Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com
Підписи до слайдів:
ДВОГРАНИЙ КУТ Вчитель математики ГОУ ЗОШ №10 Єрьоменко М.А.
Основні завдання уроку: Ввести поняття двогранного кута та його лінійного кута Розглянути завдання застосування цих понять
Визначення: Двогранним кутом називається фігура, утворена двома напівплощинами із загальною граничною прямою.
Завбільшки двогранного кута називається величина його лінійного кута. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB -лінійний кут двогранного кута ACD В
Доведемо, що всі лінійні кути двогранного кута дорівнюють один одному. Розглянемо два лінійні кути АОВ та А 1 ОВ 1 . Промені ОА та ОА 1 лежать в одній грані та перпендикулярні ОО 1 тому вони сонаправлены. Промені ВВ та ВВ 1 також співспрямовані. Отже, ∠ АОВ = ∠ А 1 ОВ 1 (як кути із співспрямованими сторонами).
Приклади двогранних кутів:
Визначення: Кутом між двома площинами, що перетинаються, називається найменший з двогранних кутів, утворених цими площинами.
Завдання 1: У кубі A … D 1 знайдіть кут між площинами ABC та CDD 1 . Відповідь: 90 o .
Завдання 2: У кубі A … D 1 знайдіть кут між площинами ABC та CDA 1 . Відповідь: 45 o .
Завдання 3: У кубі A … D 1 знайдіть кут між площинами ABC та BDD 1 . Відповідь: 90 o .
Завдання 4: У кубі A … D 1 знайдіть кут між площинами ACC 1 та BDD 1 . Відповідь: 90 o .
Завдання 5: У кубі A … D 1 знайдіть кут між площинами BC 1 D та BA 1 D . Рішення: Нехай О - середина D. A 1 OC 1 - лінійний кут двогранного кута А 1 В D С 1 .
Завдання 6: У тетраедрі DABC усі ребра рівні, точка М – середина ребра АС. Доведіть, що ∠ DMB – лінійний кут двогранного кута BACD.
Рішення: Трикутники ABC і ADC правильні, тому BM ⊥ AC і DM ⊥ AC і, отже, ∠ DMB є лінійним кутом двогранного кута DACB .
Завдання 7: З вершини В трикутника АВС, сторона АС якого лежить у площині α проведений до цієї площини перпендикуляр ВР 1 . Знайдіть відстань від точки В до прямої АС і до площини α якщо АВ=2, ∠ВАС=150 0 і двогранний кут ВАСВ 1 дорівнює 45 0 .
Рішення: АВС – тупокутний трикутник з тупим кутом А, тому основа висоти ВК лежить продовженні боку АС. ВК – відстань від точки до АС. ВВ 1 – відстань від точки до площині α
2) Оскільки АС ⊥ВК, то АС⊥КВ 1 (по теоремі, зворотній теоремі про три перпендикуляри). Отже, ∠ВКВ 1 – лінійний кут двогранного кута ВАСВ 1 та ∠ВКВ 1 =45 0 . 3) ∆ВАК: ∠А=30 0 , ВК=ВА· sin 30 0 , ВК =1. ∆ВКВ 1: ВВ 1 =ВК· sin 45 0 , ВВ 1 =
Двогранний кут. Лінійний кут двогранного кута. Двогранним кутом називається фігура, утворена двома напівплощинами, що не належать одній площині, що мають загальний кордон – пряму а. Напівплощини, що утворюють двогранний кут, називаються його гранями, а загальна межа цих напівплощин – рубом двогранного кута. Лінійним кутом двогранного кута називається кут, сторонами якого є промені, якими грані двогранного кута, перетинаються площиною, перпендикулярною ребру двогранного кута. У кожного двогранного кута скільки завгодно лінійних кутів: через кожну точку ребра можна провести площину, перпендикулярну до цього ребра; промені, якими ця площина перетинає грані двогранного кута, і утворюють лінійні кути.
Усі лінійні кути двогранного кута рівні між собою. Доведемо, що якщо рівні двогранні кути, утворені площиною основи піраміди КАВС і площин її бічних граней, то основа перпендикуляра, проведеного з вершини К, є центром вписаної в трикутник АВС кола.
Доказ. Насамперед, побудуємо лінійні кути рівних двогранних кутів. За визначенням, площина лінійного кута має бути перпендикулярна ребру двогранного кута. Отже, ребро двогранного кута має бути перпендикулярне сторонам лінійного кута. Якщо КО перпендикуляр до площини основи, то можна провести ОР перпендикуляр АС, OR перпендикуляр СВ, OQ перпендикулярAB, а потім з'єднати точки P, Q, R З точкою К. Тим самим ми побудуємо проекцію похилих РК, QK, RK так, що ребра АС, СВ, АВ перпендикулярні до цих проекцій. Отже, ці ребра перпендикулярні і самим похилим. І тому площини трикутників РОК, QOK, ROK перпендикулярні відповідним ребрам двогранного кута і утворюють рівні лінійні кути, про які сказано в умові. Прямокутні трикутники РОК, QOK, ROK рівні (оскільки вони мають загальний катет ОК і рівні протилежні цьому катету кути). Отже, ОР = OR = OQ. Якщо провести коло з центром О і радіусом ОР, то сторони трикутника АВС перпендикулярні радіусам ОР, OR і OQ тому є дотичні до цього кола.
Перпендикулярність площин. Площина альфа і бета називаються перпендикулярними, якщо лінійний кут одного з двогранних кутів, що утворилися при їх перетині дорівнює 90". Ознаки перпендикулярності двох площин Якщо одна з двох площин проходить через пряму, перпендикулярну до іншої площини, то ці площини перпендикулярні.
На малюнку зображено прямокутний паралелепіпед. Його основами є прямокутники ABCD і A1B1C1D1. А бічні ребра АА1 ВВ1, СС1, DD1 перпендикулярні до основ. Звідси випливає, що АА1 перпендикуляр АВ, тобто бічна грань - прямокутник. Таким чином, можна обґрунтувати властивості прямокутного паралелепіпеда: У прямокутному паралелепіпеді всі шість граней – прямокутники. У прямокутному паралелепіпеді всі шість граней – прямокутники. Усі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда – прямі. Усі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда – прямі.
Теорема Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів. Звернемося знову до малюнка, І доведемо, що АС12 =АВ2+AD2+АА12 Так як ребро СС1 перпендикулярне до основи АВСD то кут АСС1 прямий. З прямокутного трикутника АСС1 за теоремою Піфагора одержуємо АС12=АС2+СС12. Але АС – діагональ прямокутника АВСD, тому АС2 = АВ2+АD2. Крім того, СС1 = АА1. Отже, АС12= АВ2+АD2+AA12 Теорема доведена.
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
Цей урок призначається для самостійного вивчення теми «Двогранний кут». У ході цього заняття учні познайомляться з однією з найважливіших геометричних фігур - двогранним кутом. Також на уроці нам доведеться дізнатися про те, як визначити лінійний кут геометричної фігури, що розглядається, і який буває двогранний кут при підставі фігури.
Повторимо, що таке кут на поверхні і як він вимірюється.
Мал. 1. Площина
Розглянемо площину (рис. 1). З точки Провиходять два промені - ОВі ОА.
Визначення. Фігура, утворена двома променями, що виходять із однієї точки, називається кутом.
Кут вимірюється в градусах та у радіанах.
Згадаймо, що таке радіан.
Мал. 2. Радіан
Якщо ми маємо центральний кут, довжина дуги якого дорівнює радіусу, такий центральний кут називається кутом в 1 радіан. , ∠ АОВ= 1 радий (рис. 2).
Зв'язок радіанів та градусів.
радий.
Отримуємо, радий. (). Тоді, 
Визначення. Двогранним кутомназивається фігура, утворена прямою аі двома напівплощинами із спільним кордоном а, що не належать до однієї площини.
Мал. 3. Напівплощини
Розглянемо дві напівплощини α та β (рис. 3). Їхній спільний кордон - а. Зазначена фігура називається двогранним кутом.
Термінологія
Напівплощини α та β - це грані двогранного кута.
Пряма а- Це ребро двогранного кута.
На загальному ребрі адвогранного кута виберемо довільну точку Про(Рис. 4). У напівплощині з точки Провідновимо перпендикуляр ОАдо прямої а. З тієї ж точки Проу другій напівплощині β відновимо перпендикуляр ОВдо ребра а. Отримали кут АОВ, Який називається лінійним кутом двогранного кута.
Мал. 4. Вимірювання двогранного кута
Доведемо рівність всіх лінійних кутів для цього двогранного кута.
Нехай маємо двогранний кут (рис. 5). Виберемо крапку Проі точку Про 1на прямий а. Побудуємо лінійний кут відповідний точці Про, тобто проведемо два перпендикуляри ОАі ОВу площинах α та β відповідно до ребра а. Отримуємо кут АОВ- Лінійний кут двогранного кута.
Мал. 5. Ілюстрація доказу
З точки Про 1проведемо два перпендикуляри ОА 1і ВВ 1до ребра ау площинах α та β відповідно і отримаємо другий лінійний кут А 1 Про 1 В 1.
Промені О 1 А 1і ОАсонаправленны, тому що вони лежать в одній напівплощині і паралельні між собою як два перпендикуляри до однієї і тієї ж прямої а.
Аналогічно, промені О 1 В 1і ОВсонаправлены, отже, ∠ АОВ =∠ А 1 Про 1 В 1як кути із співспрямованими сторонами, що й потрібно було довести.
Площина лінійного кута перпендикулярна до ребра двогранного кута.
Довести: а ⊥ АОВ.
Мал. 6. Ілюстрація доказу
Доказ:
ОА ⊥ аз побудови, ОВ ⊥ аз побудови (рис. 6).
Отримуємо, що пряма аперпендикулярна двом прямим прямокутним прямим ОАі ОВз площини АОВотже, пряма аперпендикулярна площині ОАВ, що потрібно було довести.
Двогранний кут вимірюється своїм лінійним кутом. Це означає, що скільки градусів радіан міститься в лінійному вугіллі, стільки ж градусів радіан міститься в його двогранному вугіллі. Відповідно до цього розрізняють такі види двогранних кутів.
Гострий (рис. 6)
Двогранний кут гострий, якщо лінійний кут гострий, тобто. .
Прямий (рис. 7)
Двогранний кут прямий, коли його лінійний кут дорівнює 90 ° - Тупий (рис. 8)
Двогранний кут тупий, що його лінійний кут тупий, тобто. 
.
Мал. 7. Прямий кут
Мал. 8. Тупий кут
Приклади побудови лінійних кутів у реальних фігурах
АВСD- Тетраедр.
1. Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром АВ.
Мал. 9. Ілюстрація до завдання
Побудова:
Йдеться про двогранний кут, який утворений рубом АВта гранями АВDі АВС(Мал. 9).
Проведемо пряму DНперпендикулярно до площини АВС, Н- основа перпендикуляра. Проведемо похилий DМперпендикулярно до прямої АВ,М- основа похилої. За теоремою про три перпендикуляри укладаємо, що проекція похилої НМтакож перпендикулярна до прямої АВ.
Тобто, з точки Мвідновлено два перпендикуляри до ребра АВу двох гранях АВDі АВС. Ми отримали лінійний кут DМН.
Зауважимо, що АВ, ребро двогранного кута, перпендикулярно площині лінійного кута, тобто площині DМН. Завдання вирішено.
Зауваження. Двогранний кут можна позначити так: DАВС, де
АВ- ребро, а крапки Dі Злежать у різних гранях кута.
2. Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром АС.
Проведемо перпендикуляр DНдо площини АВСта похилий DNперпендикулярно до прямої АС.За теоремою про три перпендикуляри отримуємо, що НN- проекція похилої DNна площину АВС,також перпендикулярна до прямої АС.DN- Лінійний кут двогранного кута з ребром АС.
У тетраедрі DАВСусі ребра рівні. Крапка М- середина ребра АС. Доведіть, що кут DМВ- Лінійний кут двогранного кута ВАСD, Т. е. двогранного кута з ребром АС. Одна його грань - АСD, друга - АСВ(Рис. 10).
Мал. 10. Ілюстрація до завдання
Рішення:
Трикутник ADC- рівносторонній, DM- Медіана, а значить і висота. Значить, DМ ⊥ АС.Аналогічно трикутник AУC- рівносторонній, УM- медіана, а отже, і висота. Значить, ВМ ⊥ АС.
Таким чином, з точки Мребра АСдвогранного кута відновлено два перпендикуляри DMі ВМдо цього ребра у гранях двогранного кута.
Значить, ∠ DMУ- Лінійний кут двогранного кута, що і потрібно довести.
Отже ми визначили двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.
На наступному уроці ми розглянемо перпендикулярність прямих і площин, далі дізнаємося, що таке двогранний кут при підставі фігур.
Список літератури на тему "Двогранний кут", "Двогранний кут на основі геометричних фігур"
- Геометрія. 10-11 клас: підручник для загальноосвітніх навчальних закладів / Шаригін І. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: іл.
- Геометрія. 10 клас: підручник для загальноосвітніх закладів з поглибленим та профільним вивченням математики /Є. В. Потоскуєв, Л. І. Звалич. – 6-те видання, стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: іл.
- Yaklass.ru ().
- E-science.ru ().
- Webmath.exponenta.ru().
- Tutoronline.ru ().
Домашнє завдання на тему "Двогранний кут", визначення двогранного кута при основі фігур
Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий та профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е видання, виправлене та доповнене – М.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл.
Завдання 2, 3 стор. 67.
Що таке лінійний кут двогранного кута? Як його збудувати?
АВСD- Тетраедр. Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром:
а) УDб) DЗ.
АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 - куб. Побудуйте лінійний кут двогранного кута А 1 АВСз ребром АВ. Визначте його градусну міру.
ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ УРОКУ:
У планіметрії основними об'єктами є прямі, відрізки, промені та точки. Промені, що виходять з однієї точки, утворюють одну з геометричних фігур-кут.
Ми знаємо, що лінійний кут вимірюється у градусах та радіанах.
У стереометрії до об'єктів додається площина. Фігура, утворена прямою а та двома напівплощинами із загальною межею а, що не належать одній площині в геометрії називається двогранним кутом. Напівплощини – це грані двогранного кута. Пряма а – це ребро двогранного кута.
Двогранний кут, як і лінійний кут, можна назвати, виміряти, побудувати. Це і належить нам з'ясувати в цьому уроці.
Знайдемо двогранний кут моделі тетраедра АВСD.
Двогранний кут з ребром АВ називають CABD, де С і D точки належать різним граням кута а ребро АВ називають у середині
Навколо нас чимало предметів з елементами як двогранного кута.
У багатьох містах у парках встановлені спеціальні лави для примирення. Лавка виконана у вигляді двох похилих площин, що сходяться до центру.
При будівництві будинків часто використовується так званий двосхилий дах. На цьому будинку дах виконаний у вигляді двогранного кута 90 градусів.
Двогранний кут теж вимірюється в градусах чи радіанах, але як його виміряти.
Цікаво зауважити, що дахи будинків лежать на кроквах. А обрешітка крокв утворює два скати даху під заданим кутом.
Перенесемо зображення на креслення. На кресленні для знаходження двогранного кута на його ребрі відзначається точка В. З цієї точки проводяться два промені ВА і ПС перпендикулярно ребру кута. Утворений цими променями кут АВС називається лінійним кутом двогранного кута.
Градусна міра двогранного кута дорівнює градусній мірі його лінійного кута.
Виміряємо кут АОВ.
Градусна міра цього двогранного кута дорівнює шістдесяти градусам.
Лінійних кутів для двогранного кута можна провести нескінченну кількість, важливо знати, що вони рівні.
Розглянемо два лінійні кути АОВ і А1О1В1. Промені ОА та О1А1 лежать в одній грані та перпендикулярні до прямої ОО1, тому вони спрямовані. Промені ОВ та О1В1 так само співспрямовані. Тому кут АОВ дорівнює куту А1О1В1 як кути із співспрямованими сторонами.
Так двогранний кут характеризується лінійним кутом, а лінійні кути бувають гострі, тупі та прямі. Розглянемо моделі двогранних кутів.
Тупий кут, якщо його лінійний кут від 90 до 180 градусів.
Прямий кут, якщо його лінійний кут дорівнює 90 градусів.
Гострий кут, якщо його лінійний кут від 0 до 90 градусів.
Доведемо одну з найважливіших властивостей лінійного кута.
Площина лінійного кута перпендикулярна до ребра двогранного кута.
Нехай кут АОВ – лінійний кут даного двогранного кута. За побудовою промені АТ та ВВ перпендикулярні до прямої а.
Через дві перетинаються прямі АТ і ОВ проходить площину АОВ по теоремі: Через дві прямі, що перетинаються, проходить площину і притому тільки одна.
Пряма а перпендикулярна двом прямим лежачим у цій площині, що перетинається, означає за ознакою перпендикулярності прямої і площини пряма а перпендикулярна площині АОВ.
Для вирішення завдань важливо вміти будувати лінійний кут заданого двогранного кута. Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром АВ для тетраедра АВСD.
Йдеться про двогранний кут, який утворений, по-перше, рубом АВ, однією гранню АВD, другою гранню АВС.
Ось один із способів побудови.
Проведемо перпендикуляр із точки D до площини АВС, Зазначимо точку М основу перпендикуляра. Згадаємо, що в тетраедрі основа перпендикуляра збігається з центром вписаного кола в основу тетраедра.
Проведемо похилу з точки D перпендикулярно до ребра АВ, відзначимо точку N основу похилої.
У трикутнику DMN відрізок NM буде проекцій похилої DN на площину АВС. За теоремою про три перпендикуляри ребро АВ буде перпендикулярно до проекції NМ.
Отже, сторони кута DNM перпендикулярні до ребра АВ, значить побудований кут DNM шуканий лінійний кут.
Розглянемо приклад розв'язання задачі на обчислення двогранного кута.
Трикутник АВС і правильний трикутник АDB не лежать в одній площині. Відрізок CD є перпендикуляром до площини ADB. Знайдіть двогранний кут DABC, якщо AC = CB = 2 см, AB = 4см.
Двогранний кут DABC дорівнює його лінійному куту. Збудуємо цей кут.
Проведемо похилу СМ перпендикулярно до ребра АВ, оскільки трикутник АСВ рівнобедрений, точка М збігається із серединою ребра АВ.
Пряма СD за умовою перпендикулярна до площини ADB, означає перпендикулярна до прямої DM, що лежить у цій площині. А відрізок МD є проекцією похилої РМ на площину АDВ.
Пряма АВ перпендикулярна похилій СМ по побудові, значить за теоремою про три перпендикуляри перпендикулярна до проекції MD.
Отже до ребра АВ знайдено два перпендикуляри СМ та DМ. Отже, вони утворюють лінійний кут СMD двогранного кута DАВС. І нам залишиться його знайти із прямокутного трикутника СDM.
Так відрізок СМ медіана та висота рівнобедреного трикутника АСВ, то по теоремі Піфагора катет СМ дорівнює 4 см.
З прямокутного трикутника DMB по теоремі Піфагора катет DM дорівнює двом корінням з трьох.
Косинус кута з прямокутного трикутника дорівнює відношенню прилеглого катета МD до гіпотенузи СМ і дорівнює три корені з трьох на два. Значить кут СМD дорівнює 30 градусів.