Двогранний кут. Лінійний кут двогранного кута. Двогранним кутом називається фігура, утворена двома напівплощинами, що не належать одній площині, що мають загальний кордон – пряму а. Напівплощини, що утворюють двогранний кут, називаються його гранями, а загальна межа цих напівплощин – рубом двогранного кута. Лінійним кутом двогранного кута називається кут, сторонами якого є промені, якими грані двогранного кута, перетинаються площиною, перпендикулярною ребру двогранного кута. У кожного двогранного кута скільки завгодно лінійних кутів: через кожну точку ребра можна провести площину, перпендикулярну до цього ребра; промені, якими ця площина перетинає грані двогранного кута, і утворюють лінійні кути.
Усі лінійні кути двогранного кута рівні між собою. Доведемо, що якщо рівні двогранні кути, утворені площиною основи піраміди КАВС і площин її бічних граней, то основа перпендикуляра, проведеного з вершини К, є центром вписаної в трикутник АВС кола.
Доказ. Насамперед, побудуємо лінійні кути рівних двогранних кутів. За визначенням, площина лінійного кута має бути перпендикулярна ребру двогранного кута. Отже, ребро двогранного кута має бути перпендикулярне сторонам лінійного кута. Якщо КО перпендикуляр до площини основи, то можна провести ОР перпендикуляр АС, OR перпендикуляр СВ, OQ перпендикулярAB, а потім з'єднати точки P, Q, R З точкою К. Тим самим ми побудуємо проекцію похилих РК, QK, RK так, що ребра АС, СВ, АВ перпендикулярні до цих проекцій. Отже, ці ребра перпендикулярні і самим похилим. І тому площини трикутників РОК, QOK, ROK перпендикулярні відповідним ребрам двогранного кута і утворюють рівні лінійні кути, про які сказано в умові. Прямокутні трикутники РОК, QOK, ROK рівні (оскільки вони мають загальний катет ОК і рівні протилежні цьому катету кути). Отже, ОР = OR = OQ. Якщо провести коло з центром О і радіусом ОР, то сторони трикутника АВС перпендикулярні радіусам ОР, OR і OQ тому є дотичні до цього кола.
Перпендикулярність площин. Площина альфа і бета називаються перпендикулярними, якщо лінійний кут одного з двогранних кутів, що утворилися при їх перетині дорівнює 90". Ознаки перпендикулярності двох площин Якщо одна з двох площин проходить через пряму, перпендикулярну до іншої площини, то ці площини перпендикулярні.
На малюнку зображено прямокутний паралелепіпед. Його основами є прямокутники ABCD і A1B1C1D1. А бічні ребра АА1 ВВ1, СС1, DD1 перпендикулярні до основ. Звідси випливає, що АА1 перпендикуляр АВ, тобто бічна грань - прямокутник. Таким чином, можна обґрунтувати властивості прямокутного паралелепіпеда: У прямокутному паралелепіпеді всі шість граней – прямокутники. У прямокутному паралелепіпеді всі шість граней – прямокутники. Усі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда – прямі. Усі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда – прямі.
Теорема Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів. Звернемося знову до малюнка, І доведемо, що АС12 =АВ2+AD2+АА12 Так як ребро СС1 перпендикулярне до основи АВСD то кут АСС1 прямий. З прямокутного трикутника АСС1 за теоремою Піфагора одержуємо АС12=АС2+СС12. Але АС – діагональ прямокутника АВСD, тому АС2 = АВ2+АD2. Крім того, СС1 = АА1. Отже, АС12= АВ2+АD2+AA12 Теорема доведена.
Мета уроку: введення поняття двогранного кута та його лінійного кута.
Завдання:
Освітня: розглянути завдання застосування цих понять, сформувати конструктивний навичка знаходження кута між площинами;
Розвиваюча: розвиток творчого мислення учнів, особистісне саморозвиток учнів, розвиток мовлення учнів;
Виховна: виховання культури розумової праці, комунікативної культури, рефлексивної культури
Тип уроку: урок засвоєння нових знань
Методи навчання: пояснювально-ілюстративний
Обладнання: комп'ютер, інтерактивні ради.
Література:
Геометрія. 10-11 класи: навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ: базовий та профіл. рівні/[Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев та ін] - 18-е вид. - М.: Просвітництво, 2009. - 255 с.
План уроку:
Організаційний момент (2 хв)
Актуалізація знань (5 хв)
Вивчення нового матеріалу (12 хв)
Закріплення вивченого матеріалу (21 хв)
Домашнє завдання (2 хв)
Підбиття підсумків (3 хв)
Хід уроку:
1. Організаційний момент.
Включає привітання вчителем класу, підготовку приміщення до уроку, перевірку відсутніх.
2. Актуалізація опорних знань.
Вчитель: Минулого уроку ви писали самостійну роботу. Загалом роботи написали непогано. А тепер давайте трохи повторимо. Що називається кутом на площині?
Учень: Кутом на площині називається фігура, утворена двома променями, що виходять із однієї точки.
Вчитель: Що називається кутом між прямими у просторі?
Учень: Кутом між двома прямими, що перетинаються, в просторі називається найменший з кутів, утворених променями цих прямих з вершиною в точці їх перетину.
Учень: Кутом між схрещуються прямими називається кут між прямими, що перетинаються, відповідно паралельними даними.
Вчитель: Що називається кутом між прямою та площиною?
Учень: Кутом між прямою та площиноюназивається будь-який кут між прямою та її проекцією на цю площину.
3. Вивчення нового матеріалу.
Вчитель: У стереометрії поряд із такими кутами розглядається ще один вид кутів – двогранні кути. Ви, напевно, вже здогадалися, яка тема сьогоднішнього уроку, тому відкрийте зошити, запишіть сьогоднішнє число та тему уроку.
Запис на дошці та у зошитах:
10.12.14.
Двогранний кут.
Вчитель : Щоб ввести поняття двогранного кута, слід нагадати, що будь-яка пряма, проведена в даній площині, поділяє цю площину на дві напівплощини.(Рис.1, а)
Вчитель : Уявімо, що ми перегнули площину по прямій так, що дві напівплощини з кордоном виявилися вже не лежать в одній площині (рис. 1, б). Отримана фігура є двогранний кут. Двогранним кутом називається фігура, утворена прямою і двома напівплощинами із загальним кордоном, що не належать одній площині. Напівплощини, що утворюють двогранний кут, називаються його гранями. У двогранного кута дві грані, звідси і назва – двогранний кут. Пряма - загальна межа напівплощин - називається ребром двогранного кута. Запишіть визначення у зошит.
Двогранним кутом називається фігура, утворена прямою і двома напівплощинами із загальним кордоном, що не належать одній площині.
Вчитель : У повсякденному житті ми часто зустрічаємося з предметами, що мають форму двогранного кута. Наведіть приклади.
Учень : Напіврозкрита папка.
Учень : Стіна кімнати разом із підлогою.
Учень : Двосхилі дахи будівель.
Вчитель : Правильно І таких прикладів дуже багато.
Вчитель : Як ви знаєте, кути на площині вимірюються в градусах Ймовірно, у вас виникло питання, а як же вимірюються двогранні кути? Це робиться в такий спосіб.Зазначимо на ребрі двогранного кута якусь точку і в кожній грані з цієї точки проведемо промінь перпендикулярно до ребра. Утворений цими променями кут називається лінійним кутом двогранного кута. Зробіть креслення у себе в зошитах.
Запис на дошці та у зошитах.
Про ∈ а, АТ ⊥ а, ВО ⊥ a, САBD- Двогранний кут,∠ AOB- Лінійний кут двогранного кута.
Вчитель : Усі лінійні кути двогранного кута рівні. Зробіть собі ще такий креслення.
Вчитель : Доведемо це. Розглянемо два лінійні кути АОВ іPQR. Промені ОА таQPлежать в одній грані та перпендикулярніOQотже, вони співспрямовані. Аналогічно промені ВВ таQRспівспрямовані. Значить,∠ AOB= ∠ PQR(як кути із співспрямованими сторонами).
Вчитель : Ну, а тепер відповідь на наше запитання як вимірюється двогранний кутГрадусною мірою двогранного кута називається градусна міра його лінійного кута. Перемалюйте із підручника зі сторінки 48 зображення гострого, прямого та тупого двогранного кута.
4. Закріплення вивченого матеріалу.
Вчитель : Зробіть креслення до завдань
№ 1 . Дано: ΔABC, АС = ВС, АВ лежить у площиніα, CD ⊥ α, С∉ α. Побудувати лінійний кут двогранного кутаCABD.
Учень : Рішення:CM ⊥ AB, DC ⊥ АВ.∠ CMD - Шуканий.
№ 2. Дано: ΔABC, ∠ C= 90°, НД лежить площиніα, АТ⊥ α, A∈ α.
Побудувати лінійний кут двогранного кутаАВСО.
Учень : Рішення:AB ⊥ BC, АТ⊥ НД, значить, ОС⊥ НД.∠ ACO - Шуканий.
№ 3 . Дано: ΔABC, ∠ С = 90°, АВ лежить у площиніα, CD⊥ α, С∉ α. Побудуватилінійний кут двогранного кутаDABC.
Учень : Рішення: CK ⊥ AB, DC ⊥ АВ,DK ⊥ АВ, отже,∠ DKC - Шуканий.
№ 4
. Дано:DABC- Тетраедр,DO⊥
ABC.Побудувати лінійний кут двогранного кута.ABCD.
Учень : Рішення:DM ⊥ НД,DO ⊥ НД, значить, ОМ⊥ НД;∠ OMD - Шуканий.
5.Підведення підсумків.
Вчитель: Що нового ви дізналися сьогодні на уроці?
Учні : Що називається двогранним кутом, лінійним кутом, як вимірюється двогранний кут.
Вчитель : Що повторили?
Учні : Що називається кутом на площині; кутом між прямими.
6. Домашнє завдання.
Запис на дошці та у щоденниках: п. 22, №167, №170.
ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ УРОКУ:
У планіметрії основними об'єктами є прямі, відрізки, промені та точки. Промені, що виходять з однієї точки, утворюють одну їх геометричних фігур-кут.
Ми знаємо, що лінійний кут вимірюється у градусах та радіанах.
У стереометрії до об'єктів додається площина. Фігура, утворена прямою а та двома напівплощинами із загальною межею а, що не належать одній площині в геометрії називається двогранним кутом. Напівплощини – це грані двогранного кута. Пряма а – це ребро двогранного кута.
Двогранний кут, як і лінійний кут, можна назвати, виміряти, побудувати. Це і належить нам з'ясувати в цьому уроці.
Знайдемо двогранний кут моделі тетраедра АВСD.
Двогранний кут з ребром АВ називають CABD, де С і D точки належать різним граням кута а ребро АВ називають у середині
Навколо нас чимало предметів з елементами як двогранного кута.
У багатьох містах у парках встановлені спеціальні лави для примирення. Лавка виконана у вигляді двох похилих площин, що сходяться до центру.
При будівництві будинків часто використовується так званий двосхилий дах. На цьому будинку дах виконаний у вигляді двогранного кута 90 градусів.
Двогранний кут теж вимірюється в градусах чи радіанах, але як його виміряти.
Цікаво зауважити, що дахи будинків лежать на кроквах. А обрешітка крокв утворює два скати даху під заданим кутом.
Перенесемо зображення на креслення. На кресленні для знаходження двогранного кута на його ребрі відзначається точка В. З цієї точки проводяться два промені ВА і ПС перпендикулярно ребру кута. Утворений цими променями кут АВС називається лінійним кутом двогранного кута.
Градусна міра двогранного кута дорівнює градусній мірі його лінійного кута.
Виміряємо кут АОВ.
Градусна міра цього двогранного кута дорівнює шістдесяти градусам.
Лінійних кутів для двогранного кута можна провести нескінченну кількість, важливо знати, що вони рівні.
Розглянемо два лінійні кути АОВ і А1О1В1. Промені ОА та О1А1 лежать в одній грані та перпендикулярні до прямої ОО1, тому вони спрямовані. Промені ОВ та О1В1 так само співспрямовані. Тому кут АОВ дорівнює куту А1О1В1 як кути із співспрямованими сторонами.
Так двогранний кут характеризується лінійним кутом, а лінійні кути бувають гострі, тупі та прямі. Розглянемо моделі двогранних кутів.
Тупий кут, якщо його лінійний кут від 90 до 180 градусів.
Прямий кут, якщо його лінійний кут дорівнює 90 градусів.
Гострий кут, якщо його лінійний кут від 0 до 90 градусів.
Доведемо одну з найважливіших властивостей лінійного кута.
Площина лінійного кута перпендикулярна до ребра двогранного кута.
Нехай кут АОВ – лінійний кут даного двогранного кута. За побудовою промені АТ та ВВ перпендикулярні до прямої а.
Через дві перетинаються прямі АТ і ОВ проходить площину АОВ по теоремі: Через дві прямі, що перетинаються, проходить площину і притому тільки одна.
Пряма а перпендикулярна двом прямим лежачим у цій площині, що перетинається, означає за ознакою перпендикулярності прямої і площини пряма а перпендикулярна площині АОВ.
Для вирішення завдань важливо вміти будувати лінійний кут заданого двогранного кута. Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром АВ для тетраедра АВСD.
Йдеться про двогранний кут, який утворений, по-перше, рубом АВ, однією гранню АВD, другою гранню АВС.
Ось один із способів побудови.
Проведемо перпендикуляр із точки D до площини АВС, Зазначимо точку М основу перпендикуляра. Згадаємо, що в тетраедрі основа перпендикуляра збігається з центром вписаного кола в основу тетраедра.
Проведемо похилу з точки D перпендикулярно до ребра АВ, відзначимо точку N основу похилої.
У трикутнику DMN відрізок NM буде проекцій похилої DN на площину АВС. За теоремою про три перпендикуляри ребро АВ буде перпендикулярно до проекції NМ.
Отже, сторони кута DNM перпендикулярні до ребра АВ, значить побудований кут DNM шуканий лінійний кут.
Розглянемо приклад розв'язання задачі на обчислення двогранного кута.
Трикутник АВС і правильний трикутник АDB не лежать в одній площині. Відрізок CD є перпендикуляром до площини ADB. Знайдіть двогранний кут DABC, якщо AC = CB = 2 см, AB = 4см.
Двогранний кут DABC дорівнює його лінійному куту. Збудуємо цей кут.
Проведемо похилу СМ перпендикулярно до ребра АВ, оскільки трикутник АСВ рівнобедрений, точка М збігається із серединою ребра АВ.
Пряма СD за умовою перпендикулярна до площини ADB, означає перпендикулярна до прямої DM, що лежить у цій площині. А відрізок МD є проекцією похилої РМ на площину АDВ.
Пряма АВ перпендикулярна похилій СМ по побудові, значить за теоремою про три перпендикуляри перпендикулярна до проекції MD.
Отже до ребра АВ знайдено два перпендикуляри СМ та DМ. Отже, вони утворюють лінійний кут СMD двогранного кута DАВС. І нам залишиться його знайти із прямокутного трикутника СDM.
Так відрізок СМ медіана та висота рівнобедреного трикутника АСВ, то по теоремі Піфагора катет СМ дорівнює 4 см.
З прямокутного трикутника DMB по теоремі Піфагора катет DM дорівнює двом корінням з трьох.
Косинус кута з прямокутного трикутника дорівнює відношенню прилеглого катета МD до гіпотенузи СМ і дорівнює три корені з трьох на два. Значить кут СМD дорівнює 30 градусів.
Поняття двогранного кута
Для введення поняття двогранного кута, спочатку згадаємо одну з аксіом стереометрії.
Будь-яку площину можна розділити на дві напівплощини прямої $a$, що лежить у цій площині. При цьому точки, що лежать в одній напівплощині знаходяться з одного боку від прямої $a$, а точки, що лежать у різних напівплощинах - по різні боки від прямої $a$ (рис. 1).
Малюнок 1.
На цій аксіомі заснований принцип побудови двогранного кута.
Визначення 1
Фігура називається двогранним кутомякщо вона складається з прямої і двох напівплощин цієї прямої, що не належать одній площині.
При цьому напівплощини двогранного кута називаються гранями, а пряма, що розділяє напівплощини - ребром двогранного кута(Рис. 1).
Малюнок 2. Двогранний кут
Градусний захід двогранного кута
Визначення 2
Виберемо на ребрі довільну точку $A$. Кут між двома прямими, що лежать у різних напівплощинах, перпендикулярних ребру і що перетинаються в точці $A$ називається лінійним кутом двогранного кута(Рис. 3).
Малюнок 3.
Вочевидь, кожен двогранний кут має нескінченне число лінійних кутів.
Теорема 1
Усі лінійні кути одного двогранного кута дорівнюють між собою.
Доказ.
Розглянемо два лінійні кути $AOB$ і $A_1(OB)_1$ (рис. 4).
Малюнок 4.
Оскільки промені $OA$ і $(OA)_1$ лежать у одній напівплощині $\alpha $ і перпендикулярні однієї прямої, всі вони є сонаправленными. Оскільки промені $OB$ і $(OB)_1$ лежать у одній напівплощині $\beta $ і перпендикулярні однієї прямої, вони є сонаправленными. Отже
\[\angle AOB=\angle A_1(OB)_1\]
Через довільність виборів лінійних кутів. Усі лінійні кути одного двогранного кута рівні між собою.
Теорему доведено.
Визначення 3
Градусною мірою двогранного кута називається градусна міра лінійного кута двогранного кута.
Приклади завдань
Приклад 1
Нехай нам дано дві неперпендикулярні площини $\alpha$ і $\beta$, які перетинаються по прямій $m$. Крапка $A$ належить площині $\beta$. $AB$ -- перпендикуляр до прямої $m$. $AC$ перпендикуляр до площини $\alpha$ (точка $C$ належить $\alpha$). Довести, що кут $ ABC є лінійним кутом двогранного кута.
Доказ.
Зобразимо малюнок за умовою задачі (рис. 5).
Малюнок 5.
Для доказу пригадаємо таку теорему
Теорема 2:Пряма, що проходить через основу похилої, перпендикулярна до неї, перпендикулярна до її проекції.
Оскільки $AC$ - перпендикуляр до площині $\alpha$, точка $C$ - проекція точки $A$ на площину $\alpha$. Отже, $BC$ - проекція похилої $AB$. За теоремою 2, $BC$ перпендикулярна ребру двогранного кута.
Тоді, кут $ABC$ відповідає всім вимогам визначення лінійного кута двогранного кута.
Приклад 2
Двогранний кут дорівнює $30^\circ$. На одній із граней лежить точка $A$, яка віддалена від іншої межі на відстань $4$ див. Знайти відстань від точки $A$ до ребра двогранного кута.
Рішення.
Розглянемо малюнок 5.
За умовою, маємо $AC=4\ см$.
За визначенням градусної міри двогранного кута, маємо, що кут $ABC$ дорівнює $30^\circ$.
Трикутник $ABC$ є прямокутним трикутником. За визначенням синуса гострого кута
\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.