У цій статті я розповім про алгоритм пошуку найбільшого та найменшого значенняфункції, точок мінімуму та максимуму.
З теорії нам нагоді таблиця похіднихі правила диференціювання. Все це є в цій табличці:
Алгоритм пошуку найбільшого та найменшого значення.
Мені зручніше пояснювати конкретному прикладі. Розглянемо:
Приклад:Знайдіть найбільше значенняфункції y=x^5+20x^3–65x на відрізку [–4;0].
Крок 1.Беремо похідну.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Крок 2.Знаходимо точки екстремуму.
Крапкою екстремумуми називаємо такі точки, у яких функція сягає свого найбільшого чи найменшого значення.
Щоб знайти точки екстремуму, треба прирівняти похідну функцію до нуля (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Тепер вирішуємо це біквадратне рівнянняі знайдене коріння є наші точки екстремуму.
Я розв'язую такі рівняння заміною t = x^2, тоді 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Скоротимо рівняння на 5, отримаємо: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12 ^ 2 - 4 * 1 * (-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt (196)) / 2 = (-12 + 14) / 2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Робимо зворотну заміну x^2 = t:
X_(1 та 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 і 4) = ±sqrt(-13) (виключаємо, під коренем не може бути негативних чисел, якщо звичайно не йдеться про комплексні числа)
Разом: x_(1) = 1 і x_(2) = -1 - і є наші точки екстремуму.
Крок 3Визначаємо найбільше та найменше значення.
Метод підстановки.
За умови нам було дано відрізок [b][–4;0]. Точка x=1 у цей відрізок не входить. Значить, її ми не розглядаємо. Але крім точки x=-1 нам також треба розглянути ліву та праву межу нашого відрізка, тобто точки -4 та 0. Для цього підставляємо всі ці три точки у вихідну функцію. Зауважте вихідну - це ту, яка дана в умові (y=x^5+20x^3–65x), деякі починають підставляти у похідну...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Значить найбільше значення функції це [b]44 і досягається воно точки [b]-1, яка називається точкою максимуму функції на відрізку [-4; 0].
Ми вирішили та отримали відповідь, ми молодці, можна розслабитися. Але стоп! Вам не здається, що рахувати y(-4) якось надто складно? В умовах обмеженого часу краще скористатися іншим способом, я називаю його так:
Через проміжки знакостійності.
Знаходяться ці проміжки для похідної функції, тобто нашого біквадратного рівняння.
Я роблю це наступним чином. Малюю спрямований відрізок. Розставляю точки: -4, -1, 0, 1. Не дивлячись на те, що 1 не входить до заданий відрізок, її однаково слід зазначити у тому, щоб коректно визначити проміжки знакопостійності. Візьмемо якесь число набагато більше 1, припустимо 100, подумки підставимо їх у наше биквадратное рівняння 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Навіть нічого крім стає очевидно, що у точці 100 функція має знак плюс. А значить, і на проміжки від 1 до 100 вона має знак плюс. При переході через 1 (ми йдемо праворуч наліво) функція змінить знак на мінус. При переході через точку 0 функція збереже свій знак, оскільки це лише межа відрізка, а чи не корінь рівняння. При переході через -1 функція знову змінить знак плюс.
З теорії ми знаємо, що там, де похідна функції (а ми саме для неї це й креслили) змінює знак із плюсу на мінус (точка -1 у нашому випадку)функція досягає свого локального максимуму (y(-1)=44, як було пораховано раніше)на даному відрізку(Це логічно дуже зрозуміло, функція перестала зростати, оскільки досягла свого максимуму і почала зменшуватися).
Відповідно, там де похідна функції змінює знак з мінусу на плюсдосягається локальний мінімум функції. Так, так, ми також знайшли точку локального мінімуму це 1, а y(1) - це мінімальне значенняфункції на відрізку, допустимо від -1 до +∞. Зверніть велику увагу, що це лише ЛОКАЛЬНИЙ МІНІМУМ, тобто мінімум на певному відрізку. Так як дійсний (глобальний) мінімум функція досягне десь там, -∞.
На мій погляд перший спосіб простіше теоретично, а другий простіше з погляду арифметичних дійале набагато складніше з точки зору теорії. Адже іноді бувають випадки, коли функція не змінює знак при переході через корінь рівняння, та й взагалі можна заплутатися з цими локальними, глобальними максимумами та мінімумами, хоча Вам так і так доведеться це добре освоїти, якщо ви плануєте надходити в технічний ВНЗ(а навіщо інакше здавати профільне ЄДІта вирішувати це завдання). Але практика і лише практика раз і назавжди навчить Вас вирішувати такі завдання. А тренуватись можете на нашому сайті. Ось.
Якщо виникли якісь питання, чи щось незрозуміло – обов'язково запитайте. Я з радістю Вам відповім і внесу зміни, доповнення до статті. Пам'ятайте, ми робимо цей сайт разом!
Дослідження такого об'єкту математичного аналізуяк функція має велике значеннята в інших галузях науки. Наприклад, в економічному аналізіпостійно потрібно оцінити поведінку функціїприбутку, а саме визначити її найбільше значеннята розробити стратегію його досягнення.
Інструкція
Дослідження поведінки будь-якої завжди слід починати з пошуку області визначення. Зазвичай за умовою конкретного завданняпотрібно визначити найбільше значення функціїабо по всій цій галузі, або на конкретному її інтервалі з відкритими або закритими межами.
Виходячи з , найбільшим є значення функції y(x0), при якому для будь-якої точки області визначення виконується нерівність y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0). Графічно ця точка буде найвищою, якщо розташувати значення аргументу на осі абсцис, а саму функцію на осі ординат.
Щоб визначити найбільше значення функції, дотримуйтесь алгоритму з трьох етапів. Врахуйте, що ви повинні вміти працювати з односторонніми та , а також обчислювати похідну. Отже, нехай задана деяка функція y(x) і потрібно знайти її найбільше значенняна деякому інтервалі з граничними значеннями А та В.
З'ясуйте, чи входить цей інтервал до області визначення функції. Для цього необхідно її знайти, розглянувши всі можливі обмеження: присутність у виразі дробу, квадратного кореняі т.д. Область визначення – це безліч значень аргументу, у яких функція має сенс. Визначте, чи є даний інтервалйого підмножиною. Якщо так, то переходьте до наступного етапу.
Знайдіть похідну функціїі розв'яжіть отримане рівняння, прирівнявши похідну до нуля. Таким чином, ви отримаєте значення так званих стаціонарних точок. Оцініть, чи належить хоч одна їх інтервалу А, У.
Розгляньте на третьому етапі ці точки, підставте їх значення функцію. Залежно від типу інтервалу виконайте такі додаткові дії. За наявності відрізка виду [А, В] граничні точки входять до інтервалу, про це говорять дужки. Обчисліть значення функціїпри х = А та х = В. Якщо відкритий інтервал(А, У), граничні значення є виколотими, тобто. не входять до нього. Вирішіть односторонні межі для х→А та х→В. Комбінований інтервал виду [А, В) або (А, В), одна з меж якого належить йому, інша – ні, знайдіть односторонню межу при х, що прагне до виколотого значення, а інше підставте в функцію. +∞) або односторонні нескінченні проміжки виду: , (-∞, B).
Завдання цьому етапі
Постановка задачі 2:
Дана функція, певна і безперервна на певному проміжку. Потрібно знайти найбільше (найменше) значення функції у цьому проміжку.
Теоретичні основи.
Теорема (Друга теорема Вейєрштраса):
Якщо функція визначена і безперервна в замкнутому проміжку , вона досягає у цьому проміжку своїх найбільшого і найменшого значень.
Функція може досягати своїх найбільших та найменших значень або на внутрішніх точкахпроміжку, або його межах. Проілюструємо усі можливі варіанти. 
Пояснення:
1) Функція досягає свого найбільшого значення на лівій межі проміжку в точці, а свого найменшого значення на правій межі проміжку в точці.
2) Функція досягає свого найбільшого значення в точці (це точка максимуму), а свого найменшого значення на правій межі проміжку в точці.
3) Функція досягає свого найбільшого значення на лівій межі проміжку в точці, а свого найменшого значення в точці (це точка мінімуму).
4) Функція стала на проміжку, тобто. вона досягає свого мінімального та максимального значення в будь-якій точці проміжку, причому мінімальне та максимальне значення рівні між собою.
5) Функція досягає свого найбільшого значення у точці , а свого найменшого значення точці (попри те, що функція має у цьому проміжку як максимум, і мінімум).
6) Функція досягає свого найбільшого значення у точці (це точка максимуму), а свого найменшого значення у точці (це точка мінімуму).
Примітка:
"Максимум" і "максимальне значення" - різні речі. Це випливає із визначення максимуму та інтуїтивного розуміння словосполучення «максимальне значення».
Алгоритм розв'язання задачі 2.
4) Вибрати з отриманих значень найбільше (найменше) та записати відповідь.
Приклад 4:
Визначити найбільше та найменше значення функції 
на відрізку.
Рішення:
1) Знайти похідну функції. 
2) Знайти стаціонарні точки (і точки, підозрілі на екстремум), розв'язавши рівняння . Звернути увагу на точки, в яких немає двосторонньої кінцевої похідної. 
3) Обчислити значення функції в стаціонарних точкахта на межах інтервалу.
4) Вибрати з отриманих значень найбільше (найменше) та записати відповідь.
Функція цьому відрізку досягає свого найбільшого значення у точці з координатами .
Функція цьому відрізку досягає свого найменшого значення у точці з координатами .
У правильність обчислень можна переконатися, подивившись графік досліджуваної функції. 
Примітка:Найбільшого значення функція сягає у точці максимуму, а найменшого – межі відрізка.
Окремий випадок.
Припустимо, потрібно знайти максимально та мінімальне значення деякої функції на відрізку. Після виконання першого пункту алгоритму, тобто. обчислення похідної стає ясно, що, наприклад, вона приймає тільки від'ємні значенняна всьому розглянутому відрізку. Пам'ятаємо, якщо похідна негативна, то функція зменшується. Отримали, що на всьому відрізку функція зменшується. Ця ситуація відображена на графіку №1 на початку статті.
На відрізку функція зменшується, тобто. точок екстремумів у неї немає. З зображення видно, що найменше значення функція прийме на правій межі відрізка, а найбільше значення - на лівій. якщо похідна на відрізку всюди позитивна, то функція зростає. Найменше значення- На лівій межі відрізка, найбільше - на правій.