Що називається багатокутником? Види багатокутників. МНОГОКУТНИК, плоска геометрична фігура з трьома або більше сторонами, що перетинаються в трьох або більше точках (вершинах). Визначення. Багатокутник - це геометрична фігура, обмежена з усіх боків замкнутою ламаною лінією, що складається з трьох і більше відрізків (ланок). Трикутник, безумовно, є багатокутником. А багатокутник — це постать, яка має від п'яти кутів і більше.
Визначення. Чотирьохкутник - це плоска геометрична фігура, що складається з чотирьох точок (вершин чотирикутника) і чотирьох відрізків, що їх послідовно з'єднують (сторін чотирикутника).
Прямокутник – це чотирикутник, у якого всі кути прямі. Вони називаються відповідно до числа сторін або вершин: ТРИКУТНИК (тристоронній); ЧОТИРИКУТНИК (чотирьохсторонній); П'ятикутник (п'ятисторонній) і т.д. В елементарній геометрії М. називається фігура, обмежена прямими лініями, які називаються сторонами. Точки, в яких сторони перетинаються, називаються вершинами. У багатокутника кутів більше ніж три. Так прийнято чи обумовлено.
Трикутник – він і є трикутником. І чотирикутник теж не багатокутник, та й чотирикутником не зветься - це або квадрат, або ромб, або трапеція. Цей факт багатокутник з трьома сторонами і трьома кутами має власну назву «трикутник» не позбавляє його статусу багатокутника.
Дивитися що таке «Багатокутник» в інших словниках:
Ми дізнаємося, що ця фігура обмежена замкненою ламаною, яка, у свою чергу, буває простою, замкнутою. Поговоримо про те, що багатокутники бувають плоскими, правильними, опуклими. Хто не чув про загадковий Бермудський трикутник, у якому безвісти зникають кораблі та літаки? Адже знайомий нам з дитинства трикутник таїть у собі чимало цікавого та загадкового.
Хоча звичайно фігура, що складається з трьох кутів, теж може вважатися багатокутником.
Для характеристики фігури цього мало. Ломаною А1А2 ... Аn називається фігура, яка складається з точок А1, А2, ... Аn і з'єднують їх відрізків А1А2, А2А3, .... Проста замкнута ламана називається багатокутником, якщо її сусідні ланки не лежать на одній прямій (рис.5). Підставте в слові багатокутник замість частини багато конкретне число, наприклад 3. Ви отримаєте трикутник. Зауважимо, що скільки кутів, стільки й сторін, тому ці фігури цілком можна було б назвати і багатосторонніми.
Нехай А1А2 ... А n - даний опуклий багатокутник і n>3. Проведемо у ньому (з однієї вершини) діагоналі
Сума кутів кожного трикутника дорівнює 1800, а число цих трикутників n – 2. Тому сума кутів опуклого n – кутника А1А2…Аn дорівнює 1800* (n – 2). Теорему доведено. Зовнішнім кутом опуклого багатокутника при цій вершині називається кут, суміжний внутрішньому куту багатокутника при цій вершині.
У чотирикутнику проведіть пряму так, щоб вона розділила його на три трикутники
У чотирикутника ніколи на одній прямій не лежать три вершини. Слово "багатокутник" вказує на те, що у всіх фігур цього сімейства "багато кутів". Ламана називається простою, якщо вона не має самоперетинів (рис.2,3).
Довжиною ламаною називається сума довжин її ланок (рис.4). Що стосується n=3 теорема справедлива. Тож квадрат можна назвати по-іншому – правильним чотирикутником. Такі постаті давно цікавили майстрів, які прикрашали будинки.
Число вершин дорівнює кількості сторін. Ламана називається замкненою, якщо в неї кінці збігаються. З них виходили гарні візерунки, наприклад, на паркеті. Наша п'ятикутна зірка – правильна п'ятикутна зірка.
Але не з усіх правильних багатокутників можна було скласти паркет. Розглянемо докладніше два види багатокутників: трикутник та чотирикутник. Багатокутник, у якого всі внутрішні кути рівні, називається правильним. Багатокутники називаються відповідно до числа його сторін або вершин.
На цьому уроці ми приступимо до нової теми і введемо нове для нас поняття «багатокутник». Ми розглянемо основні поняття, пов'язані з багатокутниками: сторони, вершини кути, опуклість та невипуклість. Потім доведемо найважливіші факти, такі як теорема про суму внутрішніх кутів багатокутника, теорема про суму зовнішніх кутів багатокутника. У підсумку ми підійдемо до вивчення окремих випадків багатокутників, які будуть розглядатися на подальших уроках.
Тема: Чотирикутники
Урок: Багатокутники
В курсі геометрії ми вивчаємо властивості геометричних фігур і вже розглянули найпростіші з них: трикутники та кола. При цьому ми обговорювали і конкретні окремі випадки цих фігур, такі як прямокутні, рівнобедрені та правильні трикутники. Тепер настав час поговорити про більш загальні та складні фігури - багатокутниках.
З окремим випадком багатокутниківми вже знайомі – це трикутник (див. рис. 1).
Мал. 1. Трикутник
У самій назві вже підкреслюється, що це постать, яка має три кути. Отже, в багатокутникуїх то, можливо багато, тобто. більше, ніж три. Наприклад, зобразимо п'ятикутник (див. мал. 2), тобто. фігури з п'ятьма кутами.
Мал. 2. П'ятикутник. Випуклий багатокутник
Визначення.Багатокутник- фігура, що складається з декількох точок (більше двох) та відповідної кількості відрізків, які їх послідовно з'єднують. Ці точки називаються вершинамибагатокутника, а відрізки - сторонами. При цьому жодні дві суміжні сторони не лежать на одній прямій і жодні дві несуміжні сторони не перетинаються.
Визначення.Правильний багатокутник- це опуклий багатокутник, у якого всі боки та кути рівні.
Будь-який багатокутникподіляє площину на дві області: внутрішню та зовнішню. Внутрішню область також відносять до багатокутнику.
Іншими словами, наприклад, коли говорять про п'ятикутник, мають на увазі і всю його внутрішню область, і кордон. До внутрішньої області ставляться і всі точки, що лежать усередині багатокутника, тобто. точка теж відноситься до п'ятикутника (див. мал. 2).
Багатокутники ще іноді називають n-кутниками, щоб наголосити, що розглядається загальний випадок наявності якоїсь невідомої кількості кутів (n штук).
Визначення. Периметр багатокутника- Сума довжин сторін багатокутника.
Тепер треба познайомитись із видами багатокутників. Вони поділяються на опукліі невипуклі. Наприклад, багатокутник, зображений на рис. 2 є опуклим, а на Рис. 3 неопуклим.
Мал. 3. Неопуклий багатокутник
Визначення 1. Багатокутникназивається опуклим, якщо при проведенні прямої через будь-яку з його сторін багатокутниклежить лише з одного боку від цієї прямої. Невипуклимиє всі інші багатокутники.
Легко уявити, що з продовження будь-якої сторони п'ятикутника на Рис. 2 він виявиться по одну сторону від цієї прямої, тобто. він опуклий. А ось при проведенні прямої через чотирикутник на Рис. 3 ми вже бачимо, що вона поділяє на дві частини, тобто. він невипуклий.
Але є й інше визначення опуклості багатокутника.
Визначення 2. Багатокутникназивається опуклим, якщо при виборі будь-яких двох внутрішніх точок і при з'єднанні їх відрізком всі точки відрізка є також внутрішніми точками багатокутника.
Демонстрацію використання цього визначення можна побачити з прикладу побудови відрізків на Рис. 2 та 3.
Визначення. Діагоналлюбагатокутника називається будь-який відрізок, що з'єднує дві не сусідні його вершини.
Для опису властивостей багатокутників існують дві найважливіші теореми про їх кутах: теорема про суму внутрішніх кутів опуклого багатокутникаі теорема про суму зовнішніх кутів опуклого багатокутника. Розглянемо їх.
Теорема. Про суму внутрішніх кутів опуклого багатокутника (n-кутника).
Де – кількість його кутів (сторон).
Доказ 1. Зобразимо на рис. 4 опуклий n-кутник.
Мал. 4. Випуклий n-кутник
З вершини проведемо усі можливі діагоналі. Вони ділять n-кутник на трикутник, т.к. кожна зі сторін багатокутника утворює трикутник, крім сторін, що належать до вершини . Легко бачити на малюнку, що сума кутів всіх цих трикутників якраз дорівнюватиме сумі внутрішніх кутів n-кутника. Оскільки сума кутів будь-якого трикутника - то сума внутрішніх кутів n-кутника:
Що й потрібно було довести.
Доказ 2. Можливий і інший доказ цієї теореми. Зобразимо аналогічний n-кутник Рис. 5 і з'єднаємо будь-яку його внутрішню точку з усіма вершинами.
Мал. 5.
Ми отримали розбиття n-кутника на n трикутників (скільки сторін, стільки та трикутників). Сума всіх їх кутів дорівнює сумі внутрішніх кутів багатокутника та сумі кутів при внутрішній точці, а це кут . Маємо:
Що й потрібно було довести.
Доведено.
По доведеній теоремі видно, що сума кутів n-кутника залежить кількості його сторін (від n). Наприклад, у трикутнику , а сума кутів . У чотирикутнику, а сума кутів - і т.д.
Теорема. Про суму зовнішніх кутів опуклого багатокутника (n-кутника).
Де - кількість його кутів (сторон), а , ..., - Зовнішні кути.
Доведення. Зобразимо опуклий n-кутник на Мал. 6 і позначимо його внутрішні та зовнішні кути.
Мал. 6. Випуклий n-кутник із позначеними зовнішніми кутами
Т.к. зовнішній кут пов'язаний із внутрішнім як суміжні, те й аналогічно для інших зовнішніх кутів. Тоді:
У ході перетворень ми скористалися вже доведеною теоремою сумі внутрішніх кутів n-кутника .
Доведено.
З доведеної теореми випливає цікавий факт, що сума зовнішніх кутів опуклого n-кутника дорівнює кількості його кутів (сторон). До речі, на відміну суми внутрішніх кутів.
Список літератури
- Александров А.Д. та ін. Геометрія, 8 клас. - М: Просвітництво, 2006.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрія, 8 клас. - М: Просвітництво, 2011.
- Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір С.М. Геометрія, 8 клас. – К.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com ().
Домашнє завдання
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
У курсі гео-метрії ми вивчаємо свої гео-метричні фігур і вже розглянули найпростіші з них: трикутники. і окружності. При цьому ми обговорювали і конкретні приватні випадки цих постатей, такі як прямокутні, рівнобедренні і правильні. трикутники. Тепер прийшов час поговорити про більш загальних і складних фі-гу-рах - багато-го-вугілля-ні-ках.
З приватним випадком багато-вугілля-никівми вже зна-ко-ми - це трикутник (див. рис. 1).
Мал. 1. Трикутник
У самому назві вже під-чер-ки-ва-є-ся, що це фі-гу-ра, у котрої-то три кути. Слі-до-ва-тель-но, в багато-вуго-ні-кеїх то, можливо багато, тобто. більше, ніж три. Наприклад, винахід п'ятикутник (див. мал. 2), тобто. фі-гу-ру з п'ятьма кутами.
Мал. 2. П'ятикутник. Ви-пук-лий багато-кутник
Визначення.Багато-кутник- фі-гу-ра, со-сто-я-ща з кількох точок (більше двох) і со-от-вет-ству-ю-ще-го ко-ли-че-ства від-рез- ків, які їх по-слiд-до-ва-тель-но со-єди-ня-ють. Ці точки на-зи-ва-ють-ся вер-ши-на-мибагато вугілля, а відрізання - сто-ро-на-ми. При цьому жодні дві суміжні сто-ро-ни не лежать на одній прямій і ніякі дві несмеж-ні сто-ро-ни не пе-ре-се-ка-ють-ся .
Визначення.Пра-вільний багато-кутник- це випуклий багато-кутник, у якого всі сторони і кути рівні.
Будь-який мно-го-кутникраз-де-ля-є плоскість на дві області: внут-рен-ню і зовніш-ню. Внут-рен-ню область також відно-сять до багато-го-вугілля-ні-ку.
Іншими словами, наприклад, коли говорять про п'ятикутнику, мають на увазі і всю його внутрішню область, і межі. цю. А до внут-рен-ней об-ла-сти від-но-сят-ся і всі крапки, котрі лежать внут-ри багато-го-уголь-ника, тобто. точка теж від-но-сит-ся до п'я-ти-кут-ника (див. Рис. 2).
Мно-го-вугілля-ні-ки ще інколи-на-зи-ва-ють n-вугілля-ні-ка-ми, щоб підкреслити, що роз-сма-ри-ва-є-ся загальний слу-чай на-лі-чія ка-ко-го-то невідом-но-го ко-лі-че-ства кутів (n штук).
Визначення. Пе-рі-метр багато-го-вугілля-ні-ка- Сума довжин сторін багато-вуго-ни-ка.
Тепер треба по-зна-ко-мити-ся з видами багато кутників. Вони поділяються на ви-пук-ліі неви-пук-лі. Наприклад, багато-кутник, винайдений на Рис. 2, яв-ля-є-ся ви-пук-лим, а на Мал. 3 невипуклим.
Мал. 3. Невипуклий багато-кутник
2. Випуклі та невипуклі багатокутники
Визначення 1. Багато-кутникна-зи-ва-є-ся ви-пук-лим, якщо при проведенні прямий через будь-яку з його сторін весь мно-го-кутниклежить тільки по одну сторону від цієї прямої. Неви-пук-ли-мияв-ля-ють-ся всі інші багато-го-вугілля-ні-ки.
Легко уявити, що при продовженні будь-якої сторони п'ятикутника на Рис. 2 він весь ока-жет-ся по одну сторону від цієї прямий, тобто. він випуклий. А ось при проведенні прямий через у чотири куті на Рис. 3 ми вже бачимо, що вона розділяє його на дві частини, тобто. він невипуклий.
Але сущ-ство-є і інше визна-де-лі-ня ви-пук-ло-сті багато-го-вуго-ні-ка.
Визначення 2. Багато-кутникна-зи-ва-є-ся ви-пук-лим, якщо при ви-бо-ре будь-яких двох його внут-рен-них точок і при з-е-не-ні їх від-різ-ком всі точки від-різ-ка яв-ля-ють-ся також внут-рен -Ні-ми точ-ка-ми багато-го-кут-ні-ка.
Де-мон-стра-цію використання цього визначення можна побачити на прикладі побудови відрізків на Рис. 2 та 3.
Визначення. Діа-го-на-льюбагато-го-вуго-ни-ка на-зи-ва-є-ся будь-який від-різок, з'єд-ня-ю-ючий дві не со-сед-ня його вер-ши-ни.
3. Теорема про суму внутрішніх кутів опуклого n-кутника
Для опису властивостей багатьох кутників існують дві найважливіші теорії про їх кутах: тео-ре-ма про суму внут-рен-них кутів ви-пук-ло-го багато-го-вуго-ни-каі тео-ре-ма про суму зовнішніх кутів ви-пук-ло-го багато-го-вуг-ні-ка. Розглянь-рим їх.
Теорема. Про суму внут-рен-них кутів ви-пук-ло-го багато-го-уголь-ни-ка (n-вугілля-ні-ка).
Де - кількість його кутів (сторон).
До-ка-за-тель-ство 1. Изоб-ра-зим на Рис. 4 випуклий n-кутник.
Мал. 4. Випуклий n-кутник
З вер-ши-ни про-ведемо всі можливі діа-го-на-лі. Вони ділять n-кутник на трикутник, т.к. каж-дая зі сторін багато-го-уголь-ни-ка об-разу-ет трикутник, крім сторін, при-ле-жа-щих до вершини. Легко бачити по малюнку, що сума кутів усіх цих трикутників якраз буде дорівнювати сумі внутрішніх кутів n-кутника. Оскільки сума кутів лю-бо-го трикутника - , то сума внут-рен-них кутів n-кут-ника:
До-ка-за-тель-ство 2. Можливо і інше до-ка-за-тель-ство цієї теореми. Із-ра-зим ана-логічний n-кутник на Рис. 5 і з'єди-ним будь-яку його внутрішню точку з усіма вер-ши-на-ми.
Ми по-лу-чи-ли роз-бі-ня-ня n-вугілля-ні-ка на n трикут-ні-ків (скільки сто-рон, стільки й трикут-ні-ків ). Сума всіх їх кутів дорівнює сумі внутрішніх кутів багатокутника і сумі кутів при внутрішній точці, а це кут . Маємо:
Що й потрібно було довести.
До-ка-за-але.
По до-ка-зан-ної тео-ре-мі видно, що сума кутів n-вугілля-ні-ка за-ві-сит від ко-лі-че-ства його сторін (від n). Наприклад, в трикутнику, а сума кутів. У че-ти-рех-вуг-ні-ці, а сума кутів - і т.д.
4. Теорема про суму зовнішніх кутів опуклого n-кутника
Теорема. Про суму зовнішніх кутів ви-пук-ло-го багато-го-вуго-ні-ка (n-вугілля-ні-ка).
Де - ко-лі-че-ство його кутів (сторон), а , ..., - зовнішні кути.
Доведення. Изоб-ра-зим випукл-лий n-кутник на Рис. 6 і позна-чим його внут-рен-ня і зовнішні кути.
Мал. 6. Ви-пук-лий n-кутник з обо-зна-чен-ни-ми зовні-ні-ми кут-ла-ми
Т.к. зовнішній кут пов'язаний з внут-рен-ним як суміж-ні, те й ана-ло-гіч-но для залишкових зовнішніх кутів. Тоді:
У ході пре-об-ра-зо-ва-ний ми вос-поль-зо-ва-лися вже до-ка-зан-ної тео-ре-мою про суму внут-рен-них кутів n-вугілля-ні- ка.
До-ка-за-але.
З до-ка-зан-ної тео-ре-ми слід-ду-є ин-те-рес-ний факт, що сума зовнішніх кутів ви-пук-ло-го n-вуг-ні-ка дорівнює від до -лі-че-ства його кутів (сто-рон). Кста-ти, на відміну від суми внут-рен-них кутів.
Далі ми більш по-дробно будемо працювати з приватним випадком багато-кут-ників - че-ти-рех-вугілля-ні-ка-ми. На наступному уроці ми по-зна-ко-мим-ся з такою фі-гу-рою, як пара-ле-ло-ло-грам, і об-судим його влас-ства.
ДЖЕРЕЛО
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2
http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-klasse
https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144
Властивості багатокутників
Багатокутник - це геометрична фігура, що зазвичай визначається як замкнута ламана без самоперетинів (простий багатокутник (рис. 1а)), проте іноді самоперетину допускаються (тоді багатокутник не є простим).
Вершини ламаної називаються вершинами багатокутника, а відрізки – сторонами багатокутника. Вершини багатокутника називаються сусідніми, якщо є кінцями однієї з його сторін. Відрізки, які з'єднують несусідні вершини багатокутника, називаються діагоналями.
Кутом (або внутрішнім кутом) опуклого багатокутника при даній вершині називається кут, утворений його сторонами, що сходяться в цій вершині, при цьому кут вважається багатокутником. Зокрема кут може перевищувати 180°, якщо багатокутник невипуклий.
Зовнішнім кутом опуклого багатокутника при цій вершині називається кут, суміжний внутрішньому куту багатокутника при цій вершині. У випадку зовнішній кут це різниця між 180° і внутрішнім кутом. З кожної вершини -кутника при > 3 виходять - 3 діагоналі, тому загальна кількість діагоналей -кутника дорівнює.
Багатокутник із трьома вершинами називається трикутником, із чотирма - чотирикутником, із п'ятьма - п'ятикутником тощо.
Багатокутник з nвершинами називається n-косинцем.
Плоським багатокутником називається фігура, що складається з багатокутника та обмеженої ним кінцевої частини площі.
Багатокутник називають опуклим, якщо виконано одну з наступних (еквівалентних) умов:
- 1. він лежить по одну сторону від будь-якої прямої, що з'єднує сусідні вершини. (Тобто продовження сторін багатокутника не перетинають інших його сторін);
- 2. він є перетином (тобто загальною частиною) декількох напівплощин;
- 3. будь-який відрізок з кінцями в точках, що належать багатокутнику, цілком належить йому.
Випуклий багатокутник називається правильним, якщо у нього всі сторони рівні і всі кути рівні, наприклад, рівносторонній трикутник, квадрат і пентагон.
Опуклий багатокутник називається описаним біля кола, якщо всі його сторони торкаються деякого кола
Правильний багатокутник - це багатокутник, у якого всі кути та всі сторони рівні між собою.
Властивості багатокутників:
1 Кожна діагональ опуклого -кутника, де >3, розкладає його на два опуклі багатокутники.
2 Сума всіх кутів опуклого -кутника дорівнює.
Д-во: Теорему доведемо шляхом математичної індукції. При = 3 вона очевидна. Припустимо, що теорема правильна для -кутника, де <, і доведемо її для -кутника.
Нехай-даний багатокутник. Проведемо діагональ цього багатокутника. По теоремі 3 багатокутник розкладено на трикутник і опуклий -кутник (рис. 5). За припущенням індукції. З іншого боку, . Складаючи ці рівності та враховуючи, що (- внутрішній промінь кута ) і (- внутрішній промінь кута ), отримуємо.При отримуємо: .
3 Біля будь-якого правильного багатокутника можна описати коло, і до того ж лише одну.
Д-во: Нехай правильний багатокутник, а й – бісектриси кутів, та (рис. 150). Тому що, отже, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке О.Доведемо, що O = ОА 2 = Про =… = ОА п . Трикутник Прорівнобедрений, тому Про= Про. За другою ознакою рівності трикутників, отже, Про = Про. Аналогічно доводиться, що Про = Проі т.д. Таким чином, точка Прорівновіддалена від усіх вершин багатокутника, тому коло з центром Прорадіусу Проє описаною біля багатокутника.
Доведемо тепер, що описане коло лише одне. Розглянемо якісь три вершини багатокутника, наприклад, А 2 , . Оскільки через ці точки проходить лише одне коло, то біля багатокутника … не можна описати більш ніж одне коло.
- 4 У будь-який правильний багатокутник можна вписати коло і лише одну.
- 5 Окружність, вписана у правильний багатокутник, стосується сторін багатокутника в їх серединах.
- 6 Центр кола, описаного біля правильного багатокутника, збігається з центром кола, вписаного в той самий багатокутник.
- 7 Симетрія:
Кажуть, що фігура має симетрію (симетрична), якщо існує такий рух (не тотожний), що переводить цю фігуру в себе.
- 7.1. Трикутник загального вигляду немає осей чи центрів симетрії, він несиметричний. Рівнобедрений (але не рівносторонній) трикутник має одну вісь симетрії: серединний перпендикуляр до основи.
- 7.2. Рівносторонній трикутник має три осі симетрії (серединні перпендикуляри до сторін) та поворотну симетрію щодо центру з кутом повороту 120°.
7.3 Будь-який правильний n-кутник має n осей симетрії, всі вони проходять через його центр. Він також має поворотну симетрію щодо центру з кутом повороту.
При парному nодні осі симетрії проходять через протилежні вершини, інші – через середини протилежних сторін.
При непарному nкожна вісь проходить через вершину та середину протилежної сторони.
Центр правильного багатокутника з парним числом сторін є центром симетрії. У правильного багатокутника з непарною кількістю сторін центру симетрії немає.
8 Подібність:
При подобі і -кутник переходить в -кутник, напівплощина - напівплощина, тому опуклий n-кутник переходить у опуклий n-кутник.
Теорема: Якщо сторони і кути опуклих багатокутників і задовольняють рівності:
де - коефіцієнт подія
то ці багатокутники подібні.
- 8.1 Відношення периметрів двох подібних багатокутників дорівнює коефіцієнту подібності.
- 8.2. Відношення площ двох опуклих подібних багатокутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.
багатокутник трикутник периметр теорема