Сума кутів правильного багатокутника обчислюється за такою формулою. Випуклі багатокутники

Нехай – даний опуклий багатокутник і n > 3. Тоді проведемо з однієї вершини до протилежних вершин n-3 діагоналі: . Так як багатокутник опуклий, ці діагоналі розбивають його на n - 2 трикутника: . Сума кутів багатокутника збігається із сумою кутів усіх цих трикутників. Сума кутів у кожному трикутнику дорівнює 180 °, а число цих трикутників є n-2. Отже, сума кутів n-кутника дорівнює 180 ° (n-2). Теорему доведено. Зауваження Для неопуклого n-кутника сума кутів також дорівнює 180 ° (n-2). Доказ аналогічний, але використовує на додаток лему про те, що будь-який багатокутник може бути розрізаний діагоналями на трикутники. Примітки Теорема про суму кутів багатокутника для багатокутників на сфері не виконується (а також на будь-якій іншій спотвореній площині, крім деяких випадків). Детальніше дивіться неевклідові геометрії. Див. також Wikimedia Foundation. 2010 . Дивитись що таке "Теорема про суму кутів багатокутника" в інших словниках: Трикутник Теорема про суму кутів трикутника класична теорема евклідової геометрії. Стверджує, що … Вікіпедія - … Вікіпедія Стверджує, що будь-які два рівновеликі багатокутники рівноскладені. Формальніше: Нехай P і Q суть два багатокутники з однаковою площею. Тоді їх можна розрізати відповідно на багатокутники і, тож для будь-якого… Вікіпедія Теорема Бойяї Гервіна стверджує, що будь-які два рівновеликі багатокутники рівноскладені. Формальніше: Нехай і суть два багатокутники з однаковою площею. Тоді їх можна розрізати відповідно на багатокутники і, отже, для … Вікіпедія - … Вікіпедія Цей термін має й інші значення, див. Трикутник (значення). Трикутник (в евклідовому просторі) це геометрична фігура, утворена трьома відрізками, які з'єднують три не лежать на одній прямій точці. Три точки, … … Вікіпедія

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Геометрична фігура, складена з відрізків AB,BC,CD,..,EF,FA таким чином, що суміжні відрізки не лежать на одній прямій, а несуміжні відрізки не мають спільних точок, називається багатокутником. Кінці даних відрізків, точки A, B, C, D, …, E, F називаються вершинамибагатокутника, а самі відрізки AB,BC,CD,.., EF, FA - сторонамибагатокутник.

Багатокутник називається опуклим, якщо він по одну сторону від кожної прямої, яка проходить через дві його суміжні вершини. На малюнку нижче представлений опуклий багатокутник:

А наступний малюнок ілюструє неопуклий багатокутник:

Кутом опуклого багатокутника при цій вершині буде називатися кут, утворений сторонами цього багатокутника, що сходяться в цій вершині. Зовнішнім кутом опуклого багатокутника у певній вершині називається кут суміжний із внутрішнім кутом багатокутника при даній вершині.

Теорема: Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180* (n-2)

Доказ: розглянемо опуклий n-кутник. Щоб знайти суму всіх внутрішніх кутів з'єднаємо одну з вершин багатокутника з іншими вершинами.

В результаті отримаємо (n-2) трикутника. Відомо, що сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів. Оскільки їх кількість у багатокутнику (n-2), то сума кутів багатокутника дорівнює 180˚ *(n-2). Це й потрібно було довести.

Завдання:

Знайти суму кутів опуклого a) п'ятикутник б) шестикутника в) десятикутника.

Скористаємося формулою для обчислення суми кутів опуклого n-кутника.

а) S5 = 180˚*(5-2) = 180˚ *3 = 540˚.

б) S6 180˚*(6-2) = 180˚*4=720˚.

в) S10 = 180˚*(10-2) = 180˚*8 = 1440˚.

Відповідь: а) 540?. б) 720˚. в) 1440?.

Дані геометричні фігури оточують нас усюди. Випуклі багатокутники бувають природними, наприклад, бджолиними стільниками або штучними (створеними людиною). Ці фігури використовуються у виробництві різних видів покриттів, живопису, архітектурі, прикрасах і т.д. Випуклі багатокутники мають ту властивість, що всі їхні точки розташовуються по одну сторону від прямої, що проходить через пару сусідніх вершин цієї геометричної фігури. Існують та інші визначення. Випуклим називається той багатокутник, який розташований в єдиній півплощині щодо будь-якої прямої, що містить одну з сторін.

У курсі елементарної геометрії завжди розглядаються винятково прості багатокутники. Щоб зрозуміти всі властивості таких, необхідно розібратися з їх природою. Спочатку слід усвідомити, що замкненою називається будь-яка лінія, кінці якої збігаються. Причому фігура, освічена нею, може мати різні конфігурації. Багатокутником називають просту замкнуту ламану лінію, у якої сусідні ланки не розташовуються на одній прямій. Її ланки та вершини є, відповідно, сторонами та вершинами цієї геометричної фігури. Проста ламана не повинна мати самоперетину.

Вершини багатокутника називають сусідніми, якщо вони є кінці однієї з його сторін. Геометрична постать, яка має n-е число вершин, отже, і n-е кількість сторін, називається n-угольником. Саму ламану лінію називають межею чи контуром цієї геометричної фігури. Багатокутною площиною або плоским багатокутником називають кінцеву частину будь-якої площини, ним обмеженою. Сусідними сторонами цієї геометричної фігури називають відрізки ламаної лінії, що виходять із однієї вершини. Вони будуть не сусідніми, якщо виходять з різних вершин багатокутника.

Інші визначення опуклих багатокутників

В елементарній геометрії існує ще кілька еквівалентних за своїм значенням визначень, що вказують на те, який багатокутник називається опуклим. Причому всі ці формулювання однаково вірні. Випуклим вважається той багатокутник, у якого:

Кожен відрізок, що з'єднує будь-які дві точки всередині нього, повністю лежить у ньому;

Усередині нього лежать усі його діагоналі;

Будь-який внутрішній кут вбирається у 180°.

Багатокутник завжди розбиває площину на 2 частини. Одна з них - обмежена (вона може бути поміщена в коло), а інша - необмежена. Першу називають внутрішньою областю, а другу – зовнішньою областю цієї геометричної фігури. Цей багатокутник є перетином (іншими словами - загальною складовою) декількох напівплощин. При цьому кожен відрізок, що має кінці в точках, що належать багатокутнику, належить йому повністю.

Різновиди опуклих багатокутників

Визначення опуклого багатокутника не вказує на те, що існує безліч видів. Причому кожен з них має певні критерії. Так, опуклі багатокутники, які мають внутрішній кут рівний 180°, називаються слабоопуклыми. Випукла геометрична фігура, що має три вершини, називається трикутником, чотири - чотирикутником, п'ять - п'ятикутником тощо. Геометрична фігура даного типу, у якої всі вершини розташовуються на одному колі, називається вписаною в коло. Випуклий багатокутник називають описаним, якщо всі його сторони біля кола торкаються нього. Два багатокутники називають рівними лише у тому випадку, коли за допомогою накладання їх можна поєднати. Плоським багатокутником називають багатокутну площину (частина площини), що обмежена цією геометричною фігурою.

Правильні опуклі багатокутники

Правильними багатокутниками називають геометричні фігури з рівними кутами та сторонами. Усередині них є точка 0, яка знаходиться на однаковій відстані від кожної його вершин. Її називають центром цієї геометричної постаті. Відрізки, що з'єднують центр з вершинами цієї геометричної фігури, називають апофемами, а ті, що з'єднують точку 0 зі сторонами - радіусами.

Правильний чотирикутник – квадрат. Правильний трикутник називають рівностороннім. Для таких фігур існує таке правило: кожен кут опуклого багатокутника дорівнює 180 ° * (n-2) / n,

де n – число вершин цієї опуклої геометричної фігури.

Площу будь-якого правильного багатокутника визначають за формулою:

де p дорівнює половині суми всіх сторін даного багатокутника, а h дорівнює довжині апофеми.

Властивості опуклих багатокутників

Випуклі багатокутники мають певні властивості. Так, відрізок, який сполучає будь-які 2 точки такої геометричної фігури, обов'язково розташовується в ній. Доведення:

Припустимо, що Р - опуклий багатокутник. Беремо 2 довільні точки, наприклад, А, В, які належать Р. За існуючим визначенням опуклого багатокутника ці точки розташовані в одній стороні від прямої, що містить будь-яку сторону Р. Отже, АВ також має цю властивість і міститься в Р. Випуклий багатокутник завжди можна розбити на кілька трикутників всіма діагоналями, які проведені з однієї його вершини.

Кути опуклих геометричних фігур

Кути опуклого багатокутника – це кути, що утворені його сторонами. Внутрішні кути знаходяться у внутрішній ділянці даної геометричної фігури. Кут, що утворений його сторонами, які сходяться на одній вершині, називають кутом опуклого багатокутника. з внутрішніми кутами даної геометричної фігури називають зовнішніми. Кожен кут опуклого багатокутника, розташований усередині нього, дорівнює:

де х – величина зовнішнього кута. Ця проста формула діє щодо будь-яких геометричних фігур такого типу.

У випадку, для зовнішніх кутів існує такі правило: кожен кут опуклого багатокутника дорівнює різниці між 180° і величиною внутрішнього кута. Він може мати значення від -180° до 180°. Отже, коли внутрішній кут становить 120°, зовнішній матиме величину 60°.

Сума кутів опуклих багатокутників

Сума внутрішніх кутів опуклого багатокутника встановлюється за такою формулою:

де n – число вершин n-кутника.

Сума кутів опуклого багатокутника обчислюється просто. Розглянемо будь-яку таку геометричну фігуру. Для визначення суми кутів усередині опуклого багатокутника необхідно з'єднати одну з вершин з іншими вершинами. Внаслідок такої дії виходить (n-2) трикутника. Відомо, що сума кутів будь-яких трикутників завжди дорівнює 180 °. Оскільки їх кількість у будь-якому багатокутнику дорівнює (n-2), сума внутрішніх кутів такої фігури дорівнює 180 х (n-2).

Сума кутів опуклого багатокутника, а саме будь-яких двох внутрішніх і суміжних з ними зовнішніх кутів, дана опукла геометрична фігура завжди дорівнюватиме 180°. Виходячи з цього, можна визначити суму всіх її кутів:

Сума внутрішніх кутів становить 180 ° * (n-2). Виходячи з цього, суму всіх зовнішніх кутів цієї фігури встановлюють за такою формулою:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Сума зовнішніх кутів будь-якого опуклого багатокутника завжди дорівнюватиме 360° (незалежно від кількості його сторін).

Зовнішній кут опуклого багатокутника у випадку представляється різницею між 180° і величиною внутрішнього кута.

Інші властивості опуклого багатокутника

Крім основних властивостей даних геометричних фігур, вони й інші, що виникають при маніпуляціях із нею. Так, будь-який із багатокутників може бути розділений на кілька опуклих n-кутників. Для цього необхідно продовжити кожну з його сторін та розрізати цю геометричну фігуру вздовж цих прямих ліній. Розбити будь-який багатокутник на кілька опуклих частин можна і таким чином, щоб вершини кожного шматка збігалися з усіма його вершинами. З такої геометричної фігури можна просто зробити трикутники шляхом проведення всіх діагоналей з однієї вершини. Таким чином, будь-який багатокутник, зрештою, можна розбити на певну кількість трикутників, що виявляється дуже корисним при вирішенні різних завдань, пов'язаних з такими геометричними фігурами.

Периметр опуклого багатокутника

Відрізки ламаної лінії, які називаються сторонами багатокутника, найчастіше позначаються такими літерами: ab, bc, cd, de, ea. Це сторони геометричної фігури з вершинами a, b, c, d, e. Сума довжини всіх сторін цього опуклого багатокутника називають його периметром.

Коло багатокутника

Випуклі багатокутники можуть бути вписаними та описаними. Коло, що стосується всіх сторін цієї геометричної фігури, називається вписаною в неї. Такий багатокутник називають описаним. Центр кола, яка вписана в багатокутник, являє собою точку перетину бісектрис усіх кутів усередині цієї геометричної фігури. Площа такого багатокутника дорівнює:

де r – радіус вписаного кола, а p – напівпериметр даного багатокутника.

Коло, що містить вершини багатокутника, називають описаним біля нього. При цьому ця опукла геометрична фігура називається вписаною. Центр кола, яка описана біля такого багатокутника, є точкою перетину так званих серединних перпендикулярів усіх сторін.

Діагоналі опуклих геометричних фігур

Діагоналі опуклого багатокутника – це відрізки, які з'єднують не сусідні вершини. Кожна з них лежить усередині цієї геометричної фігури. Число діагоналей такого n-кутника встановлюється за такою формулою:

N = n (n – 3)/2.

Число діагоналей опуклого багатокутника відіграє важливу роль елементарної геометрії. Число трикутників (К), на які можна розбити кожен опуклий багатокутник, обчислюється за такою формулою:

Кількість діагоналей опуклого багатокутника завжди залежить від його вершин.

Розбиття опуклого багатокутника

У деяких випадках для вирішення геометричних завдань необхідно розбити опуклий багатокутник на кілька трикутників з діагоналі, що не перетинаються. Цю проблему можна вирішити виведенням певної формули.

Визначення задачі: назвемо правильним якесь розбиття опуклого n-кутника на кілька трикутників діагоналями, що перетинаються лише у вершинах цієї геометричної фігури.

Рішення: Припустимо, що Р1, Р2, Р3 …, Pn – вершини цього n-кутника. Число Xn – кількість його розбиття. Уважно розглянемо отриману діагональ геометричної фігури Pi Pn. У будь-якому з правильних розбиття Р1 Pn належить певному трикутнику P1 Pi Pn, у якого 1

Нехай і = 2 буде однією групою правильних розбиття, що завжди містить діагональ Р2 Pn. Кількість розбиття, що входять до неї, збігається з числом розбиття (n-1)-кутника Р2 Р3 Р4… Pn. Іншими словами, воно дорівнює Xn-1.

Якщо і = 3, то ця інша група розбиття завжди міститиме діагоналі Р3 Р1 і Р3 Pn. При цьому кількість правильних розбиття, що містяться в цій групі, співпадатиме з числом розбиття (n-2)-кутника Р3 Р4… Pn. Іншими словами, воно дорівнюватиме Xn-2.

Нехай і = 4, тоді серед трикутників правильне розбиття неодмінно міститиме трикутник Р1 Р4 Pn, до якого примикатиме чотирикутник Р1 Р2 Р3 Р4, (n-3)-кутник Р4 Р5 ... Pn. Кількість правильних розбиття такого чотирикутника дорівнює Х4, а число розбиття (n-3)-кутника дорівнює Xn-3. Виходячи з усього викладеного, можна сказати, що повна кількість правильних розбиття, що містяться в цій групі, дорівнює Xn-3 Х4. Інші групи, у яких і = 4, 5, 6, 7… матимуть Xn-4 Х5, Xn-5 Х6, Xn-6 Х7 … правильних розбиття.

Нехай і = n-2, то кількість правильних розбиття в цій групі збігатиметься з числом розбиття в групі, у якої i = 2 (іншими словами, дорівнює Xn-1).

Так як Х1 = Х2 = 0, Х3 = 1, Х4 = 2 ..., то число всіх розбиття опуклого багатокутника дорівнює:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 Х4 + Xn-4 Х5 + … + Х5 Xn-4 + Х4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

Х5 = Х4 + Х3 + Х4 = 5

Х6 = Х5 + Х4 + Х4 + Х5 = 14

Х7 = Х6 + Х5 + Х4 * Х4 + Х5 + Х6 = 42

Х8 = Х7 + Х6 + Х5 * Х4 + Х4 * Х5 + Х6 + Х7 = 132

Кількість правильних розбиття, що перетинають всередині одну діагональ

При перевірці окремих випадків, можна прийти до припущення, що число діагоналей опуклих n-кутників дорівнює добутку всіх розбиття цієї фігури на (n-3).

Підтвердження цього припущення: припустимо, що P1n = Xn * (n-3), тоді кожен n-кутник можна розбити на (n-2)-трикутників. У цьому їх може бути складний (n-3)-четырехугольник. Поряд з цим, кожен чотирикутник матиме діагональ. Оскільки в цій опуклій геометричній фігурі можуть бути проведені дві діагоналі, це означає, що і в будь-яких (n-3)-чотирьохкутниках можна провести додаткові діагоналі (n-3). Виходячи з цього, можна дійти невтішного висновку, що у будь-якому правильному розбиття є можливість провести (n-3)-діагоналі, відповідальні умовам цього завдання.

Площа опуклих багатокутників

Нерідко при вирішенні різних завдань елементарної геометрії виникає необхідність визначити площу опуклого багатокутника. Припустимо, що (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n являє собою послідовність координат всіх сусідніх вершин багатокутника, що не має самоперетинів. У цьому випадку його площа обчислюється за такою формулою:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

де (Х 1 Y 1) = (X n +1 Y n + 1).

Внутрішній кут багатокутника- Це кут, утворений двома суміжними сторонами багатокутника. Наприклад, ∠ ABCє внутрішнім кутом.

Зовнішній кут багатокутника- це кут, утворений однією стороною багатокутника та продовженням іншої сторони. Наприклад, ∠ LBCє зовнішнім кутом.

Кількість кутів багатокутника завжди дорівнює кількості його сторін. Це стосується і внутрішніх кутів і зовнішніх. Незважаючи на те, що для кожної вершини багатокутника можна побудувати два рівні зовнішні кути, з них завжди береться до уваги тільки один. Отже, щоб знайти кількість кутів будь-якого багатокутника, треба порахувати кількість сторін.

Сума внутрішніх кутів

Сума внутрішніх кутів опуклого багатокутника дорівнює добутку 180° та кількості сторін без двох.

s = 2d(n - 2)

де s- це сума кутів, 2 d- два прямі кути (тобто 2 · 90 = 180 °), а n- Кількість сторін.

Якщо ми проведемо з вершини Aбагатокутника ABCDEFвсі можливі діагоналі, то розділимо його на трикутники, кількість яких буде на два менше, ніж сторін багатокутника:

Отже, сума кутів багатокутника дорівнюватиме сумі кутів всіх трикутників. Оскільки сума кутів кожного трикутника дорівнює 180° (2 d), то сума кутів усіх трикутників дорівнюватиме добутку 2 dна їх кількість:

s = 2d(n- 2) = 180 · 4 = 720 °

З цієї формули випливає, що сума внутрішніх кутів є постійною величиною та залежить від кількості сторін багатокутника.

Сума зовнішніх кутів

Сума зовнішніх кутів опуклого багатокутника дорівнює 360 ° (або 4 d).

s = 4d

де s- це сума зовнішніх кутів, 4 d- чотири прямі кути (тобто 4 · 90 = 360 °).

Сума зовнішнього та внутрішнього кута при кожній вершині багатокутника дорівнює 180° (2 d), оскільки є суміжними кутами . Наприклад, ∠ 1 та ∠ 2 :

Отже, якщо багатокутник має nсторін (і nвершин), то сума зовнішніх та внутрішніх кутів при всіх nвершинах дорівнюватиме 2 dn. Щоб із цієї суми 2 dnодержати лише суму зовнішніх кутів, треба від неї відняти суму внутрішніх кутів, тобто 2 d(n - 2):

s = 2dn - 2d(n - 2) = 2dn - 2dn + 4d = 4d