Засноване на їхній основній властивості: якщо чисельник і знаменник дробу розділити на той самий ненульовий багаточлен, то вийде рівний їй дріб.
Скорочувати можна лише множники!
Члени багаточленів скорочувати не можна!
Щоб скоротити алгебраїчну дріб, багаточлени, які стоять у чисельнику і знаменнику, потрібно попередньо розкласти на множники.
Розглянемо приклади скорочення дробів.
У чисельнику та знаменнику дробу стоять одночлени. Вони є твір(чисел, змінних та їх ступенів), множникискорочувати можемо.
Числа скорочуємо на їхній найбільший спільний дільник, тобто на найбільше число, на яке ділиться кожне з цих чисел. Для 24 та 36 це – 12. Після скорочення від 24 залишається 2, від 36 – 3.
Ступені скорочуємо на ступінь із найменшим показником. Скоротити дріб — значить, розділити чисельник і знаменник на той самий дільник, а показники віднімаємо.
a² та a⁷ скорочуємо на a². При цьому в чисельнику від a² залишається одиниця (1 пишемо тільки в тому випадку, коли окрім неї після скорочення інших множників не залишилося. Від 24 залишилося 2, тому 1, що залишилася від a², не пишемо). Від a⁷ після скорочення залишається a⁵.
b та b скорочуємо на b, отримані в результаті одиниці не пишемо.
c³º та с⁵ скорочуємо на с⁵. Від c³º залишається c²⁵, від с⁵ — одиниця (її не пишемо). Таким чином,
Чисельник і знаменник даного дробу алгебри — багаточлени. Скорочувати члени багаточленів не можна! (Не можна скоротити, наприклад, 8x² і 2x!). Щоб скоротити цей дріб, треба . У чисельнику є загальний множник 4x. Виносимо його за дужки:
І в чисельнику, і в знаменнику є однаковий множник (2x-3). Скорочуємо дріб на цей множник. У чисельнику отримали 4x, у знаменнику - 1. По 1 властивості алгебраїчних дробів, дріб дорівнює 4x.
Скорочувати можна тільки множники (скоротити цей дріб на 25x² не можна!). Тому багаточлени, які стоять у чисельнику та знаменнику дробу, потрібно розкласти на множники.
У чисельнику - повний квадрат суми, у знаменнику - різниця квадратів. Після розкладання за формулами скороченого множення отримуємо:
Скорочуємо дріб на (5x+1) (для цього в чисельнику закреслимо двійку у показник ступеня, від (5x+1)² при цьому залишиться (5x+1)):
У чисельнику є загальний множник 2, винесемо його за дужки. У знаменнику - формула різниці кубів:
В результаті розкладання в чисельнику та знаменнику отримали однаковий множник (9+3a+a²). Скорочуємо дріб на нього:
Багаточлен у чисельнику складається з 4 доданків. перший доданок з другим, третє - з четвертим і виносимо з перших дужок загальний множник x². Знаменник розкладаємо за формулою суми кубів:
У чисельнику винесемо за дужки загальний множник (x+2):
Скорочуємо дріб на (x+2):
Щоб зрозуміти, як скорочувати дроби, спочатку розглянемо приклад.
Скоротити дріб - значить, розділити чисельник і знаменник на те саме. І 360, і 420 закінчуються на цифру, тому можемо скоротити цей дріб на 2. У новому дробі і 180, і 210 теж діляться на 2, скорочуємо і цей дріб на 2. У числах 90 і 105 сума цифр ділиться на 3, тому обидва ці числа діляться на 3, скорочуємо дріб на 3. У новому дробі 30 і 35 закінчуються на 0 і 5, значить, обидва числа діляться на 5, тому скорочуємо дріб на 5. Дріб, що вийшов, шість сьомих — нескоротний. Це остаточна відповідь.
До цієї ж відповіді можемо дійти іншим шляхом.
І 360, і 420 закінчуються нулем, отже, вони діляться на 10. Скорочуємо дріб на 10. У новому дробі і чисельник 36, і знаменник 42 діляться на 2. Скорочуємо дріб на 2. У наступному дробі і чисельник 18 і знаменник на 3, отже, скорочуємо дріб на 3. Прийшли до результату – шість сьомих.
І ще один варіант вирішення.
Наступного разу розглянемо приклади скорочення дробів.
У цій статті ми докладно розберемо, як проводиться скорочення дробів. Спочатку обговоримо, що називають скороченням дробу. Після цього поговоримо про приведення скоротливого дробу до нескоротного виду. Далі отримаємо правило скорочення дробів і нарешті розглянемо приклади застосування цього правила.
Навігація на сторінці.
Що означає скоротити дріб?
Ми знаємо, що прості дроби поділяються на скорочені і нескоротні дроби . За назвами можна здогадатися, що скоротити дроби можна скоротити, а нескоротні - не можна.
Що означає скоротити дріб? Скоротити дріб- Це означає розділити її чисельник і знаменник на їх позитивний і відмінний від одиниці. Зрозуміло, що в результаті скорочення дробу виходить новий дріб з меншим чисельником і знаменником, причому в силу основної властивості дробу отриманий дріб дорівнює вихідному.
Наприклад, проведемо скорочення звичайного дробу 8/24 , розділивши його чисельник та знаменник на 2 . Іншими словами, скоротимо дріб 8/24 на 2 . Оскільки 8:2=4 і 24:2=12 , то результаті такого скорочення виходить дріб 4/12 , яка дорівнює вихідної дробу 8/24 (дивіться рівні і нерівні дроби). У результаті маємо.
Приведення звичайних дробів до нескоротного виду
Зазвичай кінцевою метою скорочення дробу є отримання нескоротного дробу, що дорівнює вихідному скорочуваному дробу. Ця мета може бути досягнута, якщо провести скорочення вихідного скоротливого дробу на його чисельник і знаменник. В результаті такого скорочення завжди виходить нескоротний дріб. Дійсно, дріб 
є нескоротною, оскільки відомо, що 
і 
- . Тут же скажемо, що найбільший спільний дільник чисельника та знаменника дробу є найбільшим числом, на яке можна скоротити цей дріб.
Отже, приведення звичайного дробу до нескоротного видуполягає в розподілі чисельника та знаменника вихідного скоротливого дробу на їх НОД.
Розберемо приклад, навіщо повернемося до дробу 8/24 і скоротимо його найбільший загальний дільник чисел 8 і 24 , який дорівнює 8 . Так як 8:8 = 1 і 24:8 = 3, то ми приходимо до нескоротного дробу 1/3. Отже, .
Зауважимо, що під фразою «скоротіть дріб» часто мають на увазі приведення вихідного дробу саме до нескоротного виду. Іншими словами, скороченням дробу дуже часто називають розподіл чисельника і знаменника на їхній найбільший спільний дільник (а не на будь-який їхній спільний дільник).
Як скоротити дріб? Правило та приклади скорочення дробів
Залишилося лише розібрати правило скорочення дробів, яке пояснює, як скоротити цей дріб.
Правило скорочення дробівскладається з двох кроків:
- по-перше, знаходиться НОД чисельника та знаменника дробу;
- по-друге, проводиться розподіл чисельника та знаменника дробу на їх НОД, що дає нескоротний дріб, рівний вихідному.
Розберемо приклад скорочення дробуза озвученим правилом.
приклад.
Скоротіть дріб 182/195.
Рішення.
Виконаємо обидва кроки, вказані правилом скорочення дробу.
Спочатку знаходимо НОД(182, 195). Найбільш зручно скористатися алгоритмом Евкліда (дивіться): 195 = 182 · 1 +13, 182 = 13 · 14, тобто, НОД (182, 195) = 13 .
Тепер ділимо чисельник і знаменник дробу 182/195 на 13 , при цьому отримуємо нескоротний дріб 14/15, який дорівнює вихідному дробу. На цьому скорочення дробу закінчено.
Коротко рішення можна записати так: .
Відповідь:
На цьому із скороченням дробів можна й закінчити. Але для повноти картини розглянемо ще два способи скорочення дробів, які зазвичай застосовують у легких випадках.
Іноді чисельник і знаменник дробу, що скорочується, нескладно. Скоротити дріб у цьому випадку дуже просто: потрібно лише прибрати всі загальні множники з чисельника та знаменника.
Слід зазначити, що це метод безпосередньо випливає з правила скорочення дробів, оскільки добуток всіх загальних простих множників чисельника і знаменника і їх найбільшому загальному дільнику.
Розберемо рішення прикладу.
приклад.
Скоротіть дріб 360/2 940 .
Рішення.
Розкладемо чисельник і знаменник на прості множники: 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 і 2940 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 ? Таким чином, 
.
Тепер позбавляємося загальних множників у чисельнику та знаменнику, для зручності, їх просто закреслюємо: 
.
Нарешті, перемножуємо множники, що залишилися: , і скорочення дробу закінчено.
Ось короткий запис рішення: 
.
Відповідь:
Розглянемо ще один спосіб скорочення дробу, який полягає у послідовному скороченні. Тут на кожному кроці проводиться скорочення дробу на деякий спільний дільник чисельника та знаменника, який або очевидний, або легко визначається за допомогою