Паралелепіпедом називається призма, підставами якої є паралелограми. При цьому всі грані будуть паралелограмами.
Кожен паралелепіпед можна розглядати як призму трьома різними способами, тому що за підстави можна прийняти кожні дві протилежні грані (на рис. "С" та ADA"D").
Розглянуте тіло має дванадцять ребер, по чотири рівні і паралельні між собою.
Теорема 3
. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці, що збігається з серединою кожної з них.
Паралелепіпед ABCDA"B"C"D" (чорт. 5) має чотири діагоналі AC", BD", CA", DB". Ми повинні довести, що середини двох будь-яких з них, наприклад АС і BD", збігаються. Це випливає з того, що фігура ABC"D", що має рівні та паралельні сторони АВ і C"D", є паралелограм.
Визначення 7
. Прямим паралелепіпедом називається паралелепіпед, що є одночасно і прямою призмою, тобто паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площини основи.
Визначення 8
. Прямокутним паралелепіпедом називається прямий паралелепіпед, основою якого є прямокутник. При цьому всі його межі будуть прямокутниками.
Прямокутний паралелепіпед являє собою пряму призму, яку б з його граней ми не прийняли за основу, тому що кожне його ребро перпендикулярно до ребер, що виходять з ним з однієї вершини, і, отже, перпендикулярно і до площин граней, що визначаються цими ребрами. На противагу цьому прямий, але не прямокутний, паралелепіпед можна розглядати як пряму призму лише одним способом.
Визначення 9
. Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, з яких ніякі два не паралельні між собою (наприклад трьох ребер, що виходять з однієї вершини), називаються його вимірами. Два |прямокутних паралелепіпеда, мають відповідно рівні виміри, очевидно, рівні між собою.
Визначення 10
.Кубом називається прямокутний паралелепіпед, всі три виміри якого рівні між собою, так що всі його грані - квадрати. Два куби, ребра яких рівні між собою, рівні. 
Визначення 11
. Похилий паралелепіпед, у якого всі ребра рівні між собою і кути всіх граней рівні або поповнювальні, називається ромбоедром.
Усі грані ромбоедра – рівні ромби. (Форму ромбоедру мають деякі кристали, що мають велике значення, наприклад кристали ісландського шпату.) У ромбоедрі можна знайти таку вершину (і навіть дві протилоложні вершини), що всі кути, що прилягають до неї, рівні між собою.
Теорема 4
. Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні між собою. Квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох вимірів.
У прямокутному паралелепіпеді ABCDA"B"C"D" (чорт. 6) діагоналі АС" і BD" рівні, тому що чотирикутник ABC"D" - прямокутник (пряма АВ перпендикулярна до площини ВСВ"С, в якій лежить ВС") .
Крім того, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 на підставі теореми про квадрат гіпотенузи. Але на підставі тієї ж теореми AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2 ;
АС" 2 = АВ 2 + АА" 2 + A "D" 2 = АВ 2 + AA" 2 + AD 2 .
На цьому уроці всі охочі матимуть змогу вивчити тему «Прямокутний паралелепіпед». На початку уроку ми повторимо, що таке довільний та прямий паралелепіпеди, пригадаємо властивості їх протилежних граней та діагоналей паралелепіпеда. Потім розглянемо, що таке прямокутний паралелепіпед, та обговоримо його основні властивості.
Тема: Перпендикулярність прямих та площин
Урок: Прямокутний паралелепіпед
Поверхня, складена з двох рівних паралелограмів АВСD і А 1 В 1 С 1 D 1 і чотирьох паралелограмів АВВ 1 А 1 , ВСС 1 В 1 , СDD 1 С 1 , DАА 1 D 1 називається паралелепіпедом(Рис. 1).
Мал. 1 Паралелепіпед
Тобто: маємо два рівні паралелограми АВСD і А 1 В 1 С 1 D 1 (основи), вони лежать у паралельних площинах так, що бічні ребра АА 1 , ВВ 1 , DD 1 , СС 1 паралельні. Таким чином, складена з паралелограмів поверхня називається паралелепіпедом.
Таким чином, поверхня паралелепіпеда - це сума всіх паралелограмів, з яких складений паралелепіпед.
1. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні та рівні.
(Фігури рівні, тобто їх можна поєднати накладенням)
Наприклад:
АВСD = А 1 В 1 З 1 D 1 (рівні паралелограми за визначенням),
АА 1 В 1 В = DD 1 С 1 С (оскільки АА 1 В 1 В і DD 1 С 1 С - протилежні грані паралелепіпеда),
АА 1 D 1 D = ВВ 1 З 1 З (оскільки АА 1 D 1 D і ВВ 1 З 1 З - протилежні грані паралелепіпеда).
2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл.
Діагоналі паралелепіпеда АС 1 , В 1 D, А 1 С, D 1 перетинаються в одній точці О, і кожна діагональ ділиться цією точкою навпіл (рис. 2).
Мал. 2 Діагоналі паралелепіпеда перетинаються і ділитися точкою перетину навпіл.
3. Є три четвірки рівних і паралельних ребер паралелепіпеда: 1 - АВ, А 1 В 1 , D 1 C 1 , DC, 2 - AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, 3 - АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1 .
Визначення. Паралелепіпед називається прямим, якщо його бічні ребра перпендикулярні до основ.
Нехай бічне ребро АА 1 перпендикулярне до основи (рис. 3). Це означає, що пряма АА 1 перпендикулярна до прямих АD і АВ, які лежать у площині основи. Отже, в бічних гранях лежать прямокутники. А в основах лежать довільні паралелограми. Позначимо, ∠BAD = φ, кут φ може бути будь-яким.
Мал. 3 Прямий паралелепіпед
Отже, прямий паралелепіпед - це паралелепіпед, в якому бічні ребра перпендикулярні основ паралелепіпеда.
Визначення. Паралелепіпед називається прямокутним,якщо його бічні ребра перпендикулярні до основи. Основи є прямокутниками.
Паралелепіпед АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 - прямокутний (рис. 4), якщо:
1. АА 1 ⊥ АВСD (бічне ребро перпендикулярно площині основи, тобто паралелепіпед прямої).
2. ∠ВАD = 90°, тобто в основі лежить прямокутник.
Мал. 4 Прямокутний паралелепіпед
Прямокутний паралелепіпед має всі властивості довільного паралелепіпеда.Але є додаткові властивості, що виводяться з визначення прямокутного паралелепіпеда.
Отже, прямокутний паралелепіпед- це паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні до основи. Основа прямокутного паралелепіпеда - прямокутник.
1. У прямокутному паралелепіпеді всі шість граней прямокутники.
АВСD і А 1 В 1 З 1 D 1 - Прямокутники за визначенням.
2. Бічні ребра перпендикулярні до основи. Отже, всі бічні грані прямокутного паралелепіпеда – прямокутники.
3. Усі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.
Розглянемо, наприклад, двогранний кут прямокутного паралелепіпеда з ребром АВ, тобто двогранний кут між площинами АВВ 1 та АВС.
АВ - ребро, точка А 1 лежить в одній площині - у площині АВВ 1, а точка D в іншій - у площині А 1 В 1 З 1 D 1 . Тоді розглянутий двогранний кут можна позначити так: ∠А 1 АВD.
Візьмемо точку А на ребері АВ. АА 1 - перпендикуляр до ребра АВ у площині АВВ-1, AD перпендикуляр до ребра АВ у площині АВС. Отже, ∠А 1 АD – лінійний кут даного двогранного кута. ∠А 1 АD = 90°, отже, двогранний кут при ребері АВ дорівнює 90°.
∠(АВВ 1 , АВС) = ∠(АВ) = ∠А 1 АВD= ∠А 1 АD = 90°.
Аналогічно доводиться, що будь-які двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.
Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.
Примітка. Довжини трьох ребер, що виходять з однієї вершини прямокутного паралелепіпеда, є вимірами прямокутного паралелепіпеда. Їх іноді називають довжина, ширина, висота.
Дано: АВСDА 1 В 1 З 1 D 1 - прямокутний паралелепіпед (рис. 5).
Довести: .
Мал. 5 Прямокутний паралелепіпед
Доведення:
Пряма СС 1 перпендикулярна площині АВС, отже, і прямий АС. Отже, трикутник СС 1 А – прямокутний. За теоремою Піфагора:
Розглянемо прямокутний трикутник АВС. За теоремою Піфагора:
Але ВС та AD - протилежні сторони прямокутника. Значить, НД = AD. Тоді:
Так як , а , то. Оскільки СС 1 = АА 1 , те що потрібно було довести.
Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.
Позначимо виміри паралелепіпеда АВС як a, b, c (див. рис. 6), тоді АС 1 = СА 1 = В 1 D = DВ 1 =
Паралелепіпед - це геометрична фігура, всі 6 граней якої є паралелограми.
Залежно від виду цих паралелограмів розрізняють такі види паралелепіпеда:
- прямий;
- похилий;
- прямокутний.
Прямим паралелепіпедом називають чотирикутну призму, ребра якої складають з площиною основи кут 90°.
Прямокутним паралелепіпедом називають чотирикутну призму, всі грані якої прямокутники. Куб є різновидом чотирикутної призми, у якої всі грані і ребра рівні між собою.
Особливості фігури визначають її властивості. До них відносять 4 наступні твердження:
Запам'ятати всі наведені властивості просто, вони легкі для розуміння та виводяться логічно виходячи з виду та особливостей геометричного тіла. Однак, нехитрі твердження можуть бути неймовірно корисні при вирішенні типових завдань ЄДІ та дозволять заощадити час, необхідний для проходження тесту.
Формули паралелепіпеда
Для пошуку відповідей на поставлене завдання недостатньо знати лише властивості фігури. Також можуть знадобитися деякі формули для знаходження площі та обсягу геометричного тіла.
Площа основ знаходиться так само, як і відповідний показник паралелограма або прямокутника. Вибирати основу паралелограма можна самостійно. Як правило, при вирішенні завдань простіше працювати з призмою, в основі якої лежить прямокутник.
Формула знаходження бічної поверхні паралелепіпеда також може знадобитися в тестових завданнях.
Приклади вирішення типових завдань ЄДІ
Завдання 1.
Дано: прямокутний паралелепіпед з вимірами 3, 4 та 12 см.
Необхіднознайти довжину однієї з головних діагоналей фігури.
Рішення: Будь-яке рішення геометричної задачі має починатися з побудови правильного та чіткого креслення, на якому буде позначено «дано» та шукана величина. На малюнку нижче наведено приклад правильного оформлення умов завдання.
Розглянувши зроблений малюнок і згадавши всі властивості геометричного тіла, приходимо до єдино правильного способу розв'язання. Застосувавши 4 властивість паралелепіпеда, отримаємо наступне вираз:
Після нескладних обчислень отримаємо вираз b2=169, отже, b=13. Відповідь завдання знайдено, на його пошук та креслення необхідно витратити не більше 5 хвилин.
Паралелепіпедом називається чотирикутна призма, в основі якої лежать паралелограми. Висотою паралелепіпеда називають відстань між площинами його основами. На малюнку висота показана відрізком 
. Розрізняють два види паралелепіпедів: прямий та похилий. Як правило, репетитор з математики спочатку дає відповідні визначення призми, а потім переносить їх на паралелепіпед. Ми зробимо також.
Нагадаю, що призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основ, якщо перпендикулярності немає – призму називають похилою. Цю термінологію успадковує і паралелепіпед. 
Прямий паралелепіпед – ні що інше, як різновид прямої призми, бічне ребро якої збігається з висотою. Зберігаються визначення таких понять, як грань, ребро і вершина, що є загальними для сімейства багатогранників. З'являються поняття протилежних граней. У паралелепіпеда 3 пари протилежних граней, 8 вершин ти 12 ребер.
Діагональ паралелепіпеда (діагональ призми) - відрізок, що з'єднує дві вершини багатогранника і не лежить в жодній з його граней.
Діагональний переріз - перетин паралелепіпеда, що проходить через його діагональ і діагональ його основи.
Властивості похилого паралелепіпеда:
1) Усі його грані – паралелограми, а протилежні грані – рівні паралелограми.
2)
Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться в цій точці навпіл.
3)
Кожен паралелепіпед складається із шести рівних за обсягом трикутних пірамід. Щоб показати їх учневі репетитор з математики повинен відрізати від паралелепепеда половинку його діагональним перетином і розбити окремо на 3 піраміди. Їхні підстави повинні лежати в різних гранях вихідного паралелепіпеда. Репетитор математики знайде застосування цієї властивості у аналітичній геометрії. Воно використовується для виведення обсягу піраміди через змішане твір векторів.
Формули об'єму паралелепіпеда:
1) , де - Площа основи, h - Висота.
2) Об'єм паралелепіпеда дорівнює добутку площі поперечного перерізу на бічне ребро.
Репетитор з математики: Як відомо, формула є спільною для всіх призм і якщо репетитор вже довів її, немає сенсу повторювати те саме для паралелепіпеда Однак у роботі з учнем середнього рівня (слабкому формула не знадобиться) викладачеві бажано діяти з точністю до навпаки. Призму дати спокій, а для паралелепіпеда провести акуратний доказ.
3) , де - обсяг однієї з шести трикутних піраміди з яких складається паралелепіпед.
4) Якщо , то
Площею бічної поверхні паралелепіпеда називається сума площ усіх його граней:
Повна поверхня паралелепіпеда – це сума площ всіх його граней, тобто площа + дві площі основи: .
Про роботу репетитора з похилим паралелепіпедом:
Завданнями на похилий паралелепіпед репетитор з математики займається не часто. Імовірність їхньої появи на ЄДІ досить мала, а дидактика непристойно бідна. Більш-менш пристойне завдання на обсяг похилого паралелепіпеда викликає серйозні проблеми, пов'язані з розподілом розташування точки Н - основи його висоти. В цьому випадку репетитору з математики можна порадити обрізати паралелепіпед до однієї з шести його пірамід (про які йдеться у властивості №3), спробувати знайти її обсяг і помножити його на 6.
Якщо бічне ребро паралелепіпеда має рівні кути зі сторонами основи, то Н лежить на бісектрисі кута A основи ABCD. І якщо, наприклад, ABCD – ромб, то
Завдання репетитора з математики:
1) Грані паралелепіпеда рівні роїби зі стороною 2см і гострим кутом. Знайти обсяг паралелепіпеда.
2) У похилому паралелепіпеді бічне ребро дорівнює 5см. Перетин, перпендикулярний йому, є чотирикутником із взаємно перпендикулярними діагоналями, що мають довжини 6см і 8 см. Обчислити об'єм паралелепіпеда.
3) У похилому паралелепіпеді відомо, що , а в онуванням ABCD є ромб зі стороною 2см і кутом . Визначте об'єм паралелепіпеда.
Репетитор з математики Олександр Колпаков