Одним із елементів алгебри примітивного рівня є логарифм. Назва походить з грецької мови від слова "число" або "ступінь" і означає ступінь, в який необхідно звести число, що знаходиться на підставі, для знаходження підсумкового числа.
Види логарифмів
- log a b – логарифм числа b на підставі a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- lg b – десятковий логарифм (логарифм на підставі 10, a = 10);
- ln b - натуральний логарифм (логарифм на основі e, a = e).
Як вирішувати логарифми?
Логари́м числа b за основою a є показником ступеня, який вимагає, щоб у число b звели основу а. Отриманий результат вимовляється так: "логарифм b на підставі а". Рішення логарифмічних завдань полягає в тому, що вам необхідно визначити цей ступінь за числами за вказаними числами. Існують деякі основні правила, щоб визначити чи вирішити логарифм, а також перетворити сам запис. Використовуючи їх, здійснюється рішення логарифмічних рівнянь, знаходяться похідні, вирішуються інтеграли та здійснюються багато інших операцій. В основному, рішенням самого логарифму є його спрощений запис. Нижче наведено основні формули та властивості:
Для будь-яких a; a > 0; a ≠ 1 і для будь-яких x; y > 0.
- a log a b = b – основна логарифмічна тотожність
- log a 1 = 0
- log a a = 1
- log a (x · y) = log a x + log a y
- log a x / y = log a x - log a y
- log a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k · log a x , при k ≠ 0
- log a x = log a c x c
- log a x = log b x / log b a – формула переходу до нової основи
- log a x = 1/log x a
Як вирішувати логарифми – покрокова інструкція рішення
- Спочатку запишіть необхідне рівняння.
Зверніть увагу: якщо в логарифмі з основи стоїть 10 , запис укорочується, виходить десятковий логарифм. Якщо стоїть натуральне число е, записуємо, скорочуючи до натурального логарифму. Мається на увазі, що результат всіх логарифмів - ступінь, в який зводиться число підстав до отримання числа b.
Безпосередньо рішення і полягає у обчисленні цього ступеня. Перш ніж вирішити вираз із логарифмом, його необхідно спростити за правилом, тобто, користуючись формулами. Основні тотожності ви зможете знайти, повернувшись трохи назад у статті.
Складаючи та віднімаючи логарифми з двома різними числами, але з однаковими підставами, замінюйте одним логарифмом з добутком чи розподілом чисел b та з відповідно. У такому разі можна застосувати формулу переходу до іншої основи (див. вище).
Якщо ви використовуєте вирази для спрощення логарифму, необхідно враховувати деякі обмеження. Тобто: основа логарифму а – лише позитивне число, але з рівне одиниці. Число b, як і а, має бути більшим за нуль.
Є випадки, коли спростивши вираз, ви не зможете обчислити логарифм у числовому вигляді. Буває, що такий вираз не має сенсу, адже багато ступенів – ірраціональні числа. За такої умови залиште рівень числа у вигляді запису логарифму.
Випливають із його визначення. І так логарифм числа bна підставі авизначається як показник ступеня, в який треба звести число a, щоб отримати число b(Логарифм існує тільки у позитивних чисел).
З цього формулювання випливає, що обчислення x=log a b, рівнозначне рішенню рівняння a x = b.Наприклад, log 2 8 = 3тому, що 8 = 2 3 . Формулювання логарифму дає можливість довести, що якщо b=a з, то логарифм числа bна підставі aдорівнює з. Також ясно, що тема логарифмування тісно пов'язана з темою ступеня числа .
З логарифмами, як і з будь-якими числами, можна виконувати операції складання, відніманняі всіляко трансформувати. Але через те, що логарифми - це не зовсім ординарні числа, тут застосовні свої особливі правила, які називаються основними властивостями.
Складання та віднімання логарифмів.
Візьмемо два логарифми з однаковими підставами: log a xі log a y. Тоді зними можна виконувати операції складання та віднімання:
log a x + log a y = log a (x · y);
log a x - log a y = log a (x: y).
log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k.
З теореми логарифму приватногоможна отримати ще одну властивість логарифму. Загальновідомо, що log a 1= 0, отже,
log a 1 /b= log a 1 - log a b= - log a b.
А значить має місце рівність:
log a 1 / b = - log a b.
Логарифми двох взаємно зворотних чиселпо одному й тому підставі будуть різні друг від друга виключно знаком. Так:
Log 3 9 = - log 3 1/9; log 5 1/125 = -log 5 125.
У задачі B7 дається деякий вираз, який потрібно спростити. У результаті має бути звичайне число, яке можна записати в бланку відповідей. Всі вирази умовно поділяються на три типи:
- Логарифмічні,
- Показові,
- Комбіновані.
Показові та логарифмічні вирази у чистому вигляді практично не зустрічаються. Однак знати, як вони обчислюються, необхідно.
Загалом завдання B7 вирішується досить просто і цілком під силу середньому випускнику. Відсутність чітких алгоритмів компенсується у ній стандартністю та одноманітністю. Навчитися вирішувати такі завдання можна за рахунок великої кількості тренувань.
Логарифмічні вирази
Переважна більшість завдань B7 містять логарифми у тому чи іншому вигляді. Ця тема традиційно вважається складною, оскільки її вивчення припадає зазвичай на 11 клас — епоху масової підготовки до випускних іспитів. В результаті багато випускників мають досить невиразне уявлення про логарифми.
Але цього завдання ніхто й вимагає глибоких теоретичних знань. Нам будуть зустрічатися лише найпростіші висловлювання, які вимагають нехитрих міркувань і цілком можуть бути освоєні самостійно. Нижче наведено основні формули, які треба знати, щоб упоратися з логарифмами:
Крім того, треба вміти замінювати коріння і дроби на ступені з раціональним показником, інакше в деяких виразах виносити з-під знака логарифму просто нічого. Формули заміни:
Завдання. Знайти значення виразів:
log 6 270 − log 6 7,5
log 5 775 − log 5 6,2
Перші два вирази перетворюються як різниця логарифмів:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.
Для обчислення третього виразу доведеться виділяти ступеня як у підставі, так і в аргументі. Для початку знайдемо внутрішній логарифм:
Потім зовнішній:
Конструкції виду log a log b x багатьом здаються складними та незрозумілими. А тим часом, це лише логарифм від логарифму, тобто. log a (log b x). Спочатку обчислюється внутрішній логарифм (припустимо log b x = c), а потім зовнішній: log a c.
Показові вирази
Будемо називати показовим виразом будь-яку конструкцію виду a k , де числа a та k — довільні постійні, причому a > 0. Методи роботи з такими виразами досить прості і розглядаються на уроках алгебри 8-го класу.
Нижче наведено основні формули, які обов'язково треба знати. Застосування цих формул практично, зазвичай, не викликає проблем.
- a n · a m = a n + m;
- a n / a m = a n − m;
- (a n) m = a n · m;
- (a · b) n = a n · b n;
- (a: b) n = a n: b n.
Якщо зустрівся складний вираз зі ступенями, і не зрозуміло, як до нього підступитися, використовують універсальний прийом - розкладання на прості множники. В результаті великі числа в основах ступенів замінюються простими та зрозумілими елементами. Потім залишиться лише застосувати зазначені вище формули і завдання буде вирішено.
Завдання. Знайти значення виразів: 7 9 · 3 11: 21 8 , 24 7: 3 6: 16 5 , 30 6: 6 5: 25 2 .
Рішення. Розкладемо всі підстави ступенів на прості множники:
7 9 · 3 11: 21 8 = 7 9 · 3 11: (7 · 3) 8 = 7 9 · 3 11: (7 8 · 3 8) = 7 9 · 3 11: 7 8: 3 8 = 7 · 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 · 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 · 2 21: 3 6: 2 20 = 3 · 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 · 3 · 2) 6: (3 · 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 · 3 6 · 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 · 3 · 2 = 150.
Комбіновані завдання
Якщо знати формули, то всі показові та логарифмічні вирази вирішуються буквально в один рядок. Однак у задачі B7 ступеня та логарифми можуть поєднуватися, утворюючи досить неслабкі комбінації.
Наведено основні властивості натурального логарифму, графік, область визначення, безліч значень, основні формули, похідна, інтеграл, розкладання в статечний ряд та представлення функції ln x за допомогою комплексних чисел.
Визначення
Натуральний логарифм- це функція y = ln x, зворотна до експоненти , x = e y , що є логарифмом на основі числа е : ln x = log e x.
Натуральний логарифм широко використовується в математиці, оскільки його похідна має найпростіший вид: (ln x)′ = 1/ x.
Виходячи з визначення, основою натурального логарифму є число е:
е ≅ 2,718281828459045...;
.
Графік функції y = ln x.
Графік натурального логарифму (функції y = ln x) Виходить з графіка експоненти дзеркальним відображенням щодо прямої y = x .
Натуральний логарифм визначено за позитивних значень змінної x . Він монотонно зростає у своїй області визначення.
При x → 0 межею натурального логарифму є мінус нескінченність (-∞).
При x → + ∞ межею натурального логарифму є плюс нескінченність ( + ∞ ). При великих логарифм зростає досить повільно. Будь-яка статечна функція x a з позитивним показником ступеня a зростає швидше за логарифму.
Властивості натурального логарифму
Область визначення, безліч значень, екстремуми, зростання, спадання
Натуральний логарифм є монотонно зростаючою функцією, тому екстремумів немає. Основні властивості натурального логарифму представлені у таблиці.
Значення ln x
ln 1 = 0
Основні формули натуральних логарифмів
Формули, що випливають із визначення зворотної функції:
Основна властивість логарифмів та його наслідки
Формула заміни основи
Будь-який логарифм можна виразити через натуральні логарифми за допомогою формули заміни основи:
Докази цих формул представлені у розділі "Логарифм".
Зворотня функція
Зворотною для натурального логарифму є експонента.
Якщо , то
Якщо, то.
Похідна ln x
Похідна натурального логарифму:
.
Похідна натурального логарифму від модуля x:
.
Похідна n-го порядку:
.
Висновок формул > > >
Інтеграл
Інтеграл обчислюється інтегруванням частинами:
.
Отже,
Вирази через комплексні числа
Розглянемо функцію комплексної змінної z:
.
Виразимо комплексну змінну zчерез модуль rта аргумент φ
:
.
Використовуючи властивості логарифму, маємо:
.
Або
.
Аргумент φ визначено неоднозначно. Якщо покласти
де n - ціле,
то буде тим самим числом при різних n .
Тому натуральний логарифм як функція від комплексного змінного є неоднозначною функцією.
Розкладання в статечний ряд
При має місце розкладання:
Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.
Завдання, вирішення яких полягає в перетворення логарифмічних виразів, Доволі часто зустрічаються на ЄДІ.
Щоб успішно впоратися з ними при мінімальній витраті часу, крім основних логарифмічних тотожностей, необхідно знати і правильно використовувати деякі формули.
Це: a log а b = b де а, b > 0, а ≠ 1 (Вона випливає безпосередньо з визначення логарифму).
log a b = log з b / log с а або log а b = 1/log b а
де а, b, > 0; а, з ≠ 1.
log а m b n = (m/n) log | |b|
де а, b > 0, а ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.
а log с b = b log с а
де а, b, з > 0 та а, b, з ≠ 1
Щоб показати справедливість четвертої рівності прологарифмуємо ліву та праву частину на підставі а. Отримаємо log а (а log с b) = log а (b log с а) або log с b = log с а · log а b; log з b = log с а · (log з b / log с а); log з b = log з b.
Ми довели рівність логарифмів, отже, рівні та вирази, що стоять під логарифмами. Формула 4 доведено.
приклад 1.
Обчисліть 81 log 27 5 log 5 4 .
Рішення.
81 = 3 4 , 27 = 3 3 .
log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Отже,
log 27 5 · log 5 4 = 1/3 log 3 5 · (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.
Тоді 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.
Ви можете самостійно виконати наступне завдання.
Обчислити (8 log 2 3 + 3 1/log 2 3) – log 0,2 5.
Як підказка 0,2 = 1/5 = 5 -1; log 0,2 5 = -1.
Відповідь: 5.
приклад 2.
Обчисліть (√11) log √3 9-log 121 81 .
Рішення.
Виконаємо заміну виразів: 9 = 3 2 , √3 = 3 1/2 , log √3 9 = 4,
121 = 11 2 , 81 = 3 4 , log 121 81 = 2 log 11 3 (використовувалась формула 3).
Тоді (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.
приклад 3.
Обчисліть log 2 24/log 96 2-log 2192/log 12 2.
Рішення.
Логарифми, які у прикладі, замінимо логарифмами з підставою 2.
log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 · 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);
log 2 192 = log 2 (2 6 · 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);
log 2 24 = log 2 (2 3 · 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);
log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 · 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).
Тоді log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =
= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) - (6 + log 2 3) (2 + log 2 3).
Після розкриття дужок та приведення подібних доданків отримаємо число 3. (При спрощенні виразу можна log 2 3 позначити через n і спрощувати вираз
(3 + n) · (5 + n) - (6 + n) (2 + n)).
Відповідь: 3.
Самостійно можна виконати таке завдання:
Обчислити (log 3 4 + log 4 3 + 2) · log 3 16 · log 2 144 3.
Тут необхідно зробити перехід до логарифмів на основі 3 і розкладання на прості множники великих чисел.
Відповідь:1/2
приклад 4.
Дано три числа А = 1/(log 3 0,5), В = 1/(log 0,5 3), С = log 0,5 12 – log 0,5 3. Розташуйте їх у порядку зростання.
Рішення.
Перетворимо числа А = 1/(log 3 0,5) = log 0,5 3; С = log 0,5 12 - log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.
Порівняємо їх
log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 та log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.
Або -2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.
Відповідь. Отже, порядок розміщення чисел: З; А; Ст.
Приклад 5.
Скільки цілих чисел розташовано на інтервалі (log 3 1/16; log 2 6 48).
Рішення.
Визначимо між якими ступенями числа 3 знаходиться число 1/16. Отримаємо 1 / 27< 1 / 16 < 1 / 9 .
Оскільки функція у = log 3 x – зростаюча, то log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.
log 6 48 = log 6 (36 · 4/3) = log 6 36 + log 6 (4/3) = 2 + log 6 (4/3). Порівняємо log 6 (4/3) та 1/5 . А для цього порівняємо числа 4/3 та 6 1/5. Зведемо обидва числа 5 ступінь. Отримаємо (4/3) 5 = 1024/243 = 4 52/243< 6. Следовательно,
log 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.
Отже, інтервал (log 3 1 / 16 ; log 6 48) включає проміжок [-2; 4] і на ньому розміщуються цілі числа -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
Відповідь: 7 цілих чисел.
Приклад 6.
Обчисліть 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.
Рішення.
3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.
Тоді 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 - lg 20 = lg 0,1 = -1.
Відповідь: -1.
Приклад 7.
Відомо, що log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 - 2) = А. Знайдіть log 2 (√3 -1) + log 2 (√6 + 2).
Рішення.
Числа (√3 + 1) та (√3 – 1); (√6 – 2) та (√6 + 2) – сполучені.
Проведемо наступне перетворення виразів
√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);
√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).
Тоді log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =
Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =
2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – А.
Відповідь: 2 - А.
Приклад 8.
Спростіть і знайдіть наближене значення виразу (log 3 2 · log 4 3 · log 5 4 · log 6 5 · … · log 10 9).
Рішення.
Усі логарифми приведемо до загальної основи 10.
(log 3 2 · log 4 3 · log 5 4 · log 6 5 · … · log 10 9 = (lg 2 / lg 3) · (lg 3 / lg 4) · (lg 4 / lg 5) · (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010.
Відповідь: 0,3010.
Приклад 9.
Обчислити log а 2 b 3 √(a 11 b -3), якщо log √ а b 3 = 1. (У цьому прикладі, а 2 b 3 – основа логарифму).
Рішення.
Якщо log √ ab 3 = 1, то 3/(0,5 log ab = 1. І log ab = 1/6.
Тоді log а 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log а 2 b 3 (a 11 b -3) = log а (a 11 b -3) / (2log а (a 2 b 3) ) = (log а a 11 + log а b -3) / (2 (log а a 2 + log а b 3)) = (11 - 3log а b) / (2 (2 + 3log а b)) Враховуючи то , Що log а b = 1/6 отримаємо (11 - 3 · 1 / 6) / (2 (2 + 3 · 1 / 6)) = 10,5 / 5 = 2,1.
Відповідь: 2,1.
Самостійно можна виконати таке завдання:
Обчислити log √3 6 √2,1, якщо log 0,7 27 = а.
Відповідь: (3+а)/(3а).
Приклад 10
Обчислити 6,5 4/log 3169 · 3 1/log 413 + log125.
Рішення.
6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 · 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 · (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 · (3 log 13 2) 2 + 6 = (3 2 / (2 log 13 3) 2) · (2 log 13 3) 2 + 6.
(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (формула 4))
Отримаємо 9+6=15.
Відповідь: 15.
Залишились питання? Не знаєте, як знайти значення логарифмічного виразу?
Щоб отримати допомогу репетитора – .
Перший урок – безкоштовно!
blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.