Середній рівень

Прямокутний трикутник. Повний ілюстрований гід (2019)

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК. ПОЧАТКОВИЙ РІВЕНЬ.

У задачах прямий кут зовсім не обов'язково - лівий нижній, так що тобі потрібно навчитися впізнавати прямокутний трикутник і в такому вигляді,

і в такому,

і в такому

Що ж хорошого є у прямокутному трикутнику? Ну..., по-перше, є спеціальні красиві назвидля його сторін.

Увага на малюнок!

Запам'ятай і не плутай: катетів – два, а гіпотенуза – всього одна(Єдина, неповторна і найдовша)!

Ну ось назви обговорили, тепер найважливіше: Теорема Піфагора.

Теорема Піфагор.

Ця теорема - ключик до вирішення багатьох завдань за участю прямокутного трикутника. Її довів Піфагор в абсолютно незапам'ятні часи, І з того часу вона принесла багато користі тим, хто її знає. А найкраще в ній те, що вона проста.

Отже, Теорема Піфагора:

Пам'ятаєш жарт: «Піфагорові штани на всі боки рівні!»?

Давай намалюємо ці піфагорові штани і подивимося на них.

Щоправда, схоже на якісь шорти? Ну і на які сторони, і де вона рівні? Чому і звідки виник жарт? А жарт цей пов'язаний саме з теоремою Піфагора, точніше з тим, як сам Піфагор формулював свою теорему. А формулював він її так:

«Сума площ квадратів, побудованих на катетах, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі»

Щоправда, трохи по-іншому звучить? І ось, коли Піфагор намалював твердження своєї теореми, якраз і вийшла така картинка.

На цьому малюнку сума площ маленьких квадратів дорівнює площі великого квадрата. А щоб діти краще запам'ятовували, що сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, хтось дотепний і вигадав цей жарт про Піфагорові штани.

Чому ж ми зараз формулюємо теорему Піфагора

А Піфагор мучився і міркував про майдани?

Розумієш, у давнину не було… алгебри! Не було жодних позначень і таке інше. Не було написів. Уявляєш, як бідним древнім учням було жахливо запам'ятовувати все словами??! А ми можемо радіти, що ми маємо просте формулювання теореми Піфагора. Давай її ще раз повторимо, щоб краще запам'ятати:

Тепер уже має бути легко:

Квадрат гіпотенузи дорівнює суміквадратів катетів.

Ну ось, найголовнішу теорему про прямокутний трикутник обговорили. Якщо тобі цікаво, як вона доводиться, читай такі рівні теорії, а зараз підемо далі… темний ліс… тригонометрії! До жахливих слів синус, косинус, тангенс та котангенс.

Синус, косинус, тангенс, котангенс у прямокутному трикутнику.

Насправді все зовсім не таке страшно. Звичайно, «справжнє» визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу потрібно дивитися у статті. Але дуже не хочеться, правда? Можемо порадувати: для вирішення задач прямокутного трикутника можна просто заповнити наступні прості речі:

А чому все тільки про кут? Де ж кут? Щоб у цьому розібратися, треба зазначити, як твердження 1 - 4 записуються словами. Дивись, розумій та запам'ятай!

1.
Взагалі звучить це так:

А що ж кут? Чи є катет, який знаходиться навпроти кута, тобто катет, що протилежить (для кута)? Звісно, ​​є! Це катет!

А як же кут? Подивися уважно. Який катет прилягає до кутка? Звісно ж, катет. Значить, для кута катет – прилеглий, та

А тепер, увага! Подивися, що в нас вийшло:

Бачиш, як чудово:

Тепер перейдемо до тангенсу та котангенсу.

Як це тепер записати словами? Катет яким є по відношенню до кута? Протилежним, звісно – він «лежать» навпроти кута. А катет? Прилягає до кутку. Виходить, що в нас вийшло?

Бачиш, чисельник та знаменник помінялися місцями?

І тепер знову кути і здійснили обмін:

Резюме

Давайте коротко запишемо все, що ми дізналися.

Теорема Піфагора:

Головна теорема про прямокутний трикутник - теорема Піфагора.

Теорема Піфагора

До речі, чи добре ти пам'ятаєш, що таке катети та гіпотенуза? Якщо не дуже, то дивись на малюнок – освіжай знання

Цілком можливо, що ти вже багато разів використовував теорему Піфагора, а ось чи ти замислювався, чому ж вірна така теорема. Як би її довести? А давай вчинимо, як давні греки. Намалюємо квадрат зі стороною.

Бачиш, як хитро ми поділили його сторони на відрізки довжин і!

А тепер з'єднаємо зазначені точки

Тут ми, щоправда, ще дещо відзначили, але ти сам подивися на малюнок і подумай, чому так.

Чому дорівнює площа більшого квадрата? Правильно, . А площа меншого? Звісно, ​​. Залишилася сумарна площа чотирьох куточків. Уяви, що ми взяли їх по два і притулили один до одного гіпотенузами. Що вийшло? Два прямокутники. Значить, площа обрізків дорівнює.

Давай тепер зберемо все разом.

Перетворюємо:

Ось і побували ми Піфагором – довели його теорему давнім способом.

Прямокутний трикутник та тригонометрія

Для прямокутного трикутника виконуються такі співвідношення:

Синус гострого кута дорівнює відношенню протилежного катетадо гіпотенузи

Косинус гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катетадо гіпотенузи.

Тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета.

Котангенс гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до протилежного катета.

І ще раз все це у вигляді таблички:

Це дуже зручно!

Ознаки рівності прямокутних трикутників

I. За двома катетами

ІІ. По катету та гіпотенузі

ІІІ. По гіпотенузі та гострому куту

IV. По катету та гострому куту

a)

b)

Увага! Тут дуже важливо, щоб катети були «відповідні». Наприклад, якщо буде так:

То ТРИКУТНИКИ НЕ РІВНІ, незважаючи на те, що мають один однаковий гострий кут.

Потрібно, щоб в обох трикутниках катет був прилеглим, або в обох - протилежним.

Ти помітив чим відрізняються ознаки рівності прямокутних трикутників від звичайних ознак рівності трикутників? Заглянь у тему « і зверни увагу те що, що з рівності « рядових » трикутників потрібна рівність трьох їх елементів: дві сторони і кут з-поміж них, два кута і сторона з-поміж них чи три стороны. А ось для рівності прямокутних трикутників достатньо лише двох відповідних елементів. Здорово, правда?

Приблизно така сама ситуація і з ознаками подоби прямокутних трикутників.

Ознаки подоби прямокутних трикутників

I. По гострому кутку

ІІ. За двома катетами

ІІІ. По катету та гіпотенузі

Медіана у прямокутному трикутнику

Чому так?

Розглянемо замість прямокутного трикутника цілий прямокутник.

Проведемо діагональ і розглянемо точку – точку перетину діагоналей. Що відомо про діагоналі прямокутника?

І що з цього випливає?

Ось і вийшло, що

1. - медіана:

Запам'ятай цей факт! Дуже допомагає!

А що ще дивовижніше, так це те, що вірне і зворотне твердження.

Що ж хорошого можна отримати з того, що медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи? А давай подивимося на картинку

Подивися уважно. У нас є: тобто відстані від точки до всіх трьох вершин трикутника виявилися рівними. Але в трикутнику є всього одна точка, відстані від якої про всі три вершини трикутника рівні, і це - ЦЕНТР ОПИСАНОГО ОКРУЖЕННЯ. Виходить, що вийшло?

Ось давай ми почнемо з цього «крім того...».

Подивимося на в.

Але у подібних трикутниківвсі кути рівні!

Те саме можна сказати і про і

А тепер намалюємо це разом:

Яку ж користь можна отримати з цієї «троїстої» подоби.

Ну, наприклад - дві формули для висоти прямокутного трикутника.

Запишемо відносини відповідних сторін:

Для знаходження висоти вирішуємо пропорцію та отримуємо першу формулу "Висота у прямокутному трикутнику":

Отже, застосуємо подібність: .

Що тепер вийде?

Знову вирішуємо пропорцію і отримуємо другу формулу:

Обидві ці формули потрібно дуже добре пам'ятати та застосовувати ту, яку зручніше. Запишемо їх ще раз

Теорема Піфагора:

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: .

Ознаки рівності прямокутних трикутників:

• по двох катетах:
• по катету та гіпотенузі: або
• по катету та прилеглому гострому кутку: або
• по катету та протилежному гострому куту: або
• з гіпотенузи та гострого кута: або.

Ознаки подоби прямокутних трикутників:

• одному гострому кутку: або
• із пропорційності двох катетів:
• з пропорційності катета та гіпотенузи: або.

Синус, косинус, тангенс, котангенс у прямокутному трикутнику

• Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи:
• Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи:
• Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого:
• Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного: .

Висота прямокутного трикутника: або.

У прямокутному трикутнику медіана, проведена з вершини прямого кута, Дорівнює половині гіпотенузи: .

Площа прямокутного трикутника:

• через катети:

Теорема Піфагора: Сума площ квадратів, що спираються на катети ( aі b), дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі ( c).

Геометричне формулювання:

Спочатку теорема була сформульована наступним чином:

Алгебраїчне формулювання:

Тобто, позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c, а довжини катетів через aі b :

a 2 + b 2 = c 2

Обидві формулювання теореми еквівалентні, але друге формулювання більш елементарне, вона вимагає поняття площі . Тобто друге твердження можна перевірити, нічого не знаючи про площу та вимірявши лише довжини сторін прямокутного трикутника.

Зворотня теорема Піфагора:

Докази

на даний моментв науковій літературізафіксовано 367 доказів цієї теореми. Ймовірно, теорема Піфагора є єдиною теоремою з настільки значним числом доказів. Таке різноманіття можна пояснити лише фундаментальним значенням теореми для геометрії.

Зрозуміло, концептуально їх можна розбити на малу кількість класів. Найвідоміші з них: докази методом площ, аксіоматичні та екзотичні докази (наприклад, за допомогою диференціальних рівнянь).

Через подібні трикутники

Наступний доказ алгебраїчної формулювання - найпростіший з доказів, що будуються безпосередньо з аксіом. Зокрема, воно не використовує поняття площі фігури.

Нехай ABCє прямокутний трикутник із прямим кутом C. Проведемо висоту з Cі позначимо її основу через H. Трикутник ACHподібний до трикутника ABCпо двох кутах. Аналогічно трикутник CBHподібний ABC. Ввівши позначення

отримуємо

Що еквівалентно

Склавши, отримуємо

Докази методом площ

Нижче наведені докази, незважаючи на їхню простоту, зовсім не такі прості. Усі вони використовують властивості площі, докази яких складніше доказисамої теореми Піфагора.

Доказ через рівнодоповнюваність

1. Розташуємо чотири рівні прямокутний трикутниктак, як показано малюнку 1.
2. Чотирикутник зі сторонами cє квадратом, тому що сума двох гострих кутів 90 °, а розгорнутий кут - 180 °.
3. Площа всієї фігури дорівнює, з одного боку, площі квадрата зі стороною (a+b), з другого боку, сумі площ чотирьохтрикутників та двох внутрішніх квадратів.

Що й потрібно було довести.

Докази через рівноскладність

Елегантний доказ за допомогою перестановки

Приклад одного з таких доказів вказано на кресленні праворуч, де квадрат, побудований на гіпотенузі, перестановкою перетворюється на два квадрати, побудованих на катетах.

Доказ Евкліда

Креслення до доказу Евкліда

Ілюстрація до доказу Евкліда

Ідея доказу Евкліда полягає в наступному: спробуємо довести, що половина площі квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, а тоді площі великого і двох малих квадратів рівні.

Розглянемо креслення зліва. На ньому ми побудували квадрати на сторонах прямокутного трикутника і провели з вершини прямого кута С промінь перпендикулярно до гіпотенузи AB, він розсікає квадрат ABIK, побудований на гіпотенузі, на два прямокутники - BHJI і HAKJ відповідно. Виявляється, що площі даних прямокутників точно рівні площам квадратів, побудованих на відповідних катетах.

Спробуємо довести, що площа квадрата DECA дорівнює площі прямокутника AHJK Для цього скористаємося допоміжним спостереженням: Площа трикутника з тією самою висотою та основою, що і даний прямокутник, що дорівнює половині площі заданого прямокутника. Це наслідок визначення площі трикутника як половини добутку основи висоту. З цього спостереження випливає, що площа трикутника ACK дорівнює площі трикутника AHK (не зображеного на малюнку), яка, у свою чергу, дорівнює половині площі прямокутника AHJK.

Доведемо тепер, що площа трикутника ACK також дорівнює половині площі квадрата DECA. Єдине, що необхідно для цього зробити, - це довести рівність трикутників ACK і BDA (оскільки площа трикутника BDA дорівнює половині площі квадрата за вказаною вище властивістю). Рівність це очевидно, трикутники рівні з обох боків та кутку між ними. Саме - AB=AK,AD=AC - рівність кутів CAK і BAD легко довести методом руху: повернемо трикутник CAK на 90° проти годинникової стрілки, тоді очевидно, що відповідні сторони двох трикутників, що розглядаються, збігатимуться (через кут при вершині квадрата - 90 °).

Міркування про рівність площ квадрата BCFG і прямокутника BHJI абсолютно аналогічне.

Тим самим було доведено, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, складається з площ квадратів, побудованих на катетах. Ідея цього доказу додатково проілюстрована за допомогою анімації, яка розташована вище.

Доказ Леонардо да Вінчі

Доказ Леонардо да Вінчі

Головні елементи доказу – симетрія та рух.

Розглянемо креслення, як видно з симетрії, відрізок CIрозсікає квадрат ABHJ на дві однакові частини (оскільки трикутники ABCі JHIрівні за побудовою). Користуючись поворотом на 90 градусів проти годинникової стрілки, ми вбачаємо рівність заштрихованих фігур CAJI і GDAB . Тепер ясно, що площа заштрихованої нами фігури дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, та площі вихідного трикутника. З іншого боку, вона дорівнює половині площі квадрата, побудованого на гіпотенузі плюс площа вихідного трикутника. Останній крок у доказі надається читачеві.

Доказ методом нескінченно малих

Наступний доказ за допомогою диференціальних рівнянь часто приписують відомому англійському математику Харді, який жив у першій половині XX ст.

Розглядаючи креслення, показане на малюнку, і спостерігаючи зміну сторони a, ми можемо записати наступне співвідношення для нескінченно малих прирощень сторін зі a(використовуючи подобу трикутників):

Доказ методом нескінченно малих

Користуючись методом поділу змінних, знаходимо

Більше загальний вираздля зміни гіпотенузи у разі збільшення обох катетів

Інтегруючи дане рівнянняі використовуючи початкові умови, отримуємо

c 2 = a 2 + b 2+ constant.

Таким чином, ми приходимо до бажаної відповіді

c 2 = a 2 + b 2 .

Як неважко бачити, квадратична залежністьв остаточній формулі з'являється завдяки лінійної пропорційностіміж сторонами трикутника та прирощеннями, тоді як сума пов'язана з незалежними вкладами від збільшення різних катетів.

Простіший доказ можна отримати, якщо вважати, що один з катетів не відчуває збільшення (у даному випадкукатет b). Тоді для константи інтегрування отримаємо

Варіації та узагальнення

• Якщо замість квадратів побудувати на катетах інші подібні фігури, то вірно наступне узагальнення теореми Піфагора: У прямокутному трикутнику сума площ подібних фігур, побудованих на катетах, дорівнює площі фігури, побудованої на гіпотенузіЗокрема:
  • Сума площ правильних трикутників, побудованих на катетах, дорівнює площі правильного трикутникапобудований на гіпотенузі.
  • Сума площ півколів, побудованих на катетах (як діаметрі), дорівнює площі півкола, побудованого на гіпотенузі. Цей приклад використовується при доказі властивостей фігур, обмежених дугами двох кіл і носять ім'я гіпократових луночек.

Історія

Чу-пей 500-200 до н. Зліва напис: сума квадратів довжин висоти та основи є квадрат довжини гіпотенузи.

У давньокитайській книзі Чу-пей йдеться про піфагоровому трикутникузі сторонами 3, 4 та 5: У цій же книзі запропоновано малюнок, який збігається з одним із креслень індуської геометрії Басхари.

Кантор (найбільший німецький історик математики) вважає, що рівність 3 + 4 + 5 = було відомо вже єгиптянам ще близько 2300 до н. е., за часів царя Аменемхета I (згідно з папірусом 6619 Берлінського музею). На думку Кантора гарпедонапти, або натягувачі мотузок, будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 і 5.

Дуже легко можна відтворити їхній спосіб побудови. Візьмемо мотузку завдовжки 12 м і прив'яжемо до неї по кольоровій смужці на відстані 3м. від одного кінця та 4 метри від іншого. Прямий кут виявиться ув'язненим між сторонами завдовжки 3 і 4 метри. Гарпедонаптам можна було б заперечити, що їх спосіб побудови ставати зайвим, якщо скористатися, наприклад, дерев'яним косинцем, що застосовується всіма теслярами. Відомі єгипетські малюнки, на яких зустрічається такий інструмент, наприклад малюнки, що зображують столярну майстерню.

Дещо більше відомо про теорему Піфагора у вавилонян. В одному тексті, що відноситься до часу Хаммурабі, тобто до 2000 до н. е., наводиться наближене обчислення гіпотенузи прямокутного трикутника. Звідси можна дійти невтішного висновку, що у Дворіччя вміли проводити обчислення з прямокутними трикутниками, по крайнього заходу у випадках. Грунтуючись, з одного боку, на сьогоднішньому рівні знань про єгипетську та вавілонську математику, а з іншого – на критичному вивченні грецьких джерел, Ван-дер-Варден (голландський математик) зробив такий висновок:

Література

Російською мовою

• Скопець З. А.Геометричні мініатюри. М., 1990
• Єленьський Щ.Слідами Піфагора. М., 1961
• Ван-дер-Варден Б. Л.Пробуджена наука. Математика Стародавнього Єгипту, Вавилону та Греції. М., 1959
• Глейзер Г. І.Історія математики у школі. М., 1982
• Ст Літцман, «Теорема Піфагора» М., 1960.
  • Сайт про теорему Піфагора з великою кількістю доказів матеріал узятий із книги В.Літцмана, велика кількість креслень представлена ​​у вигляді окремих графічних файлів.
• Теорема Піфагора і трійки Піфагора глава з книги Д. В. Аносова «Погляд на математику і щось з неї»
• Про теорему Піфагора та способи її доказу Г. Глейзер, академік РАВ, Москва

Англійською

• Теорема Піфагора на WolframMathWorld (англ.)
• Cut-The-Knot, секція присвячена теоремі піфагора, близько 70 доказів та додаткова інформація (англ.)

Wikimedia Foundation. 2010 .

Переконайтеся, що цей трикутник є прямокутним, оскільки теорема Піфагора застосовна тільки до прямокутних трикутників. У прямокутних трикутниках один із трьох кутів завжди дорівнює 90 градусам.

• Прямий кут прямокутному трикутнику позначається значком у вигляді квадрата, а не у вигляді кривої, яка позначає непрямі кути.

Позначте сторони трикутника.Катети позначте як "а" і "b" (катети - сторони, що перетинаються під прямим кутом), а гіпотенузу - як "с" (гіпотенуза - сама велика сторонапрямокутного трикутника, що лежить навпроти прямого кута).

Визначте, яку сторону трикутника потрібно знайти.Теорема Піфагора дозволяє знайти будь-яку сторону прямокутного трикутника (якщо відомі дві інші сторони). Визначте, яку сторону (a, b, c) потрібно знайти.

• Наприклад, дана гіпотенуза, що дорівнює 5, і дано катет, що дорівнює 3. У цьому випадку необхідно знайти другий катет. Ми повернемося до цього прикладу пізніше.
• Якщо дві інші сторони невідомі, необхідно знайти довжину однієї з невідомих сторін, щоб мати можливість застосувати теорему Піфагора. Для цього використовуйте основні тригонометричні функції(якщо вам надано значення одного з непрямих кутів).

Підставте у формулу a 2 + b 2 = c 2 дані значення (або знайдені вами значення).Пам'ятайте, що a та b – це катети, а с – це гіпотенуза.

• У прикладі напишіть: 3² + b² = 5².

Зведіть у квадрат кожну відому сторону.Або ж залиште ступеня – ви можете звести числа у квадрат пізніше.

• У прикладі напишіть: 9 + b² = 25.

Відокремте невідому сторону на одній стороні рівняння.Для цього перенесіть відомі значенняна інший бік рівняння. Якщо ви знаходите гіпотенузу, то в теоремі Піфагора вона вже відокремлена з одного боку рівняння (тому робити нічого не потрібно).

• У нашому прикладі перенесіть 9 на правий бікрівняння, щоб відокремити невідоме b². Ви отримаєте b? = 16.

Вийміть квадратний коріньз обох частин рівняння після того, як на одній стороні рівняння є невідоме (у квадраті), а на іншій стороні – вільний член (число).

• У нашому прикладі b² = 16. Вийміть квадратний корінь з обох частин рівняння та отримайте b = 4. Таким чином, другий катет дорівнює 4.

Використовуйте теорему Піфагора в повсякденному житті, так як її можна застосовувати в великому числіпрактичних ситуацій. Для цього навчитеся розпізнавати прямокутні трикутники у повсякденному житті – у будь-якій ситуації, в якій два предмети (або лінії) перетинаються під прямим кутом, а третій предмет (або лінія) з'єднує (по діагоналі) верхівки двох перших предметів (або ліній), ви можете використовувати теорему Піфагора, щоб знайти невідому сторону (якщо дві інші сторони відомі).

• Приклад: дані сходи, притулені до будівлі. Нижня частинасходи розташовані за 5 метрів від основи стіни. Верхня частинасходи знаходяться за 20 метрів від землі (вгору по стіні). Яка довжина сходів?
  • "за 5 метрів від основи стіни" означає, що а = 5; «знаходиться в 20 метрах від землі» означає, що b = 20 (тобто вам дано два катети прямокутного трикутника, оскільки стіна будівлі та поверхня Землі перетинаються під прямим кутом). Довжина сходів є довжиною гіпотенузи, яка невідома.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • з = √425
    • з = 20,6. Таким чином, приблизна довжина сходів дорівнює 206 метрів.

ВИМІР ПЛОЩІВ ГЕОМЕТРИЧНИХ ФІГУР.

§ 58. ТЕОРЕМА ПІФАГОРА 1 .

__________
1 Піфагор - грецький вчений, який жив близько 2500 років тому (564-473 р. до н.е.).
_________

Нехай дано прямокутний трикутник, сторони якого а, bі з(чорт. 267).

Збудуємо на його сторонах квадрати. Площа цих квадратів відповідно дорівнює а 2 , b 2 та з 2 . Доведемо, що з 2 = а 2 + b 2 .

Побудуємо два квадрати МКОР і М"К"О"Р" (чорт. 268, 269), прийнявши за бік кожного з них відрізок, що дорівнює сумі катетів прямокутного трикутника АВС.

Виконавши у цих квадратах побудови, показані на кресленнях 268 і 269, побачимо, що квадрат МКОР розбився на два квадрати з площами а 2 та b 2 і чотири рівні прямокутні трикутники, кожен з яких дорівнює прямокутному трикутнику АВС. Квадрат М"К"О"Р" розбився на чотирикутник (він на кресленні 269 заштрихований) і чотири прямокутні трикутники, кожен з яких також дорівнює трикутнику АВС. Заштрихований чотирикутник - квадрат, оскільки сторони його рівні (кожна дорівнює гіпотенузі трикутника АВС, тобто. з), а кути - прямі / 1 + / 2 = 90 °, звідки / 3 = 90 °).

Таким чином, сума площ квадратів, побудованих на катетах (на кресленні 268 ці квадрати заштриховані), дорівнює площі квадрата МКОР без суми площ чотирьох рівних трикутників, а площа квадрата, побудованого на гіпотенузі (на кресленні 269 цей квадрат теж заштрихований), дорівнює площі М"К"О"Р", що дорівнює квадрату МКОР, без суми площ чотирьох таких же трикутників. Отже, площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.

Отримуємо формулу з 2 = а 2 + b 2 , де з- гіпотенуза, аі b- Катети прямокутного трикутника.

Теорему Піфагора коротко прийнято формулювати так:

Квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів.

З формули з 2 = а 2 + b 2 можна отримати такі формули:

а 2 = з 2 - b 2 ;
b 2 = з 2 - а 2 .

Цими формулами можна скористатися для знаходження невідомої сторонипрямокутного трикутника по двох даних сторонам.
Наприклад:

а) якщо дано катети а= 4 см, b=3 см, можна знайти гіпотенузу ( з):
з 2 = а 2 + b 2, тобто. з 2 = 4 2 + 3 2; з 2 = 25, звідки з= √25 =5 (см);

б) якщо дані гіпотенуза з= 17 см та катет а= 8 см, то можна знайти інший катет ( b):

b 2 = з 2 - а 2, тобто. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, звідки b= √225 = 15 (см).

Наслідок: Якщо у двох прямокутних трикутниках АВС та А 1 В 1 С 1 гіпотенузи зі з 1 рівні, а катет bтрикутника АВС більше катета b 1 трикутника А 1 В 1 C 1 ,
то катет а трикутника АВСменше катета а 1 трикутника А 1 В 1 C 1 . (Зробити креслення, що ілюструє це слідство.)

Насправді, на підставі теореми Піфагора отримаємо:

а 2 = з 2 - b 2 ,
а 1 2 = з 1 2 - b 1 2

У записаних формулах зменшувані рівні, а віднімається в першій формулі більше віднімається в другій формулі, отже, перша різниця менше другої,
тобто. а 2 < а 1 2 . Звідки а< а 1 .

Вправи.

1. Користуючись кресленням 270, довести теорему Піфагора для рівнобедреного прямокутного трикутника.

2. Один катет прямокутного трикутника дорівнює 12 см, інший – 5 см. Обчислити довжину гіпотенузи цього трикутника.

3. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 10 см, один із катетів дорівнює 8 см. Обчислити довжину іншого катета цього трикутника.

4. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 37 см, один із його катетів дорівнює 35 см. Обчислити довжину іншого катета цього трикутника.

5. Побудувати квадрат, за площею вдвічі більший за цей.

6. Побудувати квадрат, за площею вдвічі меншим від даного. Вказівка.Провести у цьому квадраті діагоналі. Квадрати, збудовані на половинах цих діагоналей, будуть шуканими.

7. Катети прямокутного трикутника відповідно дорівнюють 12 см і 15 см. Обчислити довжину гіпотенузи цього трикутника з точністю до 0,1 см.

8. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 20 см, один із його катетів дорівнює 15 см. Обчислити довжину іншого катета з точністю до 0,1 см.

9. Якої довжини мають бути сходи, щоб їх можна було приставити до вікна, що знаходиться на висоті 6 м, якщо нижній кінець сходів повинен відстояти від будівлі на 2,5 м? (Чорт. 271.)

Головна

Методи підтвердження теореми Піфагора.

Г. Глейзер,
академік РАВ, Москва

Про теорему Піфагора та способи її доказу

Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на його катетах.

Це одна з найвідоміших геометричних теоремдавнину, звану теорему Піфагора. Її і зараз знають практично всі, хто будь-коли вивчав планиметрію. Мені здається, що якщо ми хочемо дати знати позаземним цивілізаціямпро існування розумного життя на Землі, слід посилати в космос зображення Піфагорової фігури. Думаю, якщо цю інформацію зможуть прийняти мислячі істоти, всі вони без складної дешифровки сигналу зрозуміють, що Землі існує досить розвинена цивілізація.

Знаменитий грецький філософ і математик Піфагор Самоський, іменем якого названа теорема, жив близько 2,5 тисячі років тому. Ті, що дійшли до нас біографічні відомостіпро Піфагора уривчасті і далеко не достовірні. З його ім'ям пов'язано багато легенд. Достовірно відомо, що Піфагор багато подорожував країнами Сходу, відвідував Єгипет та Вавилон. В одній із грецьких колоній Південної Італіїїм була заснована знаменита Піфагорова школа», що зіграла важливу рольу науковій та політичного життя стародавньої Греції. Саме Піфагор приписують доказ відомої геометричної теореми. На основі переказів, поширених відомими математиками(Прокл, Плутарх та ін.), тривалий часвважали, що до Піфагора ця теорема була відома, звідси і назва – теорема Піфагора.

Проте не підлягає сумніву, що цю теорему знали за багато років до Піфагора. Так, за 1500 років до Піфагора стародавні єгиптяни знали про те, що трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 є прямокутним, і користувалися цією властивістю (тобто теорема, зворотна теорема Піфагора) для побудови прямих кутів при плануванні земельних ділянокта споруд будівель. Та й досі сільські будівельники та теслярі, закладаючи фундамент хати, виготовляючи її деталі, викреслюють цей трикутник, щоб отримати прямий кут. Це ж пророблялося тисячі років тому під час будівництва чудових храмів у Єгипті, Вавилоні, Китаї, мабуть, й у Мексиці. У найдавнішому китайському математико-астрономічному творі «Чжоу-бі», що дійшов до нас, написаному приблизно за 600 років до Піфагора, серед інших пропозицій, що належать до прямокутного трикутника, міститься і теорема Піфагора. Ще раніше ця теорема була відома індусів. Таким чином, Піфагор не відкрив цю властивість прямокутного трикутника, він, ймовірно, першим зумів його узагальнити і довести, перевести тим самим з галузі практики в область науки. Ми не знаємо, як це він зробив. Деякими істориками математики передбачається, що доказ Піфагора було принциповим, лише підтвердженням, перевіркою цієї якості ряді приватних видів трикутників, починаючи з рівнобедреного прямокутного трикутника, котрій воно явно випливає з рис. 1.

З глибокої давнини математики знаходять дедалі нові докази теореми Піфагора, дедалі нові задуми її доказів. Таких доказів – більш менш строгих, більш менш наочних – відомо понад півтори сотні, але прагнення до примноження їх числа збереглося. Думаю, що самостійне «відкриття» доказів теореми Піфагора буде корисним і сучасним школярам.

Розглянемо деякі приклади доказів, які можуть підказати напрями таких пошуків.

Доказ Піфагора

"Квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на його катетах."Найпростіший доказ теореми виходить у найпростішому випадку рівнобедреного прямокутного трикутника. Ймовірно, з нього і починалася теорема. Насправді досить просто подивитися на мозаїку рівнобедрених прямокутних трикутників, щоб переконатися в справедливості теореми. Наприклад, для DАВС: квадрат, побудований на гіпотенузі АС,містить 4 вихідні трикутники, а квадрати, побудовані на катететах по два. Теорему доведено.

Докази, засновані на використанні поняття рівновеликості фігур.

При цьому можна розглянути докази, в яких квадрат, побудований на гіпотенузі даного прямокутного трикутника, складається з таких самих фігур, що і квадрати, побудовані на катетах. Можна розглядати і такі докази, в яких застосовується перестановка доданків і враховується ряд нових ідей.

На рис. 2 зображено два рівних квадрата. Довжина сторін кожного квадрата дорівнює a + b. Кожен із квадратів розбитий на частини, що складаються з квадратів та прямокутних трикутників. Ясно, що якщо від площі квадрата відібрати вчетверену площу прямокутного трикутника з катетами a, b, то залишаться рівні площіт. е. c 2 = a 2 + b 2 . Втім, древні індуси, яким належить ця міркування, зазвичай не записували його, а супроводжували креслення лише одним словом: «Дивись!» Цілком можливо, що такий самий доказ запропонував і Піфагор.

Адитивні докази.

Ці докази ґрунтуються на розкладанні квадратів, побудованих на катетах, на фігури, з яких можна скласти квадрат, побудований на гіпотенузі.

Тут: ABC – прямокутний трикутник із прямим кутом C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Самостійно доведіть попарну рівність трикутників, отриманих при розбитті квадратів, побудованих на катетах та гіпотенузі.

Доведіть теорему за допомогою цього розбиття.

 На основі доказу ан-Найризія виконано й інше розкладання квадратів на попарно рівні фігури(рис. 5, тут ABC – прямокутний трикутник із прямим кутом C).

 Ще один доказ методом розкладання квадратів на рівні частини, що називається «колесом з лопатями», наведено на рис. 6. Тут: ABC - прямокутний трикутник з прямим кутом C; O – центр квадрата, збудованого на великому катете; пунктирні прямі, що проходять через точку O, перпендикулярні або паралельні до гіпотенузи.

 Це розкладання квадратів цікаве тим, що його попарно рівні чотирикутникиможуть бути відображені один на одного паралельним перенесенням. Може бути запропоновано багато інших доказів теореми Піфагора за допомогою розкладання квадратів на фігури.

Докази шляхом добудови.

Сутність цього методу полягає в тому, що до квадратів, побудованих на катетах, і до квадрата, побудованого на гіпотенузі, приєднують рівні фігури таким чином, щоб вийшли рівновеликі фігури.

Справедливість теореми Піфагора випливає з рівновеликості шестикутників AEDFPB та ACBNMQ. Тут CEP, пряма EP ділить шестикутник AEDFPB на два рівновеликі чотирикутники, пряма CM ділить шестикутник ACBNMQ на два рівновеликі чотирикутники; поворот площини на 90° навколо центру A відображає чотирикутник AEPB на чотирикутник ACMQ.

На рис. 8 Піфагорова фігура добудована до прямокутника, сторони якого паралельні відповідним сторонам квадратів, побудованих на катетах. Розіб'ємо цей прямокутник на трикутники та прямокутники. З отриманого прямокутника спочатку заберемо всі багатокутники 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, залишився квадрат, побудований на гіпотенузі. Потім із того ж прямокутника віднімемо прямокутники 5, 6, 7 і заштриховані прямокутники, отримаємо квадрати, побудовані на катетах.

Тепер доведемо, що фігури, що віднімаються в першому випадку, рівновеликі фігурам, що віднімаються в другому випадку.

KLOA = ACPF = ACED = a 2;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2;

звідси c2 = a2 + b2.

OCLP = ACLF = ACED = b 2;

CBML = CBNQ = a 2;

OBMP = ABMF = c 2;

OBMP = OCLP + CBML;

c 2 = a 2 + b 2.

Алгебраїчний метод підтвердження.

	Мал. 12 ілюструє доказ великого індійського математика Бхаскарі (знаменитого автора Лілаваті, X II ст.). Малюнок супроводжувало лише одне слово: ДИВИСЬ! Серед доказів теореми Піфагора методом алгебриперше місце (можливо, найдавніше) займає доказ, що використовує подобу.
	Наведемо в сучасному викладіодин із таких доказів, що належать Піфагору.

Н а рис. 13 ABC – прямокутний, C – прямий кут, CMAB, b 1 – проекція катета b на гіпотенузу, a 1 – проекція катета a на гіпотенузу, h – висота трикутника, проведена до гіпотенузи.

З того, що ABC подібний ACM випливає

b 2 = cb 1; (1)

з того, що ABC подібний BCM слід

a 2 = ca 1 . (2)

Складаючи почленно рівності (1) та (2), отримаємо a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Якщо Піфагор справді запропонував такий доказ, то він був знайомий і з цілим рядом важливих геометричних теорем, які сучасні історикиматематики зазвичай приписують Евклід.

Доказ Мельманна (рис. 14). Площа даного прямокутного трикутника, з одного боку, дорівнює з іншого, де p – напівпериметр трикутника, r – радіус вписаного до нього кола Маємо:

звідки випливає, що c 2 =a 2 +b 2 .

у другому

Прирівнюючи ці вирази, одержуємо теорему Піфагора.

Комбінований метод

Рівність трикутників

c 2 = a 2 + b 2. (3)

Порівнюючи співвідношення (3) і (4), отримуємо, що

c 1 2 = c 2 або c 1 = c.

Таким чином, трикутники – даний та побудований – рівні, оскільки мають по три відповідно рівні сторони. Кут C 1 прямий, тому і кут C даного трикутникатеж прямий.

Давньоіндійський доказ.

Математики Стародавню Індіюпомітили, що для доказу теореми Піфагора досить використовувати внутрішню частину давньокитайського креслення. У написаному на пальмовому листі трактаті «Сіддханта широмані» («Вінець знання») найбільшого індійського математика ХП ст. Бха-скари вміщено креслення (рис. 4)

характерним для індійських доказів словом «дивись!». Як бачимо, прямокутні трикутники укладені тут гіпотенузою назовні і квадрат з 2 перекладається у «крес-ло нареченої» з 2 -Ь 2 . Зауважимо, що приватні випадки теореми Піфагора (наприклад, побудова квадрата, площа якого вдвічі більша рис.4площі даного квадрата) зустрічаються у давньоіндійському трактаті "Сульва"

Вирішили прямокутний трикутник і квадрати, побудовані на його катетах, або, інакше, фігури, складені з 16 однакових рівнобедрених прямокутних трикутників і тому, що укладаються в квадрат. Така лили. мала дещиця багатств, прихованих у перлині античної математики - теоремі Піфагора.

Давньокитайський доказ.

Математичні трактати Стародавнього Китаю дійшли до нас у редакції П ст. до н. Справа в тому, що у 213 р. до н.е. китайський імператор Ши Хуан-ді, прагнучи ліквідувати колишні традиції, наказав спалити усі давні книги. У П ст. до н. в Китаї був винайдений папір і одночасно починається відтворення стародавніх книг. Головне з збережених астрономічних творів - в книзі «Математика» вміщено креслення (рис. 2, а), що доводить теорему Піфагора. Ключ до цього доказу підібрати неважко. Справді, на давньо-китайському кресленні чотири рівні прямокутні трикутники з кате-тами a, b і гіпотенузою зукладені г)так, що їх зовнішній контур утворює Рис-2 квадрат зі стороною а+Ь,а внутрішній - квадрат зі стороною с, побудований на гіпотенузі (рис. 2, б). Якщо квадрат зі стороною з вирізати і 4 затушованих трикутника, що залишилися, укласти в два прямокутники (рис. 2, в),то ясно, що порожнеча, з одного боку, дорівнює З 2 , а з іншого - з 2 +Ь 2 , тобто. c 2 = 2 + b 2 . Теорему доведено. Зауважимо, що за такого доказу побудови всередині квадрата на гіпотенузі, які ми бачимо на давньокитайському кресленні (рис. 2, а), не використовуються. Очевидно, древнекитайские математики мали інший доказ. Саме якщо у квадраті зі стороною здва заштриховані трикутники (рис. 2, б)відрізати та докласти гіпотенузами до двох інших гіпотенуз (рис. 2, г),то легко виявити, що

Отримана фігура, яку іноді називають «кріслом нареченої», складається із двох квадратів зі сторонами аі Ь,тобто. c 2 == a 2 +Ь 2 .

Н а на малюнку 3 відтворено креслення з трактату «Чжоу-бі...». Тут теорема Піфагора розглянута для єгипетського трикутниказ катетами 3, 4 і гіпотену-зою 5 одиниць вимірювання. Квадрат на гіпотенузі містить 25 клітин, а вписаний у нього квадрат на більшому катете-16. Зрозуміло, що частина містить 9 клітин. Це і буде квадрат на меншому катете.