Незабутня теорема Піфагора. Квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює суміквадратів його катетів. Тобто прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих з його катетах.
Позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c, а довжини катетів через a та b:
Гіпотенуза- це одна із сторін прямокутного трикутника. Також у цьому трикутнику є два катета.
При цьому гіпотенуза - це сторона, яка знаходиться навпроти прямого кута. А катети – це сторони, які утворюють цей кут.
Відповідно до теореми Піфагора, квадрат гіпотенузи дорівнюватиме сумі квадратів катетів.
Тобто AB = AC + BC.
Також вірне і зворотне твердження - якщо виконується ця рівність у трикутнику, цей трикутник є прямокутним.
Ця властивість допомагає вирішувати чимало геометричних завдань.
Існує і дещо інше формулювання цієї теореми: площа квадрата, який побудований на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.
Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів ... зі школи напам'ять. Це одне з тих правил, які запам'яталися назавжди.)))
Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів
Це точно, що квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Безумовно це нам викладали і що це теорема Піфагора не залишає сумніву, так приємно серед звичайної рутини згадати те, що вчили зовсім давно.
Це залежить від довжини цієї гіпотенузи. Якщо вона дорівнює одному метру, тобто квадрат - один квадратний метр. А якщо вона, наприклад, дорівнює 39,37 дюйма, тобто квадрат дорівнює 1550 квадратних дюймів, тут вже нічого не поробиш.
Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів – теорема Піфагора (до речі, найлегший параграф у підручнику геометрії)
Так, квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Начебто так нас навчали у школі. Скільки років минуло, а ми досі пам'ятаємо цю теорему, яку ми любимо. Напевно, напружитись та довести змогу, як за шкільною програмою.
Ще говорили лічилку Піфагорові штани, на всі боки рівні
Нам вчителька говорила, що якщо ви спите і раптом пожежа - Ви повинні знати теорему Піфагора))) дорівнює сумі квадратів катетів
Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів двох інших сторін трикутника (катетів).
Це можна запам'ятати, а можна раз і назавжди зрозуміти, чому це так.
для початку розглянемо прямокутний трикутник з однаковими катетами і розташуємо його всередині квадрата зі стороною, рівної гіпотенузи.
Площа великого квадрата дорівнюватиме площі чотирьох однакових трикутниківусередині нього.
Швидко все порахуємо та отримаємо потрібний нам результат.
У випадку, якщо катети не однакові, теж все досить просто:
площа великого квадрата дорівнює сумі площ чотирьох однакових трикутників плюс площа квадрата посередині.
Як не крути - завжди отримуємо рівність
сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи.
Одна з найвідоміших у геометрії теорема Піфагора говорить:
Ця теорема стосується прямокутного трикутника, тобто такого, один з кутів якого дорівнює 90 градусів. Сторони прямого кута називаються катетами, а косою – гіпотенузою. Так от, якщо намалювати три квадрати з основою у кожної із сторін трикутника, то площі двох квадратів біля катета дорівнює площі квадрату біля гіпотенузи.
Потенціал до творчості зазвичай приписують гуманітарним дисциплінам, природно науковим залишаючи аналіз, практичний підхіді суха мова формул і цифр. Математику до гуманітарним предметамніяк не віднесеш. Але без творчості в «цариці всіх наук» далеко не поїдеш – про це людям відомо з давніх пір. З часів Піфагора, наприклад.
Шкільні підручники, на жаль, зазвичай не пояснюють, що в математиці важливо не лише зубрити теореми, аксіоми та формули. Важливо розуміти та відчувати її фундаментальні принципи. І при цьому спробувати звільнити свій розум від штампів та абеткових істин – тільки в таких умовах народжуються всі великі відкриття.
До таких відкриттів можна віднести і те, що сьогодні ми знаємо як теорему Піфагора. З його допомогою ми спробуємо показати, що математика не тільки може, а й має бути цікавою. І що ця пригода підходить не тільки ботанікам у товстих окулярах, а всім, хто міцний розумом і сильним духом.
З історії питання
Строго кажучи, хоч теорема і називається «теорема Піфагора», сам Піфагор її не відкривав. Прямокутний трикутникта його особливі властивості вивчалися задовго до нього. Є дві полярні погляди на це питання. За однією версією Піфагор першим знайшов повноцінний доказ теореми. За іншим доказом не належить авторству Піфагора.
Сьогодні вже не перевіриш, хто має рацію, а хто помиляється. Відомо лише, що докази Піфагора, якщо вона будь-коли існувало, не збереглося. Втім, висловлюються припущення, що знаменитий доказ із «Початків» Евкліда може належати Піфагору, і Евклід його тільки зафіксував.
Також сьогодні відомо, що завдання про прямокутний трикутник зустрічаються в єгипетських джерелах часів фараона Аменемхета I, на вавилонських глиняних табличках періоду правління царя Хаммурапі, в давньоіндійському трактаті «Сульва сутра» та давньокитайському творі «Чжоубі-сунь».
Як бачите, теорема Піфагора займала уми математиків з найдавніших часів. Підтвердженням є і близько 367 різноманітних доказів, які існують сьогодні. У цьому з нею не може тягатися жодна інша теорема. Серед знаменитих авторів доказів можна згадати Леонардо да Вінчі та двадцятого президента США Джеймса Гарфілда. Все це говорить про надзвичайну важливість цієї теореми для математики: з неї виводиться або так чи інакше з нею пов'язана більшість теорем геометрії.
Докази теореми Піфагора
У шкільних підручникахв основному наводять докази алгебри. Але суть теореми в геометрії, тож давайте розглянемо насамперед ті докази знаменитої теореми, які спираються на цю науку.
Доказ 1
Для найпростішого доказу теореми Піфагора для прямокутного трикутника потрібно задати ідеальні умови: нехай трикутник буде не тільки прямокутним, а й рівнобедреним. Є підстави вважати, що саме такий трикутник спочатку розглядали математику давнини.
Твердження "квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на його катетах"можна проілюструвати наступним кресленням:
Подивіться на рівнобедрений прямокутний трикутник ABC: На гіпотенузі АС можна побудувати квадрат, що складається з чотирьох трикутників, що дорівнює вихідному АВС. А на катетах АВ і ПС побудовано по квадрату, кожен з яких містить по два аналогічні трикутники.
До речі, це креслення лягло основою численних анекдотів і карикатур, присвячених теоремі Піфагора. Найзнаменитіший, мабуть, це «Піфагорові штани на всі боки рівні»:
Доказ 2
Цей метод поєднує алгебру і геометрію і може розглядатися як варіант давньоіндійського доказу математика Бхаскарі.
Побудуйте прямокутний трикутник зі сторонами a, b і c(Рис.1). Потім збудуйте два квадрати зі сторонами, рівними сумі довжин двох катетів, – (a+b). У кожному із квадратів виконайте побудови, як на рисунках 2 та 3.
У першому квадраті збудуйте чотири таких трикутники, як на малюнку 1. У результаті виходить два квадрати: один зі стороною a, другий зі стороною b.
У другому квадраті чотири побудовані аналогічні трикутники утворюють квадрат зі стороною, що дорівнює гіпотенузі. c.
Сума площ збудованих квадратів на рис.2 дорівнює площі збудованого нами квадрата зі стороною з на рис.3. Це легко перевірити, вирахувавши площі квадратів на рис. 2 за формулою. А площа вписаного квадрата на малюнку 3. шляхом віднімання площ чотирьох рівних між собою вписаних у квадрат прямокутних трикутників із площі великого квадрата зі стороною (a+b).
Записавши все це, маємо: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Розкрийте дужки, проведіть усі необхідні алгебраїчні обчислення та отримайте, що a 2 +b 2 = a 2 +b 2. У цьому площа вписаного на рис.3. квадрата можна обчислити і за традиційною формулою S=c 2. Тобто. a 2 +b 2 =c 2- Ви довели теорему Піфагора.
Доказ 3
Сам же давньоіндійський доказ описаний у XII столітті в трактаті «Вінець знання» («Сіддханта широмані») і як головний аргумент автор використовує заклик, звернений до математичних талантів та спостережливості учнів та послідовників: «Дивись!».
Але ми розберемо цей доказ більш докладно:
Усередині квадрата побудуйте чотири прямокутні трикутники так, як це позначено на кресленні. Сторону великого квадрата, вона ж гіпотенуза, позначимо з. Катети трикутника назвемо аі b. Відповідно до креслення сторона внутрішнього квадрата це (a-b).
Використовуйте формулу площі квадрата S=c 2, щоб обчислити площу зовнішнього квадрата. І одночасно вирахуйте ту ж величину, склавши площу внутрішнього квадрата і площі всіх чотирьох прямокутних трикутників: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.
Ви можете використовувати обидва варіанти обчислення площі квадрата, щоб переконатися, що вони дадуть однаковий результат. І це дає вам право записати, що c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. В результаті рішення ви отримаєте формулу теореми Піфагора c 2 =a 2 +b 2. Теорему доведено.
Доказ 4
Цей цікавий давньокитайський доказ отримав назву «Стілець нареченої» - через схожу на стілець фігуру, яка виходить в результаті всіх побудов:
У ньому використовується креслення, яке ми вже бачили на рис.3 у другому доказі. А внутрішній квадрат зі стороною з побудований так само, як у давньоіндійському доказі, наведеному вище.
Якщо подумки відрізати від креслення на рис.1 два зелені прямокутні трикутники, перенести їх до протилежним сторонамквадрата зі стороною з і гіпотенузами прикласти до гіпотенуз бузкових трикутників, вийде постать під назвою «стілець нареченої» (рис.2). Для наочності можна те саме зробити з паперовими квадратами і трикутниками. Ви переконаєтеся, що «стілець нареченої» утворюють два квадрати: маленькі зі стороною bі великий зі стороною a.
Ці побудови дозволили давньокитайським математикам і нам слідом за ними дійти висновку, що c 2 =a 2 +b 2.
Доказ 5
Це ще один спосіб знайти рішення для теореми Піфагора, спираючись на геометрію. Називається він "Метод Гарфілда".
Побудуйте прямокутний трикутник АВС. Нам треба довести, що НД 2 =АС 2 +АВ 2.
Для цього продовжіть катет АСта побудуйте відрізок CD, який дорівнює катету АВ. Опустіть перпендикулярний ADвідрізок ED. Відрізки EDі АСрівні. З'єднайте точки Еі У, а також Еі Зі отримайте креслення, як на малюнку нижче:
Щоб довести терему, ми знову вдається до вже випробуваного нами способу: знайдемо площу фігури, що вийшла, двома способами і прирівняємо вирази один до одного.
Знайти площу багатокутника ABEDможна, склавши площу трьох трикутників, які її утворюють. Причому один із них, ЄСВ, є не лише прямокутним, а й рівнобедреним. Не забуваємо також, що АВ = CD, АС = EDі ВС = РЄ– це дозволить нам спростити запис та не перевантажувати його. Отже, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.
При цьому очевидно, що ABED- Це трапеція. Тому обчислюємо її площу за формулою: S ABED = (DE + AB) * 1/2AD. Для наших обчислень зручніше та наочніше уявити відрізок ADяк суму відрізків АСі CD.
Запишемо обидва способи обчислити площу фігури, поставивши з-поміж них знак рівності: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Використовуємо вже відому нам і описану вище рівність відрізків, щоб спростити праву частину запису: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(АВ+АС) 2. А тепер розкриємо дужки і перетворюємо рівність: AB*AC+1/2BC 2 =1/2АС 2 +2*1/2(АВ*АС)+1/2АВ 2. Закінчивши всі перетворення, отримаємо саме те, що нам треба: НД 2 =АС 2 +АВ 2. Ми довели теорему.
Звісно, цей список доказів далеко не повний. Теорему Піфагора також можна довести за допомогою векторів, комплексних чисел, диференціальний рівнянь, стереометрії тощо. І навіть фізики: якщо, наприклад, в аналогічних представлених на кресленнях квадратні та трикутні обсяги залити рідину. Переливаючи рідину, можна довести рівність площ і саму теорему у результаті.
Пару слів про Піфагорові трійки
Це питання мало чи взагалі не вивчається у шкільній програмі. А тим часом він є дуже цікавим і має велике значенняу геометрії. Піфагорові трійки застосовуються для вирішення багатьох математичних завдань. Уявлення про них може стати вам у нагоді в подальшому освіті.
То що таке Піфагорові трійки? Так називають натуральні числа, Зібрані по троє, сума квадратів двох з яких дорівнює третьому числу в квадраті.
Піфагорові трійки можуть бути:
- примітивними (всі три числа – взаємно прості);
- не примітивними (якщо кожне число трійки помножити на те саме число, вийде нова трійка, яка не є примітивною).
Ще до нашої ери стародавніх єгиптян заворожувала манія чисел Піфагорових трійок: у завданнях вони розглядали прямокутний трикутник зі сторонами 3,4 та 5 одиниць. До речі, будь-який трикутник, сторони якого дорівнюють числам з піфагорової трійки, за замовчуванням є прямокутним.
Приклади Піфагорових трійок: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 48, 50), (30, 40, 50) і т.д.
Практичне застосування теореми
Теорема Піфагора знаходить застосування у математиці, а й у архітектурі та будівництві, астрономії і навіть літературі.
Спочатку про будівництво: теорема Піфагора знаходить у ньому широке застосування у завданнях різного рівняскладності. Наприклад, подивіться на вікно у романському стилі:
Позначимо ширину вікна як bтоді радіус великого півкола можна позначити як Rі виразити через b: R=b/2. Радіус менших півкола також виразимо через b: r=b/4. У цьому завдання нас цікавить радіус внутрішнього кола вікна (назвемо його p).
Теорема Піфагора якраз і стане в нагоді, щоб обчислити р. Для цього використовуємо прямокутний трикутник, що на малюнку позначений пунктиром. Гіпотенуза трикутника складається із двох радіусів: b/4+p. Один катет є радіусом. b/4, інший b/2-p. Використовуючи теорему Піфагора, запишемо: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Далі розкриємо дужки та отримаємо b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Перетворимо цей вираз на bp/2=b 2 /4-bp. А потім розділимо всі члени на b, наведемо подібні, щоб отримати 3/2*p=b/4. І в результаті знайдемо, що p=b/6- Що нам і потрібно.
За допомогою теореми можна обчислити довжину крокви для двосхилого даху. Визначити, якою висоти вишка мобільного зв'язку потрібна, щоб сигнал досягав певного населеного пункту. І навіть стійко встановити новорічну ялинку на міському майдані. Як бачите, ця теорема живе не лише на сторінках підручників, а й часто буває корисною у реальному житті.
Щодо літератури, то теорема Піфагора надихала письменників з часів античності і продовжує це робити в наш час. Наприклад, німецького письменника ХІХ століття Адельберта фон Шаміссо вона надихнула на написання сонета:
Світло істини розсіється не скоро,
Але, засяявши, розсіється навряд
І, як тисячоліття тому,
Не викликає сумнівів і суперечки.
Наймудріші, коли торкнеться погляду
Світло істини, богів дякують;
І сто биків, заколоті, лежать
Дар у відповідь Пифагора.
З того часу бики відчайдушно ревуть:
Навіки сполошило бичаче плем'я
Подія, згадана тут.
Їм здається: ось-ось настане час,
І знову їх у жертву принесуть
Якийсь великій теоремі.
(Переклад Віктора Топорова)
А в ХХ столітті радянський письменник Євген Велтистов у книзі «Пригоди Електроніка» доказам теореми Піфагора відвів цілий розділ. І ще півголови розповіді про двомірному світі, який міг би існувати, якби теорема Піфагора стала основним законом і навіть релігією окремо взятого світу. Жити в ньому було б набагато простіше, але й набагато нудніше: наприклад, там ніхто не розуміє значення слів «круглий» та «пухнастий».
А ще у книзі «Пригоди Електроніка» автор вустами вчителя математики Таратара каже: «Головне у математиці – рух думки, нові ідеї». Саме цей творчий політ думки породжує теорема Піфагора - не дарма у неї стільки різноманітних доказів. Вона допомагає вийти за межі звичного і на знайомі речі подивитися по-новому.
Висновок
Ця стаття створена, щоб ви могли заглянути за межі шкільної програмиз математики та дізнатися не лише ті докази теореми Піфагора, які наведені у підручниках «Геометрія 7-9» (Л.С. Атанасян, В.М. Руденко) та «Геометрія 7-11» (А.В. Погорєлов), але та інші цікаві способи довести знамениту теорему. А також побачити приклади, як теорема Піфагора може застосовуватись у звичайному житті.
По-перше, ця інформація дозволить вам претендувати на більш високі балина уроках математики – відомості з предмета з додаткових джерелзавжди високо оцінюються.
По-друге, нам хотілося допомогти вам відчути, наскільки математика цікава наука. Переконатися на конкретні приклади, що у ній є місце творчості. Ми сподіваємося, що теорема Піфагора і ця стаття надихнуть вас на самостійні пошукита хвилюючі відкриття в математиці та інших науках.
Розкажіть нам у коментарях, чи здалися вам наведені у статті докази цікавими. Чи знадобилися вам ці відомості у навчанні. Напишіть нам, що думаєте про теорему Піфагора та цю статтю – нам буде приємно обговорити все це з вами.
blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Кожен школяр знає, що квадрат гіпотенузи завжди дорівнює сумі катетів, кожен із яких зведений у квадрат. Ця твердження зветься теореми Піфагора. Вона є однією з найвідоміших теорем тригонометрії та математики в цілому. Розглянемо її докладніше.
Поняття про прямокутний трикутник
Перед тим, як переходити до розгляду теореми Піфагора, в якій квадрат гіпотенузи дорівнює сумі катетів, зведених у квадрат, слід розглянути поняття та властивості прямокутного трикутника, для якого справедлива теорема.
Трикутник - плоска фігура, Що має три кути та три сторони. Прямокутний трикутник, як випливає з його назви, має один прямий кут, тобто цей кут дорівнює 90 o .
З загальних властивостейвсім трикутників відомо, що сума всіх трьох кутів цієї фігури дорівнює 180 o , а це означає, що для прямокутного трикутника сума двох кутів, які не є прямими, становить 180 o - 90 o = 90 o . Останній фактозначає, що будь-який кут прямокутному трикутнику, який не є прямим, буде завжди менше 90 o .
Сторону, яка лежить проти прямого кута, називається гіпотенузою. Дві інші сторони є катетами трикутника, вони можуть бути рівні між собою, а можуть і відрізнятися. З тригонометрії відомо, що чим більший кут, проти якого лежить сторона у трикутнику, тим більша довжина цієї сторони. Це означає, що у прямокутному трикутнику гіпотенуза (лежить проти кута 90 o) буде завжди більше будь-якого з катетів (лежать проти кутів< 90 o).
Математичний запис теореми Піфагора
Ця теорема свідчить, що квадрат гіпотенузи дорівнює сума катетів, кожен з яких попередньо зведений в квадрат. Щоб математично записати це формулювання, розглянемо прямокутний трикутник, у якому сторони a, b та c є двома катетами та гіпотенузою, відповідно. У цьому випадку теорема, яка формулюється, як квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, такою формулою може бути представлена: c 2 = a 2 + b 2 . Звідси можуть бути отримані інші важливі для практики формули: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) та c = √(a 2 + b 2).
Зазначимо, що у разі прямокутного рівностороннього трикутникатобто a = b, формулювання: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі катетів, кожен з яких зведений у квадрат, математично запишеться так: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2 , звідки випливає рівність: c = a√2.
Історична довідка
Теорема Піфагора, яка свідчить, що квадрат гіпотенузи дорівнює сума катетів, кожен з яких зведений у квадрат, була відома задовго до того, коли на неї звернув увагу знаменитий грецький філософ. Багато папірусів Стародавнього Єгипту, і навіть глиняні таблички Вавилонян підтверджують, що це народи використовували зазначене властивість сторін прямокутного трикутника. Наприклад, одна з перших єгипетських пірамід, Піраміда Хефрена, будівництво якої відноситься до XXVI століття до нашої ери (за 2000 років до життя Піфагора), була побудована, виходячи зі знання співвідношення сторін у прямокутному трикутнику 3x4x5.
Чому ж тоді нині теорема носить ім'я грека? Відповідь проста: Піфагор є першим, хто математично довів цю теорему. У вавилонських і єгипетських, що збереглися письмових джерелахйдеться лише про її використання, але не наводиться жодного математичного доказу.
Вважається, що Піфагор довів розглянуту теорему шляхом використання властивостей подібних трикутників, які він отримав, провівши висоту прямокутному трикутнику з кута 90 o до гіпотенузи.
Приклад використання теореми Піфагора
Розглянемо просте завдання: необхідно визначити довжину похилих сходів L, якщо відомо, що вона має висоту H = 3 метри, і відстань від стіни, в яку впираються сходи, до її підніжжя дорівнює P = 2,5 метра.
У даному випадку H і P – це катети, а L – гіпотенуза. Оскільки довжина гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, отримуємо: L 2 = H 2 + P 2 , звідки L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2,5 2) = 3,905 метра або 3 м і 90, 5 див.
Теорема Піфагора
Аналогічно, трикутник CBH подібний до ABC. Ввівши позначення 
1. Розташуємо чотири рівні прямокутні трикутники так, як показано на малюнку. 
Ідея доказу Евкліда полягає в наступному: спробуємо довести, що половина площі квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, а тоді площі великого і двох малих квадратів рівні. Розглянемо креслення зліва. На ньому ми побудували квадрати на сторонах прямокутного трикутника і провели з вершини прямого кута С промінь перпендикулярно до гіпотенузи AB, він розсікає квадрат ABIK, побудований на гіпотенузі, на два прямокутники - BHJI і HAKJ відповідно. Виявляється, що площі даних прямокутників точно рівні площам квадратів, побудованих на відповідних катетах. Спробуємо довести, що площа квадрата DECA дорівнює площі прямокутника AHJK Для цього скористаємося допоміжним спостереженням: Площа трикутника з тією самою висотою та основою, що і 
Розглянемо креслення, як видно з симетрії, відрізок CI розсікає квадрат ABHJ на дві однакові частини (бо Переконайтеся, що цей трикутник є прямокутним, оскільки теорема Піфагора застосовна тільки до прямокутних трикутників. У прямокутних трикутниках один із трьох кутів завжди дорівнює 90 градусам.
- Прямий кут прямокутному трикутнику позначається значком у вигляді квадрата, а не у вигляді кривої, яка позначає непрямі кути.
Позначте сторони трикутника.Катети позначте як "а" і "b" (катети - сторони, що перетинаються під прямим кутом), а гіпотенузу - як "с" (гіпотенуза - сама велика сторонапрямокутного трикутника, що лежить навпроти прямого кута).
Визначте, яку сторону трикутника потрібно знайти.Теорема Піфагора дозволяє знайти будь-яку сторону прямокутного трикутника (якщо відомі дві інші сторони). Визначте, яку сторону (a, b, c) потрібно знайти.
- Наприклад, дана гіпотенуза, що дорівнює 5, і дано катет, що дорівнює 3. У цьому випадку необхідно знайти другий катет. Ми повернемося до цього прикладу пізніше.
- Якщо дві інші сторони невідомі, необхідно знайти довжину однієї з невідомих сторін, щоб мати можливість застосувати теорему Піфагора. Для цього використовуйте основні тригонометричні функції(якщо вам надано значення одного з непрямих кутів).
Підставте у формулу a 2 + b 2 = c 2 дані значення (або знайдені вами значення).Пам'ятайте, що a та b – це катети, а с – це гіпотенуза.
- У прикладі напишіть: 3² + b² = 5².
Зведіть у квадрат кожну відому сторону.Або ж залиште ступеня – ви можете звести числа у квадрат пізніше.
- У прикладі напишіть: 9 + b² = 25.
Відокремте невідомий бікз одного боку рівняння.Для цього перенесіть відомі значенняна інший бік рівняння. Якщо ви знаходите гіпотенузу, то в теоремі Піфагора вона вже відокремлена з одного боку рівняння (тому робити нічого не потрібно).
- У нашому прикладі перенесіть 9 на правий бікрівняння, щоб відокремити невідоме b². Ви отримаєте b? = 16.
Вийміть квадратний коріньз обох частин рівняння після того, як на одній стороні рівняння є невідоме (у квадраті), а на іншій стороні – вільний член (число).
- У нашому прикладі b² = 16. Вийміть квадратний корінь з обох частин рівняння та отримайте b = 4. Таким чином, другий катет дорівнює 4.
Використовуйте теорему Піфагора в повсякденному житті, так як її можна застосовувати в великому числіпрактичних ситуацій. Для цього навчитеся розпізнавати прямокутні трикутники у повсякденному житті – у будь-якій ситуації, в якій два предмети (або лінії) перетинаються під прямим кутом, а третій предмет (або лінія) з'єднує (по діагоналі) верхівки двох перших предметів (або ліній), ви можете використовувати теорему Піфагора, щоб знайти невідому сторону (якщо дві інші сторони відомі).
- Приклад: дані сходи, притулені до будівлі. Нижня частинасходи розташовані за 5 метрів від основи стіни. Верхня частинасходи розташовані за 20 метрів від землі (вгору по стіні). Яка довжина сходів?
- "за 5 метрів від основи стіни" означає, що а = 5; «знаходиться в 20 метрах від землі» означає, що b = 20 (тобто вам дано два катети прямокутного трикутника, оскільки стіна будівлі та поверхня Землі перетинаються під прямим кутом). Довжина сходів є довжиною гіпотенузи, яка невідома.
- a² + b² = c²
- (5)² + (20)² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- з = √425
- з = 20,6. Таким чином, приблизна довжина сходів дорівнює 206 метрів.
- "за 5 метрів від основи стіни" означає, що а = 5; «знаходиться в 20 метрах від землі» означає, що b = 20 (тобто вам дано два катети прямокутного трикутника, оскільки стіна будівлі та поверхня Землі перетинаються під прямим кутом). Довжина сходів є довжиною гіпотенузи, яка невідома.