МАОУ «Ліцей інноваційних технологій»

Багатогранні кути. Випуклі багатогранники

Підготував учень 10Б класу: Бурикін Олексій

Перевірив: Дубінська І.А.

Хабаровськ

Багатогранний кут

Багатогранним кутомназивається фігура, утворена плоскими кутами так, що виконуються умови:

1) ніякі два кути не мають загальних точоккрім їх загальної вершини або цілої сторони;

2) у кожного з цих кутів кожна його сторона є спільною з одним і лише одним іншим таким кутом;

3) від кожного кута до кожного можна перейти кутами, що мають спільну сторону;

4) ніякі два кути з спільною стороноюне лежать у одній площині.

• Кути ASB, BSC,... називаються плоскими кутамиабо гранями, сторони їх SA, SB, ... називаються ребрами, а загальна вершина S- вершиноюбагатогранного кута.

Теорема1.

У тригранному куті кожен плоский кут менший за суму двох інших плоских кутів.

Слідство

• / ASC - / ASB/CSB; / ASC - / CSB/ASB.

У тригранному куті кожен плоский кут більший за різницю двох інших кутів. .

Теорема2.

• Сума величин усіх трьох плоских кутів тригранного кута менша за 360° .

180°, звідки і слідує, що α + β + γ " width = "640"

Доказ

Позначимо,

тоді з трикутників ASC, ASB, BSC маємо

Тепер нерівність набуває вигляду

180 ° - α + 180 ° - β + 180 ° - γ 180 °,

звідки й випливає, що

α + β + γ

Найпростіші випадки рівності тригранних кутів

• 1) по рівному двогранному кутку, укладеному між двома відповідно рівними і однаково розташованими плоскими кутами , або 2) по рівному плоскому кутку, укладеному між двома відповідно рівними і однаково розташованими двогранними кутами .

Випуклий багатогранний кут

• Багатогранний кут називається опуклим, якщо він весь розташований по одну сторону від площини кожної його граней, необмежено продовженої.

Багатогранник.

Багатогранник, у тривимірному просторі- сукупність кінцевого числаплоских багатокутників, така, що кожна сторона будь-якого багатокутника є одночасно сторона іншого, званого суміжним з першим.

Випуклі багатогранники

Багатогранникназивається опуклимякщо він весь лежить по одну сторону від площини будь-якої його грані; тоді грані його теж опуклі.

Випуклий багатогранникрозрізає простір на дві частини – зовнішню та внутрішню. Внутрішня частина є опукле тіло. Назад, якщо поверхня опуклого тіла багатогранна, то відповідний багатогранник – опуклий.

Теорема.Сума всіх плоских кутів опуклого багатогранного кута менша за 360 градусів.

Властивість 1.У опуклому багатограннику всі грані є опуклими багатокутниками.

Властивість2.Будь-який опуклий багатогранник може бути складений із пірамід із загальною вершиною, основа яких утворює поверхню багатогранника.

Двогранним кутом називається фігура, утворена двома напівплощинами із загальною прямою, що обмежує їх. Напівплощини називаються гранями, а пряма, що обмежує їх, - ребром двогранного кута.

На малюнку 142 зображено двогранний кут з ребром а та гранями а та (3.

Площина, перпендикулярна до ребра двогранного кута, перетинає його грані по двох напівпрямих. Кут, утворений цими напівпрямими, називається лінійним кутом двогранного кута. За міру двогранного кута вживається захід відповідного йому лінійного кута. Якщо через точку А ребра а двогранного кута провести площину, перпендикулярну цьому ребру, то вона перетне площини а і (3 по напівпрямих (рис. 142); лінійний кут даного двогранного кута. Градусна міра цього лінійного кута є градусною міроюдвогранного кута. Міра двогранного кута залежить від вибору лінійного кута.

Тригранним кутом називається фігура, складена із трьох плоских кутів (рис. 143). Ці кути називаються гранями тригранного кута, які сторони - ребрами. Загальна вершина плоских кутів називається вершиною трикутного кута. Двогранні кути, що утворюються гранями та їх продовженнями, називаються двогранними кутами тригранного кута.

Аналогічно визначається поняття багатогранного кута як фігури, що складається з плоских кутів (рис. 144). Для багатогранного кута визначаються поняття граней, ребер та двогранних кутів так само, як і для тригранного кута.

Багатогранником називають тіло, поверхня якого складається з кінцевого числа плоских багатокутників (рис. 145).

Багатогранник називається опуклим, якщо він розташований з одного боку площини кожного багатокутника на його поверхні (рис. 145, а, б). Загальна частинатакий площині та поверхні опуклого багатогранника називається гранню. Грані опуклого багатогранника – опуклі багатокутники. Сторони граней називаються ребрами багатогранника, а вершини – вершинами багатогранника.

Багатогранні кути Багатогранний кут є просторовим аналогом багатокутника на площині. Нагадаємо, що багатокутником на площині називається фігура, утворена простою замкненою ламаною цієї площини та обмеженою нею внутрішньою областю.

Визначення багатогранного кута Поверхня, утворену кінцевим набором плоских кутів A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, An. SA 1 із загальною вершиною S, в яких сусідні кути не мають загальних точок, крім точок загального променя, а не сусідні кути не мають спільних точок, крім загальної вершини, називатимемо багатогранною поверхнею. Фігура, утворена зазначеною поверхнею та однією з двох частин простору, нею обмежених, називається багатогранним кутом. Загальна вершина S називається вершиною багатогранного кута. Промені SA 1, …, SAn називаються ребрами багатогранного кута, а самі плоскі кути A 1 SA 2, A 2 SA 3 …, An-1 SAn, An. SA 1 – гранями багатогранного кута. Багатогранний кут позначається літерами SA 1 ... An, що вказують вершину та точки на його ребрах.

Види багатогранних кутів Залежно від кількості граней багатогранні кути бувають тригранними, чотиригранними, п'ятигранними тощо.

Вправа 1 Наведіть приклади багатогранників, у яких грані, що перетинаються у вершинах, утворюють лише: а) тригранні кути; б) чотиригранні кути; в) п'ятигранні кути. Відповідь: а) Тетраедр, куб, додекаедр; б) октаедр; в) ікосаедр.

Вправа 2 Наведіть приклади багатогранників, у яких грані, перетинаючись у вершинах, утворюють лише: а) тригранні та чотиригранні кути; б) тригранні та п'ятигранні кути; в) чотиригранні та п'ятигранні кути. Відповідь: а) чотирикутна пірамідатрикутна біпіраміда; б) п'ятикутна піраміда; в) п'ятикутна біпіраміда.

Нерівність трикутника Для трикутника має місце така теорема. Теорема (Нерівність трикутника). Кожна сторона трикутника менша від суми двох інших сторін. Доведемо, що для тригранного кута має місце наступне просторовий аналогцієї теореми. Теорема. Кожен плоский кут тригранного кута менший за суму двох інших його плоских кутів.

Розглянемо тригранний кут SABC. Нехай найбільший із його плоских кутів є кут ASC. Тоді виконуються нерівності ASB ASC

Точка перетину бісектрис Для трикутника має місце така теорема. Теорема. Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці – центрі вписаного кола. Доведемо, що з тригранного кута має місце наступний просторовий аналог цієї теореми. Теорема. Біссектральні площини двогранних кутів тригранного кута перетинаються однією прямою.

Розглянемо тригранний кут SABC. Біссектральна площина SAD двогранного кута SA є геометричним місцемточок цього кута, рівновіддалених від його граней SAB та SAC. Аналогічно біссектральна площина SBE двогранного кута SB є геометричним місцем точок цього кута, рівновіддалених від його граней SAB і SBC. Лінія їх перетину SO складатиметься з точок, що рівно віддалені від усіх граней тригранного кута. Отже, через неї проходитиме біссектральна площина двогранного кута SC.

Крапка перетину серединних перпендикулярів Для трикутника має місце така теорема. Теорема. Серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці – центр описаного кола. Доведемо, що з тригранного кута має місце наступний просторовий аналог цієї теореми. Теорема. Площини, що проходять через бісектриси граней тригранного кута і перпендикулярні до цих граней, перетинаються по одній прямій.

Розглянемо тригранний кут SABC. Площина, що проходить через бісектрису SD кута BSC і перпендикулярна до його площини, складається з точок рівновіддалених від ребер SB і SC тригранного кута SABC. Аналогічно, площина, що проходить через бісектрису SE кута ASC і перпендикулярна до його площини, складається з точок рівновіддалених від ребер SA і SC тригранного кута SABC. Лінія їх перетину SO складатиметься з точок, що рівно віддалені від усіх ребер тригранного кута. Отже, її міститиме площину, що проходить через бісектрису кута ASB і перпендикулярна його площині.

Точка перетину медіан Для трикутника має місце така теорема. Теорема. Медіани трикутника перетинаються в одній точці – центрі вписаного кола. Доведемо, що з тригранного кута має місце наступний просторовий аналог цієї теореми. Теорема. Площини, що проходять через ребра тригранного кута та бісектриси протилежних граней, перетинаються по одній прямій.

Розглянемо тригранний кут SABC. На його ребрах відкладемо рівні відрізки SA = SB = CS. Бісектриси SD, SE, SF плоских кутів тригранного кута є медіанами трикутників відповідно SBC, SAB. Отже, AD, BE, CF – медіани трикутника ABC. Нехай O – точка перетину медіан. Тоді пряма SO буде лінією перетину площин, що розглядаються.

Точка перетину висот Для трикутника має місце така теорема. Теорема. Висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці. Доведемо, що з тригранного кута має місце наступний просторовий аналог цієї теореми. Теорема. Площини, що проходять через ребра тригранного кута і перпендикулярні до площин протилежних граней, перетинаються по одній прямій.

Розглянемо тригранний кут Sabc. Нехай d, e, f – лінії перетину площин граней тригранного кута з площинами, що проходять через ребра a, b, c цього кута і перпендикулярні до відповідних площин граней. Виберемо якусь точку C на ребрі с. Опустимо з неї перпендикуляри CD та CE на прямі d та e відповідно. Позначимо A та B точки перетину прямих CD та CE з прямими SB та SA відповідно. Пряма d є ортогональною проекцієюпряма AD на площину BSC. Так як BC перпендикулярна до прямої d, то вона перпендикулярна і до прямої AD. Аналогічно, пряма AC перпендикулярна до прямої BE. Нехай O – точка перетину прямих AD та BE. Пряма BC перпендикулярна площині SAD, отже, вона перпендикулярна до прямої SO. Аналогічно, Пряма AC перпендикулярна площині SBE, отже, вона перпендикулярна до прямої SO. Таким чином, пряма SO перпендикулярна прямим BC і AC, отже перпендикулярна площині ABC, значить, перпендикулярна і прямий AB. З іншого боку, пряма CO перпендикулярна до прямої AB. Таким чином, пряма AB перпендикулярна до площини SOC. Площина SAB проходить через пряму AB, перпендикулярну площині SOC, отже, сама перпендикулярна цій площині. Отже, всі три площини, що розглядаються, перетинаються по прямій SO.

Сума плоских кутів Теорема. Сума плоских кутів тригранного кута менша за 360°. Доказ. Нехай SABC – це тригранний кут. Розглянемо тригранний кут з вершиною A, утворений гранями ABS, ACS та кутом BAC. Через нерівність трикутника, має місце нерівність BAС

Випуклі багатогранні кути Багатогранний кут називається опуклим, якщо він є опуклою фігурою, Т. е. Разом з будь-якими двома своїми точками цілком містить і відрізок, що з'єднує їх. На малюнку наведено приклади опуклого та невипуклого багатогранних кутів. Властивість. Сума всіх плоских кутів опуклого багатогранного кута менша за 360°. Доказ аналогічний доведенню відповідної властивості для тригранного кута.
Вправа 5 Два плоскі кути тригранного кута дорівнюють 70° та 80°. У яких межах знаходиться третій плоский кут? Відповідь: 10 про

Вправа 6 Плоскі кути тригранного кута дорівнюють 45°, 45° та 60°. Знайдіть величину кута між площинами плоских кутів 45°. Відповідь: 90 о.

Вправа 7 У тригранному куті два плоскі кути рівні по 45°; двогранний кут між ними прямий. Знайдіть третій плоский кут. Відповідь: 60 о.

Вправа 8 Плоскі кути тригранного кута дорівнюють 60°, 60° та 90°. На його ребрах від вершини відкладено рівні відрізки OA, OB, OC. Знайдіть двогранний кут між площиною кута 90° і площиною ABC. Відповідь: 90 о.

Вправа 9 Кожен плоский кут трикутного кута дорівнює 60°. На одному з його ребер відкладений від вершини відрізок, що дорівнює 3 см, і з кінця опущений перпендикуляр на протилежну грань. Знайдіть довжину цього перпендикуляра. Відповідь: див.

Визначення. Візьмемо декілька кутів (рис. 37): ASB, BSC, CSD, які, примикаючи послідовно один до одного, розташовані в одній площині навколо загальної вершини S.

Повернемо площину кута ASВ навколо загальної сторони SB так, щоб ця площина становила певний двогранний кут із площиною BSC. Потім, не змінюючи двогранного кута, повернемо його навколо прямої SC так, щоб площина BSC склала деякий двогранний кут з площиною CSD. Продовжимо таке послідовне обертання довкола кожної спільної сторони. Якщо при цьому остання сторона SF поєднається з першою стороною SA, то утворюється фігура (рис. 38), яка називається багатогранним кутом. Кути ASB, BSC,... називаються плоскими кутамиабо гранями, сторони їх SA, SB, ... називаються ребрами, а загальна вершина S- вершиноюбагатогранного кута.

Кожне ребро є водночас ребром деякого двогранного кута; тому в багатогранному куті стільки двогранних кутів і стільки плоских, скільки в ньому всіх ребер. Найменша кількістьграней у багатогранному куті – три; такий кут називається тригранним. Можуть бути кути чотиригранні, п'ятигранні і т.д.

Багатогранний кут позначається або однією літерою S, поставленою біля вершини, або поруч букв SABCDE, з яких перша позначає вершину, а інші - ребра по порядку їх розташування.

Багатогранний кут називається опуклим, якщо він весь розташований по одну сторону від площини кожної його граней, необмежено продовженої. Такий, наприклад, кут, зображений на кресленні 38. Навпаки, кут на кресленні 39 не можна назвати опуклим, оскільки він розташований по обидва боки від ASB або від грані BSС.

Якщо всі грані багатогранного кута перетнемо площиною, то в перерізі утворюється багатокутник ( abcde ). У опуклому багатогранному куті цей багатокутник теж опуклий.

Ми розглядатимемо лише опуклі багатогранні кути.

Теорема. У тригранному куті кожен плоский кут менший за суму двох інших плоских кутів.

Нехай у тригранному вугіллі SABC (чорт. 40) найбільший із плоских кутів є кут ASC.

Відкладемо на цьому вугіллі кут ASD, рівний куту ASB, і проведемо якусь пряму АС, що перетинає SD у певній точці D. Відкладемо SB = SD. Поєднавши В з А і С, отримаємо \(\Delta\)АВС, в якому

AD+DC< АВ + ВС.

Трикутники ASD і ASB рівні, оскільки вони містять рівному куту, укладеному між рівними сторонами: отже, AD = AB. Тому, якщо у виведеній нерівності відкинути рівні доданки AD та АВ, отримаємо, що DC< ВС.

Тепер помічаємо, що з трикутників SCD і SCB дві сторони одного рівні двом сторонам іншого, а треті сторони не рівні; у такому разі проти більшої із цих сторін лежить більший кут; значить,

∠ CSD< ∠ CSВ.

Додавши до лівої частини цієї нерівності кут ASD, а до правої рівний йому кут ASB, отримаємо ту нерівність, яку потрібно довести:

∠ ASC< ∠ CSB + ∠ ASB.

Ми довели, що навіть найбільший плоский кут менший за суму двох інших кутів. Отже, теорему доведено.

Слідство. Віднімемо від обох частин останньої нерівності за кутом ASB або за кутом CSB; отримаємо:

∠ASC - ∠ASB< ∠ CSB;

∠ASC - ∠CSB< ∠ ASB.

Розглядаючи ці нерівності справа наліво і взявши до уваги, що кут ASC як найбільший з трьох кутівбільше різниці двох інших кутів, ми приходимо до висновку, що у тригранному куті кожен плоский кут більше різниці двох інших кутів.

Теорема. У опуклому багатогранному вугіллі сума всіх плоских кутів менша за 4d (360°) .

Перетнемо грані (чорт. 41) опуклого кута SABCDE якоюсь площиною; від цього в перетині отримаємо опуклий n-кутник ABCDE.

Застосовуючи теорему, доведену раніше, до кожного з тригранних кутів, вершини яких знаходяться в точках А, В, С, D та Е, пахолімо:

∠ABC< ∠ABS + ∠SВC, ∠BCD < ∠BCS + ∠SCD и т. д.

Складемо почленно всі ці нерівності. Тоді в лівій частині отримаємо суму всіх кутів багатокутника ABCDE, яка дорівнює 2 dn - 4d а в правій - суму кутів трикутників ABS, SBC і т. д., крім тих кутів, які лежать при вершині S. Позначивши суму цих останніх кутів буквою х , ми отримаємо після складання:

2dn - 4d < 2dn - х .

Так як у різницях 2 dn - 4d та 2 dn - х зменшувані однакові, те, щоб перша різниця була менше другої, необхідно, щоб віднімати 4 d було більше віднімається х ; значить, 4 d > х , тобто. х < 4d .

Найпростіші випадки рівності тригранних кутів

Теореми. Тригранні кути рівні, якщо вони мають:

1) по рівному двогранному кутку, укладеному між двома відповідно рівними і однаково розташованими плоскими кутами, або

2) по рівному плоскому кутку, укладеному між двома відповідно рівними і однаково розташованими двогранними кутами.

1) Нехай S і S 1 - два тригранні кути (чорт. 42), у яких ∠ASB = ∠A 1 S 1 B 1 , ∠ASC = ∠A 1 S 1 C 1 (і ці рівні кутиоднаково розташовані) і двогранний кут AS дорівнює двогранному куту A 1 S 1 .

Вкладемо кут S 1 у кут S так, щоб у них збіглися точки S 1 і S, прямі S 1 A 1 і SA і площини A 1 S 1 B 1 і ASB. Тоді ребро S 1 B 1 піде по SB (в силу рівності кутів A 1 S 1 B 1 і ASB), площина A 1 S 1 C 1 піде ASC (за рівною двогранних кутів) і ребро S 1 C 1 піде по ребру SC (через рівності кутів A 1 S 1 C 1 і ASC). Отже, тригранні кути поєднаються всіма своїми ребрами, тобто. вони будуть рівними.

2) Друга ознака, подібно до першої, доводиться вкладенням.

Симетричні багатогранні кути

Як відомо, вертикальні кутирівні, якщо йдеться про кути, утворені прямими або площинами. Подивимося, чи справедливе це твердження стосовно кутів багатогранним.

Продовжимо (чорт. 43) усі ребра кута SABCDE за вершину S, тоді утворюється інший багатокутний кут SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 , який можна назвати вертикальнимпо відношенню до першого кута. Неважко бачити, що в обох кутів рівні відповідно і плоскі кути, і двогранні, але ті та інші розташовані в зворотному порядку. Дійсно, якщо ми уявимо спостерігача, який дивиться ззовні багатогранного кута на його вершину, то ребра SА, SВ, SС, SD, SЕ здаватимуться йому розташованими у напрямку проти руху годинникової стрілки, тоді як дивлячись на кут SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 він бачить ребра SА 1 , SВ 1 ..., розташованими по руху годинникової стрілки.

Багатогранні кути з відповідно рівними плоскими та двогранними кутами, але розташованими у зворотному порядку взагалі не можуть поєднатися при вкладенні; отже, вони не рівні. Такі кути називаються симетричними(щодо вершини S). Докладніше про симетрію фігур у просторі буде сказано нижче.

Інші матеріали

Розглянемо три промені а, Ь, с, що виходять з однієї точки і не лежать в одній площині. Трикутним кутом (abc) називається фігура, складена "з трьох плоских кутів (аЬ), (Ьс) і (ас) (рис. 2). Ці кути називаються гранями тригранного кута, а їх сторони - ребрами, загальна вершина плоских кутів називається вершиною тригранного кута. Двогранні кути, утворені гранями тригранного кута, називаються двогранними кутами тригранного кута.

Аналогічно визначається поняття багатогранного кута (рис. 3).

Багатогранник

У стереометрії вивчаються постаті у просторі, звані тілами. Наочно (геометричне) тіло треба уявляти як частину простору, зайняту фізичним тіломта обмежену поверхнею.

Багатогранник - це тіло, поверхня якого складається з кінцевого числа плоских багатокутників (рис. 4). Багатогранник називається опуклим, якщо він розташований з одного боку площини кожного плоского багатокутника з його поверхні. Загальна частина такої площини та поверхні опуклого багатогранника називається гранню. Грані опуклого багатогранника є плоскими опуклими багатокутниками. Сторони граней називаються ребрами багатогранника, а вершини – вершинами багатогранника.

Пояснимо сказане з прикладу знайомого вам куба (рис. 5). Куб є опуклий багатогранник. Його поверхня складається із шести квадратів: ABCD, BEFC, .... Вони є його гранями. Ребрами куба є сторони цих квадратів: АВ, НД, BE,... . Вершинами куба є вершини квадратів: А, В, С, D, Е, .... У куба шість граней, дванадцять ребер та вісім вершин.

Найпростішим багатогранникам – призмам та пірамідам, які будуть основним об'єктом нашого вивчення, – ми дамо такі визначення, які, по суті, не використовують поняття тіла. Вони будуть визначені як геометричні фігуриіз зазначенням усіх належних їм точок простору. Концепція геометричного тілата його поверхні в загальному випадкубуде дано пізніше.