- апофема- Висота бічної грані правильної піраміди, яка проведена з її вершини (крім того, апофемою є довжина перпендикуляра, який опущений з середини правильного багатокутника на 1-ну з його сторін);
- бічні грані (ASB, BSC, CSD, DSA) - трикутники, що сходяться у вершині;
- бічні ребра ( AS , BS , CS , DS ) - загальні сторони бічних граней;
- вершина піраміди (т. S) - точка, яка з'єднує бічні ребра і яка не лежить у площині основи;
- висота ( SO ) - відрізок перпендикуляра, який проведений через вершину піраміди до площини її основи (кінцями такого відрізка будуть вершина піраміди та основа перпендикуляра);
- діагональний переріз піраміди- перетин піраміди, який проходить через вершину та діагональ основи;
- підстава (ABCD) багатокутник, якому не належить вершина піраміди.
Властивості піраміди.
1. Коли всі бічні ребра мають однакову величину, тоді:
- біля основи піраміди легко описати коло, при цьому вершина піраміди буде проектуватися в центр цього кола;
- бічні ребра утворюють з площиною основи однакові кути;
- крім того, вірне і протилежне, тобто. коли бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути, або коли біля основи піраміди можна описати коло і вершина піраміди проектуватиметься в центр цього кола, отже, всі бічні ребра піраміди мають однакову величину.
2. Коли бічні грані мають кут нахилу до площини основи однієї величини, тоді:
- біля основи піраміди легко описати коло, при цьому вершина піраміди буде проектуватися в центр цього кола;
- висоти бічних граней мають рівну довжину;
- площа бічної поверхні дорівнює ½ добутку периметра основи на висоту бічної грані.
3. Біля піраміди можна описати сферу в тому випадку, якщо в основі піраміди лежить багатокутник, навколо якого можна описати коло (необхідна та достатня умова). Центром сфери стане точка перетину площин, що проходять через середини ребер піраміди перпендикулярно їм. З цієї теореми робимо висновок, що як у всякої трикутної, так і у будь-якої правильної піраміди можна описати сферу.
4. У піраміду можна вписати сферу в тому випадку, якщо бісекторні площини внутрішніх двогранних кутів піраміди перетинаються в 1-ій точці (необхідна та достатня умова). Ця точка стане центром сфери.
Найпростіша піраміда.
За кількістю кутів основи піраміди ділять на трикутні, чотирикутні тощо.
Піраміда буде трикутної, чотирикутний, і так далі, коли основою піраміди буде трикутник, чотирикутник і так далі. Трикутна піраміда є чотиригранником - тетраедр. Чотирикутна - п'ятигранник і так далі.
Поняття піраміди
Визначення 1
Геометрична фігура, утворена багатокутником і точкою, що не лежить у площині, що містить цей багатокутник, з'єднана з усіма вершинами багатокутника називається пірамідою (рис. 1).
Багатокутник, з якого складена піраміда, називається основою піраміди, що отримуються при з'єднанні з точкою трикутники - бічними гранями піраміди, сторони трикутників - сторонами піраміди, а загальна для всіх трикутників точка - вершиною піраміди.
Види пірамід
Залежно від кількості кутів у основі піраміди її можна назвати трикутною, чотирикутною тощо (рис. 2).
Малюнок 2.
Ще один вид пірамід - правильна піраміда.
Введемо та доведемо властивість правильної піраміди.
Теорема 1
Усі бічні грані правильної піраміди є рівнобедреними трикутниками, які рівні між собою.
Доказ.
Розглянемо правильну $n-$вугільну піраміду з вершиною $S$ заввишки $h=SO$. Опишемо навколо основи коло (рис. 4).
Малюнок 4.
Розглянемо трикутник $SOA$. За теоремою Піфагора, отримаємо
Очевидно, що так визначатиметься будь-яке бічне ребро. Отже, всі бічні ребра рівні між собою, тобто всі бічні грані – рівнобедрені трикутники. Доведемо, що вони між собою рівні. Оскільки основа - правильний багатокутник, то основи всіх бічних граней рівні між собою. Отже, всі бічні грані дорівнюють за III ознакою рівності трикутників.
Теорему доведено.
Введемо тепер таке визначення, пов'язане з поняттям правильної піраміди.
Визначення 3
Апофемою правильної піраміди називається висота її бічної грані.
Очевидно, що за теоремою всі апофеми рівні між собою.
Теорема 2
Площа бічної поверхні правильної піраміди визначається як добуток напівпериметра основи апофему.
Доказ.
Позначимо сторону основи $n-$вугільної піраміди через $a$, а апофему через $d$. Отже, площа бічної грані дорівнює
Оскільки, за теоремою 1, всі бічні сторони рівні, то
Теорему доведено.
Ще один вид піраміди - усічена піраміда.
Визначення 4
Якщо через звичайну піраміду провести площину, паралельну до її основи, то постать, утворена між цією площиною та площиною основи називається усіченою пірамідою (рис. 5).
Рисунок 5. Усічена піраміда
Боковими гранями усіченої піраміди є трапеції.
Теорема 3
Площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди визначається як добуток суми напівпериметрів підстав на апофему.
Доказ.
Позначимо сторони основ $n-$вугільної піраміди через $a\ і \ b$ відповідно, а апофему через $d$. Отже, площа бічної грані дорівнює
Оскільки всі бічні сторони рівні, то
Теорему доведено.
Приклад завдання
Приклад 1
Знайти площу бічної поверхні зрізаної трикутної піраміди, якщо вона отримана з правильної піраміди зі стороною основи 4 і апофемою 5 шляхом відсікання площиною, що проходить через середню лінію бічних граней.
Рішення.
По теоремі про середню лінію отримаємо, що верхня основа усіченої піраміди дорівнює $4\cdot \frac(1)(2)=2$, а апофема дорівнює $5\cdot \frac(1)(2)=2,5$.
Тоді, за теоремою 3, отримаємо
Визначення
Піраміда– це багатогранник, складений із багатокутника \(A_1A_2...A_n\) і \(n\) трикутників із загальною вершиною \(P\) (що не лежить у площині багатокутника) і протилежними їй сторонами, що збігаються зі сторонами багатокутника.
Позначення: \(PA_1A_2...A_n\) .
Приклад: п'ятикутна піраміда \(PA_1A_2A_3A_4A_5\).
Трикутники \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) і т.д. називаються бічними гранямипіраміди, відрізки (PA_1, PA_2) і т.д. - бічними ребрами, багатокутник \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – основою, точка \ (P \) - вершиною.
Висотапіраміди – це перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину основи.
Піраміда, в основі якої лежить трикутник, називається тетраедром.
Піраміда називається правильною, якщо в її основі лежить правильний багатокутник і виконано одну з умов:
\((a)\) бічні ребра піраміди рівні;
\((b)\) висота піраміди проходить через центр описаного біля основи кола;
\((c)\) бічні ребра нахилені до площини основи під однаковим кутом.
\((d)\) бічні грані нахилені до площини основи під однаковим кутом.
Правильний тетраедр– це трикутна піраміда, усі грані якої – рівні рівносторонні трикутники.
Теорема
Умови ((a), (b), (c), (d)) еквівалентні.
Доказ
Проведемо висоту піраміди (PH). Нехай \(\alpha\) - площина основи піраміди.
1) Доведемо, що з ((a)) слід ((b)). Нехай \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Т.к. \(PH\perp \alpha\) , то \(PH\) перпендикулярна будь-якій прямій, що лежить у цій площині, отже, трикутники - прямокутні. Значить, ці трикутники рівні за загальним катетом \(PH\) і гіпотенуз \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Отже, \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Отже, точки \(A_1, A_2, ..., A_n\) знаходяться на однаковій відстані від точки \(H\), отже, лежать на одному колі з радіусом \(A_1H\). Це коло за визначенням і є описане біля багатокутника \(A_1A_2...A_n\) .
2) Доведемо, що з \((b)\) випливає \((c)\).
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)прямокутні та рівні за двома катетами. Отже, рівні та їх кути, отже, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).
3) Доведемо, що з \((c)\) випливає \((a)\).
Аналогічно першому пункту трикутники \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)прямокутні і по катету та гострому куту. Отже, рівні та його гіпотенузи, тобто \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Доведемо, що з ((b)) слід ((d)).
Т.к. у правильному багатокутнику збігаються центри описаного та вписаного кола (взагалі кажучи, ця точка називається центром правильного багатокутника), то \(H\) – центр вписаного кола. Проведемо перпендикуляри з точки \(H\) на сторони основи: \(HK_1, HK_2\) і т.д. Це – радіуси вписаного кола (за визначенням). Тоді по ТТП (\(PH\) - перпендикуляр на площину, \(HK_1, HK_2\) і т.д. - проекції, перпендикулярні сторонам) похилі (PK_1, PK_2\) і т.д. перпендикулярні сторонам (A_1A_2, A_2A_3) і т.д. відповідно. Отже, за визначенням \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\)рівні кутам між бічними гранями та основою. Т.к. трикутники \(PK_1H, PK_2H, ...\) рівні (як прямокутні за двома катетами), то й кути \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\)рівні.
5) Доведемо, що з ((d)) слід ((b)).
Аналогічно четвертому пункту трикутники \(PK_1H, PK_2H, ...\) рівні (як прямокутні за катетом і гострим кутом), отже, рівні відрізки \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) . Значить, за визначенням, (H) – центр вписаної в основу кола. Але т.к. у правильних багатокутників центри вписаного та описаного кола збігаються, то \(H\) – центр описаного кола. Чтд.
Слідство
Бічні грані правильної піраміди – рівні рівнобедрені трикутники.
Визначення
Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою.
Апофеми всіх бічних граней правильної піраміди рівні між собою і є також медіанами та бісектрисами.
Важливі зауваження
1. Висота правильної трикутної піраміди падає в точку перетину висот (або бісектрис, або медіан) основи (основа – правильний трикутник).
2. Висота правильної чотирикутної піраміди падає в точку перетину діагоналей основи (основа – квадрат).
3. Висота правильної шестикутної піраміди падає в точку перетину діагоналей основи (основа – правильний шестикутник).
4. Висота піраміди перпендикулярна будь-якій прямій, що лежить в основі.
Визначення
Піраміда називається прямокутноїякщо одне її бічне ребро перпендикулярно площині основи.
Важливі зауваження
1. У прямокутної піраміди ребро, перпендикулярне до основи, є висотою піраміди. Тобто (SR) - висота.
2. Т.к. \(SR\) перпендикулярно будь-якій прямій з основи, то \(\triangle SRM, \triangle SRP\)- Прямокутні трикутники.
3. Трикутники \(\triangle SRN, \triangle SRK\)- теж прямокутні.
Тобто будь-який трикутник, утворений цим ребром та діагоналлю, що виходить з вершини цього ребра, що лежить у підставі, буде прямокутним.
\[(\Large(\text(Обсяг та площа поверхні піраміди)))\]
Теорема
Обсяг піраміди дорівнює третині твору площі основи на висоту піраміди: \
Наслідки
Нехай \(a\) - сторона основи, \(h\) - висота піраміди.
1. Об'єм правильної трикутної піраміди дорівнює \(V_(\text(прав.треуг.пір.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Об'єм правильної чотирикутної піраміди дорівнює \(V_(\text(прав.чотир.пір.))=\dfrac13a^2h\).
3. Об'єм правильної шестикутної піраміди дорівнює \(V_(\text(прав.шест.пір.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Об'єм правильного тетраедра дорівнює \(V_(\text(прав.тетр.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Теорема
Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює напівтвору периметра основи на апофему.
\[(\Large(\text(Усічена піраміда)))\]
Визначення
Розглянемо довільну піраміду \(PA_1A_2A_3...A_n\). Проведемо через деяку точку, що лежить на бічному ребрі піраміди, площину паралельно до основи піраміди. Ця площина розіб'є піраміду на два багатогранники, один з яких – піраміда (\(PB_1B_2...B_n\) ), а інший називається усічена піраміда(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Усічена піраміда має дві підстави – багатокутники \(A_1A_2...A_n\) і \(B_1B_2...B_n\) , які подібні один до одного.
Висота усіченої піраміди – це перпендикуляр, проведений з якоїсь точки верхньої основи до площини нижньої основи.
Важливі зауваження
1. Усі бічні грані усіченої піраміди – трапеції.
2. Відрізок, що з'єднує центри основ правильної зрізаної піраміди (тобто піраміди, отриманої перерізом правильної піраміди), є висотою.
Вступ
Коли ми почали вивчати стереометричні фігури, торкнулися теми «Піраміда». Нам сподобалася ця тема, тому що піраміда часто-густо вживається в архітектурі. І оскільки наша майбутня професія архітектора, надихнувшись цією фігурою, ми думаємо, що вона зможе підштовхнути нас до чудових проектів.
Міцність архітектурних споруд, найважливіша їх якість. Зв'язуючи міцність, по-перше, з тими матеріалами, з яких вони створені, а, по-друге, з особливостями конструктивних рішень, виявляється, міцність споруди пов'язана безпосередньо з тією геометричною формою, яка є для нього базовою.
Іншими словами, йдеться про ту геометричну фігуру, яка може розглядатися як модель відповідної архітектурної форми. Виявляється, що геометрична форма також визначає міцність архітектурної споруди.
Найміцнішою архітектурною спорудою з давніх-давен вважаються єгипетські піраміди. Як відомо, вони мають форму правильних чотирикутних пірамід.
Саме ця геометрична форма забезпечує найбільшу стійкість за рахунок великої площі основи. З іншого боку, форма піраміди забезпечує зменшення маси зі збільшенням висоти над землею. Саме ці дві властивості роблять піраміду стійкою, а отже, і міцною в умовах земного тяжіння.
Ціль проекту: дізнатися щось нове про піраміди, поглибити знання та знайти практичне застосування
Для досягнення поставленої мети потрібно вирішити такі завдання:
· Дізнатися історичні відомості про піраміду
· Розглянути піраміду, як геометричну фігуру
· Знайти застосування в житті та архітектурі
· Знайти подібність та відмінність пірамід, розташованих у різних частинах світу
Теоретична частина
Історичні відомості
Початок геометрії піраміди було покладено в Стародавньому Єгипті та Вавилоні, проте активний розвиток отримав у Стародавній Греції. Першим, хто встановив, чому дорівнює обсяг піраміди, був Демокріт, а довів Євдокс Кнідський. Давньогрецький математик Евклід систематизував знання про піраміду в XII томі своїх «Почав», а також вивів перше визначення піраміди: тілесна фігура, обмежена площинами, які сходяться в одній точці.
Усипальниці єгипетських фараонів. Найбільші з них - піраміди Хеопса, Хефрена і Мікеріна в Ель-Гізі в давнину вважалися одним із Семи чудес світу. Зведення піраміди, в якому вже греки і римляни бачили пам'ятник небаченої гордині царів і жорстокості, що прирік весь народ Єгипту на безглузде будівництво, було найважливішим культовим діянням і мало висловлювати, мабуть, містичне тотожність країни та її правителя. Населення країни працювало на будівництві гробниці у вільну від сільськогосподарських робіт частину року. Ряд текстів свідчить про ту увагу і турботу, які самі царі (щоправда, пізнішого часу) приділяли зведенню своєї гробниці та її будівельникам. Відомо також про особливі культові почесті, які виявлялися самій піраміді.
Основні поняття
Пірамідоюназивається багатогранник, основа якого – багатокутник, інші грані – трикутники, мають загальну вершину.
Апофема- Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини;
Бічні грані- трикутники, що сходяться у вершині;
Бічні ребра- загальні сторони бічних граней;
Вершина піраміди- точка, що з'єднує бічні ребра і не лежить у площині основи;
Висота- відрізок перпендикуляра, проведеного через вершину піраміди до площини її основи (кінцями цього відрізка є вершина піраміди та основа перпендикуляра);
Діагональний переріз піраміди- переріз піраміди, що проходить через вершину та діагональ основи;
Підстава- багатокутник, якому належить вершина піраміди.
Основні властивості правильної піраміди
Бічні ребра, бічні грані та апофеми відповідно рівні.
Двогранні кути при основі рівні.
Двогранні кути при бічних ребрах рівні.
Кожна точка висоти рівновіддалена від усіх вершин основи.
Кожна точка висоти рівновіддалена від усіх бічних граней.
Основні формули піраміди
Площа бічної та повної поверхні піраміди.
Площею бічної поверхні піраміди (повної та усіченої) називається сума площ усіх її бічних граней, площею повної поверхні – сума площ усіх її граней.
Теорема: Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи апофему піраміди.
p- периметр основи;
h- Апофема.
Площа бічної та повної поверхонь усіченої піраміди.
p 1, p 2 - периметри основ;
h- Апофема.
Р- площа повної поверхні правильної усіченої піраміди;
S бік- площа бічної поверхні правильної усіченої піраміди;
S 1 + S 2- площі основи
Об'єм піраміди
форм вузла об'єму використовується для пірамід будь-якого виду.
H- Висота піраміди.
Кути піраміди
Кути, які утворені бічною гранню та основою піраміди, називаються двогранними кутами при основі піраміди.
Двогранний кут утворюється двома перпендикулярами.
Щоб визначити цей кут, часто потрібно використовувати теорему про три перпендикуляри.
Кути, які утворені бічним ребром та його проекцією на площину основи, називаються кутами між бічним ребром і площиною основи.
Кут, який утворений двома бічними гранями, називається двогранним кутом при бічному ребрі піраміди.
Кут, який утворений двома бічними ребрами однієї грані піраміди, називається кутом при вершині піраміди.
Перерізи піраміди
Поверхня піраміди – це поверхня багатогранника. Кожна її грань є площиною, тому переріз піраміди, заданої січною площиною - це ламана лінія, що складається з окремих прямих.
Діагональний переріз
Перетин піраміди площиною, що проходить через два бічні ребра, що не лежать на одній грані, називається діагональним перетиномпіраміди.
Паралельні перерізи
Теорема:
Якщо піраміда перетнута площиною, паралельною основі, то бічні ребра та висоти піраміди діляться цією площиною на пропорційні частини;
Перерізом цієї площини є багатокутник, подібний до основи;
Площі перерізу та основи відносяться один до одного як квадрати їх відстаней від вершини.
Види піраміди
Правильна піраміда– піраміда, основою якої є правильний багатокутник, і вершина піраміди проектується до центру основи.
У правильної піраміди:
1. бічні ребра рівні
2. бічні грані рівні
3. апофеми рівні
4. двогранні кути при основі рівні
5. двогранні кути при бічних ребрах рівні
6. кожна точка висоти рівновіддалена від усіх вершин основи
7. кожна точка висоти рівновіддалена від усіх бічних граней
Усічена піраміда– частина піраміди, укладена між її основою та січною площиною, паралельною основі.
Підстава та відповідні переріз усіченої піраміди називаються основами усіченої піраміди.
Перпендикуляр, проведений з будь-якої точки однієї основи на площину іншої, називається висотою усіченої піраміди.
Завдання
№1. У правильній чотирикутній піраміді точка О – центр основи, SO=8 см, BD=30 см. Знайдіть бічне ребро SA.
Розв'язання задач
№1. У правильній піраміді всі грані та ребра рівні.
Розглянемо OSB: OSB-прямокутний прямокутник, т.к.
SB 2 =SO 2 +OB 2
SB 2 = 64 +225 = 289
Піраміда в архітектурі
Піраміда - монументальна споруда у формі звичайної правильної геометричної піраміди, в якій бічні сторони сходяться в одній точці. За функціональним призначенням піраміди в давнину були місцем поховання або поклоніння культу. Основа піраміди може бути трикутною, чотирикутною або у формі багатокутника з довільним числом вершин, але найпоширенішою версією є чотирикутна основа.
Відомо чимала кількість пірамід, побудованих різними культурами Стародавнього світу в основному як храми або монументи. До великих пірамід відносяться єгипетські піраміди.
По всій землі можна побачити архітектурні споруди у вигляді пірамід. Будівлі-піраміди нагадують про давні часи і дуже гарно виглядають.
Єгипетські піраміди – найбільші архітектурні пам'ятки Стародавнього Єгипту, серед яких одне з «Семи чудес світу» піраміда Хеопса. Від підніжжя до вершини вона досягає 137, 3 м, а до того, як втратила верхівку, висота її була 146, 7 м.
Будівля радіостанції у столиці Словаччини, що нагадує перевернуту піраміду, була збудована у 1983 р. Крім офісів та службових приміщень, всередині обсягу знаходиться досить місткий концертний зал, який має один із найбільших органів у Словаччині.
Лувр, який "мовчить незмінно і велично, як піраміда", протягом століть переніс чимало змін перш, ніж перетворитися на найбільший музей світу. Він народився як фортеця, споруджена Пилипом Августом у 1190 р., яка незабаром перетворилася на королівську резиденцію. У 1793 р. палац стає музеєм. Колекції збагачуються завдяки заповітам чи покупкам.
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.