площа трапеції через висоту дорівнює добутку напівсуми довжин основ, помноженому на висоту:
Якщо за умовами відома середня лінія, то ця формула значно спрощується, так як вона дорівнює напівсумі довжин основ:
Якщо за умовами дано довжини всіх сторін, можна розглянути приклад розрахунку площі трапеції через ці дані: 
Припустимо, дана трапеція з основами a = 3 см, b = 7 см і бічними сторонами c = 5 см, d = 4 см. Знайдемо площу фігури: 
Площа рівнобічної трапеції
Окремим випадком вважається рівнобока або, як її ще називають, рівностегна трапеція.
Особливим випадком є і знаходження площі рівнобедреної (рівнобічної) трапеції. Формула виводиться різними способами – через діагоналі, через кути, що прилягають до основи та радіус вписаного кола.
Якщо за умовами задана довжина діагоналей та відомий кут між ними можна використовувати таку формулу:
Пам'ятайте, що діагоналі рівнобічної трапеції рівні між собою!
Тобто, знаючи одну з підстав, бік і кут, можна легко розрахувати площу.
Площа криволінійної трапеції
Окремий випадок – це криволінійна трапеція. Вона знаходиться на осі координат і обмежується графіком безперервної позитивної функції.
Її основа розташовує на осі X і обмежується двома точками: 
Інтеграли допомагають обчислити площу криволінійної трапеції.
Формула прописується так:
Розглянемо приклад розрахунку площі криволінійної трапеції. Формула потребує певних знань до роботи з певними інтегралами. Спочатку розберемо значення певного інтеграла: 
Тут F(a) – це значення первинної функції f(x) у точці a , F(b) – значення цієї функції f(x) у точці b . 
Тепер вирішимо завдання. На малюнку зображено криволінійну трапецію, обмежену функцією . Функція 
Нам необхідно знайти площу виділеної фігури, яка є криволінійною трапецією, обмеженою зверху графіком, праворуч прямою x = (-8), зліва прямою x = (-10) і віссю OX знизу.
Площа цієї фігури ми будемо розраховувати за такою формулою: 
Умовами завдання нам задано функцію. По ній ми знайдемо значення первісної у кожній з наших точок:
Тепер
Відповідь:площа заданої криволінійної трапеції дорівнює 4.
Нічого складного у розрахунках цього значення немає. Важлива лише гранична уважність у обчисленнях.