У статті наведено найважливішу теоретичну інформацію та необхідні для вирішення конкретних завданьформули По поличках розкладено важливі твердження та властивості фігур.

Визначення та важливі факти

Планіметрія – це розділ геометрії, що розглядає об'єкти на плоскій двовимірній поверхні. Можна виділити деякі приклади: квадрат, коло, ромб.

Серед іншого варто виділити точку і пряму. Вони є двома основними поняттями планіметрії.

Вже на них будуються все інше, наприклад:

Аксіоми та теореми

Докладніше розберемося з аксіомами. У планіметрії це найважливіші правила, якими працює вся наука. Та й не лише у ній. За визначенням, мова йдепро твердження, які вимагають доказів.

Аксіоми, які будуть розглянуті нижче, входять у так звану Евклідову геометрію.

• Є дві точки. Через них можна провести єдину пряму.
• Якщо існує пряма, тобто точки, що на ній лежать, і точки, що не лежать на ній.

Це 2 твердження прийнято називати аксіомами приналежності, а такі - порядку:

• Якщо на прямій розташовані три крапки, то одна з них обов'язково перебуває між двома іншими.
• Площина ділиться будь-якою прямою на дві частини. Коли кінці відрізка лежать одній половині, отже, і весь об'єкт належить їй. В іншому випадку вихідна пряма та відрізок мають точку перетину.

Аксіоми заходів:

• Кожен відрізок має довжину, відмінну від нуля. Якщо точка розбиває його на кілька частин, то їх сума дорівнюватиме повній довжині об'єкта.
• У кожного кута є певний градусний захід, який не дорівнює нулю. Якщо розбити його променем, то вихідний кут буде дорівнює суміосвічених.

Паралельність:

• На площині розташована пряма. Через будь-яку точку, що не належить їй, можна провести лише одну пряму, паралельну даній.

Теореми у планіметрії – це вже не зовсім фундаментальні твердження. Зазвичай їх приймають як факт, але кожна з них має доказ, побудований на основних поняттях, згаданих вище. Крім того, їх дуже багато. Розібрати все буде досить важко, але у представленому матеріалі будуть деякі з них.

З наступними двома варто ознайомитися раніше:

• Сума суміжних кутівдорівнює 180 градусів.
• Вертикальні кути мають однакову величину.

Ці дві теореми можуть стати в нагоді у вирішенні геометричних завдань, пов'язані з n-кутниками. Вони досить прості та інтуїтивно зрозумілі. Варто їх запам'ятати.

Трикутники

Трикутник – це геометрична фігура, що складається з трьох послідовно з'єднаних відрізків. Класифікують їх за декількома ознаками.

По сторонах (співвідношення випливають із назв):

По кутах:

• гострокутний;
• прямокутний;
• тупокутний.

Два кути незалежно від ситуації завжди будуть гострими, а третій визначається першою частиною слова. Тобто у прямокутного трикутникаодин із кутів дорівнює 90 градусам.

Властивості:

• Чим більший кут, тим більша протилежна йому сторона.
• Сума всіх кутів – 180 градусів.
• Площу можна обчислити за формулою: S = ½ ⋅ h ⋅ a, де a - сторона, h - проведена до неї висота.
• Завжди можна вписати коло в трикутник або описати його навколо нього.

Про одну з основних формул планіметрії говорить теорема Піфагора. Працює вона виключно для прямокутного трикутника і звучить так: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: AB2 = AC2+BC2.

Під гіпотенузою мають на увазі бік, протилежний куту 90 °, а під катетами - прилеглі.

Чотирикутники

Інформації на цю тему дуже багато. Нижче наведено лише найважливішу.

Деякі різновиди:

1. Паралелограм - протилежні сторонирівні та попарно паралельні.
2. Ромб - паралелограм, чиї сторони мають однакову довжину.
3. Прямокутник - паралелограм із чотирма прямими кутами
4. Квадрат – одночасно ромб та прямокутник.
5. Трапеція – лише дві протилежні сторони паралельні.

Властивості:

• Сума внутрішніх кутівдорівнює 360 градусів.
• Площу завжди можна обчислити за формулою: S = √ (p-a) (p-b) (p-c) (p-d), де p - половина периметра, a, b, c, d - сторони фігури.
• Якщо навколо чотирикутник можна описати коло, тоді його називаю опуклим, якщо ні – невипуклим.

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішної здачі ЄДІз математики на 60-65 балів. Цілком всі завдання 1-13 Профільного ЄДІз математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Вся необхідна теорія. Швидкі способирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завданнята теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми рішення, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База для вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

Пояснювальна записка

Запропоновані квитки призначені для проведення усного теоретичногопереказного річного іспиту за планіметрією учнів 9 класів загальноосвітньої школи, а також 10 та 11 класів з метою підготовки до ЄДІ. Пропоновані матеріали повністю відповідають програмі з математики та програмі для профільного навчання.

Квитки складаються із десяти питань, що відображають основні напрямки курсу геометрії.

Запитання орієнтовані на перевірку оволодіння понятійним апаратомпредмета та виявлення рівня знань важливих теоретичних фактів. Деякі з них припускають доказ матеріалу, що викладається, що показують знання основних теоретичних положень курсу та вміння привести їх обґрунтування.

Завдання цих питань взяті з посібників:

Геометрія. Завдання на підтвердження. Смирнов В.А., Смирнова І.М.

Геометрія. Підручник для 7-9 класів. Атанасян, Бутузов, Кадомцев та ін.

Геометрія. Підручник для 7-11 класів. А.В.Погорелов.

КРИТЕРІЇ ОЦІНКИ ВІДПОВІДІ УЧНІВ

Оцінюючи відповіді учнів можна керуватися наступними критеріями.

За повну та правильну відповідь на всі питання квитка виставляється оцінка «5». Для отримання оцінки «3» достатньо відповісти на вісім запитань квитка.

У решті випадків виставляється оцінка «4».

Залік з планіметрії

Варіант 1

Ознаки рівності трикутників.

Властивість середньої лініїтрикутник.

Визначення висоти трикутника.

Чому рівні радіуси вписаного та описаного кіл у прямокутному трикутнику?

Властивості подібних фігур.

Чим вимірюється центральний кут.

Властивість хорд кола.

Центр описаного кола, описаного біля прямокутного трикутника.

Властивість прямокутного трикутника, який має гострий кут 30 градусів.

Дайте визначення серединного перпендикуляра.

Варіант 2

Ознаки рівності прямокутних трикутників.

Визначення медіани трикутника.

Теорема Піфагора.

Чому дорівнює сума квадратів діагоналей у паралелограмі?

Формула площі правильного трикутника.

Площа трапеції.

Властивість вписаних кутів.

Властивість описаного чотирикутника.

Довжина дуги.

Синус, косинус, тангенс кута 30 градусів.

Варіант 3

Теорема про суму кутів трикутника.

Властивості медіан трикутника.

Визначення бісектриси трикутника.

Теорема косінусів.

Формула бісектриси трикутника.

Площа паралелограма (3).

Чому дорівнює кутміж двома січними, що перетинаються поза коло.

Властивість вписаного чотирикутника.

Довжина кола.

Основні характеристики хорд.

Варіант 4

Властивості рівнобедреного трикутника.

Властивість середніх перпендикулярів.

Формула медіан трикутника.

Теорема синусів.

Чому рівні елементи в рівносторонньому трикутнику(висота, радіуси, площа)?

Властивості рівнобедреної трапеції.

Властивість дотичної та січної, що виходять з однієї точки.

Чому дорівнює кут між хордами, що перетинаються.

Синус, косинус, тангенс кута 60 градусів.

Де знаходиться центр вписаного кола у трикутнику?

Варіант 5

Нерівність трикутника.

Теорема про висоти трикутника.

Площі подібних трикутників.

Формули площ трикутника (6).

Ознаки паралелограма.

Теорема про середню лінію трапеції.

Формула Герона для чотирикутника.

Чому дорівнює кут між дотичною і хордою, проведеною з точки дотику?

Площа сектора.

Синус, косинус, тангенс кута 45 градусів.

Варіант 6

Визначення середньої лінії трикутника.

Теорема про бісектриси трикутника.

Ознаки подоби трикутників.

Теорема косінусів.

Формула Герона.

Властивості паралелограма.

Площа ромба.

Центр вписаного та описаного кола в трикутнику.

Дати визначення для синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу гострого кутапрямокутного трикутника

Середній рівень

Основні аксіоми планіметрії. Вичерпний гід (2019)

1. Основні поняття планіметрії



Чому все у картинках і без слів? А чи потрібні слова? Мені здається, спочатку не дуже потрібні. Взагалі, математики, звичайно, вміють все описувати словами, і такі описи ти можеш знайти в наступних рівнях теорії, а зараз продовжимо картинками.







Що ще? Ах так, нам треба навчитися вимірювати відрізки і кути.

У кожного відрізка є довжина – число, яке цьому відрізку (навіщось…) поставили у відповідність. Довжину прийнято вимірювати... лінійкою, звісно, ​​у сантиметрах, міліметрах, метрах і навіть у кілометрах.

А тепер вимір кутів. Кути чомусь прийнято вимірювати у градусах. Чому? На це є історичні причиниАле ми зараз займаємося не історією. Тому доведеться прийняти просто як належну таку угоду.



У розгорнутому куті градусів.

Для стислості пишуть: . При цьому, звичайно ж, величину решти всіх кутів можна знайти, якщо з'ясувати, яку частину від розгорнутого кута становить даний кут. Інструмент для вимірювання кутів називається транспортир. Думаю, ти його вже не раз бачив у житті.

2. Два основні факти про кути

I. Суміжні кути у сумі становлять.



Це дуже природно, чи не так? Адже суміжні кути разом становлять розгорнутий кут!

ІІ. Вертикальні кути рівні.



Чому? А дивись:

Що тепер? Ну, звичайно, звідси випливає, що. (Досить, наприклад, відняти з першої рівності друге. А взагалі-то, можна просто подивитися на картинку).

Чому дорівнює величина прямого кута?

Ну звичайно, ! Адже.

4. Гострий та тупий кут.

Ось загалом і все, що тобі потрібно знати для початку. Чому ж ми ні слова не сказали про аксіоми?

Аксіоми - це правила дії з основними об'єктами планіметрії, найперші твердження про точки і прямі. Ці твердження беруться за основу, які не доводяться.

Чому ж ми їх не формулюємо і не обговорюємо? Розумієш, аксіоми планіметрії в певному сенсі просто описують ясні інтуїтивні співвідношення досить довгою математичною мовою. Чітке усвідомлення аксіоматики необхідно трохи пізніше, коли ти звикнеш до геометричним поняттямлише на рівні здорового глузду. Тоді - ласкаво просимо - там є досить докладне обговорення аксіом. А поки спробуй чинити як зовсім давні греки, до часів Евкліда - просто вирішуй завдання, користуючись здоровим глуздом. Запевняю тебе, безліч завдань тобі піддадуться!

СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Уяви, що ти раптом опинився на іншій планеті, чи… в комп'ютерній грі.

Перед тобою набір невідомих продуктів, а твоє завдання – приготувати з цього набору якомога більше смачних страв. Що тобі знадобиться? Звичайно ж, правила, інструкції – що можна робити з тими чи іншими продуктами. А то раптом ти звариш те, що їдять лише у сирому вигляді чи, навпаки, покладеш у салат те, що неодмінно потрібно варити чи смажити? Тож, без інструкцій – нікуди!

Добре, але до чого такий вступ? До чого тут геометрія? Розумієш, безліч тверджень про всілякі постаті в геометрії і є та безліч «страв», які ми повинні навчитися готувати. Але з чого? Із основних об'єктів геометрії! А ось інструкція щодо їх «вживання» називається розумними словами "система аксіом".

Отже, увага!

Основні об'єкти та аксіоми планіметрії.

Крапка та пряма

Це і є головні поняття планіметрії. Математики кажуть, що це «невизначені поняття». Як так? А ось так, треба ж із чогось починати.

Тепер перші правила поводження з точками та прямими. Ці правила математики називають «аксіоми»- твердження, які приймаються за основу, з яких потім все основне виводитиметься (пам'ятаєш, що у нас велика кулінарна місія з «приготування» геометрії?). Так ось, перша серія аксіом називається

I. Аксіоми приладдя.

Зверніть увагу, ця аксіома дозволяє малювати так:



Ось так: було дві точки:



І відразу знайшлася пряма:

А інший – ні!



Якщо тобі все це здається надто очевидним, то згадай, що ти - на іншій планеті і досі не знав, що робити з об'єктами. "крапка"і "пряма".

Промінь, відрізок, кут.

Ось тепер ми навчилися наносити крапки на прямі і проводити прямі через крапки, тому вже можемо приготувати перші найпростіші страви. відрізок,кут.

1) ПРОМІНЬ

Ось він,





2) ВІДРІЗОК



Тепер наведемо лад. Наступна серія аксіом так і називається:

ІІ. Аксіоми порядку.



Тепер – наступний рівень. Нам потрібні інструкції щодо вимірувідрізків та кутів. Ці аксіоми називаються

ІІІ. Аксіоми заходів для відрізків та кутів.

А тепер уже дуже дивно.

IV. Аксіоми існування трикутника, що дорівнює цьому.

Зрозумілішими є два наслідки з цієї аксіоми:





Ну, і остання легендарна аксіома паралельних!

Але спершу визначення:

V. Аксіома паралельних.

Ну ось і закінчилися аксіоми планіметрії! Занадто багато їх? Але уяви собі, всі вони потрібні. Для кожної з них є хитра-хитра міркування, яка показує, що якщо видалити цю аксіому, то розвалиться вся будівля геометрії! Ну, або залишиться щось зовсім несхоже на те, до чого ми звикли.

А тепер два основні факти про кути!

Суміжні та вертикальні кути.

Промені, що утворюють кут, називаються сторонами кута, а їх загальний початок- вершиною

Це зовсім проста теорема, Щоправда?

Адже спільна сторонасуміжних кутів просто розбиває розгорнутий кут на два кути і тому (УВАГА: працює Аксіома 3.2!)сума суміжних кутів дорівнює величині розгорнутого, тобто.

Простіше намалювати, ніж описувати - дивись картинку.



Ця також легка теорема. Переконайтеся:

Гострий та тупий кут.

КОРОТКИЙ ОПИС І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Аксіоми приладдя:

• Аксіома 1. Якою б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.
• Аксіома 2. Через будь-які дві точки можна провести пряму, і лише одну.

Аксіоми порядку:

• Аксіома 3. З трьох точок на прямій одна і одна лежить між двома іншими.
• Аксіома 4. Пряма, що лежить у площині, розбиває цю площину на дві напівплощини. Якщо кінці якогось відрізка належать до однієї напівплощини, то відрізок не перетинає пряму. Якщо кінці відрізка належать різним напівплощин, то відрізок перетинає пряму.

Аксіоми заходів для відрізків та кутів:

• Аксіома 5. Кожен відрізок має певну довжину, більшу за нуль. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, куди він розбивається будь-якою його точкою.
• Аксіома 6. Кожен кут має певну градусну міру, більшу за нуль. Розгорнутий кут дорівнює. Градусний захід кута дорівнює сумі градусних заходівкутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.

Аксіоми існування трикутника, що дорівнює цьому:

Аксіома паралельних:

• Аксіома 8. На площині через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести не більше однієї прямої, паралельної даній.

Основні факти про кути:

• Теорема. Сума суміжних кутів дорівнює.

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачіЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які отримали гарна освіта, заробляють набагато більше, ніж ті, хто не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розбором і вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті 299 руб.
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. 999 руб.

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

У другому випадку ми подаруємо тобітренажер "6000 завдань з рішеннями та відповідями, по кожній темі, за всіма рівнями складності". Його точно вистачить, щоб набити руку на вирішенні завдань з будь-якої теми.

Насправді це набагато більше, ніж просто тренажер. ціла програмапідготовки. Якщо знадобиться, ти зможеш нею так само скористатися БЕЗКОШТОВНО.

Доступ до всіх текстів та програм надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

На цій сторінці зібрані теореми планиметрії, які репетитор з математики може використовувати в підготовці здібного учня до серйозного іспиту: олімпіади або екзамену в МДУ (у підготовці на Мехмат МДУ, ВМК), до олімпіади в Вищій ШколіЕкономіки, до олімпіади в Фінансової Академіїта в МФТІ. Знання цих фактів відкриває перед репетитором великі можливостіщодо складання конкурсних завдань. Достатньо «обіграти» якусь згадану теорему на числах або доповнити її елементи нескладними взаємозв'язками з іншими математичними об'єктами, і вийде цілком пристойна олімпіадна задача. Багато властивостей присутні у сильних шкільних підручникахяк завдання на доказ і спеціально не виносяться в заголовки та розділи параграфів. Я постарався виправити цей недолік.

Математика - неосяжний предмет, а кількість фактів, які можна виділяти як теореми, - нескінченно. Репетитор з математики не може фізично знати та пам'ятати все. Тому якісь хитрі взаємозв'язки між геометричними об'єктамищоразу відкриваються викладачеві заново. Зібрати їх на одній сторінці відразу — неможливо фізично. Тому я заповнюватиму сторінку поступово, у міру використання теорем на своїх уроках.

Раджу репетиторам з математики початківцям бути обережнішими у використанні додаткових довідкових матеріалів, оскільки більшість цих фактів школярі не знають.

Репетитор з математики про властивості геометричних фігур

1) Серединний перпендикуляр до сторони трикутника перетинається з бісектрисою протилежного їй кута на колі, описаній навколо даного трикутника. Це випливає з рівності дуг, на які серединний перпендикуляр ділить нижню дугу, і з теореми про вписане вугілля в коло.

2)Якщо з однієї вершини в трикутнику проведені бісектриса b, медіана m і висота h, то бісектриса лежатиме між двома іншими відрізками, а довжини всіх відрізків підкоряються подвійній нерівності.

3) У довільному трикутникувідстань від будь-якої його вершини до його ортоцентру (точки перетину висот) у 2 рази більше відстанівід центру описаного біля цього трикутника кола до протилежної цій вершині сторони. Для доказу можна провести через вершини трикутника прямі, паралельні до його висот. Потім використовувати подібність вихідного та отриманого трикутника.

4) Точка перетину медіан M будь-якого трикутника (його центр тяжіння) разом з ортоцентром трикутника H і центром описаного кола (точка O) лежать однією примою, причому . Це випливає з попередньої якості та з точки перетину медіан.

5) Продовження загальної хорди двох кіл, що перетинаються, ділить відрізок їх загальної дотичної на дві рівні частини. Ця властивість чітко незалежно від характеру цього перетину (тобто від розташування центрів кіл). Для доказу можна скористатися властивістю квадрата відрізки дотичної.

6) Якщо трикутнику проведена бісектриса його кута, її квадрат дорівнює різниці творів сторін кута і відрізків, куди бісектриса ділить протилежну бік.

Тобто має місце така рівність

7) Чи знайома Вам ситуація, коли до гіпотенузи проводиться висота з вершини прямого кута? Напевно. А чи знаєте Ви, що всі трикутники, які при цьому виходять подібними? Напевно, знаєте. Тоді, напевно, не знаєте, що будь-які відповідні елементи цих трикутників утворюють рівність, що повторює теорему Піфагора, тобто, наприклад, де і — радіуси вписаних кіл у малі трикутники, а — радіус кола, вписаного у великий трикутник.

8)Якщо вам попався довільний чотирикутник із усіма відомими сторонами a,b,c і d, то його площу можна легко порахувати за формулою, що нагадує формулу Герона:
де x – сума будь-яких двох протилежних кутівчотирикутник. Якщо даний чотирикутник є вписаним у коло, то й формула набуває вигляду:
і називається формулою Брахмагупт

9)Якщо ваш чотирикутник описаний біля кола (тобто коло вписано), то площа чотирикутника обчислюється за формулою