Геометрія – наука не проста. Вона може стати в нагоді як для шкільної програми, так і в реальному житті. Знання багатьох формул та теорем спростить геометричні обчислення. Одна з найпростіших фігур у геометрії – це трикутник. Один із різновидів трикутників, рівносторонній, має свої особливості.
Особливості рівностороннього трикутника
Згідно з визначенням, трикутник – це багатогранник, який має три кути та три сторони. Це пласка двовимірна фігура, її властивості вивчаються у середній школі. За типом кута розрізняють гострокутні, тупокутні та прямокутні трикутники. Прямокутний трикутник – така геометрична фігура, де один із кутів дорівнює 90º. Такий трикутник має два катети (вони створюють прямий кут), і одну гіпотенузу (вона знаходиться навпроти прямого кута). Залежно від цього, які величини відомі, існує три простих способу обчислити гіпотенузу прямокутного трикутника.
Перший спосіб знайти гіпотенузу прямокутного трикутника. теорема Піфагора
Теорема Піфагора - найдавніший спосіб обчислити будь-яку зі сторін прямокутного трикутника. Звучить вона так: "У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів". Таким чином, щоб обчислити гіпотенузу, слід вивести квадратний корінь із суми двох катетів у квадраті. Для наочності наведені формули та схема.
Другий спосіб. Обчислення гіпотенузи за допомогою 2-х відомих величин: катета та прилеглого кута
Одна з властивостей прямокутного трикутника свідчить, що відношення довжини катета до довжини гіпотенузи, рівносильне косинусу кута між етичним катетом і гіпотенузою. Назвемо відомий нам кут α. Тепер завдяки відомому визначенню можна легко сформулювати формулу для обчислення гіпотенузи: Гіпотенуза = катет/cos(α)
Третій спосіб. Обчислення гіпотенузи за допомогою 2х відомих величин: катета та протилежного кута
Якщо відомий протилежний кут, можна знову скористатися властивостями прямокутного трикутника. Відношення довжини катета та гіпотенузи рівносильне синусу протилежного кута. Знову назвемо відомий кут α. Тепер для обчислень застосуємо трохи іншу формулу:
Гіпотенуза = катет/sin (α)
Приклади, які допоможуть розібратися з формулами
Для більш глибокого розуміння кожної з формул слід розглянути наочні приклади. Отже, припустимо, дано прямокутний трикутник, де є такі дані:
- Катет – 8 см.
- Прилеглий кут cosα1 – 0.8.
- Протилежний кут sinα2 – 0.8.
По теоремі Піфагора: Гіпотенуза = корінь квадратний (36 + 64) = 10 см.
За величиною катета та прилеглого кута: 8/0.8 = 10 см.
За величиною катета та протилежного кута: 8/0.8 = 10 см.
Розібравшись у формулі, можна легко обчислити гіпотенузу з будь-якими даними.
Відео: Теорема Піфагора
«А нам кажуть, що катет коротший за гіпотенузу…» Ці рядки з відомої пісні, яка звучала у художньому фільмі «Пригоди електроніка» справді вірні за геометрією Евкліда. Адже катети – це дві сторони, що утворюють кут, градусний захід якого дорівнює 90 градусам. А гіпотенуза - найдовша «натягнута» сторона, яка з'єднує два перпендикулярні один одному катета, і лежить протилежно прямому куту. Саме тому знайти гіпотенузу за катетами можна тільки у прямокутному трикутнику, і якби катет був довшим за гіпотенузу, то такий трикутник би не існував.
Як знайти гіпотенузу по теоремі Піфагора, якщо відомі обидва катеты
Теорема свідчить, що квадрат гіпотенузи – це ні що інше, як сума квадратів катетів: x^2+y^2=z^2, де:
- х – перший катет;
- y – другий катет;
- z – гіпотенуза.
Але потрібно знайти просто гіпотенузу, а не її квадрат. Для цього вийміть корінь.
Алгоритм знаходження гіпотенузи за двома відомими катетами:
- Позначте собі, де катети, а де гіпотенуза.
- Зведіть перший катет у квадрат.
- Зведіть другий катет у квадрат.
- Складіть отримані величини.
- Вийміть корінь із числа, отриманого у пункті 4.
Як знайти гіпотенузу через синус, якщо відомий катет і гострий кут, що лежить проти нього
Відношення відомого катета до гострого кута, що лежить проти нього, дорівнює величині гіпотенузи: a/sin A = c. Це наслідок визначення синуса:
Відношення протилежного катета до гіпотенузи: sin А = а/с де:
- a – перший катет;
- A – гострий кут, протилежний катету;
- c-гіпотенуза.
Алгоритм знаходження гіпотенузи з теореми синусів:
- Позначте собі відомий катет і протилежний йому кут.
- Розділіть катет на протилежний кут.
- Отримайте гіпотенузу.
Як знайти гіпотенузу через косинус, якщо відомий катет і гострий кут, прилеглий йому
Відношення відомого катета до гострого прилеглого кута дорівнює величині гіпотенузи a/cos B = c. Це наслідок визначення косинуса: відношення прилеглого катета до гіпотенузи: cos B= a/с, де:
- a – другий катет;
- B – гострий кут, що належить другому катету;
- с-гіпотенуза.
Алгоритм знаходження гіпотенузи за теоремою косінусів:
- Позначте собі відомий катет і прилеглий йому кут.
- Розділіть катет на кут.
- Отримайте гіпотенузу.
Як знайти гіпотенузу за допомогою «єгипетського трикутника»
"Єгипетський трикутник" - це трійка чисел, знаючи які ви зможете заощадити час для знаходження гіпотенузи або навіть іншого невідомого катета. Трикутник має таку назву, тому що в Єгипті деякі числа символізували Богів і були основою при будові пірамід та інших споруд.
- Перша трійка чисел: 3-4-5. Катети тут дорівнюють 3 і 4. Тоді гіпотенуза обов'язково дорівнюватиме 5. Перевірка: (9+16=25).
- Друга трійка чисел: 5-12-13. Тут також катети дорівнюють 5 і 12. Отже, гіпотенуза дорівнюватиме 13. Перевірка: (25+144=169).
Такі числа допомагають навіть тоді, коли вони розділені чи помножені на якесь одне число. Якщо катети дорівнюють 3 і 4, то гіпотенуза дорівнюватиме 5. Якщо помножити ці числа на 2, то і гіпотенуза помножиться на 2. Наприклад, трійка чисел 6-8-10 також підходитиме під теорему Піфагора і можна не вираховувати гіпотенузу, якщо ви запам'ятайте такі трійки чисел. 
Таким чином, знайти гіпотенузу за відомими катетами можна 4 способами. Найоптимальнішим варіантом є теорема Піфагора, але також не завадило б запам'ятати і трійки чисел, які становлять "єгипетський трикутник", адже ви зможете заощадити багато часу, якщо вам трапляться такі значення.
Серед численних розрахунків, що виробляються для обчислення тих чи інших різних величин є знаходження гіпотенузи трикутника. Нагадаємо, що трикутником називається багатогранник, що має три кути. Нижче буде наведено кілька способів розрахунку гіпотенузи різних трикутників.
Спочатку подивимося, як знайти гіпотенузу прямокутного трикутника. Для тих, хто призабув, прямокутним називається трикутник, що має кут 90 градусів. Сторона трикутника, розташована на протилежному боці прямого кута, називається гіпотенузою. До того ж, вона є найдовшою стороною трикутника. Залежно від відомих величин довжина гіпотенузи розраховується так:
- Відомі довжини катетів. Гіпотенуза у разі обчислюється, використовуючи теорему Піфагора, яка звучить так: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Якщо розглянути прямокутний трикутник BKF, де BK і KF катети, а FB - гіпотенуза, FB2 = BK2 + KF2. Зі сказаного вище, що з розрахунку довжини гіпотенузи потрібно звести по черзі в квадрат кожну з величин катетів. Потім скласти повчені цифри та з результату витягти квадратний корінь.
Розглянемо приклад: Даний трикутник із прямим кутом. Один катет дорівнює 3 див, інший 4див. Знайти гіпотенузу. Рішення виглядає так.
FB2 = BK2 + KF2 = (3см) 2 + (4см) 2 = 9см2 + 16см2 = 25 см2. Виймаємо та отримуємо FB=5см.
- Відомий катет (BK) та кут, що прилягає до нього, який утворюється гіпотенузою та цим катетом. Як знайти гіпотенузу трикутника? Позначимо відомий кут α. Згідно з властивістю, яка говорить, що відношення довжини катета до довжини гіпотенузи дорівнює косинусу кута між цим катетом і гіпотенузою. Розглядаючи трикутник, це можна записати так: FB= BK*cos(α).
- Відомий катет (KF) і той самий кут α, тільки тепер він буде протилежним. Як знайти гіпотенузу у цьому випадку? Звернемося до тих самих властивостей прямокутного трикутника і дізнаємося, що відношення довжини катета до довжини гіпотенузи дорівнює синусу кута, що протилежить катету. Тобто FB = KF * sin (?).
Розглянемо з прикладу. Даний той самий прямокутний трикутник BKF з гіпотенузою FB. Нехай кут F дорівнює 30 градусів, другий кут B відповідає 60 градусів. Ще відомий катет BK, довжина якого відповідає 8 см. Обчислити потрібну величину можна так:
FB = BK / cos60 = 8 см.
FB = BK / sin30 = 8 см.
- Відомий (R), описаної біля трикутника з прямим кутом. Як знайти гіпотенузу під час розгляду такого завдання? З властивості кола, описаного навколо трикутника з прямим кутом відомо, що центр такого кола збігається з точкою гіпотенузи, що розділяє її навпіл. Простими словами – радіус відповідає половині гіпотенузи. Звідси гіпотенуза дорівнює двом радіусам. FB = 2 * R. Якщо ж дана аналогічна задача, в якій відомий не радіус, а медіана, слід звернути увагу на властивість кола, описаного навколо трикутника з прямим кутом, яке говорить, що радіус дорівнює медіані, проведеної до гіпотенузи. Використовуючи ці властивості, завдання вирішується у такий самий спосіб.
Якщо стоїть питання, як знайти гіпотенузу рівнобедреного прямокутного трикутника, необхідно звернутися все до тієї ж теореми Піфагора. Але в першу чергу пригадаємо, що рівнобедреним трикутником є трикутник, що має дві однакові сторони. У випадку прямокутного трикутника однаковими сторонами є катети. Маємо FB2= BK2+ KF2, але, оскільки BK= KF маємо таке: FB2=2 BK2, FB= BK√2
Як бачите, знаючи теорему Піфагора та властивості прямокутного трикутника, вирішити задачі, при яких необхідно обчислити довжину гіпотенузи, дуже просто. Якщо всі властивості запам'ятати складно, вивчіть готові формули, підставивши які відомі значення можна буде розрахувати шукану довжину гіпотенузи.
Інструкція
Відео на тему
Зверніть увагу
При розрахунку сторін прямокутного трикутника може зіграти знання його ознак:
1) Якщо катет прямого кута лежить навпроти кута 30 градусів, він дорівнює половині гіпотенузи;
2) Гіпотенуза завжди довша за будь-який з катетів;
3) Якщо навколо прямокутного трикутника описано коло, то його центр має лежати в середині гіпотенузи.
Гіпотенузою називається сторона у прямокутному трикутнику, яка знаходиться навпроти кута 90 градусів. Щоб розрахувати його довжину, достатньо знати довжину одного з катетів і величину одного з гострих кутів трикутника.
Інструкція
Нехай нам відомий один із катетів і прилеглий до нього кут. Для певності нехай це катет |AB| та кут α. Тоді ми можемо скористатися формулою для тригонометричної косинус – косинус щодо прилеглого катета до . Тобто. у наших позначеннях cos α = | AB | / | AC |. Звідси отримуємо довжину гіпотенузи | AC | = | AB | / cos α.
Якщо нам відомі катет |BC| та кут α, то скористаємося формулою для обчислення синуса кута – синус кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи: sin α = |BC| / | AC |. Отримуємо, що довжина гіпотенузи як |AC| = | BC | / cos α.
Для наочності розглянемо приклад. Нехай дана довжина катета | AB | = 15. І кут α = 60 °. Отримуємо |AC| = 15 / cos 60 ° = 15 / 0.5 = 30.
Розглянемо як можна перевірити свій результат за допомогою теореми Піфагора. І тому необхідно порахувати довжину другого катета |BC|. Скориставшись формулою для тангенсу кута tg = |BC| / | AC |, отримуємо | BC | = | AB | * tg α = 15 * tg 60 ° = 15 * √3. Далі застосовуємо теорему Піфагора, отримуємо 15^2+(15*√3)^2=30^2=>225+675=900. Перевірка виконана.
Корисна порада
Розрахувавши гіпотенузу, виконуйте перевірку – чи задовольняє отримане значення теоремі Піфагора.
Джерела:
- Таблиця простих чисел від 1 до 10 000
Катетаминазивають дві короткі сторони прямокутного трикутника, що становлять ту його вершину, величина якої дорівнює 90°. Третю сторону у такому трикутнику називають гіпотенузою. Всі ці сторони та кути трикутника пов'язані між собою певними співвідношеннями, які дозволяють обчислити довжину катета, якщо відомо кілька інших параметрів.
Інструкція
Використовуйте теорему Піфагора для катета (A), якщо відома довжина двох інших сторін (B і C) прямокутного трикутника. Ця теорема стверджує, що сума зведених у квадрат довжин катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. З цього випливає, що довжина кожного з катетів дорівнює квадратному кореню з довжин гіпотенузи та другого катета: A=√(C²-B²).
Скористайтеся визначенням прямої тригонометричної функції «синус» для гострого кута, якщо відома величина кута (α), що лежить навпроти катета, що обчислюється, і довжина гіпотенузи (C). Це стверджує, що синус цього відомого відношенню довжини шуканого катета до довжини гіпотенузи. Це те, що довжина шуканого катета дорівнює добутку довжини гіпотенузи на синус відомого кута: A=C∗sin(α). Для цих відомих величин можна використовувати і косеканс і розрахувати потрібну довжину, розділивши довжину гіпотенузи на косеканс відомого кута A=C/cosec(α).
Визначте пряму тригонометричну функцію косинус, якщо крім довжини гіпотенузи (C) відома і величина гострого кута (β), прилеглого до шуканого . Косинус цього кута як співвідношення довжин шуканого катета і гіпотенузи, та якщо можна висновок, що довжина катета дорівнює добутку довжини гіпотенузи на косинус відомого кута: A=C∗cos(β). Можна скористатися визначенням функції секанс та обчислити потрібне значення, розділивши довжину гіпотенузи на секанс відомого кута A=C/sec(β).
Виведіть потрібну формулу з аналогічного визначення для похідної тригонометричної функції тангенс, якщо крім величини гострого кута (α), що лежить навпроти катета (A), що шукається, відома довжина другого катета (B). Тангенсом протилежного шуканому катету кута відношення довжини цього катета до довжини другого катета. Отже, шукана величина дорівнюватиме добутку довжини відомого катета на тангенс відомого кута: A=B∗tg(α). З цих відомих величин можна вивести й іншу формулу, якщо скористатися визначенням функції котангенс. У цьому випадку для обчислення довжини катета треба буде знайти співвідношення довжини відомого катета до котангенсу відомого кута: A=B/ctg(α).
Відео на тему
Слово «катет» прийшло в російську мову з грецької. У точному перекладі воно означає виска, тобто перпендикуляр до землі. У математиці катетами називаються сторони, що утворюють прямий кут прямокутного трикутника. Протилежна цьому кутку сторона називається гіпотенузою. Термін «катет» застосовується також в архітектурі та технології зварювальних робіт.
Секанс даного кута виходить при розподілі гіпотенузи на катет, тобто secCAB=c/b. Виходить величина, зворотна косинус, тобто виразити її можна за формулою secCAB=1/cosSAB.
Косеканс дорівнює частці від поділу гіпотенузи на протилежний катет і це величина, зворотна синусу. Вона може бути розрахована за формулою cosecCAB=1/sinCAB
Обидва катета пов'язані між собою та котангенсом. В даному випадку тангенсом буде відношення сторони a до сторони b, тобто катета, що протилежить до прилеглого. Це відношення може бути виражене формулою tgCAB=a/b. Відповідно, зворотним ставленням буде котангенс: ctgCAB=b/a.
Співвідношення між розмірами гіпотенузи та обох катетів визначив ще давньогрецький Піфагор. Теорема, його ім'я, люди користуються досі. Вона свідчить, що квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, тобто с2 = a2 + b2. Відповідно, кожен катет дорівнюватиме квадратному кореню з різниці квадратів гіпотенузи та іншого катета. Цю формулу можна записати як b = √ (с2-а2).
Довжину катета можна виразити і через відомі вам співвідношення. Згідно з теоремами синусів і косінусів, катет дорівнює добутку гіпотенузи на одну з цих функцій. Можна його висловити і чи котангенс. Катету можна знайти, наприклад, за формулою a = b*tan CAB. Точно так само, залежно від заданих тангенса або , визначається і другий катет.
В архітектурі також використовується термін "катет". Він застосовується по відношенню до іонічної капітелі та виска через середину її задка. Тобто і в цьому випадку цим терміном є перпендикуляр до заданої лінії.
У технології зварювальних робіт є "катет кутового шва". Як і в інших випадках, це найкоротша відстань. Тут йдеться про проміжок між однією з деталей, що зварюються, до межі шва, що знаходиться на поверхні іншої деталі.
Відео на тему
Джерела:
- що таке катет та гіпотенуза у 2019
У перекладі з грецької мови, гіпотенуза означає «натягнутий». Для правильного розуміння уявіть собі тятиву цибулі, яка з'єднує два кінці гнучкої палиці. Ось також і у прямокутному трикутнику, найбільшою за довжиною стороною, є гіпотенуза, що лежить проти прямого кута. Вона виступає з'єднувачем двох інших сторін, іменованих катетами. Щоб дізнатися, яка ж довжина цієї «тітьови», необхідно мати значення довжин катетів, або величину двох гострих кутів. Комбінуючи ці дані, можна вирахувати за допомогою формул потрібне значення.
Як знайти гіпотенузу з катетів
Найпростіший спосіб розрахунку, якщо ви знаєте величину двох катетів (позначимо один А, другий). На допомогу приходить сам Піфагор та його всесвітньо відома теорема. Вона розповідає нам, що й звести довжину катетів у квадрат і скласти пораховані значення, то результаті ми дізнаємося значення довжини гіпотенузи зведене в квадрат. З наведеного вище зробимо висновок: для знаходження величини гіпотенузи необхідно витягти квадратний корінь із загальної суми квадратів катетів С=√(А²+В²). Приклад: катет А=10 см, катет В=20 см. Гіпотенуза при цьому дорівнює 22,36 см. Розрахунок відбувається так: √(10²+20²)=√(100+400)= √500≈22,36.
Як знайти гіпотенузу через кут
Дещо складніше розрахувати довжину гіпотенузи через заданий кут. Якщо ви знаєте розмір одного з двох катетів (позначимо А) та величину кута (позначимо α), що лежить навпроти нього, то розмір гіпотенузи знаходиться за допомогою тригонометрії, а конкретно – синуса. Все, що потрібно зробити, це розділити значення відомого катета на синус кута. З=А/sin(?). Приклад: довжина катета А=30 див, кут навпроти нього 45°, гіпотенуза у своїй буде 42,25 див. Розрахунок відбувається так: 30/sin(45°)=30/0,71=42,25.
Ще один спосіб – знайти розмір гіпотенузи через косинус. Він застосовується якщо вам відомий розмір катета (позначимо В) та гострого кута (позначимо α), що прилягає до нього. Все, що потрібно зробити, це розділити значення катета на синус кута. С=В/cos(?). Приклад: довжина катета = 30 см, кут навпроти нього 45 °, гіпотенуза при цьому буде 42,25 см. Розрахунок відбувається так: 30 / cos (45 °) = 30/0,71 = 42,25.
Як знайти гіпотенузу рівнобедреного прямокутного трикутника
Будь-який школяр, який себе поважає, знає, що трикутник рівнобедрений, за умови, що дві з трьох сторін рівні між собою. Ці сторони називаються бічними, а що залишається - основою. Якщо ж один із кутів дорівнює 90°, то перед вами рівнобедрений прямокутний трикутник.
Щоб знайти гіпотенузу в такому трикутнику, просто, адже він має кілька властивостей, які допоможуть. Вугілля, що прилягає до основи, однакове за значенням, загальна сума значень кутів дорівнює 180°. Це означає, що прямий кут лежить навпроти основи, значить основа – гіпотенуза, катетами є бічні сторони.