Якщо на площині послідовно накреслити кілька відрізків так, щоб кожен наступний починався там, де закінчився попередній, то вийде ламана лінія. Ці відрізки називають ланками, а місця їхнього перетину — вершинами. Коли кінець останнього відрізка перетнеться з початковою точкою першого, то вийде замкнута ламана лінія, що ділить площину на дві частини. Одна з них є кінцевою, а друга нескінченною.

Проста замкнута лініяразом із укладеною в ній частиною площини (тою, що кінцева) називають багатокутником. Відрізки є сторонами, а утворені ними кути вершинами. Кількість сторін будь-якого багатокутника дорівнює числу його вершин. Фігура, яка має три сторони, називається трикутником, а чотири чотирикутником. Багатокутник чисельно характеризується такою величиною, як площа, що показує розмір фігури. Як знайти площу чотирикутника? Цьому вчить розділ математики – геометрія.

Щоб знайти площу чотирикутника, потрібно знати до якого типу він відноситься - опуклого чи неопуклого? весь лежить щодо прямої (а вона обов'язково містить якусь із його сторін) по одну сторону. Крім того, є і такі види чотирикутників, як паралелограм з попарно рівними та паралельними протилежними сторонами(різновиди його: прямокутник з прямими кутами, ромб з рівними сторонами, Квадрат з усіма прямими кутами і чотирма рівними сторонами), трапеція з двома паралельними протилежними сторонами і дельтоїд з двома парами суміжних сторін, які рівні.

Площі будь-якого багатокутника знаходять, застосовуючи загальний метод, який полягає в тому, щоб розбити його на трикутники, для кожного обчислити площу довільного трикутниката скласти отримані результати. Будь-який опуклий чотирикутникділиться на два трикутники, невипуклий - на два чи три його в цьому випадку може складатися із суми та різниці результатів. Площа будь-якого трикутника обчислюють як половину добутку підстави (a) на висоту (?), проведену до підстави. Формула, яка застосовується в цьому випадку для обчислення, записується як: S = ? a. Є.

Як знайти площу чотирикутника, наприклад, паралелограма? Потрібно знати довжину основи (a), довжину бічної сторони (ƀ) і знайти синус кута α, утвореного основою та бічною стороною (sinα), формула для розрахунку виглядатиме: S = a . ƀ . sinα. Оскільки синус кута α є добуток основи паралелограма на його висоту (? = ?) — лінію перпендикулярна до основи, то його площу обчислюють, помноживши на висоту його основу: S = a . Є. Для розрахунку площі ромба та прямокутника також підходить ця формула. Так як у прямокутника бічна сторона? збігається з висотою ?, то його площу обчислюють за формулою S = a . ƀ. тому що a = ? буде дорівнювати квадрату його сторони: S = a . a = a?. обчислюється як половина суми його сторін, помножена на висоту (вона проводиться до основи трапеції перпендикулярно): S = ? (a + ?) . Є.

Як знайти площу чотирикутника, якщо невідомі довжини його сторін, але відомі його діагоналі (e) і (f), а також синус кута? У цьому випадку площа обчислюють як половину твору його діагоналей (лінії, які з'єднують вершини багатокутника), помножене на синус кута α. Формула може бути записана в такому вигляді: S = ? (e. f). sinα. Зокрема в цьому випадку дорівнюватиме половині твору діагоналей (лінії, що з'єднують протилежні кути ромба): S = ½. (e. f).

Як знайти площу чотирикутника, який є паралелограмом чи трапецією, його зазвичай прийнято називати довільний чотирикутник. Площу такої фігури виражають через його напівпериметр (Ρ — сума двох сторін із загальною вершиною), сторони a, ƀ, c, d та суму двох протилежних кутів(α + β): S = √[(Ρ - a) . (Ρ - ?) . (Ρ - c). (Ρ - d) - a. ƀ . c. d. cos² ½ (α + β)].

Якщо ? (Ρ - ?) . (Ρ - c). (Ρ - d)]. Якщо чотирикутник описаний колом, то (a + c = + d), а його площа обчислюють: S = √[ a . ƀ . c. d]. sin ½ (α + β). Якщо чотирикутник одночасно є описаним одним колом і вписаним в інше коло, то для обчислення площі використовують наступну формулу: S = √.

Площа геометричної фігури - чисельна характеристикагеометричної фігури, що показує розмір цієї фігури (частини поверхні, обмеженої замкнутим контуром даної фігури). Розмір площі виражається числом які у неї квадратних одиниць.

Формули площі трикутника

1. Формула площі трикутника по стороні та висоті
   Площа трикутникадорівнює половині добутку довжини сторони трикутника на довжину проведеної до цієї сторони висоти
   
2. Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного кола
   
3. Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола
   Площа трикутникадорівнює добутку напівпериметра трикутника на радіус вписаного кола.
   
де S - площа трикутника,
- Довжини сторін трикутника,
- Висота трикутника,
- кут між сторонами та,
- радіус вписаного кола,
R - радіус описаного кола,

Формули площі квадрата

1. Формула площі квадрата по довжині сторони
   Площа квадратадорівнює квадрату довжини його сторони.
2. Формула площі квадрата за довжиною діагоналі
   Площа квадратадорівнює половині квадрата довжини його діагоналі.
   

   S =	1	2
   	2

де S - Площа квадрата,
- Довжина сторони квадрата,
- Довжина діагоналі квадрата.

Формула площі прямокутника

Площа прямокутникадорівнює добутку довжин двох його суміжних сторін

де S - Площа прямокутника,
- Довжини сторін прямокутника.

Формули площі паралелограма

1. Формула площі паралелограма по довжині сторони та висоті
   Площа паралелограма
2. Формула площі паралелограма по обидва боки та кут між ними
   Площа паралелограмадорівнює добутку довжин його сторін, помноженому на синус кута між ними.
   

   a · b · sin α

де S - Площа паралелограма,
- Довжини сторін паралелограма,
- Довжина висоти паралелограма,
- Кут між сторонами паралелограма.

Формули площі ромба

1. Формула площі ромба по довжині сторони та висоті
   Площа ромбудорівнює добутку довжини його сторони та довжини опущеної на цей бік висоти.
2. Формула площі ромба по довжині сторони та куту
   Площа ромбудорівнює добутку квадрата довжини його сторони та синуса кута між сторонами ромба.
3. Формула площі ромба за довжинами його діагоналей
   Площа ромбудорівнює половині добутку довжин його діагоналей.
де S - Площа ромба,
- Довжина сторони ромба,
- Довжина висоти ромба,
- Кут між сторонами ромба,
1 2 - довжини діагоналей.

Формули площі трапеції

1. Формула Герону для трапеції

   Де S - Площа трапеції,
   - Довжини основ трапеції,
   - Довжини бічних сторін трапеції,
   

Початковий рівень

Площа трикутника та чотирикутника. Приклади розв'язання задач (2019)

Визначення площі

Що таке майдан? Дивне питання- чи не так? У звичайному житті ми звикли до того, що у всяких плоских фігур(Таких як поверхня столу, стільця, підлога наших квартир і т.д.) є не тільки довжина і ширина, але і якась ще характеристика, яку ми, не замислюючись, називаємо площею. А тепер ось давай замислимося: що ж таке майдан?

Давай почнемо з найпростішого. За основу береться той факт, що:

Іншими словами, площу квадрата зі стороною метр ми вважаємо одним «метром площі».

Подивися уважно на картинку та переконайся, що там справді намальований – «метр квадратний»! І запам'ятай позначення.

А ось тепер хитре питання: а що таке? Площа квадрата зі стороною? А ось і ні!

Дивись: квадрат зі стороною.

А щоб отримати квадратні метри (тобто,), ми повинні намалювати, наприклад так:

А як отримати, скажімо,? Ну наприклад так:

Та й взагалі, якщо ми візьмемо прямокутник, у якого сторони дорівнюють метрам і метрам, то в цьому прямокутнику:

Поміститься рівно квадратних метрів. Подивися уважно: у нас є шарів, у кожному з яких рівно квадратних метрів.

Значить, у прямокутнику розміром x помістилося квадратних метрів. Ось це число, скільки квадратних метрів помістилося у прямокутнику, і є його площа.

А якщо фігура – ​​зовсім не прямокутник, а якась абракадабра?

Здивую тебе - бувають такі жахливі абракадабри, для яких неможливо встановити скільки там квадратних метрів. Навіть приблизно! На жаль намалювати такі постаті – неможливо.

Але ж вони є! Вони схожі, наприклад, на таку «гребінець» із дуже дрібними зубами.

І ось, для нормальних фігур можна інтуїтивно (тобто для себе) вважати, що площа фігури - це таке число, скільки в цій фігурі «міститься» квадратних одиниць (метрів, сантиметрів і т.д.) Суворіше, «справжнє» визначення площі дивись у наступних рівнях теорії.

І уяви собі, математики для багатьох постатей навчилися висловлювати площі через якісь лінійні (ті, що можна виміряти лінійкою) елементи фігур. Ці вирази називаються "формули площі". Формул цих досить багато – математики довго намагалися. Ти постарайся запам'ятати спочатку найпростіші та основні формули, а потім уже ті, що складніші.

Формули площі

Квадрат

Прямокутник

Прямокутний трикутник

Трикутник (довільний)

Для трикутника є одразу кілька формул площі.

Основна формула

Друга основна формула

Третя формула

Яку формулу вибрати для твого завдання? Основними є формули 1 і 2. Третю формулу потрібно застосовувати, якщо тобі все дано: і три сторони, і радіус вписаного кола. Але ж так не буває, так? Тому формулу 3 ми використовуємошвидше навпаки, для знаходження радіусу вписаного кола. Тоді потрібно знайти площу по одній із формул 1, 2 або 4, а потім уже радіус: .

Ну і формула 4 дозволяє по сторонам за допомогою довжелезної арифметики знаходити площу. І не помиляйся в арифметиці, коли застосовуватимеш формулу Герона!

Довільний чотирикутник

Для довільного чотирикутника більше нічого немає, а от для «хороших» чотирикутників є інші формули.

Паралелограм

Основна формула

Друга формула

Ромб

У ромба діагоналі перпендикулярні, тому основнийдля нього стає формула:

Друга формула

А додатковою формулоюстає

Трапеція

Основна формула

Друга формула

«Хитрі питання про площу»

Крім завдань, у яких просять легко визначити площу, зустрічаються ще всякі питання. Ну ось наприклад:

Давай відповімо на це питання двома способами. Перший спосіб – формальний: використовуємо формулу площі квадрата. Отже, було, значить – площа збільшилась у раз!

У випадку з квадратами є і другий спосіб «помацати» і переконатись безпосередньо в цьому числі.

Малюємо:

Якщо ж у тебе не квадрат, то залишається тільки підставляти нові значення формули - і не дивуйся, якщо раптом числа вийдуть досить великими.

ПЛОЩА ТРИКУТНИКА І ЧОТИРИКУТНИКА. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Прямокутний трикутник

Чотирьохкутникомназивається фігура, що складається з чотирьох вершин, три з яких не лежать на одній прямій, та відрізків, що з'єднують їх.

Існує безліч чотирикутників. До них належать паралелограми, квадрати, ромби, трапеції. Знайти можна знайти на всі боки, легко обчислюється по діагоналях. У довільному чотирикутнику можна використовувати всі елементи для виведення формули площі чотирикутника. Спочатку розглянемо формулу площі чотирикутника через діагональ. Для того, щоб її використовувати, знадобляться довжини діагоналей і розмір гострого кута між ними. Знаючи необхідні дані можна проводити приклад розрахунку площі чотирикутника за такою формулою:

Половина добутку діагоналей та синуса гострого кута між ними є площею чотирикутника. Розглянемо приклад розрахунку площі чотирикутника через діагональ.

Нехай дано чотирикутник з двома діагоналями d1 = 5 см; d2 = 4см. Гострий кутміж ними дорівнює α = 30 °. Формула площі чотирикутника через діагоналі легко застосовується для певних умов. Підставимо дані:

Приклад розрахунку площі чотирикутника через діагоналі розуміємо, що формула дуже схожа на розрахунок .

Площа чотирикутника на всі боки

Коли відомі довжини сторін фігури, можна застосувати формулу площі чотирикутника на всі боки. Для застосування цих розрахунків потрібно знайти напівпериметр фігури. Ми пам'ятаємо, що периметр – це сума довжин усіх сторін. Напівпериметр – це половина периметра. У прямокутнику зі сторонами a, b, c, d формула напівпериметра буде виглядати так:
Знаючи сторони, виводимо формулу. Площа чотирикутника є корінням з твору різниці напівпериметра з довжиною кожної сторони:

Розглянемо приклад розрахунку площі чотирикутника через сторони. Дано довільний чотирикутник зі сторонами a = 5 см, b = 4 см, с = 3 см, d = 6 см. Для початку знайдемо півпериметр:

використовуємо знайдене значення для розрахунку площі:

Площа чотирикутника, заданого координатами

Формула площі чотирикутника по координатах використовується для розрахунку площі фігур, які розміщені в системі координат. У цьому випадку для початку потрібен розрахунок довжин необхідних сторін. Залежно від типу чотирикутника може змінюватись і сама формула. Розглянемо приклад розрахунку площі чотирикутника, використовуючи квадрат, що лежить у системі координат XY.

Даний квадрат ABCD, розташований у системі координат XY. Знайти площу фігури, якщо координати вершин A (2; 10); B (10; 8); C (8; 0); D (0; 2).

Ми знаємо, що всі сторони фігури рівні, і формула площі квадрата знаходиться за формулою:
Знайдемо одну зі сторін, наприклад, AB:
Підставимо значення у формулу:
Знаємо, що всі сторони однакові. Підставляємо значення у формулу розрахунку площі:

Даний онлайн калькулятор допомагає зробити розрахунок, визначення та обчислення площі земельної ділянки онлайн режимі. Представлена ​​програма здатна правильно підказати, як здійснити розрахунок площі земельних ділянок неправильної форми.

Важливо! Важлива ділянка повинна приблизно вписуватися в коло. Інакше розрахунки будуть не зовсім точними.

Вказуємо всі дані у метрах

A B, D A, C D, B C— Розмір кожної сторони ділянки.

Згідно з введеними даними, наша програма в онлайн режимі виконати розрахунок і визначити, площа земельних угідь у квадратних метрах, сотках, акрах та гектарах.

Методика визначення розмірів ділянки ручним методом

Щоб правильно розрахувати площу ділянок, не потрібно використовувати складні інструменти. Ми беремо дерев'яні кілочки або металеві прутита встановлюємо їх у кутах нашої ділянки. Далі за допомогою вимірювальної рулетки визначаємо ширину та довжину ділянки. Як правило, достатньо виміряти одну ширину і одну довжину, для прямокутних або рівносторонніх ділянок. Наприклад, ми отримали такі дані: ширина – 20 метрів і довжина – 40 метрів.

Далі переходимо до розрахунку площі ділянки. При правильній форміділянки, можна використовувати геометричну формулувизначення площі прямокутника (S). Відповідно до цієї формули, потрібно виконати множення ширини (20) на довжину (40), тобто добуток довжин двох сторін. У разі S=800 м².

Після того, як ми визначили нашу площу, ми можемо визначити кількість соток на земельній ділянці. Згідно із загальноприйнятими даними, в одній сотні – 100 м². Далі за допомогою простої арифметики ми розділимо наш параметр S на 100. Готовий результаті дорівнюватиме розміру ділянки в сотках. Для нашого прикладу цей результат – 8. Таким чином, отримуємо, що площа ділянки становить вісім соток.

У тому випадку, коли територія угідь дуже велика, то найкраще виконувати всі виміри в інших одиницях – у гектарах. Відповідно до загальноприйнятих одиниць виміру – 1 Га = 100 соток. Наприклад, якщо наша земельна ділянка згідно з отриманими вимірами становимо 10 000 м², то в цьому випадку його площа дорівнює 1 гектару або 100 соткам.

Якщо Ваша ділянка неправильної форми, то в цьому випадку кількість соток безпосередньо залежить від площі. Саме з цієї причини за допомогою онлайн калькулятораВи зможете правильно розрахувати параметр S ділянки, і після цього розділивши отриманий результат на 100. Таким чином Ви отримаєте розрахунки в сотках. Такий метод надає можливість вимірювати ділянки. складних формщо дуже зручно.

Загальні дані

Розрахунок площі земельних ділянок базується на класичних розрахунках, які виконуються згідно з загальноприйнятими геодезичними формулами.

Усього доступно кілька методів для розрахунку площі земельних угідь – механічний (розраховується за планом за допомогою мірних палеток), графічний (визначається за проектом) та аналітичний (за допомогою формули площі за виміряними лініями кордонів).

На сьогоднішній день найбільш точним способомзаслужено вважається – аналітичний. Використовуючи даний метод, помилки при розрахунках, зазвичай, виникають через похибок біля виміряних ліній. Цей спосібє також досить складним, якщо межі криволінійні або кількість кутом на ділянці більше десяти.

Трохи простіше за розрахунками є графічним способом. Його найкраще використовувати в тому випадку, коли межі ділянки представлені у вигляді ламаної лінії з невеликою кількістю поворотів.

І найдоступніший і найпростіший спосіб, і найбільш популярний, але й водночас самий великою похибкою- Механічний спосіб. Використовуючи цей метод, Ви зможете легко та швидко виконати розрахунок площі земельних угідь простої чи складної форми.

Серед серйозних недоліків механічного або графічного способу, виділяють наступне, крім похибок під час вимірювання ділянки, при розрахунках додається похибка через деформацію паперу або похибку при складанні планів.