Два кути розміщені на одній прямій і мають одну вершину називаються суміжними.
Інакше - якщо сума двох кутів на одній прямій дорівнює 180 градусів і одна сторона у них загальна, це суміжні кути.
1 суміжний кут + 1 суміжний кут = 180 градусів.
Сумежні кути-це два кути, у яких одна сторона загальна, а дві інші сторони в цілому утворюють пряму лінію.
Сума двох суміжних кутів завжди дорівнює 180 градусів. Наприклад, якщо один кут 60 градусів, то другий обов'язково дорівнюватиме 120 градусам (180-60).
Кути АОС та ВОС є суміжними кутами, тому що дотримуються всі умови характеристики суміжних кутів:
1.ОС-загальна сторона двох кутів
2.АО -сторона кута АОС, ОВ -сторона кута ВОС. Разом ці сторони утворюють пряму лінію АОВ.
3. Кута два і сума їх дорівнює 180 градусів.
Згадуючи шкільний курс геометрії, про суміжні кути ми можемо сказати таке:
у суміжних кутів – одна сторона загальна, а інші дві сторони належать одній прямій, тобто знаходяться на одній прямій. Якщо на малюнку, то кути СОВ і ВОА - це суміжні кути, сума яких завжди дорівнює 180, оскільки вони поділяють розгорнутий кут, а розгорнутий кут завжди дорівнює 180 .
Суміжні кути концепції легко в геометрії. Суміжні кути, кут плюс кут дають 180 градусів у загальній сумі.
Два суміжні кути – це буде один розгорнутий кут.
Є ще кілька властивостей. З суміжними кутами завдання вирішувати і теореми легко доказувати.
Суміжні кути утворюються під час проведення променя з довільної точки прямої. Тоді ця довільна точка виявляється вершиною кута, промінь - загальною стороною суміжних кутів, а пряма від якої проведений промінь - двома сторонами суміжних кутів, що залишилися. Сумежні кути можуть бути як однаковими у разі перпендикуляра, так і відрізнятимуться при похилому промені. Легко зрозуміти, що сума суміжних кутів дорівнює 180 градусів або прямої лінії. Інакше цей кут можна пояснити простим прикладом - ви спершу йшли в одному напрямку по прямій, потім передумали, вирішили повернутися назад і розвернувшись на 180 градусів вирушили по тій же прямій у зворотному напрямку.
Отже, що таке суміжний кут? Визначення:
Сумежними називаються два кути із загальною вершиною та однією спільною стороною, причому дві інші сторони цих кутів лежать на одній прямій.
І невеликий відео урок, де толково показано про суміжні кути, вертикальні кути, плюс про перпендикулярні прямі, які є окремим випадком суміжних і вертикальних кутів.
Сумежні кути – це кути, у яких одна сторона спільна, а друга є однією лінією.
Сумежні кути - це кути, що залежать один від одного. Тобто якщо загальну строну трохи повернути, то один кут зменшиться на скільки градусів і автоматично другий кут збільшиться на стільки ж градусів. Ця властивість суміжних кутів дозволяє в Геометрії вирішувати різні завдання та здійснювати докази різних теорем.
Загальна сума суміжних кутів завжди дорівнює 180 градусів.
З курсу геометрії (наскільки я пам'ятаю за 6 клас) суміжними називаються два кути, у яких одна сторона загальна, а інші сторони є додатковими променями, сума суміжних кутів дорівнює 180. Кожен із двох суміжних кутів доповнює інший до розгорнутого кута. Приклад суміжних кутів:
Сумежні кути це два кути із загальною вершиною, одна зі сторін яких загальна, а сторони, що залишилися, лежать на одній прямій (не збігаючись). Сума суміжних кутів дорівнює ста вісімдесяти градусів. А взагалі все це дуже легко перебуває у гугле чи підручнику геометрії.
Два кути називаються суміжними, якщо вони мають загальні вершина і одна сторона, а дві інші сторони становлять пряму лінію. Сума суміжних кутів дорівнює 180 градусів.
На малюнку кути АОВ та ВОС є суміжними.
Сумежними називаються кути, що мають загальну вершину, одну спільну сторону, а інші сторони є продовженням один одного і утворюють розгорнутий кут. Чудовою властивістю суміжних кутів є сума цих кутів завжди дорівнює 180 градусам.
Кути із загальною вершиною та однією спільною стороною в геометрії називаються суміжними
Сума суміжних кутів дорівнює 180 градусів
Слід зазначити те що, що з суміжних кутів синуси рівні
Щоб дізнатися більше про суміжні кути - читайте ось тут
Початкові відомості про кути
Нехай нам дано два довільні промені. Накладемо їх початки один на одного. Тоді
Визначення 1
Кутом називатимемо два промені, які мають один і теж початок.
Визначення 2
Точка, яка є початком променів у межах визначення 3, називається вершиною цього кута.
Кут будемо позначати наступними трьома її точками: вершиною, точкою одному з променів і точкою іншому промені, причому вершина кута записується у його позначення (рис. 1).
Визначимо тепер, що таке величина кута.
Для цього необхідно вибрати якийсь «еталонний» кут, який ми прийматимемо за одиницю. Найчастіше таким кутом є кут, що дорівнює $\frac(1)(180)$ частини розгорнутого кута. Таку величину називають градусом. Після вибору такого кута ми з ним проводимо порівняння кутів, величину якого потрібно знайти.
Існують 4 види кутів:
Визначення 3
Кут називається гострим, якщо він менший за $90^0$.
Визначення 4
Кут називається тупим, якщо він більший за $90^0$.
Визначення 5
Кут називається розгорнутим, якщо він дорівнює $180^0$.
Визначення 6
Кут називається прямим, якщо він дорівнює $90^0$.
Крім таких видів кутів, які описані вище, можна виділяти види кутів по відношенню їх один до одного, а саме вертикальні та суміжні кути.
Суміжні кути
Розглянемо розгорнутий кут $COB$. З його вершини проведемо промінь $OA$. Цей промінь розділить первісний на два кути. Тоді
Визначення 7
Два кути називатимемо суміжними, якщо одна пара їх сторін є розгорнутим кутом, а інша пара збігається (рис. 2).
У цьому випадку кути $COA$ та $BOA$ є суміжними.
Теорема 1
Сума суміжних кутів дорівнює $180^0$.
Доказ.
Розглянемо рисунок 2.
За визначенням 7, у ньому кут $COB$ дорівнюватиме $180^0$. Так як друга пара сторін суміжних кутів збігається, то промінь $OA$ розділятиме розгорнутий кут на 2, отже
$∠COA+∠BOA=180^0$
Теорему доведено.
Розглянемо розв'язання задачі за допомогою даного поняття.
Приклад 1
Знайти кут $C$ з малюнка нижче
За визначенням 7 отримуємо, що кути $BDA$ та $ADC$ є суміжними. Отже, за теоремою 1 отримаємо
$∠BDA+∠ADC=180^0$
$∠ADC=180^0-∠BDA=1800-59^0=121^0$
По теоремі про суму кутів у трикутнику, матимемо
$∠A+∠ADC+∠C=180^0$
$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$
Відповідь: $ 40 ^ 0 $.
Вертикальні кути
Розглянемо розгорнуті кути $AOB$ та $MOC$. Сумісимо їх вершини між собою (тобто накладемо точку $O"$ на точку $O$) так, щоб ніякі сторони цих кутів не співпали.
Визначення 8
Два кути називатимемо вертикальними, якщо пари їх сторін є розгорнутими кутами, а їх величини збігаються (рис. 3).
У цьому випадку кути $MOA$ і $BOC$ є вертикальними та кути $MOB$ і $AOC$ також вертикальні.
Теорема 2
Вертикальні кути дорівнюють між собою.
Доказ.
Розглянемо рисунок 3. Доведемо, наприклад, що кут $MOA$ дорівнює куту $BOC$.
Як знайти суміжний кут?
Математика - найдавніша точна наука, яку обов'язково вивчають у школах, коледжах, інститутах та університетах. Проте базові знання завжди закладаються ще у школі. Іноді, дитині задають досить складні завдання, а батьки не в змозі допомогти, бо просто забули деякі речі з математики. Наприклад, як знайти суміжний кут за величиною основного кута і т.п. Завдання просте, але може викликати труднощі при вирішенні через незнання того, які кути називаються суміжними і як їх знайти.
Розглянемо докладніше визначення та властивості суміжних кутів, а також як їх обчислити за даними задачі.
Визначення та властивості суміжних кутів
Два промені, що виходять з однієї точки, утворюють фігуру під назвою «плоский кут». У цьому ця точка називається вершиною кута, а промені є його сторонами. Якщо продовжити один із променів далі початкової точки по прямій, то утворюється ще один кут, який і називається суміжним. У кожного кута в цьому випадку є два суміжні кути, оскільки сторони кута рівнозначні. Тобто завжди є ще суміжний кут в 180 градусів.
До основних властивостей суміжних кутів відносять
- Сумежні кути мають загальну вершину та одну сторону;
- Сума суміжних кутів завжди дорівнює 180 градусам або числу Пі, якщо обчислення ведеться в радіанах;
- Синуси суміжних кутів завжди рівні;
- Косинуси та тангенси суміжних кутів рівні, але мають протилежні знаки.
Як знайти суміжні кути
Зазвичай даються три варіації завдань на знаходження величини суміжних кутів
- Дана величина основного кута;
- Дано співвідношення основного та суміжного кута;
- Дана величина вертикального кута.
Кожен варіант завдання має своє рішення. Розглянемо їх.
Дана величина основного кута
Якщо завдання зазначено величина основного кута, то знайти суміжний кут дуже просто. Для цього достатньо від 180 градусів відняти величину основного кута, і ви отримаєте величину суміжного кута. Дане рішення виходить із властивості суміжного кута - сума суміжних кутів завжди дорівнює 180 градусам.
Якщо ж величина основного кута дана в радіанах і задачі потрібно знайти суміжний кут в радіанах, необхідно відняти з числа Пі величину основного кута, так як величина повного розгорнутого кута в 180 градусів дорівнює числу Пі.
Дано співвідношення основного та суміжного кута
У задачі може бути дано співвідношення основного та суміжного кута замість градусів та радіан величини основного кута. У цьому випадку рішення буде виглядати як рівняння пропорції:
- Позначаємо частку пропорції основного кута як змінну «Y».
- Частку, що відноситься до суміжного кута, позначаємо як змінну «Х».
- Кількість градусів, які припадають на кожну пропорцію, позначимо, наприклад, a.
- Загальна формула буде виглядати так - a * X + a * Y = 180 або a * (X + Y) = 180.
- Знаходимо загальний множник рівняння a за формулою a = 180 / (X + Y).
- Потім отримане значення загального множника «а» множимо частку кута, який необхідно визначити.
Таким чином, ми можемо знайти величину суміжного кута в градусах. Однак, якщо необхідно знайти величину в радіанах, потрібно просто перевести градуси в радіани. Для цього множимо кут у градусах на число Пі і ділимо все на 180 градусів. Отримане значення буде у радіанах.
Дана величина вертикального кута
Якщо задачі не дана величина основного кута, але дана величина вертикального кута, то обчислити суміжний кут можна за такою ж формулою, що і в першому пункті, де дана величина основного кута.
Вертикальний кут - це кут, який виходить з тієї ж точки, що і основний, але при цьому він спрямований у протилежному напрямку. Тим самим виходить дзеркальне відображення. Це означає, що вертикальний кут за величиною дорівнює основному. У свою чергу суміжний кут вертикального кута дорівнює суміжному куту основного кута. Завдяки цьому можна визначити суміжний кут основного кута. Для цього просто віднімаємо зі 180 градусів величину вертикального і отримуємо значення суміжного кута основного кута в градусах.
Якщо ж величина дана в радіанах, необхідно відняти від числа Пі величину вертикального кута, оскільки величина повного розгорнутого кута в 180 градусів дорівнює числу Пі.
Також ви можете прочитати наші корисні статті та .
У процесі вивчення курсу геометрії поняття "кут", "вертикальні кути", "суміжні кути" зустрічаються досить часто. Розуміння кожного з термінів допоможе розібратися в поставленій задачі та правильно її вирішити. Що таке суміжні кути та як їх визначати?
Суміжні кути – визначення поняття
Термін "суміжні кути" характеризує два кути, утворених загальним променем і двома додатковими напівпрямими, що лежать на одній прямій. Усі три промені виходять із однієї точки. Загальна напівпряма є одночасно стороною як одного, так і другого кута.
Суміжні кути – основні властивості
1. Виходячи з формулювання суміжних кутів, неважко помітити, що сума таких кутів завжди утворює розгорнутий кут, градусна міра якого дорівнює 180°:
- Якщо μ та η є суміжними кутами, то μ + η = 180°.
- Знаючи величину одного із суміжних кутів (наприклад, μ), можна легко обчислити градусну міру другого кута (η), використовуючи вираз η = 180° – μ.
2. Дана властивість кутів дозволяє зробити наступний висновок: кут, що є суміжним прямому куту, також буде прямим.
3. Розглядаючи тригонометричні функції (sin, cos, tg, ctg), ґрунтуючись на формулах приведення для суміжних кутів μ і η справедливо наступне:
- sinη = sin(180° - μ) = sinμ,
- cosη = cos(180 ° - μ) = -cosμ,
- tgη = tg (180 ° - μ) = -tgμ,
- ctgη = ctg (180 ° - μ) = -ctgμ.
Суміжні кути – приклади
Приклад 1
Заданий трикутник із вершинами M, P, Q – ΔMPQ. Знайти кути, суміжні кутам ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.
- Подовжимо кожну зі сторін трикутника прямий.
- Знаючи про те, що суміжні кути доповнюють один одного до розгорнутого кута, з'ясовуємо, що:
суміжним для кута ∠QMP буде ∠LMP,
суміжним для кута ∠MPQ буде ∠SPQ,
суміжним для кута ∠PQM буде ∠HQP.
Приклад 2
Розмір одного суміжного кута становить 35°. Чому дорівнює градусна міра другого суміжного кута?
- Два суміжні кути у сумі утворюють 180°.
- Якщо ∠μ = 35°, то суміжний йому ∠η = 180° – 35° = 145°.
Приклад 3
Визначити величини суміжних кутів, якщо відомо, що градусний захід одного з низ втричі більший за градусний захід іншого кута.
- Позначимо величину одного (меншого) кута через ∠μ = λ.
- Тоді, згідно з умовою задачі, величина другого кута дорівнюватиме ∠η = 3λ.
- Виходячи з основної властивості суміжних кутів, μ + η = 180 ° слід
λ + 3λ = μ + η = 180 °,
λ = 180 ° / 4 = 45 °.
Отже, перший один кут ∠μ = λ = 45°, а другий кут ∠η = 3λ = 135°.
Вміння апелювати термінологією, а також знання основних властивостей суміжних кутів допоможе впоратися з розв'язанням багатьох геометричних завдань.
2) Скільки загальних точок можуть мати 2 прямі?
3)Поясніть що таке відрізок?
4) Поясніть, що таке промінь. Як позначаються промені?
5) Яка фігура називається кутом? Поясніть що таке вершина та сторони кута?
6) Який кут називається розгорнутим?
7) Які фігури називають рівними?
8)Поясніть як порівняти 2 відрізки
9) Яка точка називається серединою відрізка?
10) Поясніть як порівняти 2 кути.
11) Який промінь називається бісектрисою кута?
12) Точка С ділить відрізок АВ на 2 відрізки. Як знайти довжину відрізка АВ якщо відомі довжини відрізків АС і СВ?
13) Якими інструментами користуються для виміру відстаней?
14) Що таке градусна міра кута?
15) Промінь ОС ділить кут АОВ на 2 кути. Як знайти градусний захід кута АОВ якщо відомі градусні заходи кутів АОС та СОВ?
16) Який кут називається гострим? прямим? тупим?
17) Які кути називають суміжними? Чому дорівнює сума суміжних кутів?
18) Які кути називаються вертикальними? Якою властивістю мають вертикальні кути?
19) Які прямі називаються перпендикулярними?
20)Поясніть чому 2 прямі перпендикулярні до 3-ї не перетинаються?
21)Какие прилади використовують із побудови прямих кутів біля?
2скільки загальних точок можуть мати дві прямі?
3Поясніть що таке відрізок
4Поясніть, що таке промінь.Як позначаються промені?
5яка фігура називається кутом? поясніть що таке вершина та сторони кута
6який кут називається розгорнутим
7які фігури називаються рівними
8Поясніть як порівняти два відрізки
9яка точка називається серединою відрізка
10 поясніть як порівняти два кути
Який промінь називається бісектрисою кута
12точка з ділить відрізок аб на два відрізки. Як знайти довжину відрізка аб якщо відомі довжини відрізків ас і сб
Якими інструментами користуються для вимірювання відстаней
14що таке градусна міра кута
15промінь ділить кут аоб на два кути.Як знайти градусну міру кута аоб,якщо відомі заходи кутів аос в соб
16 Який кут називається гострим, прямим, тупим.
17які кути називаються суміжними?чому дорівнює сума суміжних кутів?
18які кути називаються вертикальними?якою властивістю мають вертикальні кути
19які прямі називаються перпендикулярними
20поясніть чому дві прямі перпендикулярні до третьої не перетинаються
21Які прилади застосовують для побудови прямих кутів на місцевості?
вертикальні які властивості мають вертикальні кути 5)
Допоможіть плиз, !! плізз = **7. Доведіть, що якщо дві паралельні прямі перетинаються третьою прямою, то внутрішні навхрест кути, що лежать, рівні, а сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180 градусів.
8. Доведіть, що дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні. Якщо пряма перепендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перепендикулярна до іншої.
9. Доведіть, що сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів.
10. Доведіть, що у будь-якого трикутника принаймні два кути гострі.
11. Що таке зовнішній кут трикутника?
12. Доведіть, що зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних із ним.
13. Доведіть, що зовнішній кут трикутника більший за будь-який внутрішній кут, не суміжний з ним.
14. Який трикутник називається прямокутним?
15. Чому дорівнює сума гострих кутів прямокутного трикутника?
16. Яка сторона прямокутного трикутника називається гіпотенузою? Які сторони називають катетами?
17. Сформулюйте ознаку рівності прямокутних трикутників з гіпотенузи та катету.
18. Доведіть, що з будь-якої точки, що не лежить на даній прямій, можна опустити на цю пряму перпендикуляр і лише один.
19. Що називається відстанню від точки до прямої?
20. Поясніть, що така відстань між паралельними прямими.