Найбільше та найменше значення функції

Найбільшим значенням функції називається найбільше, найменшим значенням – найменше зі всіх її значень.

Функція може лише одне найбільше і лише одне найменше значення чи може мати їх зовсім. Знаходження найбільшого та найменшого значень безперервних функцій ґрунтується на наступних властивостях цих функцій:

1) Якщо в деякому інтервалі (кінцевому чи нескінченному) функція y=f(x) безперервна і має лише один екстремум і якщо це максимум (мінімум), то він буде найбільшим (найменшим) значенням функції у цьому інтервалі.

2) Якщо функція f(x) безперервна на деякому відрізку, то вона обов'язково має на цьому відрізку найбільше та найменше значення. Ці значення досягаються або в точках екстремуму, що лежать усередині відрізка, або на межах цього відрізка.

Для пошуку максимального і меншого значень на відрізку рекомендується скористатися наступною схемою:

1. Знайти похідну.

2. Знайти критичні точки функції, у яких =0 чи немає.

3. Знайти значення функції в критичних точках і кінцях відрізка і вибрати їх найбільше f наиб і найменше f наим.

При вирішенні прикладних завдань, зокрема оптимізаційних, важливе значеннямають завдання на знаходження найбільшого та найменшого значень (глобального максимуму та глобального мінімуму) функції на проміжку Х. Для вирішення таких завдань слід, виходячи з умови, вибрати незалежну змінну та висловити досліджувану величину через цю змінну. Потім знайти потрібне найбільше чи найменше значення отриманої функції. При цьому інтервал зміни незалежної змінної, який може бути кінцевим або нескінченним, також визначається за умови завдання.

приклад.Резервуар, що має форму відкритого зверху прямокутного паралелепіпедаз квадратним дном потрібно вилудити всередині оловом. Які мають бути розміри резервуара за його ємності 108 л. води, щоб витрати на його лудіння були найменшими?

Рішення.Витрати покриття резервуара оловом будуть найменшими, якщо за даної місткості його поверхня буде мінімальною. Позначимо через а дм – бік основи, b дм – висоту резервуара. Тоді площа S його поверхні дорівнює

І

Отримане співвідношення встановлює залежність між площею поверхні резервуара S (функція) та стороною основи (аргумент). Досліджуємо функцію S на екстремум. Знайдемо першу похідну, прирівняємо її до нуля і вирішимо отримане рівняння:

Звідси а = 6. (а) > 0 при а > 6, (а)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

приклад. Знайти найбільше та найменше значення функції на проміжку.

Рішення: Задана функціябезперервна на всій числовій осі. Похідна функції

Похідна при та при . Обчислимо значення функції у цих точках:

.

Значення функції кінцях заданого проміжку рівні . Отже, найбільше значення функції дорівнює при , найменше значення функції при .

Запитання для самоперевірки

1. Сформулюйте правило Лопіталя для розкриття невизначеності виду. Перерахуйте різні типиневизначеності, для розкриття яких може бути використане правило Лопіталя.

2. Сформулюйте ознаки зростання та зменшення функції.

3. Дайте визначення максимуму та мінімуму функції.

4. Сформулюйте необхідна умоваіснування екстремуму.

5. Які значення аргументу (які точки) називають критичними? Як знайти ці точки?

6. Якими є достатні ознаки існування екстремуму функції? Викладіть схему дослідження функції на екстремум за допомогою першої похідної.

7. Викладіть схему дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної.

8. Дайте визначення опуклості, увігнутості кривої.

9. Що називається точкою перегину графіка функції? Вкажіть спосіб знаходження цих точок.

10. Сформулюйте необхідний і достатній ознаки опуклості та увігнутості кривої на за даному відрізку.

11. Дайте визначення асимптоти кривої. Як знайти вертикальні, горизонтальні та похилі асимптотиграфіка функції?

12. Викладіть загальну схемудослідження функції та побудови її графіка.

13. Сформулюйте правило знаходження найбільшого та найменшого значень функції на заданому відрізку.

І на її вирішення знадобиться мінімальне знання теми. Закінчується черговий навчальний ріквсім хочеться на канікули, і щоб наблизити цей момент я відразу ж переходжу до справи:

Почнемо з області. Область, про яку йдеться в умові, є обмежене замкнене безліч точок площини. Наприклад, безліч точок, обмежена трикутником, включаючи ВЕСЬ трикутник (якщо з кордону«виколоти» хоча б одну точку, то область перестане бути замкненою). На практиці також зустрічаються області прямокутної, круглої та трохи більше складних форм. Слід зазначити, що теоретично математичного аналізудаються суворі визначення обмеженість, замкнутість, межі і т.д.Але, думаю, всі усвідомлюють ці поняття на інтуїтивному рівні, а більшого зараз і не треба.

Плоска область стандартно позначається буквою , і, як правило, задається аналітично - декількома рівняннями (не обов'язково лінійними); рідше за нерівності. Типовий словесний оборот: «замкнута область, обмежена лініями ».

Невід'ємною частиноюрозглянутого завдання є побудова області на кресленні. Як це зробити? Потрібно накреслити всі ці лінії (в даному випадку 3 прямі) та проаналізувати, що ж вийшло. Шукану область зазвичай злегка штрихують, а її кордон виділяють жирною лінією:


Цю ж область можна задати і лінійними нерівностями: , які чомусь частіше записують перечислювальним списком, а не системою.
Оскільки кордон належить області, всі нерівності, зрозуміло, несуворі.

А тепер суть завдання. Уявіть, що з початку координат прямо на вас виходить вісь . Розглянемо функцію, яка безперервна у кожнійточці області. Графік цієї функції є деякою поверхня, і маленьке щастя у тому, що з вирішення сьогоднішнього завдання нам не обов'язково знати, як ця поверхня виглядає. Вона може розташовуватись вище, нижче, перетинати площину – все це не важливо. А важливе таке: згідно теорем Вейєрштраса, безперервнав обмеженою замкненоюобласті функція досягає в ній найбільшого (найвищого)і найменшого (найнижчого)значень, які потрібно знайти. Такі значення досягаються абов стаціонарних точках, що належать областіD , абоу точках, що лежать на межі цієї області. З чого випливає простий і прозорий алгоритм розв'язання:

Приклад 1

В обмеженій замкнутої області

Рішення: перш за все, потрібно зобразити область на кресленні На жаль, мені технічно важко зробити інтерактивну модель завдання, і тому я одразу наведу фінальну ілюстрацію, на якій зображені всі «підозрілі» точки, знайдені в ході дослідження. Зазвичай вони проставляються одна за одною в міру їхнього виявлення:

Виходячи з преамбули, рішення зручно розбити на два пункти:

I) Знайдемо стаціонарні точки. Це стандартна дія, яку ми неодноразово виконували на уроці про екстремуми кількох змінних:

Знайдена стаціонарна точка належитьобласті: (Зазначаємо її на кресленні), Отже, слід обчислити значення функції у цій точці:

– як і у статті Найбільше та найменше значення функції на відрізку, важливі результатия виділятиму жирним шрифтом. У зошиті їх зручно обводити олівцем.

Зверніть увагу на наше друге щастя – немає сенсу перевіряти достатня умова екстремуму. Чому? Навіть якщо в точці функція досягає, наприклад, локального мінімуму, то це ЩЕ НЕ ЗНАЧИТЬ, що отримане значення буде мінімальниму всій області (Див. початок уроку про безумовні екстремуми) .

Що робити, якщо стаціонарна точка не належить області? Майже нічого! Слід зазначити, як і перейти до наступного пункту.

II) Досліджуємо кордон області.

Оскільки межа складається із сторін трикутника, то дослідження зручно розбити на 3 підпункти. Але краще це зробити не аби як. На мою думку, спочатку вигідніше розглянути відрізки, паралельні координатним осям, і в першу чергу - лежать на самих осях. Щоб уловити всю послідовність і логіку дій, постарайтеся вивчити кінцівку «на одному диханні»:

1) Розберемося з нижньою стороною трикутника. Для цього підставимо безпосередньо у функцію:

Як варіант, можна оформити і так:

Геометрично це означає, що координатна площина (яка теж задається рівнянням)«висікає» з поверхні"просторову" параболу, вершина якої негайно потрапляє під підозру. З'ясуємо, де вона знаходиться:

- Отримане значення «потрапило» в область, і цілком може статися, що в точці (Зазначаємо на кресленні)функція досягає максимального або найменшого значенняу всій області. Так чи інакше, проводимо обчислення:

Інші «кандидати» – це, звичайно, кінці відрізка. Обчислимо значення функції у точках (Зазначаємо на кресленні):

Тут, до речі, можна виконати усну міні-перевірку за «урізаною» версією:

2) Для дослідження правої сторонитрикутника підставляємо у функцію і «наводимо там порядок»:

Тут відразу ж виконаємо чорнову перевірку, «продзвонюючи» вже оброблений кінець відрізка:
, відмінно.

Геометрична ситуація споріднена попередньому пункту:

– отримане значення теж «увійшло сферу наших інтересів», отже, потрібно обчислити, чому дорівнює функція в точці :

Досліджуємо другий кінець відрізка:

Використовуючи функцію , Виконаємо контрольну перевірку:

3) Напевно, всі здогадуються, як дослідити бік, що залишився. Підставляємо у функцію та проводимо спрощення:

Кінці відрізка вже досліджено, але на чернетці все одно перевіряємо, чи правильно ми знайшли функцію :
- Збіглося з результатом 1-го підпункту;
- Збіглося з результатом 2-го підпункту.

Залишилося з'ясувати, чи щось цікаве всередині відрізка:

- Є! Підставляючи в рівняння прямий, отримаємо ординату цієї «цікавості»:

Відзначаємо на кресленні точку і знаходимо відповідне значення функції:

Проконтролюємо обчислення за «бюджетною» версією :
, Порядок.

І заключний крок: Уважно переглядаємо всі жирні числа, початківцям рекомендую навіть скласти єдиний список:

з якого вибираємо найбільше та найменше значення. Відповідьзапишемо у стилістиці завдання знаходження найбільшого та найменшого значень функції на відрізку:

Про всяк випадок ще раз закоментую геометричний змістрезультату:
- Тут сама висока точкаповерхні в області;
- Тут сама низька точкаповерхні в області.

У розібраному завданні у нас виявилося 7 «підозрілих» точок, але від завдання до завдання їхня кількість варіюється. Для трикутної області мінімальний «дослідницький набір» складається з трьох точок. Таке буває, коли функція , наприклад, задає площина- Зрозуміло, що стаціонарні точки відсутні, і функція може досягати найбільшого/найменшого значень лише у вершинах трикутника. Але подібних прикладів раз, два і влаштувався - зазвичай доводиться мати справу з якою-небудь поверхнею 2-го порядку.

Якщо ви трохи вирішуєте такі завдання, то від трикутників голова може піти кругом, і тому я приготував для вас незвичайні прикладищоб вона стала квадратною:))

Приклад 2

Знайти найбільше та найменше значення функції у замкнутій області, обмеженій лініями

Приклад 3

Знайти найбільше та найменше значення функції в обмеженій замкнутій області.

Особлива увагазверніть на раціональний порядок і техніку дослідження кордону області, а також на ланцюжок проміжних перевірок, який практично повністю дозволить уникнути обчислювальних помилок. Взагалі кажучи, вирішувати можна як завгодно, але в деяких завданнях, наприклад, у тому ж Прикладі 2 є всі шанси значно ускладнити собі життя. Зразковий зразокчистового оформлення завдань наприкінці уроку

Систематизуємо алгоритм рішення, а то з моєю старанністю павука він якось загубився в довгій нитці коментарів 1-го прикладу:

- На першому кроці будуємо область, її бажано заштрихувати, а кордон виділити жирною лінією. У ході рішення з'являтимуться точки, які потрібно проставляти на кресленні.

– Знайдемо стаціонарні точки та обчислимо значення функції тільки в тих із них, що належать області. Отримані значення виділяємо у тексті (наприклад, обводимо олівцем). Якщо стаціонарна точка НЕ ​​належить області, то відзначаємо цей факт значком чи словесно. Якщо ж стаціонарних точокнемає зовсім, то робимо письмовий висновок у тому, що вони відсутні. У жодному разі цей пункт пропускати не можна!

– Досліджуємо кордон області. Спочатку вигідно розібратися з прямими, які паралельні координатним осям (якщо такі є взагалі). Значення функції, обчислені в підозрілих точках, також виділяємо. Про техніку рішення дуже багато сказано вище і ще щось буде сказано нижче - читайте, перечитуйте, вникайте!

– З виділених чисел вибираємо найбільше та найменше значення та даємо відповідь. Іноді буває, що такі значення функція досягає відразу в кількох точках – у цьому випадку всі ці точки слід відобразити у відповіді. Нехай, наприклад, і виявилося, що це найменше значення. Тоді записуємо, що

Заключні приклади присвячені іншим корисним ідеям, які стануть у нагоді на практиці:

Приклад 4

Знайти найбільше та найменше значення функції у замкнутій області .

Я зберіг авторське формулювання, в якому область задана у вигляді подвійної нерівності. Цю умову можна записати еквівалентною системою або ж у більш традиційному для цього завдання вигляді:

Нагадую, що з нелінійниминерівностями ми стикалися на , і якщо вам не зрозумілий геометричний зміст запису , то, будь ласка, не відкладайте та проясніть ситуацію прямо зараз;-)

Рішення, як завжди, починається з побудови області, яка є своєрідною «підошвою»:

Мда, іноді доводиться гризти як граніт науки….

I) Знайдемо стаціонарні точки:

Система-мрія ідіота:)

Стаціонарна точка належить області, зокрема, лежить її межі.

А так, воно, нічого… весело урок пішов – ось що означає попити правильного чаю =)

II) Досліджуємо кордон області. Не мудруючи лукаво, почнемо з осі абсцис:

1) Якщо , то

Знайдемо, де вершина параболи:
– цінуйте такі моменти – «потрапили» прямо в точку, з якою вже все ясно. Але про перевірку все одно не забуваємо:

Обчислимо значення функції на кінцях відрізка:

2) З нижньою частиною"підошви" розберемося "за один присід" - без будь-яких комплексів підставляємо в функцію, причому, цікавити нас буде лише відрізок:

Контроль:

Ось це вже вносить деяке пожвавлення в монотонну їзду накатаною колією. Знайдемо критичні точки:

Вирішуємо квадратне рівнянняпам'ятаєте ще про таке? …Втім, пам'ятайте, звичайно, інакше б не читали ці рядки =) Якщо у двох попередніх прикладах були зручні обчислення в десяткових дробах(що, до речі, рідкість), то тут на нас чекають звичні звичайні дроби. Знаходимо «іксове» коріння і за рівнянням визначаємо відповідні «ігрові» координати точок-«кандидатів»:


Обчислимо значення функції у знайдених точках:

Перевірку функції проведіть самостійно.

Тепер уважно вивчаємо завойовані трофеї та записуємо відповідь:

Ось це «кандидати», то «кандидати»!

Для самостійного вирішення:

Приклад 5

Знайти найменше та найбільше значенняфункції у замкнутій області

Запис з фігурними дужками читається так: «безліч точок, таких, що».

Іноді в подібних прикладахвикористовують метод множників ЛагранжаАле реальна необхідність його застосовувати навряд чи виникне. Так, наприклад, якщо дана функція з тією ж областю «де», то після підстановки до неї – з похідною від жодних труднощів; причому оформляється все «одним рядком» (зі знаками) без потреби розглядати верхню і нижню півкола окремо. Але, звичайно, бувають і більше складні випадкиде без функції Лагранжа (де , наприклад, те саме рівняння кола)обійтися важко – як важко обійтись і без гарного відпочинку!

Всім добре скласти сесію і до швидких зустрічей наступного сезону!

Рішення та відповіді:

Приклад 2: Рішення: зобразимо область на кресленні:

Процес пошуку найменшого і максимального значення функції на відрізку нагадує цікавий обліт об'єкта (графіка функції) на гелікоптері з обстрілом з далекобійної гармати певних точок і вибором з цих точок дуже особливих точок для контрольних пострілів. Крапки вибираються певним чином і по певним правилам. За якими правилами? Про це ми далі й поговоримо.

Якщо функція y = f(x) безперервна на відрізку [ a, b] , то вона досягає на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень . Це може статися або в точках екстремуму, або кінцях відрізка. Тому для знаходження найменшого і найбільшого значень функції , безперервний на відрізку [ a, b], потрібно обчислити її значення у всіх критичних точкахі на кінцях відрізка, а потім вибрати з них найменше та найбільше.

Нехай, наприклад, потрібно визначити найбільше значення функції f(x) на відрізку [ a, b]. Для цього слід знайти всі її критичні точки, що лежать на [ a, b] .

Критичною точкою називається точка, в якій функція визначена, а її похіднаабо дорівнює нулю, або немає. Потім слід обчислити значення функції у критичних точках. І, нарешті, слід порівняти між собою за величиною значення функції в критичних точках і кінцях відрізка ( f(a) та f(b)). Найбільше з цих чисел і буде найбільшим значенням функції на відрізку [a, b] .

Аналогічно вирішуються завдання на перебування найменших значень функції .

Шукаємо найменше та найбільше значення функції разом

Приклад 1. Знайти найменше та найбільше значення функції на відрізку [-1, 2] .

Рішення. Знаходимо похідну цієї функції. Прирівняємо похідну нулю () та отримаємо дві критичні точки: і . Для знаходження найменшого та найбільшого значень функції на заданому відрізку достатньо обчислити її значення на кінцях відрізка і в точці, оскільки точка не належить відрізку [-1, 2]. Ці значення функції - такі: , , . З цього випливає, що найменше значення функції(на графіці нижче позначено червоним), що дорівнює -7, досягається на правому кінці відрізка - у точці , а найбільше(теж червоне на графіці), дорівнює 9, - у критичній точці .

Якщо функція безперервна в деякому проміжку і цей проміжок не є відрізком (а є, наприклад, інтервалом; різниця між інтервалом та відрізком: граничні точки інтервалу не входять до інтервалу, а граничні точки відрізка входять у відрізок), то серед значень функції може і не бути найменшого та найбільшого. Так, наприклад, функція, зображена на малюнку нижче, безперервна на ]-∞, +∞[ і не має найбільшого значення.

Однак для будь-якого проміжку (закритого, відкритого чи нескінченного) справедлива наступна властивість безперервних функцій.

Приклад 4. Знайти найменше та найбільше значення функції на відрізку [-1, 3] .

Рішення. Знаходимо похідну цієї функції як похідну приватного:

.

Прирівнюємо похідну нулю, що дає одну критичну точку: . Вона належить відрізку [-1, 3]. Для знаходження найменшого та найбільшого значень функції на заданому відрізку знаходимо її значення на кінцях відрізка та в знайденій критичній точці:

Порівнюємо ці значення. Висновок: , рівного -5/13, у точці та найбільшого значення, рівного 1, у точці .

Продовжуємо шукати найменше та найбільше значення функції разом

Існують викладачі, які на тему знаходження найменшого і максимального значень функції не дають студентам на вирішення приклади складніше щойно розглянутих, тобто таких, у яких функція - многочлен чи дріб, чисельник і знаменник якої - многочлены. Але ми не обмежимося такими прикладами, оскільки серед викладачів бувають любителі змусити студентів думати по повній (таблиці похідних). Тому в хід підуть логарифм та тригонометрична функція.

Приклад 6. Знайти найменше та найбільше значення функції на відрізку .

Рішення. Знаходимо похідну цієї функції як похідну твори :

Прирівнюємо похідну нулю, що дає одну критичну точку: . Вона належить відрізку. Для знаходження найменшого та найбільшого значень функції на заданому відрізку знаходимо її значення на кінцях відрізка та в знайденій критичній точці:

Результат усіх дій: функція досягає найменшого значення, рівного 0, у точці та в точці та найбільшого значення, рівного e², у точці.

Приклад 7. Знайти найменше та найбільше значення функції на відрізку .

Рішення. Знаходимо похідну цієї функції:

Прирівнюємо похідну нулю:

Єдина критична точка належить відрізку. Для знаходження найменшого та найбільшого значень функції на заданому відрізку знаходимо її значення на кінцях відрізка та в знайденій критичній точці:

Висновок: функція досягає найменшого значення, рівного , у точці та найбільшого значення, рівного , у точці .

У прикладних екстремальних задачах знаходження найменшого (найбільшого) значень функції, як правило, зводиться до знаходження мінімуму (максимуму). Але більший практичний інтерес мають самі мінімуми чи максимуми, а ті значення аргументу, у яких досягаються. При вирішенні прикладних завдань виникає додаткові труднощі- Складання функцій, що описують аналізоване явище або процес.

Приклад 8.Резервуар ємністю 4 має форму паралелепіпеда з квадратною основоюі відкритий зверху, потрібно вилудити оловом. Якими мають бути розміри резервуара, щоб на його покриття пішло найменша кількістьматеріалу?

Рішення. Нехай x- сторона основи, h- Висота резервуара, S- площа поверхні без кришки, V- Його обсяг. Площа поверхні резервуара виражається формулою, тобто. є функцією двох змінних. Щоб висловити Sяк функцію однієї змінної, скористаємося тим, що , звідки . Підставивши знайдений вираз hу формулу для S:

Досліджуємо цю функцію на екстремум. Вона визначена і диференційована всюди ]0, +∞[ , причому

.

Прирівнюємо похідну нулю () і знаходимо критичну точку. Крім того, при похідна не існує, але це значення не входить в область визначення і тому не може бути точкою екстремуму. Отже, єдина критична точка. Перевіримо її на наявність екстремуму, використовуючи другу достатню ознаку. Знайдемо другу похідну. При другому похідному більше нуля (). Значить, при функція досягає мінімуму . Оскільки цей мінімум - єдиний екстремум цієї функції, і є її найменшим значенням. Отже, сторона основи резервуара повинна дорівнювати 2 м, а його висота .

Приклад 9.З пункту A, що знаходиться на лінії залізниці, в пункт Звіддалений від неї на відстані l, повинні переправити вантажі. Вартість провезення вагової одиниці на одиницю відстані залізницею дорівнює, а шосе вона дорівнює. До якої точки Млінії залізниціслід провести шосе, щоб транспортувати вантаж з Ав Збула найбільш економічною (ділянка АВзалізниці передбачається прямолінійним)?

Стандартний алгоритм вирішення таких завдань передбачає після знаходження нулів функції визначення знаків похідної на інтервалах. Потім обчислення значень у знайдених точках максимуму (або мінімуму) та на межі інтервалу, залежно від того, яке питання стоїть в умові.

Раджу робити трохи по-іншому. Чому? Писав про це.

Пропоную вирішувати такі завдання в такий спосіб:

1. Знаходимо похідну.
2. Знаходимо нулі похідної.
3. Визначаємо які з них належать даному інтервалу.
4. Обчислюємо значення функції на межах інтервалу та точках п.3.
5. Робимо висновок (відповідаємо на поставлене запитання).

У ході рішення поданих прикладів докладно не розглянуто рішення квадратних рівнянь, це ви повинні вміти робити. Так само повинні знати.

Розглянемо приклади:

77422. Знайдіть найбільше значення функції у = х 3 -3х +4 на відрізку [-2; 0].

Знайдемо нулі похідної:

Зазначеному за умови інтервалу належить точка х = –1.

Обчислюємо значення функції у точках –2, –1 та 0:

Найбільше значення функції 6.

Відповідь: 6

77425. Знайдіть найменше значення функції у = х 3 – 3х 2 + 2 на відрізку .

Знайдемо похідну заданої функції:

Знайдемо нулі похідної:

Зазначеному за умови інтервалу належить точка х = 2.

Обчислюємо значення функції в точках 1, 2 та 4:

Найменше значення функції дорівнює -2.

Відповідь: -2

77426. Знайдіть найбільше значення функції у = х 3 – 6х 2 на відрізку [–3;3].

Знайдемо похідну заданої функції:

Знайдемо нулі похідної:

Зазначеному за умови інтервалу належить точка х = 0.

Обчислюємо значення функції у точках –3, 0 та 3:

Найменше значення функції дорівнює 0.

Відповідь: 0

77429. Знайдіть найменше значення функції у = х 3 – 2х 2 + х +3 на відрізку .

Знайдемо похідну заданої функції:

3х 2 - 4х + 1 = 0

Отримаємо коріння: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Зазначеному за умови інтервалу належить лише х = 1.

Знайдемо значення функції в точках 1 та 4:

Набули, що найменше значення функції дорівнює 3.

Відповідь: 3

77430. Знайдіть найбільше значення функції у = х 3 + 2х 2 + х + 3 на відрізку [-4; -1].

Знайдемо похідну заданої функції:

Знайдемо нулі похідної, розв'язуємо квадратне рівняння:

3х 2 + 4х + 1 = 0

Отримаємо коріння:

Зазначеному за умови інтервалу належить корінь х = –1.

Знаходимо значення функції у точках –4, –1, –1/3 та 1:

Набули, що найбільше значення функції дорівнює 3.

Відповідь: 3

77433. Знайдіть найменше значення функції у = х 3 – х 2 – 40х +3 на відрізку .

Знайдемо похідну заданої функції:

Знайдемо нулі похідної, розв'язуємо квадратне рівняння:

3х 2 - 2х - 40 = 0

Отримаємо коріння:

Зазначеному за умови інтервалу належить корінь х = 4.

Знаходимо значення функції у точках 0 і 4:

Набули, що найменше значення функції дорівнює –109.

Відповідь: -109

Розглянемо спосіб визначення найбільшого та найменшого значення функцій без похідної. Цей підхід можна використовувати, якщо з визначенням похідної у вас великі проблеми. Принцип простий - у функцію підставляємо всі цілі значення з інтервалу (справа в тому, що у всіх подібних прототипах є відповідь ціле число).

77437. Знайдіть найменше значення функції у=7+12х–х 3 на відрізку [–2;2].

Підставляємо точки від -2 до 2: Подивитися рішення

77434. Знайдіть найбільше значення функції у=х 3 + 2х 2 – 4х + 4 на відрізку [–2;0].

На цьому все. Успіху вам!

З повагою Олександр Крутицьких.

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

Часто у фізиці та математиці потрібно знайти найменше значення функції. Як це зробити, ми зараз розповімо.

Як знаходити найменше значення функції: інструкція

1. Щоб обчислити найменше значення безперервної функціїна заданому відрізку потрібно слідувати такому алгоритму:
2. Знайти похідну від функції.
3. Знайти на заданому відрізку точки, у яких похідна дорівнює нулю, і навіть критичні точки. Потім з'ясувати значення функції цих точках, тобто вирішити рівняння, де x дорівнює нулю. З'ясувати, яке із значень найменше.
4. Виявити, яке значення функція має на кінцевих точках. Визначити найменше значення функції у цих точках.
5. Порівняти отримані дані із найменшим значенням. Найменше з отриманих чисел і буде найменшим значенням функції.

Зауважте, що в тому випадку, якщо функція на відрізку не має найменших точокЦе означає, що на даному відрізку вона зростає або зменшується. Отже, найменше значення слід обчислювати кінцевих відрізках функції.

У решті випадків значення функції обчислюється за заданим алгоритмом. У кожному пункті алгоритму вам потрібно буде вирішити просте лінійне рівнянняз одним коренем. Вирішуйте рівняння за допомогою малюнка, щоб уникнути помилок.

Як знаходити найменше значення функції на напіввідкритому відрізку? На відкритому або відкритому періоді функції найменше значення слід знаходити наступним чином. На кінцевих точках значення функції обчисліть односторонню межу функції. Іншими словами, розв'яжіть рівняння, в якому точки, що прагнуть, задані значенням a+0 і b+0, де a і b - назви критичних точок.

Тепер знаєте, як знайти найменше значення функції. Головне – все обчислення робити правильно, точно і без помилок.