Ми вперше познайомились у курсі алгебри 7-го класу. Дивлячись на графік функції, ми знімали відповідну інформацію: якщо рухаючись за графіком зліва направо ми в той же час рухаємося знизу вгору (як би піднімаємося в гірку), ми оголошували функцію зростаючої (рис. 124); якщо ж ми рухаємося зверху вниз (спускаємося з гірки), то ми оголошували функцію спадної (рис. 125).
Однак математики не дуже шанують такий спосіб дослідження властивостей функції. Вони вважають, що визначення понять не повинні спиратися на малюнок, - креслення має лише ілюструвати ту чи іншу властивість функції на її графіку. Дамо суворі визначення понять зростання та зменшення функції.
Визначення 1.
Функцію у = f(x) називають зростаючою на проміжку X, якщо з нерівності х 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).
Визначення 2. Функцію у = f(x) називають спадною на проміжку X, якщо з нерівності х 1< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует нерівність f(x1) > f(x2).
На практиці зручніше користуватися такими формулюваннями:
функція зростає, якщо більшого значення аргументу відповідає більше значення функції;
функція зменшується, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.
Використовуючи ці визначення та встановлені в § 33 властивості числових нерівностей, ми зможемо обґрунтувати висновки про зростання або спадання раніше вивчених функцій.
1. Лінійна функція у = kx +m
Якщо k > 0, то функція зростає по всій (рис. 126); якщо k< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).
Доказ. Покладемо f(x) = kx +m. Якщо х 1< х 2 и k >О, то, згідно з властивістю 3 числових нерівностей (див. § 33), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).
Отже, з нерівності х 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. лінійноїфункції у = kx + m.
Якщо ж х 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 , а згідно з властивістю 2, з kx 1 > kx 2 випливає, що kx 1 + m> kx 2 + т.
Отже, з нерівності х 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(х 2). Це означає убування функції у = f(x), тобто. лінійної функціїу = kx + m.
Якщо функція зростає (зменшується) у всій своїй області визначення, її можна називати зростаючою (зменшується), не вказуючи проміжку. Наприклад, про функцію у = 2х - 3 можна сказати, що вона зростає на всій числовій прямій, але можна сказати і коротше: у = 2х - 3 - зростаюча
функція.
2. Функція у = х2
1. Розглянемо функцію у = х 2 на промені. Візьмемо два непозитивні числа х 1 і х 2 таких, що х 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- х 2 . Так як числа - х 1 і - х 2 невід'ємні, то, звівши в квадрат обидві частини останньої нерівності, отримаємо нерівність того ж таки сенсу (-х 1) 2 > (-х 2) 2 , тобто. Це означає, що f(x1) >f(x2).
Отже, з нерівності х 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(х 2).
Тому функція у = х 2 зменшується на промені (- 00, 0] (рис. 128).
1. Розглянемо функцію на проміжку (0 + 00).
Нехай х1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x 2).
Отже, з нерівності х 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2). Це означає, що функція зменшується на відкритому промені (0, + 00) (рис. 129).
2. Розглянемо функцію на проміжку (-оо, 0). Нехай х 1< х 2 , х 1 и х 2 - негативні числа. Тоді - х 1 > - х 2 , причому обидві частини останньої нерівності - позитивні числа, тому (ми знову скористалися нерівністю, доведеним у прикладі 1 з § 33). Далі маємо, звідки отримуємо.
Отже, з нерівності х 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) тобто. функція зменшується на відкритому промені (- 00 , 0)
Зазвичай терміни «зростаюча функція», «зменшується» об'єднують загальною назвою монотонна функція, а дослідження функції на зростання і спадання називають дослідженням функції на монотонність.
Рішення.
1) Побудуємо графік функції у = 2х2 і візьмемо гілку цієї параболи при х< 0 (рис. 130).
2) Побудуємо та виділимо його частину на відрізку (рис. 131).
3) Побудуємо гіперболу та виділимо її частину на відкритому промені (4, + 00) (рис. 132).
4) Усі три «шматочки» зобразимо в одній системі координат – це і є графік функції у = f(x) (рис. 133).
Прочитаємо графік функції у = f(x).
1. Область визначення функції – вся числова пряма.
2. у = 0 при х = 0; у > 0 при x > 0.
3. Функція зменшується на промені (-оо, 0], зростає на відрізку, зменшується на промені, випукла вгору на відрізку, випукла вниз на промені)