Нехай на площині задані прямі L і точки A. Опустимо з точки A на пряму L перпендикуляр (рис. 1.8, а). Тоді його основу (точку O) називають ортогональною проекцією точки A на пряму L. Якщо пряма L і точка A задані в просторі, то в цьому випадку ортогональною проекцією точки A на пряму L називають точку O перетину прямої L з перпендикулярною площиною, що проходить через точку A (рис. 1.8, б). Якщо точка A лежить на прямий L, вона співпадає зі своєю ортогональною проекцією на L.
Для вектора - AB (на площині чи просторі) можна побудувати ортогональні проекції на пряму L його початку та кінця(Рис. 1.9). Вектор O A O B , що з'єднує ці проекції O A і O B і лежить на прямій L, називають ортогональною проекцією вектора AB на пряму L.
Пряму, на якій задано один із двох можливих напрямків, називають віссю. Вибраний напрямок на осі зображують за допомогою стрілки на відповідному кінці осі. Ортогональну проекцію O A O B вектора AB на вісь l можна повністю описати довжиноювектора O A O B , приписавши їй знак,
Вказівний напрямок вектор. Якщо напрямок O A O B збігається із заданим напрямком осі, то беруть знак плюс, а якщо напрямок вектора протилежний напрямку осі, то беруть знак мінус. Довжину вектора O A O B зі знаком, що визначає напрямок цього вектора, називають ортогональною проекцією вектора AB на вісь l і позначають про l а.
Звернемо увагу, що ортогональною проекцією вектора на вісь є число, тоді як ортогональна проекція вектора на пряму - це вектор. Щоб вектору відповідало число як його проекція, на прямій потрібно вибрати один із двох можливих напрямків.
Кожен ненульовий вектор l однозначно визначає вісь: його можна розглядати розташованим на деякій прямий і напрямок, що задає на ній. Ортогональну проекцію вектора на таку вісь називають ортогональною проекцією цього вектора на напрямоквектор l.
Кут між напрямками двох ненульових векторів називають кутом між цими векторами. Кут може змінюватись в межах від 0 до π. Крайні значення 0 та π відповідають колінеарним векторамвідповідно односпрямованим та протилежно спрямованим. Якщо хоча б один із двох векторів є нульовимто кут між такими векторами не визначений. Зручно, однак, вважати, що в цьому випадку кут має довільне значення. Так, нульовий вектор колінеарен будь-якому іншому, що формально відповідає куту 0 (або π). Конкретне значення, що приписується куту між нульовим вектором і будь-яким іншим, вибирають з ситуації.
Теорема 1.1.Ортогональна проекція вектора на напрям ненульового вектора l дорівнює довжині |а|, помноженої на косинус кута між векторами а і l, тобто.
пр l = а|а| cos
де - кут між векторами а та l
◄ Нехай вектор l лежить на прямій L, а його початком є точка A. Сумісний початок вектора а з точкою A, і нехай його кінцем буде точка B (рис. 1.10). Побудуємо ортогональні проекцію C точки B на пряму L. Тоді вектор AC є ортогональною проекцією вектора а = AB на пряму L.
Якщо кут φ між векторами а і l гострий (як показано на рис. 1.10, а), то кінець вектора l і точка C лежать по одну сторону від точки A. У цьому випадку проекція а на напрям вектора l дорівнює довжині |AC| = | AB | cosφ катета AC трикутника ABC.
Якщо кут φ тупий (див. рис. 1.10, б), то кінець вектора l і точка C лежать по різні боки від точки A. Це означає, що вектори AC і l мають протилежні напрямки, а проекція вектора дорівнює - |AC| . У трикутнику ABC кут ψ, що належить до катета AC, дорівнює π - φ, тому |AC| = | AB | cos(π - ?) = - | AB | cosφ.
Якщо ж φ = π/2 чи а = 0, точка C збігається з точкою A і вектор AC є нульовим вектором. Проте cosπ/2 = 0, отже, й у разі затвердження теореми справедливо.
Теорема 1.2.Ортогональна проекція суми векторів на напрям ненульового вектора дорівнює сумі їх ортогональних проекцій на напрям цього вектора, а при множенні вектора на число ортогональна його проекція на напрям ненульового вектора множиться на те ж число:
пр l (а + b) = пр l а + пр l b, пр l (λа) - λпр l а.
◄ Доказ випливає із рис. 1.11. У випадку, зображеному на рис. 1.11 а, маємо пр l а = |AB|, пр l b = -|BC|, пр l (а + b) = |AC| = | AB | - | BC |. У випадку, зображеному на рис. 1.11 б, пр l а = | AB | і якщо λ > 0, пр l (λа) = |AE| = λ | AB |. Інші варіанти (точка C не належить відрізку AB у разі а, λ ≤ 0 у разі б) розглядаються аналогічно.
Як було зазначено вище ортогональне проектування — це окремий випадок паралельного проектування. При ортогональному проектуванні проекції промені перпендикулярні до площини проекцій.
Апарат такого проектування складається з однієї поверхні проекцій.
Щоб отримати ортогональну проекцію точки А, через неї треба провести променюючий промінь перпендикулярно П1. Точка А1 називається ортогональною або прямокутною проекцією точки А.
Щоб отримати ортогональну проекцію А 1 В 1відрізка АВ, на площину П 1необхідно через точки Аі Упровести проєкуючі прямі, перпендикулярні П 1. При перетині прямих, що проектують, з площиною П 1вийдуть ортогональні проекції А 1і У 1точок Аі У. Поєднавши ортогональні проекції А 1і У 1отримаємо ортогональну проекцію А 1 В 1відрізка АВ.
Всі властивості паралельного проектування можна здійснити і для ортогонального проектування. Однак ортогональні проекції мають ще деякі властивості.
Властивості ортогонального проектування:
1. Довжина відрізка дорівнює довжині його проекції, поділеної на косинус кута нахилу відрізка до площини проекцій.
Візьмемо пряму АВі збудуємо її ортогональну проекцію А 1 В 1на площину П 1. Якщо провести пряму АС || А 1 В 1, то з трикутника АВСслід, що |АС| : |АВ| = cos aабо |АВ| = | А 1 У 1 | : cos a, т. до. |А 1 У 1 | = | АС |.
2. Крім того, для ортогонального проектування буде справедлива теорема про проектування прямого кута:
Теорема:Якщо хоча б одна сторона прямого кута паралельна площині проекцій, а друга не перпендикулярна, то кут на цю площину проектується в натуральну величину.
Доказ:
Даний прямий кут АВС, у якого за умовою пряма НД АВі НД ||площині проекцій П 1. За побудовою пряма НДдо проєційного променя ВВ 1. Отже, пряма НДдо площини b (АВхВВ1), т. до. вона до двох прямих, що перетинаються, лежать у цій площині. За умовою пряма 1 З 1 || НДтому теж до площини b, тобто і прямий А 1 В 1цій площині. Отже, кут між прямими А 1 В 1і У 1 З 1дорівнює 90 °, що і потрібно довести.
Ортогональне проектування забезпечує простоту геометричних побудов при визначенні ортогональних проекцій крапок, а також можливість зберігати на проекціях форму і розміри фігури, що проектується. Ці переваги забезпечили ортогонального проектування широке застосування в технічному кресленні.
Розглянуті методи проектування дозволяють вирішити пряме завдання накреслювальної геометрії, тобто по оригіналу побудувати плоский креслення. Отримані таким чином проекції на одну площину дають неповне уявлення про предмет, його форму і положення в просторі, тобто такий креслення не має властивість оборотності.
Щоб отримати оборотний креслення, тобто. креслення, що дає повне уявлення про форму, розміри та положення оригіналу в просторі, однокартинний креслення доповнюють. Залежно від доповнення є різні види креслень.
- Епюр Монжа або ортогональні проекції.Суть методу ортогональних (прямокутних) проекцій полягає в тому, що оригінал ортогонально проектують на 2 або 3 взаємно-ортогональні площини проекцій, а потім поєднують їх з площиною креслення.
- Аксонометричний креслення.Суть аксонометричного креслення полягає в тому, що спочатку оригінал жорстко пов'язують із декартовою системою координат. OXYZ, ортогонально проектують його на одну з площин проекцій OXY, або OXZ. Потім паралельним проектуванням знаходять паралельну проекцію отриманої конструкції: осей координат OX, OY, OZ,вторинної проекції та оригіналу.
- Перспективне креслення.При побудові перспективного креслення спочатку будують одну ортогональні проекцію, а потім на картинній площині знаходять центральну проекцію побудованої раніше ортогональні проекції і самого оригіналу.
- Проекції з числовими відмітками та ін.Щоб отримати проекції з числовими відмітками, ортогонально проектують оригінал на площину нульового рівня і вказують відстань від точок оригіналу до цієї площини.
Докладніше зупинимося на вивченні прямокутних проекцій та аксонометричному кресленні.
Ортогональне проектування є окремим випадком паралельного проектування, коли напрямок проектування S перпендикулярно (ортогонально) площині проекцій S 1 (рис. 1.11).
Мал. 1.11. Ортогональна проекція прямого кута
Ортогональне проектування знаходить широке застосування в інженерній практиці для зображення геометричних фігур на площині, тому що має низку переваг перед центральним і паралельним (косокутним) проектуванням до яких можна віднести:
а) простоту графічних побудов визначення ортогональних проекцій точок;
б) можливість за певних умов зберегти на проекціях форму і розміри фігури, що проектується.
Зазначені переваги забезпечили широке застосування ортогонального проектування у техніці, зокрема для складання машинобудівних креслень.
Для ортогонального проектування справедливі дев'ять інваріантних властивостей, розглянутих вище. Крім того, необхідно відзначити ще одну, десяту, інваріантну властивість, яка справедлива тільки для ортогонального проектування.
10. Якщо хоча б одна сторона прямого кута паралельна площині проекцій, то на цю площину проекцій прямий кут проектується без спотворення (рис. 1.11)
На рис. 1.11 показаний прямий кут АВD, обидві сторони якого паралельні площині проекцій 1 . За інваріантною властивістю 9.2 цей кут проектується на площину 1 без спотворення, тобто А 1 1 D 1 =90.
Візьмемо на проецирующем промені DD 1 довільну точку З, тоді отриманий АВС буде прямим, т. до. АВВВ 1 DD 1 .
Проекцією цього прямого кута АВС, у якого тільки одна сторона АВ паралельна площині проекцій 1 , буде прямий кут А 1 В 1 D 1 .
Говорячи про геометричні фігури та їх проекції необхідно пам'ятати, що проекцією фігури називають безліч проекцій усіх її точок.
1.6. Система трьох площин проекцій. Епюр Монжа.
Усі просторові геометричні фігури можуть бути орієнтовані щодо декартової прямокутної системи координатних осей – системи трьох взаємно перпендикулярних координатних площин (рис. 1.12).
Мал. 1.12. Зображення системи трьох площин проекцій
Ці координатні площини позначаються:
горизонтальна площина проекцій - 1;
фронтальна площина проекцій - 2;
профільна площина проекцій - 3 .
Лінії перетину цих площин утворюють координатні осі: вісь абсцис - Х; вісь ординат - Y; вісь аплікат – Z. Крапка Про перетин координатних осей приймається за початок координат і позначається буквою О. Позитивними напрямками осей вважають: для осі x − вліво від початку координат, для осі Y − у бік глядача від площини 2 , для осі z – вгору від площини 1; протилежні напрями вважають негативними.
Для спрощення подальших міркувань розглядатимемо лише частину простору, розташовану ліворуч від профільної площини проекцій 3 .
При такому припущенні три координатні площини проекцій утворюють чотири просторові кути – октанти (загалом – 8 октантів).
З рис. 1.12 видно, що вісь абсцис Х ділить горизонтальну площину проекцій 1 на дві частини: передню підлогу 1 (осі Х та Y) та задню підлозі 1 (осі Х та - Y).
Вісь абсцис Х ділить фронтальну площину проекцій 2 також на дві частини: верхню підлогу 2 (осі Х та Z) та нижню підлозі 2 (осі Х та - Z).
Осі ординат Y та аплікат Z ділять профільну площину проекцій 3 на чотири частини:
верхню передню підлогу 3 (осі Y та Z)
верхню задню підлогу 3 (осі –Y та Z)
нижню передню підлогу 3 (осі Y та –Z)
нижню задню підлогу 3 я(осі – Y та –Z)
Для того, щоб отримати плоску (двовимірну) модель просторових координатних площин проекцій, горизонтальну 1 та профільну 3 площини поєднують з фронтальною 2 у тому порядку, як це показано стрілками на рис. 1.12.
П 
при цьому горизонтальна площина проекцій 1 обертається навколо осі Х на 90, а профільна плоскість проекцій 3 обертається навколо осі Z також на 90 (напрямок обертання показано на рис. 1.12).
Отримане таким чином суміщення трьох площин проекцій (рис. 1.13) є плоскою моделлю системи трьох просторових
до
Мал. 1.13. Просторова модель точки А
Для побудови плоскої моделі просторової геометричної фігури кожна її точка проектується ортогонально на площині проекцій 1 , 2 та 3 , які потім поєднуються в одну площину. Отримана у такий спосіб плоска модель просторової геометричної фігури називається епюром Монжа.
Порядок побудови епюри точки, що у першому октанті.
На рис. 1.13 зображено просторову точку А, координати якої (x, y, z) показують величини відстаней, на які точка віддалена від площин проекцій.
Д 
Щоб отримати ортогональні проекції точки А, необхідно з цієї точки опустити перпендикуляри на площині проекцій.
Точки перетину цих перпендикулярів із площинами проекцій утворюють проекції точки А:
А 1 – горизонтальну проекцію точки;
А 2 – фронтальну проекцію точки;
А
Мал. 1.14. Епюр точки А
На рис. 1.14 площини проекцій 1 та 3 поєднані з площиною креслення (з площиною проекції 2), а разом з ними поєднані з площиною креслення та проекції точки А (А 1 , А 2 , А 3) і таким чином отримана площинна модель координат проекцій та площинна модель просторової точки А – її епюра.
Положення проекцій точки А на епюрі однозначно визначається її трьома координатами (рис. 1.14).
На рис. 1.13 та рис. 1.14 також видно, що на епюрі горизонтальна та фронтальна проекції точки лежать на одному перпендикулярі до осі Х, а також фронтальна та профільна проекції – на одному перпендикулярі до осі Z:
А 1 А 2 Х, А 2 А 3 Z.
З рис 1.12 видно, що точки, які у різних октантах, мають певні знаки координат.
У таблиці наведено знаки координат точок, розташованих у різних октантах
Таблиця знаків координат
|
Знаки координат |
|||
Запитання для самоконтролю
У чому полягає ідея методу проектування?
У чому полягає сутність центрального проектування та які його основні властивості?
У чому полягає сутність паралельного проектування та які його основні властивості?
У чому полягає сутність ортогонального (прямокутного) проектування?
Як формулюється теорема про проектування прямого кута?
Схожі завдання:
Сторона AB ромба ABCD дорівнює а, один із кутів дорівнює 60 градусів. Через сторону AB проведено площину альфа з відривом a/2 від точки D.
а)знайти відстань від точки C до площини альфа.
б)покажіть на малюнку лінійний кут двогранного кута DABM. M належить альфа.
в) Знайдіть синус кута між площиною ромба та площиною альфа.
Сторона AB ромба ABCD дорівнює а, один із кутів дорівнює 60 градусів. Через сторону AB проведено площину альфа на відстані a/2 від точки D. а)знайти відстань від точки C до площини альфа. б)покажіть на малюнку лінійний кут двогранного кута DABM. M належить альфа. в) Знайдіть синус кута між площиною ромба та площиною альфа.
Сторона АВ ромба ABCD дорівнює a, а з його кутів дорівнює 60гр. Через бік АВ проведено площину альфа з відривом а2 від точки D.
а) Знайти відстань від точки до площині альфа.
б) Показати на малюнку лінійний кут двогранного кута DABM, M належить пл. альфа.
в) Знайти синус кута між площиною ромба та площиною альфа.
Розглянемо площину p і перетинає її пряму . Нехай А - Довільна точка простору. Через цю точку проведемо пряму , паралельну прямий . Нехай . Крапка називається проекцією точки Ана площину pпри паралельному проектуванні за заданою прямою . Площина p , На яку проектуються точки простору називається площиною проекції.
p – площина проекції;
- Пряма проектування; ;
; ; ;
Ортогональне проектуванняє окремим випадком паралельного проектування. Ортогональне проектування - це паралельне проектування, у якому пряма проектування перпендикулярна площині проекції. Ортогональне проектування широко застосовується в технічному кресленні, де фігура проектується на три площині – горизонтальну та дві вертикальні.
Визначення:
Ортогональною проекцією точки Мна площину pназивається основа М 1перпендикуляра ММ 1, опущеного з точки Мна площину p.
Позначення: , 
, .
Визначення: Ортогональною проекцією фігури. Fна площину pназивається безліч усіх точок площини, що є ортогональними проекціями безлічі точок фігури Fна площину p.
Ортогональне проектування, як окремий випадок паралельного проектування, має ті самі властивості:
p – площина проекції;
- Пряма проектування; ;
1) ;
2) , .
- Проекції паралельних прямих паралельні.
ПЛОЩА ПРОЕКЦІЇ ПЛОЩОЇ ФІГУРИ
Теорема: Площа проекції плоского багатокутника на деяку площину дорівнює площі багатокутника, що проектується, помноженої на косинус кута між площиною багатокутника і площиною проекції.
1 етап: Фігура, що проектується – трикутник АВС, сторона якого АС лежить у площині проекції a (паралельна площині проекції a).
Дано:
Довести:
Доказ:
1. ; ;
2. ; ; ; ;
3. ; 
;
4. По теоремі про три перпендикуляри;
ВD - висота; У 1 D - висота;
5. - лінійний кут двогранного кута;
6. ; ; ; 
;
2 етап: Постаті, що проектується – трикутник АВС, жодна зі сторін якого не лежить у площині проекції a і не паралельна їй.
Дано:
Довести:
Доказ:
1. ; ;
2. ; ;
4. ; ; ;
(1 етап);
5. ; ; ;
(1 етап);
Етап: Проектована фігура – довільний багатокутник.
Доказ:
Багатокутник розбивається діагоналями, проведеними з однієї вершини, на кінцеве число трикутників, кожному з яких теорема правильна. Тому теорема буде вірна й у суми площ всіх трикутників, площини яких утворюють і той ж кут із площиною проекції.
Зауваження: Доведена теорема справедлива для будь-якої плоскої фігури, що обмежена замкненою кривою.
Вправи:
1. Знайти площу трикутника, площина якого нахилена до площини проекції під кутом , якщо його проекція – правильний трикутник зі стороною а.
2. Знайти площу трикутника, площина якого нахилена до площини проекції під кутом, якщо його проекція – рівнобедрений трикутник з боковою стороною 10 см і основою 12 см.
3. Знайти площу трикутника, площина якого нахилена до площини проекції під кутом, якщо його проекція – трикутник зі сторонами 9, 10 і 17 см.
4. Обчислити площу трапеції, площина якої нахилена до площини проекції під кутом , якщо її проекція – рівнобедренная трапеція, більшу основу якої 44 див, бічна сторона 17 див і діагональ 39 див.
5. Обчислити площу проекції правильного шестикутника зі стороною 8 см, площина якого нахилена до площини проекції під кутом.
6. Ромб зі стороною 12 см і гострим кутом утворює з даною площиною кут. Обчислити площу проекції ромба на цю площину.
7. Ромб зі стороною 20 см і діагоналлю 32 см утворює з цією площиною кут. Обчислити площу проекції ромба на цю площину.
8. Проекція навісу на горизонтальну площину має прямокутник зі сторонами і . Знайти площу навісу, якщо бічні грані – рівні прямокутники, нахилені до горизонтальної площини під кутом, а середня частина навісу – квадрат, паралельний площині проекції.
11. Вправи на тему «Прямі та площини у просторі»:
Сторони трикутника дорівнюють 20 см, 65 см, 75 см. З вершини більшого кута трикутника проведено до його площини перпендикуляр, що дорівнює 60 см. Знайти відстань від кінців перпендикуляра до більшої сторони трикутника.
2. З точки, що віддаляється від площини на відстані см, проведено дві похилі, що утворюють з площиною кути, рівні , а між собою – прямий кут. Знайти відстань між точками перетину похилих із площиною.
3. Сторона правильного трикутника дорівнює 12 см. Точка М обрана так, що відрізки, що з'єднують точку М з усіма вершинами трикутника, утворюють із його площиною кути . Знайти відстань від точки М до вершин та сторін трикутника.
4. Через сторону квадрата проведено площину під кутом до діагоналі квадрата. Знайти кути, під якими нахилені до площини дві сторони квадрата.
5. Катет рівнобедреного прямокутного трикутника нахилений до площини a, що проходить через гіпотенузу, під кутом . Довести, що кут між площиною a та площиною трикутника дорівнює .
6. Двогранний кут між площинами трикутників АВС та DВС дорівнює . Знайти АD, якщо АВ = АС = 5 см, ПС = 6 см, ВD = DС = см.
Контрольні питання на тему «Прямі та площини у просторі»
1. Перелічити основні поняття стереометрії. Сформулювати аксіому стереометрії.
2. Довести слідства з аксіом.
3. Яке взаємне розташування двох прямих у просторі? Дати визначення прямих, що перетинаються, паралельних, схрещуються.
4. Довести ознаку прямих, що схрещуються.
5. Яке взаємне розташування прямої та площини? Дати визначення пересічних, паралельних прямій та площині.
6. Довести ознаку паралельності прямої та площини.
7. Яким є взаємне розташування двох площин?
8. Дати визначення паралельних площин. Довести ознаку паралельності двох площин. Сформулювати теореми про паралельні площини.
9. Дати визначення кута між прямими.
10. Довести ознаку перпендикулярності прямої та площини.
11. Дати визначення підстави перпендикуляра, підстави похилої проекції похилої на площину. Сформулювати властивості перпендикуляра та похилих, опущених на площину з однієї точки.
12. Дати визначення кута між прямою та площиною.
13. Довести теорему про три перпендикуляри.
14. Дати визначення двогранного кута, лінійного кута двогранного кута.
15. Довести ознаку перпендикулярності двох площин.
16. Дати визначення відстані між двома різними точками.
17. Дати визначення відстані від точки до прямої.
18. Дати визначення відстані від точки до площини.
19. Дати визначення відстані між прямою та паралельною їй площиною.
20. Дати визначення відстані між паралельними площинами.
21. Дати визначення відстані між прямими, що схрещуються.
22. Дати визначення ортогональної проекції точки на площину.
23. Дати визначення ортогональної проекції фігури на площину.
24. Сформулювати властивості проекцій на площину.
25. Сформулювати та довести теорему про площу проекції плоского багатокутника.