На тему: «Подібність фігур»
Виконала:
Перевірила:
1. Перетворення подоби
2. Властивості перетворення подоби
3. Подібність фігур
4. Ознака подібності трикутників по двох кутах
5. Ознака подоби трикутників з обох боків та кутку між ними
6. Ознака подібності трикутників з трьох сторін
7. Подібність прямокутних трикутників
8. Кути, вписані в коло
9. Пропорційність відрізків хорд і січучих кола
10. Завдання на тему «Подібність фігур»
1. ПЕРЕТВОРЕННЯ ПОДОБИ
Перетворення фігури F на фігуру F" називається перетворенням подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюються в одне і те ж число разів (рис. 1). Це означає, що якщо довільні точки X, Y фігури F при перетворенні подібності переходять у точки X", Y" фігури F", то X"Y" = k-XY, причому число k - одне і те ж для всіх точок X, Y. Число k називається коефіцієнтом подібності. При k = l перетворення подібності очевидно є рухом.
Нехай F – дана фігура та О – фіксована точка (рис. 2). Проведемо через довільну точку X фігури F промінь ОХ і відкладемо у ньому відрізок ОХ", рівний k·OX, де k - позитивне число. Перетворення фігури F, у якому кожна її точка X перетворюється на точку X", побудовану зазначеним способом, називається гомотетією щодо центру О. Число k називається коефіцієнтом гомотетії, фігури F і F називаються гомотетичними.
Теорема 1. Гомотетія є перетворенням подоби
Доказ. Нехай О – центр гомотетії, k – коефіцієнт гомотетії, X та Y – дві довільні точки фігури (рис.3)
Рис.3 Рис.4
При гомотетії точки X і Y переходять до точок X" і Y" на променях ОХ і OY відповідно, причому OX" = k·OX, OY" = k·OY. Звідси випливають векторні рівності ОХ" = kOX, OY" = kOY.
Віднімаючи ці рівності почленно, отримаємо: OY "-OX" = k (OY-OX).
Оскільки OY" - OX" = X "Y", OY -OX = XY, то "Y" = kХY. Отже, / X "Y" / = k / XY /, тобто. X"Y" = kXY. Отже, гомотетія є перетворенням подоби. Теорему доведено.
Перетворення подоби широко застосовується практично під час виконання креслень деталей машин, споруд, планів місцевості та інших. Ці зображення є подібні перетворення уявних зображень на натуральну величину. Коефіцієнт подібності у своїй називається масштабом. Наприклад, якщо ділянка місцевості зображується в масштабі 1:100, це означає, що одному сантиметру на плані відповідає 1 м на місцевості.
Завдання. На малюнку 4 зображено план садиби у масштабі 1:1000. Визначте розміри садиби (довжину та ширину).
Рішення. Довжина і ширина садиби на плані дорівнюють - 4 см і 2,7 см. Оскільки план виконаний у масштабі 1:1000, то розміри садиби дорівнюють відповідно 2,7 х1000 см = 27 м, 4х100 см = 40 м.
2. ВЛАСТИВОСТІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПОДОБИ
Так само як і для руху, доводиться, що при перетворенні подібності три точки А, В, С, що лежать на одній прямій, переходять у три точки А 1, В 1, С 1 також лежать на одній прямій. Причому якщо точка лежить між точками А і С, то точка В 1 лежить між точками А 1 і С 1 . Звідси випливає, що перетворення подоби переводить прямі на прямі, напівпрямі на напівпрямі, відрізки на відрізки.
Доведемо, що перетворення подібності зберігає кути між напівпрямими.
Справді, нехай кут ABC перетворенням подібності з коефіцієнтом k переводиться в кут А1В1С1 (рис. 5). Піддамо кут ABC перетворення гомотетії щодо його вершини з коефіцієнтом гомотетії k. При цьому точки А та С перейдуть у точки А 2 та С 2 . Трикутники А 2 ВС 2 та А 1 В 1 С 1 рівні за третьою ознакою. З рівності трикутників випливає рівність кутів А2ВС2 і А1В1С1. Отже, кути ABC і А 1 В 1 З 1 рівні, що потрібно було довести.
Медіани трикутників; 4. де BH і B1H1 висоти трикутників. §5. Досвідчена робота Мета дослідної роботи: виявлення методичних особливостей вивчення теми «Подібні трикутники» у середній школі. Ідея: для виявлення методичних особливостей необхідно провести кілька уроків з розробленої методики, наприкінці навчання провести контрольну роботу, при аналізі якої можна судити про...
Позитивізму. Для позитивістів вірним та випробуваним є лише те, що отримано за допомогою кількісних методів. Визнають наукою лише математику та природознавство, а суспільствознавство відносять до галузі міфології. Неопозитивізм, Слабкість педагогіки, неопозитивісти вбачають у тому, що в ній домінують марні ідеї та абстракції, а не реальні факти. Яскравий...
Приклади
- Кожна гомотетія є подобою.
- Кожен рух (у тому числі і тотожний) також можна розглядати як перетворення подібності з коефіцієнтом k = 1 .
Подібні фігури на малюнку мають однакові кольори.
Пов'язані визначення
Властивості
У метричних просторах так само, як у n-мірних ріманових, псевдориманових і фінслерових просторах подібність визначається як перетворення, що переводить метрику простору в себе з точністю до постійного множника.
Сукупність всіх подоб n-мірного евклідова, псевдоевклідова, ріманова, псевдоріманова або фінслерового простору складає r-Членну групу перетворень Лі, яка називається групою подібних (гомотетичних) перетворень відповідного простору. У кожному з просторів зазначених типів r-Членна група подібних перетворень містить Лі ( r− 1) -членну нормальну підгрупу рухів.
також
Wikimedia Foundation. 2010 .
Дивитися що таке "Подібні фігури" в інших словниках:
ПОДІБНІ ФІГУРИ- Постаті, у яких відповідні лінійні елементи пропорційні, а кути між ними рівні, тобто при однаковій формі мають різні розміри … Велика політехнічна енциклопедія
Дві гомологічні фігури називають Г., якщо відстані відповідних точок до центру пропорційні. Звідси видно, що Г. фігури суть фігури подібні і розташовані подібно, або ж подібні і назад розташовані. Центр гомології в цьому… Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона
Теорема Піфагора одна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. 1 Формулювання 2 Докази … Вікіпедія
Щит Тінктури Щитотримач Щитотримач (девіз) … Вікіпедія
Відома Шила на гіг із церкви в Кілпеці, Англія Шила на гіг (англ. Sheela na Gig) скульптурні зображення оголених жінок, зазвичай зі збільшеною … Вікіпедія
- … Вікіпедія
Вдруге я збирався їхати в країну чорних, не звертаючи уваги на те, що її пекельний клімат ледь не вморив мене в першу поїздку. Я робив цю подорож з дуже змішаними почуттями та ніяк не міг позбутися різних,… … Життя тварин
Загальне ім'я з відносно ясним змістом та порівняно чітко окресленим обсягом. П. є, напр., "хімічний елемент", "закон", "сила тяжіння", "астрономія", "поезія" і т.п. Виразної межі між тими іменами, які можна назвати П... Філософська енциклопедія
Тут зібрані визначення термінів із планіметрії. Курсивом виділено посилання терміни у цьому словнику (на цій сторінці). # А Б В Г Д Е Ї Ж З І К Л М Н О П Р С … Вікіпедія
Тут зібрані визначення термінів із планіметрії. Курсивом виділено посилання терміни у цьому словнику (на цій сторінці). # А Б В Г Д Е Ї З Д І Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Вікіпедія
Книги
- Пророки та чудотворці. Етюди про містицизм, В. Є. Рожнов. Москва, 1977 рік. Політвидав. Власницька обкладинка. Безпека хороша. Спіритизм та астрологія, теософія та окультизм - ці слова завжди можна зустріти на сторінках журналів та газет…
- Рахунок, форма, величина. Для занять із дітьми від 4 до 5 років. Книга з грою та наклейками, Дорофєєва А.. Альбом «Рахунок. Форма. Величина» із серії Школа семи гномів, п'ятий рік навчання, являє собою посібник, що розвиває, де кожне заняття проводиться в ігровій формі продовжує давати дітям у…
Визначення перетворення подібності однаково і площині, і просторі. Перетворення фігури на фігуру називається перетворенням подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюються (збільшуються або зменшуються) в одне й те саме число разів. Це означає, що якщо довільні точки А і фігури F при цьому перетворенні переходять в точки фігури то де .
Число називається коефіцієнтом подоби При перетворення подібності є рухом.
Гомотетія є перетворенням подоби.
Розглянь властивості перетворення подоби.
1. При перетворенні подібності три точки А, В і С, що лежать на одній прямій, переходять у три точки Лі, що також лежать на одній прямій. Причому якщо точка лежить між точками А і С, то точка лежить між точками
2. Перетворення подібності переводить прямі у прямі, напівпрямі у напівпрямі, відрізки у відрізки, площини у площині.
3. Перетворення подібності зберігає кути між напівпрямими.
4. Не всяке перетворення подібності є гомотетією.
На малюнку 226 фігуру отримано з фігури F гомотетією, а фігуру отримано з фігури симетрією щодо прямої . Перетворення фігури F на F? є перетворення подоби, оскільки за нього зберігаються відносини відстаней між відповідними точками, проте це перетворення перестав бути гомотетією.
Для гомотетії у просторі вірна теорема:
Перетворення гомотетії в просторі переводить будь-яку площину, що не проходить через центр гомотетії, паралельну площину або в себе.
На малюнку 227 зображено два гомотетичні куби з коефіцієнтом гомотетії, рівним 2. По площину ABCD переходить у паралельну їй площину АВСТУ. Це ж можна сказати і про площини інших граней куба.
78. Подібні фігури.
Дві фігури F і називаються подібними, якщо вони перетворюються одна на одну перетворенням подібності. Для позначення подібності фігур використовується знак. Запис читається так: «Фігура подібна до фігури F».
З властивостей перетворення подібності випливає, що у подібних багатокутників відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні.
У записі передбачається, що вершини, що поєднуються перетворенням подібності, стоять на відповідних місцях, тобто переходить в - в
Для подібних трикутників вірні рівності
Два трикутники подібні, якщо відповідні кути дорівнюють і відповідні сторони пропорційні. Сформулюємо ознаки подоби трикутників.
Геометрія
Подібність фігур
Властивості подібних фігур
Теорема. Коли фігура подібна до фігури, а фігура - фігури, то фігури і
подібні. З властивостей перетворення подібності випливає, що у подібних постатей відповідні кути рівні, а відповідні відрізки пропорційні. Наприклад, у подібних трикутниках ABCі :
; ; ;
.
Ознаки подоби трикутників
Теорема 1. Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники подібні. Теорема 2. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника та кути, утворені цими сторонами, рівні, то трикутники подібні.
Теорема 3. Якщо сторони одного трикутника пропорційні сторонам другого трикутника, такі трикутники подібні.
З цих теорем випливають факти, що є корисними вирішення завдань.
1. Пряма, паралельна стороні трикутника і перетинає дві інші його сторони, відсікає від нього трикутник, подібний до цього.
На малюнку.
2. У подібних трикутників відповідні елементи (висоти, медіани, бісектриси тощо) відносяться як відповідні сторони.
3. У таких трикутників периметри відносяться як відповідні сторони.
4. Якщо Про- точка перетину діагоналей трапеції ABCD, то.
На малюнку у трапеції ABCD:.
5. Якщо продовження бокових сторін трапеції ABCDперетинаються у точці K, то (див. рисунок) .
.
Подібність прямокутних трикутників
Теорема 1. Якщо прямокутні трикутники мають рівний гострий кут, вони подібні. Теорема 2. Якщо два катети одного прямокутного трикутника пропорційні двом катетам другого прямокутного трикутника, ці трикутники подібні.
Теорема 3. Якщо катет та гіпотенуза одного прямокутного трикутника пропорційні катету та гіпотенузі другого прямокутного трикутника, то такі трикутники подібні.
Теорема 4. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, розбиває трикутник на два прямокутні трикутники, подібні до цього.
На малюнку .
З подоби прямокутних трикутників випливає таке.
1. Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою та проекцією цього катета на гіпотенузу:
; ,
або
; .
2. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є пропорційне середнє між проекціями катетів на гіпотенузу:
,
або .
3. Властивість бісектриси трикутника:
бісектриса трикутника (довільного) ділить протилежну сторону трикутника на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам.
На малюнку в BP- Бісектриса.
, або . 
Подібність рівносторонніх та рівнобедрених трикутників
1. Усі рівносторонні трикутники подібні. 2. Якщо рівнобедрені трикутники мають рівні кути між бічними сторонами, вони подібні.
3. Якщо рівнобедрені трикутники мають пропорційну основу та бічну сторону, то вони подібні.
Ми вже знаємо, що таке рівні постаті: це постаті, які можна поєднати накладенням. Але в житті ми частіше зустрічаємося не з рівними, а зі схожими фігурами. Наприклад, і монета, і Сонце мають форму кола. Вони подібні, але не рівні. Такі постаті називаються подібними. На даному уроці ми дізнаємося, які фігури називаються подібними і які властивості вони мають.
Якщо у вас виникне складність у розумінні теми, рекомендуємо подивитися урок та ,
Теорема Фалеса
Сторони кута розсікаються паралельними прямими пропорційні частини (див. рис.5). Тобто:
Аналогічне співвідношення можна записати і для суми довжин відрізків:
Мал. 5. Ілюстрація до теореми Фалеса
Розглянемо два трикутники і , у яких відповідні кути дорівнюють (див. рис. 6):
Мал. 6. Трикутники з рівними кутами
Сторони, що лежать проти рівних кутів трикутників, називаються подібними.
Перелічимо подібні сторони: і (лежать проти рівних кутів), і (лежать проти рівних кутів), і (лежать проти рівних кутів).
Визначення
Два трикутники і називаються подібнимиякщо відповідні кути рівні, а подібні сторони - пропорційні:
Причому 
, де - це коефіцієнт подібності трикутників.