(від грецької λόγος - «слово», «ставлення» та ἀριθμός - «число») числа bна підставі a(log α b) називається таке число c, і b= a cтобто записи log α b=cі b=acеквівалентні. Логарифм має сенс, якщо a>0, а ≠1, b>0.
Говорячи іншими словами логарифмчисла bна підставі аформулюється як показник ступеня, в який треба звести число a, щоб отримати число b(Логарифм існує тільки у позитивних чисел).
З цього формулювання випливає, що обчислення x= log α b, рівнозначно рішенню рівняння a x = b.
Наприклад:
log 2 8 = 3 тому, що 8 = 2 3 .
Виділимо, що зазначене формулювання логарифму дає можливість відразу визначити значення логарифмуколи число під знаком логарифму виступає деяким ступенем основи. І справді, формулювання логарифму дає можливість довести, що якщо b=a з, то логарифм числа bна підставі aдорівнює з. Також ясно, що тема логарифмування тісно пов'язана з темою ступеня числа.
Обчислення логарифму називають логарифмуванням. Логарифмування - це математична операціявзяття логарифму. При логарифмуванні, твори співмножників трансформується у суми членів.
Потенціювання- це математична операція, зворотна логарифмування. При потенціювання задана основа зводиться у ступінь виразу, над яким виконується потенціювання. При цьому суми членів трансформуються у твір співмножників.
Досить часто використовуються речові логарифми з основами 2 (двійковий), е число Ейлера e ≈ 2,718 (натуральний логарифм) та 10 (десятковий).
на даному етапідоцільно розглянути зразки логарифмів log 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
А записи lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 немає сенсу, оскільки у першій їх під знаком логарифму вміщено негативне число , у другій - негативне числов основі, а в третій - і від'ємне число під знаком логарифму та одиниця в основі.
Умови визначення логарифму.
Варто окремо розглянути умови a > 0, a ≠ 1, b > 0. визначення логарифму.Розглянемо, чому взято ці обмеження. У цьому нам допоможе рівність виду x = log α b, зване основним логарифмічним тотожністю , яке безпосередньо випливає з цього визначення логарифму.
Візьмемо умову a≠1. Оскільки одиниця будь-якою мірою дорівнює одиниці, то рівність x=log α bможе існувати лише за b=1але при цьому log 1 1 буде будь-яким дійсним числом. Для виключення цієї неоднозначності і береться a≠1.
Доведемо необхідність умови a>0. При a=0за формулюванням логарифму може існувати тільки при b=0. І відповідно тоді log 0 0може бути будь-яким відмінним від нуля дійсним числом, тому що нуль у будь-якій відмінній від нуля мірі є нуль. Виключити цю неоднозначність дає умову a≠0. А при a<0 нам би довелося відкинути розбір раціональних та ірраціональних значень логарифму, оскільки ступінь з раціональним та ірраціональним показником визначено лише для невід'ємних підстав. Саме з цієї причини і обумовлено умову a>0.
І остання умова b>0випливає з нерівності a>0оскільки x=log α b, а значення ступеня з позитивною основою aзавжди позитивно.
Особливості логарифмів.
Логарифмихарактеризуються відмінними особливостями, які зумовили їхнє повсюдне вживання для значного полегшення копітких розрахунків. При переході «у світ логарифмів» множення трансформується значно більше легке додавання, Поділ - на віднімання, а зведення в ступінь і вилучення кореня трансформуються відповідно в множення та розподіл на показник ступеня.
Формулювання логарифмів та таблицю їх значень (для тригонометричних функцій) вперше видав у 1614 році шотландський математик Джон Непер. Логарифмічні таблиці, збільшені та деталізовані іншими вченими, широко використовувалися при виконанні наукових та інженерних обчислень, і залишалися актуальними доки не стали застосовуватись електронні калькулятори та комп'ютери.
Логарифмом числа N на підставі а називається показник ступеня х , в яку потрібно звести а , щоб отримати число N
За умови, що 
,
,
З визначення логарифму випливає, що 
, тобто.
- ця рівність є основною логарифмічною тотожністю.
Логарифми на підставі 10 називаються десятковими логарифмами. Замість 
пишуть 
.
Логарифми з основи e
називаються натуральними та позначаються 
.
Основні властивості логарифмів.
Логарифм одиниці за будь-якої підстави дорівнює нулю
Логарифм твору дорівнює сумілогарифмів співмножників.
3) Логарифм приватного дорівнює різниці логарифмів
Множник 
називається модулем переходу від логарифмів на підставі a
до логарифмів на підставі b
.
За допомогою властивостей 2-5 часто вдається звести логарифм складного виразу результату простих арифметичних дій над логарифмами.
Наприклад, 
Такі перетворення логарифму називаються логарифмуванням. Перетворення зворотні логарифмування називаються потенціюванням.
Розділ 2. Елементи вищої математики.
1. Межі
Межею функції 
є кінцеве число А, якщо при прагненні xx
0
для кожного наперед заданого 
, знайдеться таке число 
, що як тільки 
, то 
.
Функція, що має межу, відрізняється від нього на нескінченно малу величину: 
, де -б.м.в., тобто. 
.
приклад. Розглянемо функцію 
.
При прагненні 
, функція y
прагне до нуля: 
1.1. Основні теореми про межі.
Межа постійної величинидорівнює цій постійній величині
.
Межа суми (різниці) кінцевого числафункцій дорівнює сумі (різниці) меж цих функций.
Межа добутку кінцевого числа функцій дорівнює творумеж цих функций.
Межа частки двох функцій дорівнює приватній межі цих функцій, якщо межа знаменника не дорівнює нулю.
Чудові межі
,
, де 
1.2. Приклади обчислення меж
Однак не всі межі обчислюються так просто. Найчастіше обчислення межі зводиться до розкриття невизначеності типу: 
або .
.
2. Похідна функції
Нехай ми маємо функцію 
, безперервну на відрізку 
.
Аргумент 
отримав деякий приріст 
. Тоді і функція отримає збільшення 
.
Значення аргументу 
відповідає значення функції 
.
Значення аргументу 
відповідає значення функції.
Отже, .
Знайдемо межу цього відношення при 
. Якщо ця межа існує, то вона називається похідною цієї функції.
Визначення 3Виробної даної функції 
за аргументом 
називається межа відношення збільшення функції до збільшення аргументу, коли збільшення аргументу довільним чином прагне до нуля.
Похідна функції 
може бути позначена таким чином:
;
;
;
.
Визначення 4Операція знаходження похідної від функції називається диференціюванням.
2.1. Механічний сенс похідної.
Розглянемо прямолінійний рух деякого твердого тіла чи матеріальної точки.
Нехай у певний момент часу 
точка, що рухається 
знаходилась на відстані 
від початкового становища 
.
Через деякий проміжок часу 
вона перемістилася на відстань 
. Ставлення 
=
- середня швидкістьматеріальної точки 
. Знайдемо межу цього відношення, враховуючи що 
.
Отже, визначення миттєвої швидкостірух матеріальної точки зводиться до знаходження похідної від шляху за часом.
2.2. Геометричне значенняпохідний
Нехай ми маємо графічно задану деяку функцію 
.
Мал. 1. Геометричний зміст похідної
Якщо 
, то крапка 
, буде переміщатися кривою, наближаючись до точки 
.
Отже 
, тобто. значення похідної за даного значення аргументу 
чисельно дорівнює тангенсу кута утвореного дотичної в даній точці з позитивним напрямом осі 
.
2.3. Таблиця основних формул диференціювання.
Ступінна функція
|
|
|
|
|
|
|
Показова функція
|
|
|
|
|
Логарифмічна функція
|
|
|
|
|
Тригонометрична функція
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зворотна тригонометрична функція
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. Правила диференціювання.
Похідна від 
Похідна суми (різниці) функцій
Похідна робота двох функцій
Похідна приватного двох функцій
2.5. Похідна від складної функції.
Нехай дана функція 
така, що її можна подати у вигляді
і 
, де змінна 
є проміжним аргументом, тоді 
Похідна складної функції дорівнює добутку похідної цієї функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу по x.
Приклад1. 
Приклад2. 
3. Диференціал функції.
Нехай є 
, що диференціюється на деякому відрізку 
і нехай у
цієї функції є похідна
,
тоді можна записати
(1),
де 
- нескінченно мала величина,
так як при 
Помножуючи всі члени рівності (1) на 
маємо:
Де 
- Б.М.В. вищого ладу.
Величина 
називається диференціалом функції 
і позначається 
.
3.1. Геометричне значення диференціалу.
Нехай дана функція 
.
Рис.2. Геометричний зміст диференціала.
.
Очевидно, що диференціал функції 
дорівнює приросту ординати дотичної у цій точці.
3.2. Похідні та диференціали різних порядків.
Якщо є 
тоді 
називається першою похідною.
Похідна від першої похідної називається похідною другого порядку та записується 
.
Похідний n-го порядку від функції 
називається похідна (n-1)-го порядку та записується:
.
Диференціал від диференціалу функції називається другим диференціалом чи диференціалом другого порядку.
.
.
3.3 Розв'язання біологічних завдань із застосуванням диференціювання.
Задача1. Дослідження показали, що зростання колонії мікроорганізмів підпорядковується закону 
, де N
- Чисельність мікроорганізмів (у тис.), t
-Час (Дні).
б) Чи буде у цей період чисельність колонії збільшуватися чи зменшуватись?
Відповідь. Чисельність колонії збільшуватиметься.
Задача 2. Вода в озері періодично тестується контролю вмісту хвороботворних бактерій. Через t днів після тестування концентрація бактерій визначається співвідношенням
.
Коли в озері настане мінімальна концентрація бактерій і чи можна буде в ньому купатися?
РішенняФункція досягає max або min, коли її похідна дорівнює нулю.
,
Визначимо max чи min буде через 6 днів. Для цього візьмемо другу похідну.
Відповідь: Через 6 днів буде мінімальна концентрація бактерій.
Одним із елементів алгебри примітивного рівня є логарифм. Назва походить з грецької мовивід слова "число" або "ступінь" і означає ступінь, в який необхідно звести число, що знаходиться в підставі, для знаходження підсумкового числа.
Види логарифмів
- log a b – логарифм числа b на підставі a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- lg b – десятковий логарифм (логарифм на підставі 10, a = 10);
- ln b - натуральний логарифм (логарифм на основі e, a = e).
Як вирішувати логарифми?
Логари́м числа b за основою a є показником ступеня, який вимагає, щоб у число b звели основу а. Отриманий результат вимовляється так: "логарифм b на підставі а". Розв'язання логарифмічних завдань полягає в тому, що вам необхідно визначити цей ступінь за числами вказаним числам. Існують деякі основні правила, щоб визначити чи вирішити логарифм, а також перетворити сам запис. Використовуючи їх, провадиться рішення логарифмічних рівнянь, знаходяться похідні, вирішуються інтеграли та здійснюються багато інших операцій. В основному, рішенням самого логарифму є його спрощений запис. Нижче наведено основні формули та властивості:
Для будь-яких a; a > 0; a ≠ 1 і для будь-яких x; y > 0.
- a log a b = b – основне логарифмічне тотожність
- log a 1 = 0
- log a a = 1
- log a (x · y) = log a x + log a y
- log a x / y = log a x - log a y
- log a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k · log a x , при k ≠ 0
- log a x = log a c x c
- log a x = log b x / log b a – формула переходу до нової основи
- log a x = 1/log x a
Як вирішувати логарифми – покрокова інструкція рішення
- Спочатку запишіть необхідне рівняння.
Зверніть увагу: якщо в логарифмі з основи стоїть 10 , запис укорочується, виходить десятковий логарифм. Якщо стоїть натуральне числотобто записуємо, скорочуючи до натурального логарифму. Мається на увазі, що результат всіх логарифмів - ступінь, в який зводиться число підстав до отримання числа b.
Безпосередньо рішення і полягає у обчисленні цього ступеня. Перш ніж вирішити вираз із логарифмом, його необхідно спростити за правилом, тобто, користуючись формулами. Основні тотожності ви зможете знайти, повернувшись трохи назад у статті.
Складаючи та віднімаючи логарифми з двома різними числами, але з однаковими підставами, замінюйте одним логарифмом з добутком чи розподілом чисел b та з відповідно. У такому разі можна застосувати формулу переходу до іншої основи (див. вище).
Якщо ви використовуєте вирази для спрощення логарифму, необхідно враховувати деякі обмеження. А тобто: основа логарифму а – лише позитивна кількість, але не рівну одиниці. Число b, як і а, має бути більшим за нуль.
Є випадки, коли спростивши вираз, ви не зможете обчислити логарифм у числовому вигляді. Буває, що такий вираз не має сенсу, адже багато ступенів – ірраціональні числа. За такої умови залиште рівень числа у вигляді запису логарифму.
Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати та всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми це не зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями.
Ці правила обов'язково треба знати — без них не наважується жодна серйозна логарифмічна задача. До того ж їх зовсім небагато — все можна вивчити за один день. Отже, почнемо.
Додавання та віднімання логарифмів
Розглянемо два логарифми з однаковими підставами: log a xта log a y. Тоді їх можна складати і віднімати, причому:
- log a x+ log a y= log a (x · y);
- log a x− log a y= log a (x : y).
Отже, сума логарифмів дорівнює логарифму твору, а різниця - приватного логарифму. Зверніть увагу: ключовий моменттут - однакові підстави. Якщо підстави різні, ці правила не працюють!
Ці формули допоможуть обчислити логарифмічний виразнавіть тоді, коли окремі його частини не рахуються (див. урок «Що таке логарифм»). Погляньте на приклади і переконайтеся:
Log 6 4 + log 6 9.
Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 · 9) = log 6 36 = 2.
Завдання. Знайдіть значення виразу: log 2 48 − log 2 3.
Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Завдання. Знайдіть значення виразу: log 3 135 − log 3 5.
Знову підстави однакові, тому маємо:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Як бачите, вихідні вирази складені з поганих логарифмів, які окремо не вважаються. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті побудовано багато контрольні роботи. Та що контрольні подібні висловлюванняна повному серйозі (іноді практично без змін) пропонуються на ЄДІ.
Винесення показника ступеня з логарифму
Тепер трохи ускладнимо завдання. Що, якщо у підставі чи аргументі логарифма стоїть ступінь? Тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифму за такими правилами:
Неважко помітити, що останнє правилослід їх перших двох. Але краще його все ж таки пам'ятати — у деяких випадках це значно скоротить обсяг обчислень.
Зрозуміло, всі ці правила мають сенс за дотримання ОДЗ логарифму: a > 0, a ≠ 1, x> 0. І ще: вчитеся застосовувати всі формули як зліва направо, а й навпаки, тобто. можна вносити числа, що стоять перед знаком логарифму, до самого логарифму. Саме це найчастіше й потрібне.
Завдання. Знайдіть значення виразу: log 7 49 6 .
Позбавимося ступеня в аргументі за першою формулою:
log 7 49 6 = 6 · log 7 49 = 6 · 2 = 12
Завдання. Знайдіть значення виразу:
[Підпис до малюнка]
Зауважимо, що у знаменнику стоїть логарифм, основа та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Маємо:
[Підпис до малюнка] Думаю, до останньому прикладупотрібні пояснення. Куди зникли логарифми? До останнього моменту ми працюємо лише зі знаменником. Представили підставу і аргумент логарифму, що там стоїть, у вигляді ступенів і винесли показники — отримали «триповерховий» дріб.
Тепер подивимося на основний дріб. У чисельнику та знаменнику стоїть те саме число: log 2 7. Оскільки log 2 7 ≠ 0, можемо скоротити дріб — у знаменнику залишиться 2/4. За правилами арифметики, четвірку можна перенести в чисельник, що було зроблено. В результаті вийшла відповідь: 2.
Перехід до нової основи
Говорячи про правила складання та віднімання логарифмів, я спеціально підкреслював, що вони працюють лише за однакових підстав. А що, коли підстави різні? Що, якщо вони не є точними ступенями того самого числа?
На допомогу приходять формули переходу до нової основи. Сформулюємо їх як теореми:
Нехай дано логарифм log a x. Тоді для будь-якого числа cтакого, що c> 0 та c≠ 1, вірна рівність:
[Підпис до малюнка]
Зокрема, якщо покласти c = x, Отримаємо:
[Підпис до малюнка]
З другої формули випливає, що можна міняти місцями основу та аргумент логарифму, але при цьому весь вислів «перевертається», тобто. логарифм опиняється у знаменнику.
Ці формули рідко зустрічаються у звичайних числових виразів. Оцінити, наскільки вони зручні, можна лише при розв'язанні логарифмічних рівнянь та нерівностей.
Втім, існують завдання, які взагалі не вирішуються інакше як переходом до нової основи. Розглянемо пару таких:
Завдання. Знайдіть значення виразу: log 5 16 · log 2 25.
Зауважимо, що в аргументах обох логарифмів стоять точні ступені. Винесемо показники: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
А тепер «перевернемо» другий логарифм:
[Підпис до малюнка]Оскільки від перестановки множників твір не змінюється, ми спокійно перемножили четвірку та двійку, а потім розібралися з логарифмами.
Завдання. Знайдіть значення виразу: log 9 100 · lg 3.
Підстава та аргумент першого логарифму — точні ступені. Запишемо це і позбудемося показників:
[Підпис до малюнка]Тепер позбудемося десяткового логарифму, перейшовши до нової основи:
[Підпис до малюнка]Основне логарифмічне тотожність
Часто у процесі рішення потрібно представити число як логарифм на задану основу. У цьому випадку нам допоможуть формули:
У першому випадку число nстає показником ступеня, що стоїть у аргументі. Число nможе бути абсолютно будь-яким, адже це просто значення логарифму.
Друга формула – це фактично перефразоване визначення. Вона так і називається: основна логарифмічна тотожність.
Справді, що буде, якщо число bзвести в такий ступінь, що число bу цій мірі дає число a? Правильно: вийде це саме число a. Уважно прочитайте цей абзац ще раз — багато хто на ньому «зависає».
Подібно до формул переходу до нової основи, основна логарифмічна тотожність іноді буває єдино можливим рішенням.
Завдання. Знайдіть значення виразу:
[Підпис до малюнка]
Зауважимо, що log 25 64 = log 5 8 — просто винесли квадрат із підстави та аргументу логарифму. Враховуючи правила множення ступенів з однаковою основою, отримуємо:
[Підпис до малюнка]Якщо хтось не в курсі, це було справжнє завдання з ЄДІ:)
Логарифмічна одиниця та логарифмічний нуль
Насамкінець наведу дві тотожності, які складно назвати властивостями — швидше, це наслідки з визначення логарифму. Вони постійно зустрічаються у завданнях і, що дивно, створюють проблеми навіть для «просунутих» учнів.
- log a a= 1 - це логарифмічна одиниця. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм з будь-якої основи aвід цього підстави дорівнює одиниці.
- log a 1 = 0 - це логарифмічний нуль. Підстава aможе бути будь-яким, але якщо в аргументі стоїть одиниця — логарифм дорівнює нулю! Тому що a 0 = 1 - це прямий наслідок визначення.
Ось і всі властивості. Обов'язково потренуйтеся застосовувати їх на практиці! Скачайте шпаргалку на початку уроку, роздрукуйте її і вирішуйте завдання.
Почнемо зі властивості логарифму одиниці. Його формулювання таке: логарифм одиниці дорівнює нулю, тобто, log a 1=0для будь-якого a>0, a≠1. Доказ не викликає складнощів: оскільки a 0 =1 для будь-якого a , що задовольняє зазначеним вище умовам a>0 і a≠1 , то рівність log a 1=0 відразу випливає з визначення логарифму.
Наведемо приклади застосування розглянутої якості: log 3 1=0 , lg1=0 і .
Переходимо до наступної властивості: логарифм числа, рівної основи, дорівнює одиниці, тобто, log a a=1при a>0, a≠1. Справді, оскільки a 1 =a для будь-якого a то за визначенням логарифма log a a = 1 .
Прикладами використання цієї властивості логарифмів є рівності log 5 5 = 1, log 5,6 5,6 і lne = 1 .
Наприклад, log 2 2 7 =7 , lg10 -4 =-4 і 
.
Логарифм твору двох позитивних чисел x і y дорівнює добутку логарифмів цих чисел: log a (x · y) = log a x + log a y, a>0, a≠1. Доведемо властивість логарифму твору. В силу властивостей ступеня a log a x + log a y = log a x · log a y, а так як за основною логарифмічною тотожністю a log a x = x і a log a y = y, то a log a x a log a y = x y. Таким чином, a log a x + log a y = x · y, звідки за визначенням логарифму випливає рівність, що доводиться.
Покажемо приклади використання властивості логарифму добутку: log 5 (2·3)=log 5 2+log 5 3 і 
.
Властивість логарифму твору можна узагальнити добуток кінцевого числа n позитивних чисел x 1 , x 2 , …, x n як log a (x 1 · x 2 · ... · x n) = log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Ця рівність без проблем доводиться.
Наприклад, натуральний логарифм твору можна замінити сумою трьох натуральних логарифмівчисел 4, e, і.
Логарифм приватного двох позитивних чисел x і y дорівнює різниці логарифмів цих чисел. Властивості приватного логарифму відповідає формула виду , де a>0 , a≠1 , x і y – деякі позитивні числа. Справедливість цієї формули доводиться як і формула логарифму твору: оскільки 
, то щодо визначення логарифму .
Наведемо приклад використання цієї властивості логарифму: 
.
Переходимо до властивості логарифму ступеня. Логарифм ступеня дорівнює добутку показника ступеня на логарифм модуля основи цього ступеня. Запишемо цю властивість логарифму ступеня у вигляді формули: log a b p = log a | b |, де a>0 , a≠1 , b та p такі числа, що ступінь b p має сенс і b p >0 .
Спочатку доведемо цю властивість для позитивних b. Основне логарифмічне тотожність дозволяє нам уявити число b як a log a b тоді b p = (a log a b) p , а отримане вираз в силу властивість ступеня дорівнює a p · log a b . Так ми приходимо до рівності b p = a p · log a b , з якого за визначенням логарифму укладаємо, що log a b p = p · log a b .
Залишилося довести цю властивість для негативних b. Тут зауважуємо, що вираз log a b p при негативних b має сенс лише при парних показниках ступеня p (оскільки значення ступеня b p має бути більше нуля, в в іншому випадкулогарифм нічого очікувати мати сенсу), а цьому разі b p =|b| p. Тоді b p = | b | p = (a log a | b |) p = a p · log a | b |, Звідки log a b p = p log a | b | .
Наприклад, 
і ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Із попередньої властивості випливає властивість логарифму з кореня: логарифм кореня n-ого ступеня дорівнює добутку дробу 1/n на логарифм підкореного виразу, тобто, 
, де a>0 , a≠1 , n – натуральне число, більше одиниці, b>0.
Доказ базується на рівності (дивіться ), яка справедлива для будь-яких позитивних b і властивості логарифму ступеня: 
.
Ось приклад використання цієї властивості: 
.
Тепер доведемо формулу переходу до нової основи логарифмувиду 
. Для цього достатньо довести справедливість рівності log c b = log a b log c a . Основне логарифмічне тотожність дозволяє нам число b уявити як a log a b тоді log c b = log c a log a b . Залишилося скористатися властивістю логарифму ступеня: log ca log ab = log a b log c a. Так доведено рівність log c b = log a b log ca , а значить, доведено і формулу переходу до нової основи логарифму.
Покажемо кілька прикладів застосування цієї властивості логарифмів: і 
.
Формула переходу до нової основи дозволяє переходити до роботи з логарифмами, що мають «зручну» основу. Наприклад, з її допомогою можна перейти до натуральних або десяткових логарифмів, щоб можна було обчислити значення логарифму таблиці логарифмів. Формула переходу до нової основи логарифму також дозволяє в деяких випадках знаходити значення логарифму, коли відомі значення деяких логарифмів з іншими основами.
Часто використовується окремий випадокформули початку нової основи логарифма при c=b виду 
. Звідси видно, що log ab і log ba – . Наприклад, 
.
Також часто використовується формула 
яка зручна при знаходженні значень логарифмів. Для підтвердження своїх слів покажемо, як за допомогою обчислюється значення логарифму виду . Маємо 
. Для доказу формули 
достатньо скористатися формулою переходу до нової основи логарифму a: 
.
Залишилося довести властивості порівняння логарифмів.
Доведемо, що для будь-яких позитивних чисел b 1 і b 2 b 1 log a b 2 , а за a>1 – нерівність log a b 1 Нарешті, залишилося довести останню з перерахованих властивостей логарифмів. Обмежимося доказом його першої частини, тобто доведемо, що якщо a 1 >1 , a 2 >1 і a 1 1 справедливо log a 1 b>log a 2 b . Інші твердження цієї властивості логарифмів доводяться за аналогічним принципом. Скористаємося методом від неприємного. Припустимо, що за a 1 >1 , a 2 >1 і a 1 1 справедливо log a 1 b≤log a 2 b . За властивостями логарифмів ці нерівності можна переписати як 
і 
відповідно, а з них випливає, що log b a 1 ≤ log b a 2 і log b a 1 ≥ log b a 2 відповідно. Тоді за властивостями ступенів з однаковими основами повинні виконуватися рівності b log b a 1 b log b a 2 і b log b a 1 b log b a 2 , тобто, a 1 a 2 . Так ми дійшли суперечності умові a 1
Список литературы.
- Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
- Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).