Випукла безліч точок на площині.
Безліч точок на площині або в тривимірному просторіназивається опуклим, якщо будь-які дві точки цієї множини можна з'єднати відрізком прямий, що повністю лежить у даній множині.
Теорема 1. Перетин кінцевого числаопуклих множин є опуклим множиною.
Слідство.Перетин кінцевого числа опуклих множин – опукла множина.
Кутові точки.
Гранична точка опуклої множининазивається кутовий, якщо через неї можна провести відрізок, всі точки якого не належать цій множині.
Різні за формою множини можуть мати кінцеве або нескінченна кількістькутових точок.
Випуклий багатокутник.
Багатокутникназивається опуклимякщо він лежить по одну сторону від кожної прямої, що проходить через дві його сусідні вершини.
Теорема: Сума кутів опуклого n-кутникадорівнює 180˚*(n-2)
6) Рішення систем m лінійних нерівностейз двома змінними
Дана система т лінійних нерівностей із двома змінними
Знаки деяких або всіх нерівностей можуть бути ≥.
Розглянемо першу нерівність у системі координат Х1ОХ2. Побудуємо пряму
яка є граничною прямою.
Ця пряма ділить площину дві напівплощини 1 і 2 (рис. 19.4).
Напівплощина 1 містить початок координат, напівплощина 2 не містить початку координат.
Для визначення, по який бік від граничної прямої розташована задана напівплощина, треба взяти довільну точку на площині (краще початок координат) і підставити координати цієї точки в нерівність. Якщо нерівність справедлива, то напівплощина звернена у бік цієї точки, а то й справедливо, то протилежну від точки бік.
Напрямок напівплощини на малюнках показуємо стрілкою.
Визначення 15. Рішенням кожної нерівності системи є напівплощина, що містить граничну пряму і розташована по одну сторону від неї.
Визначення 16. Перетин напівплощин, кожна з яких визначається відповідною нерівністю системи, називається областю розв'язання системи (ОР).
Визначення 17. Область розв'язання системи, що задовольняє умовам невід'ємності (xj ≥ 0, j =), називається областю невід'ємних або допустимих рішень (ОДР).
Якщо система нерівностей спільна, то ОР і ОДР може бути багатогранником, необмеженої багатогранною областю чи однією точкою.
Якщо система нерівностей несумісна, то ОР і ОДР - пусте безліч.
Приклад 1. Знайти ОР та ОДР системи нерівностей та визначити координати кутових точок ОДР
Рішення. Знайдемо ОР першої нерівності: х1 + 3x2 ≥ 3. Побудуємо граничну пряму х1 +3x2 – 3 = 0 (рис. 19.5). Підставимо координати точки (0,0) у нерівність: 1∙0 + 3∙0 > 3; оскільки координати точки (0,0) не задовольняють йому, то розв'язуванням нерівності (19.1) є напівплощина, яка не містить точку (0,0).
Аналогічно знайдемо розв'язання інших нерівностей системи. Отримаємо, що ОР та ОДР системи нерівностей є опуклий багатогранник ABCD.
Знайдемо кутові точкибагатогранника. Точку А визначимо як точку перетину прямих
Вирішуючи систему, отримаємо А(3/7, 6/7).
Точку В знайдемо як точку перетину прямих
Із системи отримаємо B(5/3, 10/3). Аналогічно знайдемо координати точок З і D: С(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).
Приклад 2. Знайти ОР та ОДР системи нерівностей
Рішення. Побудуємо прямі та визначимо розв'язання нерівностей (19.5)-(19.7). ОР та ОДР є необмежені багатогранні області ACFM та ABDEKM відповідно (рис. 19.6).
Приклад 3. Знайти ОР та ОДР системи нерівностей
Рішення. Знайдемо розв'язання нерівностей (19.8)-(19.10) (рис. 19.7). ВР представляє необмежену багатогранну область ABC; ОДР – точка В.
Приклад 4. Знайти OP та ОДР системи нерівностей
Рішення. Побудувавши прямі, знайдемо розв'язання нерівностей системи. ОР та ОДР несумісні (рис. 19.8).
ВПРАВИ
Знайти ОР та ОДР систем нерівностей
Теорема. Якщо xn ® a, то .
Доказ. З xn ® a випливає, що . Водночас:
, тобто. , тобто. . Теорему доведено.
Теорема. Якщо xn ® a, то послідовність (xn) обмежена.
Слід зазначити, що зворотне твердження не так, тобто. з обмеженості послідовності не випливає її збіжність.
Наприклад, послідовність 
не має межі, хоча
Розкладання функцій у статечні ряди.
Розкладання функцій у статечний рядмає велике значеннядля вирішення різних завданьдослідження функцій, диференціювання, інтегрування, рішення диференціальних рівнянь, обчислення меж, обчислення наближених значень функції
Визначення 1.Ломаною лінією називається кінцева послідовністьвідрізків, така, що один з кінців першого відрізка служить кінцем другого, інший кінець другого відрізка служить кінцем третього і т.п.
Відрізки, складові ламану лініюназиваються ланками. Сусідні відрізки не лежать на одній прямій. Якщо кінці ламаної збігаються, вона називається замкненою. Ламана може перетинати сама себе, торкатися сама себе та налягати сама на себе. Якщо таких особливостей у ламаної немає, вона називається простий.
Визначення 2.Проста замкнута ламана разом із частиною площини, обмеженою нею, називається багатокутником.
Сама ламана при цьому називається межею багатокутника, ланки ламаної – сторонамибагатокутника, кінці ланок – вершинами багатокутника. Дві сусідні сторони багатокутника утворюють кут. Число кутів у багатокутнику дорівнює числу сторін. Кожен багатокутник має кути менше 180°. Сторони та кути багатокутника називають елементамибагатокутник.
Відрізок, що з'єднує дві несусідні вершини багатокутника, називається діагоналлю. У будь-якому n-кутнику можна провести n-2 діагоналі.
Визначення 3.Багатокутник називається опуклимякщо він лежить по одну сторону від кожної прямої, що містить його сторону. Багатокутники, що не відповідають цій умові, називаються невипуклими.
Властивості опуклих багатокутників.
Властивість 1.У опуклого багатокутника всі кути менше 180 °.
Доказ: Візьмемо будь-який кут А опуклого багатокутника Р та його сторону а, що йде з вершини А. Нехай l – пряма, що містить сторону а. Так як багатокутник Р опуклий, він лежить по одну сторону від прямої l. Тому кут А лежить по одну сторону від прямої l. Отже, кут А менший за розгорнутий, тобто ÐA< 180°.
Властивість 2.Відрізок, який з'єднує будь-які дві точки опуклого багатокутника, міститься в цьому багатокутнику.
Доказ: Візьмемо будь-які дві точки М та N опуклого багатокутника Р. Багатокутник Р є перетином кількох напівплощин. Відрізок MN лежить у кожній із цих напівплощин. Тому він міститься й у багатокутнику Р.
Властивість 3.Сума кутів опуклого багатокутника дорівнює (n – 2) 180°.
Доказ: Візьмемо всередині опуклого багатокутника Р довільну точку Про з'єднаємо її з усіма вершинами багатокутника. Утворюється n трикутників, сума кутів кожного з яких дорівнює 180 °. Кути при вершині Про в сумі дають 360 ° = 2 180 °. Тому сума кутів багатокутника дорівнює n∙180° - 2∙180° = (n – 2)∙180°.
Концепція паралелограма. Властивості паралелограма.
Визначення 1.Чотирикутник, протилежні сторониякого попарно паралельні, називається паралелограмом.
У кожного паралелограма чотири вершини, чотири сторони, чотири кути. Дві сторони, які мають загальні кінці, називаються суміжними. У кожного паралелограма дві діагоналі – відрізки, що з'єднують протилежні вершинипаралелограма. Сума кутів паралелограма дорівнює 360 °.
Властивості паралелограма.
Властивість 1.У паралелограма протилежні сторони рівні і протилежні кутипопарно рівні.
Доказ: Проведемо діагональ АС. АС – загальна;
ÐВАС = ÐАСD (внутрішні навхрест що лежать при АВ II BC і січній АС);
ÐВСА = ÐСАD (внутрішні навхрест що лежать при АD II BC і січній АС);
Þ DАВС = DАDС (за 2 ознаками).
АВ = CD; BC = AD; ÐВ = ÐD.
ÐА = ?ВАС + ?СAD; ÐС = ÐАСB + ÐАСD; Þ ÐА = ÐС.
Властивість 2.У паралелограма кути, що належать до однієї сторони, у сумі дають 180°.
Доказ:
ÐВ + ?А =180° (внутрішні односторонні при ВС II AD і січній АB).
ÐB + ÐС =180° (внутрішні односторонні при AВ II CD і BC).
ÐD + ÐC =180° (внутрішні односторонні при ВС II AD і січній CD).
ÐA + ÐD =180° (внутрішні односторонні при AВ II CD та січній AD).
Властивість 3.Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.
Доказ: Проведемо діагоналі АС та BD, що перетинаються у точці О.
АВ = СD (за першим св-ву паралелограма);
ÐAВO = ÐODC (внутрішні навхрест що лежать при АВ II CD і січній BD);
ÐВАO = ÐOСD (внутрішні навхрест що лежать при АB II CD і січній АС);
Þ DАВO = DODС (за 2 ознаками).
O = OD; AO = OC.
Ознаки паралелограма.
Ознака 1.Якщо чотирикутник дві сторони рівні і паралельні, цей чотирикутник - паралелограмм.
Дано: ABCD – чотирикутник; АD II BC,
На цьому уроці ми приступимо вже до новій теміі введемо нове нам поняття «багатокутник». Ми розглянемо основні поняття, пов'язані з багатокутниками: сторони, вершини кути, опуклість та невипуклість. Потім доведемо найважливіші факти, такі як теорема про суму внутрішніх кутівбагатокутника, теорема про суму зовнішніх кутівбагатокутник. У підсумку ми підійдемо до вивчення окремих випадків багатокутників, які будуть розглядатися на подальших уроках.
Тема: Чотирикутники
Урок: Багатокутники
В курсі геометрії ми вивчаємо властивості геометричних фігур і вже розглянули найпростіші з них: трикутники та кола. При цьому ми обговорювали і конкретні окремі випадки цих фігур, такі як прямокутні, рівнобедрені та правильні трикутники. Тепер настав час поговорити про більш загальні та складних фігурах - багатокутниках.
З окремим випадком багатокутниківми вже знайомі – це трикутник (див. рис. 1).
Мал. 1. Трикутник
У самій назві вже підкреслюється, що це постать, яка має три кути. Отже, в багатокутникуїх то, можливо багато, тобто. більше, ніж три. Наприклад, зобразимо п'ятикутник (див. мал. 2), тобто. фігури з п'ятьма кутами.
Мал. 2. П'ятикутник. Випуклий багатокутник
Визначення.Багатокутник- фігура, що складається з декількох точок (більше двох) та відповідної кількості відрізків, які їх послідовно з'єднують. Ці точки називаються вершинамибагатокутника, а відрізки - сторонами. При цьому жодні дві суміжні сторони не лежать на одній прямій і жодні дві несуміжні сторони не перетинаються.
Визначення.Правильний багатокутник- це опуклий багатокутник, У якого всі сторони та кути рівні.
Будь-який багатокутникподіляє площину на дві області: внутрішню та зовнішню. Внутрішню область також відносять до багатокутнику.
Іншими словами, наприклад, коли говорять про п'ятикутник, мають на увазі і всю його внутрішню область, і кордон. До внутрішньої області ставляться і всі точки, які лежать усередині багатокутника, тобто. точка теж відноситься до п'ятикутника (див. мал. 2).
Багатокутники ще іноді називають n-кутниками, щоб наголосити, що розглядається загальний випадок наявності якоїсь невідомої кількості кутів (n штук).
Визначення. Периметр багатокутника- Сума довжин сторін багатокутника.
Тепер треба познайомитись із видами багатокутників. Вони поділяються на опукліі невипуклі. Наприклад, багатокутник, зображений на рис. 2 є опуклим, а на Рис. 3 неопуклим.
Мал. 3. Неопуклий багатокутник
Визначення 1. Багатокутникназивається опуклим, якщо при проведенні прямої через будь-яку з його сторін багатокутниклежить лише з одного боку від цієї прямої. Невипуклимиє всі інші багатокутники.
Легко уявити, що з продовження будь-якої сторони п'ятикутника на Рис. 2 він виявиться по одну сторону від цієї прямої, тобто. він опуклий. А ось при проведенні прямої через чотирикутник на Рис. 3 ми вже бачимо, що вона поділяє на дві частини, тобто. він невипуклий.
Але є й інше визначення опуклості багатокутника.
Визначення 2. Багатокутникназивається опуклим, якщо при виборі будь-яких двох внутрішніх точок і при з'єднанні їх відрізком всі точки відрізка є також внутрішніми точками багатокутника.
Демонстрацію використання цього визначення можна побачити з прикладу побудови відрізків на Рис. 2 та 3.
Визначення. Діагоналлюбагатокутника називається будь-який відрізок, що з'єднує дві не сусідні його вершини.
Для опису властивостей багатокутників існують дві найважливіші теоремипро їх кутах: теорема про суму внутрішніх кутів опуклого багатокутникаі теорема про суму зовнішніх кутів опуклого багатокутника. Розглянемо їх.
Теорема. Про суму внутрішніх кутів опуклого багатокутника (n-кутника).
Де – кількість його кутів (сторон).
Доказ 1. Зобразимо на рис. 4 опуклий n-кутник.
Мал. 4. Випуклий n-кутник
З вершини проведемо усі можливі діагоналі. Вони ділять n-кутник на трикутник, т.к. кожна зі сторін багатокутника утворює трикутник, крім сторін, що належать до вершини . Легко бачити на малюнку, що сума кутів всіх цих трикутників якраз дорівнюватиме сумі внутрішніх кутів n-кутника. Оскільки сума кутів будь-якого трикутника - то сума внутрішніх кутів n-кутника:
Що й потрібно було довести.
Доказ 2. Можливий і інший доказ цієї теореми. Зобразимо аналогічний n-кутник Рис. 5 і з'єднаємо будь-яку його внутрішню точку з усіма вершинами.
Мал. 5.
Ми отримали розбиття n-кутника на n трикутників (скільки сторін, стільки та трикутників). Сума всіх їх кутів дорівнює сумі внутрішніх кутів багатокутника та сумі кутів при внутрішньої точки, а це кут. Маємо:
Що й потрібно було довести.
Доведено.
По доведеній теоремі видно, що сума кутів n-кутника залежить кількості його сторін (від n). Наприклад, у трикутнику , а сума кутів . У чотирикутнику, а сума кутів - і т.д.
Теорема. Про суму зовнішніх кутів опуклого багатокутника (n-кутника).
Де - кількість його кутів (сторон), а , ..., - Зовнішні кути.
Доказ. Зобразимо опуклий n-кутник на Мал. 6 і позначимо його внутрішні та зовнішні кути.
Мал. 6. Випуклий n-кутник із позначеними зовнішніми кутами
Т.к. зовнішній кут пов'язаний з внутрішнім як суміжні, то 
і аналогічно інших зовнішніх кутів. Тоді:
У ході перетворень ми скористалися вже доведеною теоремою сумі внутрішніх кутів n-кутника .
Доведено.
З доведеної теореми випливає цікавий фактщо сума зовнішніх кутів опуклого n-кутника дорівнює 
від кількості його кутів (сторон). До речі, на відміну суми внутрішніх кутів.
Список литературы
- Александров А.Д. та ін. Геометрія, 8 клас. - М: Просвітництво, 2006.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрія, 8 клас. - М: Просвітництво, 2011.
- Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір С.М. Геометрія, 8 клас. – К.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com ().
Домашнє завдання
Дані геометричні фігури оточують нас усюди. Випуклі багатокутники бувають природними, наприклад, бджолиними стільниками або штучними (створеними людиною). Ці фігури використовуються у виробництві різних видівпокриттів, у живописі, архітектурі, прикрасах тощо. Випуклі багатокутники мають ту властивість, що всі їхні точки розташовуються по одну сторону від прямої, що проходить через пару сусідніх вершин цієї геометричної фігури. Існують та інші визначення. Випуклим називається той багатокутник, який розташований в єдиній півплощині щодо будь-якої прямої, що містить одну з сторін.
В курсі елементарної геометріїзавжди розглядаються виключно прості багатокутники. Щоб зрозуміти всі властивості таких, необхідно розібратися з їх природою. Спочатку слід усвідомити, що замкненою називається будь-яка лінія, кінці якої збігаються. Причому фігура, освічена нею, може мати різні конфігурації. Багатокутником називають просту замкнуту ламану лінію, у якої сусідні ланки не розташовуються на одній прямій. Її ланки та вершини є, відповідно, сторонами та вершинами цієї геометричної фігури. Проста ламана не повинна мати самоперетину.
Вершини багатокутника називають сусідніми, якщо вони є кінці однієї з його сторін. Геометрична фігура, яка має n-е числовершин, а значить, і n-а кількістьсторін, називається n-кутником. Саму ламану лінію називають межею чи контуром цієї геометричної фігури. Багатокутною площиною або плоским багатокутником називають кінцеву частину будь-якої площини, ним обмеженою. Сусідними сторонами цієї геометричної фігури називають відрізки ламаної лінії, що виходять із однієї вершини. Вони будуть не сусідніми, якщо виходять з різних вершин багатокутника.
Інші визначення опуклих багатокутників
В елементарній геометрії існує ще кілька еквівалентних за своїм значенням визначень, що вказують на те, який багатокутник називається опуклим. Причому всі ці формулювання в однакового ступенявірні. Випуклим вважається той багатокутник, у якого:
Кожен відрізок, що з'єднує будь-які дві точки всередині нього, повністю лежить у ньому;
Усередині нього лежать усі його діагоналі;
Будь-який внутрішній кут вбирається у 180°.
Багатокутник завжди розбиває площину на 2 частини. Одна з них - обмежена (вона може бути поміщена в коло), а інша - необмежена. Першу називають внутрішньою областю, а другу – зовнішньою областю цієї геометричної фігури. Цей багатокутник є перетином (іншими словами - загальною складовою) декількох напівплощин. При цьому кожен відрізок, що має кінці в точках, що належать багатокутнику, повністю йому належить.
Різновиди опуклих багатокутників
Визначення опуклого багатокутника не вказує на те, що існує безліч видів. Причому кожен з них має певні критерії. Так, опуклі багатокутники, які мають внутрішній кут рівний 180°, називаються слабоопуклыми. Випукла геометрична фігура, що має три вершини, називається трикутником, чотири - чотирикутником, п'ять - п'ятикутником тощо. Геометрична фігура даного типу, В якій всі вершини розташовуються на одному колі, називається вписаною в окружність. Випуклий багатокутник називають описаним, якщо всі його сторони біля кола торкаються нього. Два багатокутники називають рівними лише у тому випадку, коли за допомогою накладання їх можна поєднати. Плоським багатокутником називають багатокутну площину (частина площини), що обмежена цією геометричною фігурою.
Правильні опуклі багатокутники
Правильними багатокутниками називають геометричні фігури з рівними кутамита сторонами. Усередині них є точка 0, яка знаходиться на однаковій відстані від кожної його вершин. Її називають центром цієї геометричної постаті. Відрізки, що з'єднують центр з вершинами цієї геометричної фігури, називають апофемами, а ті, що з'єднують точку 0 зі сторонами - радіусами.
Правильний чотирикутник – квадрат. Правильний трикутникназивають рівностороннім. Для таких фігур існує таке правило: кожен кут опуклого багатокутника дорівнює 180 ° * (n-2) / n,
де n – число вершин цієї опуклої геометричної фігури.
Площа будь-якого правильного багатокутникавизначають за формулою:
де p дорівнює половині суми всіх сторін даного багатокутника, а h дорівнює довжині апофеми.
Властивості опуклих багатокутників
Випуклі багатокутники мають певні властивості. Так, відрізок, який сполучає будь-які 2 точки такої геометричної фігури, обов'язково розташовується в ній. Доказ:
Припустимо, що Р - опуклий багатокутник. Беремо 2 довільні точки, наприклад, А, В, які належать Р. існуючому визначеннюопуклого багатокутника ці точки розташовані в одній стороні від прямої, що містить будь-яку сторону Р. Отже, АВ також має цю властивість і міститься в Р. Випуклий багатокутник завжди можна розбити на кілька трикутників абсолютно всіма діагоналями, які проведені з однієї його вершини.
Кути опуклих геометричних фігур
Кути опуклого багатокутника – це кути, що утворені його сторонами. Внутрішні кути знаходяться у внутрішній ділянці даної геометричної фігури. Кут, що утворений його сторонами, які сходяться на одній вершині, називають кутом опуклого багатокутника. з внутрішніми кутами даної геометричної фігури називають зовнішніми. Кожен кут опуклого багатокутника, розташований усередині нього, дорівнює:
де х – величина зовнішнього кута. Ця проста формуладіє щодо будь-яких геометричних фігур такого типу.
У загальному випадку, для зовнішніх кутів існує наступне правило: кожен кут опуклого багатокутника дорівнює різниці між 180° та величиною внутрішнього кута. Він може мати значення від -180° до 180°. Отже, коли внутрішній кут становить 120°, зовнішній матиме величину 60°.
Сума кутів опуклих багатокутників
Сума внутрішніх кутів опуклого багатокутника встановлюється за такою формулою:
де n – число вершин n-кутника.
Сума кутів опуклого багатокутника обчислюється просто. Розглянемо будь-яку таку геометричну фігуру. Для визначення суми кутів усередині опуклого багатокутника необхідно з'єднати одну з вершин з іншими вершинами. Внаслідок такої дії виходить (n-2) трикутника. Відомо, що сума кутів будь-яких трикутників завжди дорівнює 180 °. Оскільки їх кількість у будь-якому багатокутнику дорівнює (n-2), сума внутрішніх кутів такої фігури дорівнює 180 х (n-2).
Сума кутів опуклого багатокутника, а саме будь-яких двох внутрішніх і суміжних з ними зовнішніх кутів, дана опукла геометрична фігура завжди дорівнюватиме 180°. Виходячи з цього, можна визначити суму всіх її кутів:
Сума внутрішніх кутів становить 180 ° * (n-2). Виходячи з цього, суму всіх зовнішніх кутів цієї фігури встановлюють за такою формулою:
180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.
Сума зовнішніх кутів будь-якого опуклого багатокутника завжди дорівнюватиме 360° (незалежно від кількості його сторін).
Зовнішній кут опуклого багатокутника у випадку представляється різницею між 180° і величиною внутрішнього кута.
Інші властивості опуклого багатокутника
Крім основних властивостей даних геометричних фігур, вони й інші, що виникають при маніпуляціях із нею. Так, будь-який із багатокутників може бути розділений на кілька опуклих n-кутників. Для цього необхідно продовжити кожну з його сторін та розрізати цю геометричну фігуру вздовж цих прямих ліній. Розбити будь-який багатокутник на кілька опуклих частин можна і таким чином, щоб вершини кожного шматка збігалися з усіма його вершинами. З такої геометричної фігури можна просто зробити трикутники шляхом проведення всіх діагоналей з однієї вершини. Таким чином, будь-який багатокутник, зрештою, можна розбити на певну кількість трикутників, що виявляється дуже корисним при вирішенні різних завдань, пов'язаних з такими геометричними фігурами.
Периметр опуклого багатокутника
Відрізки ламаної лінії, які називаються сторонами багатокутника, найчастіше позначаються такими літерами: ab, bc, cd, de, ea. Це сторони геометричної фігури з вершинами a, b, c, d, e. Сума довжини всіх сторін цього опуклого багатокутника називають його периметром.
Коло багатокутника
Випуклі багатокутники можуть бути вписаними та описаними. Коло, що стосується всіх сторін цієї геометричної фігури, називається вписаною в неї. Такий багатокутник називають описаним. Центр кола, яка вписана в багатокутник, являє собою точку перетину бісектрис усіх кутів усередині цієї геометричної фігури. Площа такого багатокутника дорівнює:
де r – радіус вписаного кола, а p – напівпериметр даного багатокутника.
Коло, що містить вершини багатокутника, називають описаним біля нього. При цьому ця опукла геометрична фігура називається вписаною. Центр кола, яка описана біля такого багатокутника, є точкою перетину так званих серединних перпендикулярів усіх сторін.
Діагоналі опуклих геометричних фігур
Діагоналі опуклого багатокутника – це відрізки, які з'єднують не сусідні вершини. Кожна з них лежить усередині цієї геометричної фігури. Число діагоналей такого n-кутника встановлюється за такою формулою:
N = n (n – 3)/2.
Число діагоналей опуклого багатокутника грає важливу рольу елементарній геометрії. Число трикутників (К), на які можна розбити кожен опуклий багатокутник, обчислюється за такою формулою:
Кількість діагоналей опуклого багатокутника завжди залежить від його вершин.
Розбиття опуклого багатокутника
У деяких випадках для вирішення геометричних завданьнеобхідно розбити опуклий багатокутник на кілька трикутників з діагоналі, що не перетинаються. Цю проблему можна вирішити виведенням певної формули.
Визначення задачі: назвемо правильним якесь розбиття опуклого n-кутника на кілька трикутників діагоналями, що перетинаються лише у вершинах цієї геометричної фігури.
Рішення: Припустимо, що Р1, Р2, Р3 …, Pn – вершини цього n-кутника. Число Xn – кількість його розбиття. Уважно розглянемо отриману діагональ геометричної фігури Pi Pn. У будь-якому з правильних розбиття P1 Pn належить певному трикутнику P1 Pi Pn, у якого 1 Нехай і = 2 буде однією групою правильних розбиття, що завжди містить діагональ Р2 Pn. Кількість розбиття, що входять до неї, збігається з числом розбиття (n-1)-кутника Р2 Р3 Р4… Pn. Іншими словами, воно дорівнює Xn-1. Якщо і = 3, то ця інша група розбиття завжди міститиме діагоналі Р3 Р1 і Р3 Pn. При цьому кількість правильних розбиття, що містяться в цій групі, співпадатиме з числом розбиття (n-2)-кутника Р3 Р4… Pn. Іншими словами, воно дорівнюватиме Xn-2. Нехай і = 4, тоді серед трикутників правильне розбиття неодмінно міститиме трикутник Р1 Р4 Pn, до якого примикатиме чотирикутник Р1 Р2 Р3 Р4, (n-3)-кутник Р4 Р5 ... Pn. Кількість правильних розбиття такого чотирикутника дорівнює Х4, а число розбиття (n-3)-кутника дорівнює Xn-3. Виходячи з усього викладеного, можна сказати, що повна кількість правильних розбиття, що містяться в цій групі, дорівнює Xn-3 Х4. Інші групи, у яких і = 4, 5, 6, 7… матимуть Xn-4 Х5, Xn-5 Х6, Xn-6 Х7 … правильних розбиття. Нехай і = n-2, то кількість правильних розбиття в цій групі збігатиметься з числом розбиття в групі, у якої i = 2 (іншими словами, дорівнює Xn-1). Так як Х1 = Х2 = 0, Х3 = 1, Х4 = 2 ..., то число всіх розбиття опуклого багатокутника дорівнює: Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 Х4 + Xn-4 Х5 + … + Х5 Xn-4 + Х4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1. Х5 = Х4 + Х3 + Х4 = 5 Х6 = Х5 + Х4 + Х4 + Х5 = 14 Х7 = Х6 + Х5 + Х4 * Х4 + Х5 + Х6 = 42 Х8 = Х7 + Х6 + Х5 * Х4 + Х4 * Х5 + Х6 + Х7 = 132 При перевірці окремих випадків, можна прийти до припущення, що число діагоналей опуклих n-кутників дорівнює добутку всіх розбиття цієї фігури на (n-3). Підтвердження цього припущення: припустимо, що P1n = Xn * (n-3), тоді кожен n-кутник можна розбити на (n-2)-трикутників. У цьому їх може бути складний (n-3)-четырехугольник. Поряд з цим, кожен чотирикутник матиме діагональ. Оскільки в цій опуклій геометричній фігурі можуть бути проведені дві діагоналі, це означає, що і в будь-яких (n-3)-чотирьохкутниках можна провести додаткові діагоналі (n-3). Виходячи з цього, можна дійти невтішного висновку, що у кожному правильному розбиття є можливість провести (n-3)-діагоналі, відповідальні умовам цього завдання. Нерідко при вирішенні різних завдань елементарної геометрії виникає необхідність визначити площу опуклого багатокутника. Припустимо, що (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n являє собою послідовність координат всіх сусідніх вершин багатокутника, що не має самоперетинів. У цьому випадку його площа обчислюється за такою формулою: S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)), де (Х 1 Y 1) = (X n +1 Y n + 1). Поняття багатокутника Визначення 1 Багатокутникомназивається геометрична фігура в площині, яка складається з попарно з'єднаних між собою відрізків, сусідні з яких не лежать на одній прямій. При цьому відрізки називаються сторонами багатокутника, а їх кінці - вершинами багатокутника. Визначення 2 $n$-кутником називається багатокутник, у якого $n$ вершин. Визначення 3 Якщо багатокутник завжди лежатиме по одну сторону від будь-якої прямої, що проходить через його сторони, то багатокутник називається опуклим(Рис. 1). Малюнок 1. Випуклий багатокутник Визначення 4 Якщо багатокутник лежить по різні боки хоча б однієї прямої, що проходить через його сторони, то багатокутник називається неопуклим (рис. 2). Малюнок 2. Неопуклий багатокутник Введемо теорему про суму кутів-кутника. Теорема 1 Сума кутів опуклого -кутника визначається наступним чином \[(n-2)\cdot (180)^0\] Доказ. Нехай нам дано опуклий багатокутник $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. З'єднаємо його вершину $A_1$ з іншими вершинами даного багатокутника (рис. 3). Малюнок 3. За такого з'єднання ми отримаємо $n-2$ трикутника. Просумувавши їх кути ми отримаємо суму кутів даного -кутника. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює $(180)^0,$ отримаємо, що сума кутів опуклого -кутника визначається за формулою \[(n-2)\cdot (180)^0\] Теорему доведено. Використовуючи визначення $2$, легко ввести визначення чотирикутника. Визначення 5 Чотирьохкутником називається багатокутник, у якого $4$ вершини (рис. 4). Малюнок 4. Чотирьохкутник Для чотирикутника аналогічно визначено поняття опуклого чотирикутника та неопуклого чотирикутника. Класичними прикладами опуклих чотирикутників є квадрат, прямокутник, трапеція, ромб, паралелограм (рис. 5). Рисунок 5. Випуклі чотирикутники Теорема 2 Сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює $(360)^0$ Доказ. За теоремою $1$, ми знаємо, що сума кутів опуклого -кутника визначається за формулою \[(n-2)\cdot (180)^0\] Отже, сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює \[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\] Теорему доведено.Кількість правильних розбиття, що перетинають всередині одну діагональ
Площа опуклих багатокутників
Види багатокутників
Сума кутів багатокутника
Поняття чотирикутника
