Визначення паралельних прямих паралельних відрізків. Паралельні прямі

Поняття паралельних прямих

Визначення 1

Паралельні прямі- Прямі, які лежать в одній площині, не збігаються і не мають загальних точок.

Якщо прямі мають спільну точку, тоді вони перетинаються.

Якщо всі точки прямих збігаються, то маємо насправді одну пряму.

Якщо прямі лежать у різних площинах, то умов їхньої паралельності дещо більше.

При розгляді прямих однією площині можна дати таке визначення:

Визначення 2

Дві прямі на площині називають паралельнимиякщо вони не перетинаються.

У математиці паралельні прямі прийнято позначати за допомогою знака паралельності $$parallel$. Наприклад, той факт, що пряма $c$ паралельна прямій $d$ позначається так:

$c \parallel d$.

Найчастіше розглядається поняття паралельних відрізків.

Визначення 3

Два відрізки називають паралельнимиякщо вони лежать на паралельних прямих.

Наприклад, малюнку паралельними є відрізки $AB$ і $CD$, т.к. вони належать паралельним прямим:

$AB \parallel CD$.

Разом про те, відрізки $MN$ і $AB$ чи $МN$ і $CD$ паралельними є. Цей факт можна записати за допомогою символів таким чином:

$MN ∦ AB$ і $MN ∦ CD$.

Аналогічним чином визначається паралельність прямої та відрізка, прямої та променя, відрізка та променя або двох променів.

Історична довідка

З грецької мовипоняття «паралелос» перекладається «що йде поруч» або «проведений один біля одного». Цей термін використовувався у давній школі Піфагора ще до того, як паралельні прямі отримали своє визначення. Згідно історичним фактамЕвклідом у $III$ ст. до н. в його працях все ж таки було розкрито сенс поняття паралельних прямих.

У давнину знак для позначення паралельних прямих мав відмінний вигляд того, що ми використовуємо в сучасної математики. Наприклад, давньогрецьким математиком Паппом у $ III $ ст. н.е. паралельність позначалася з допомогою знака рівності. Тобто. той факт, що пряма $l$ паралельна до прямої $m$ раніше позначався «$l=m$». Пізніше для позначення паралельності прямих стали використовувати звичний знак «$\parallel$, а знак рівності стали використовувати для позначення рівності чисел і виразів.

Паралельні прямі у житті

Найчастіше ми не помічаємо, що у звичайному житті нас оточує величезна кількість паралельних прямих. Наприклад, у нотному зошиті та збірці пісень з нотами нотний стан виконаний за допомогою паралельних ліній. Також паралельні лініїзустрічаються і в музичні інструменти(Наприклад, струни арфи, гітари, клавіші фортепіано і т.п.).

Електричні дроти, які розташовані вздовж вулиць та доріг, також проходять паралельно. Рейки ліній метро та залізницьрозташовуються паралельно.

Крім побуту паралельні лінії можна зустріти в живописі, архітектурі, при будівництві будівель.

Паралельні прямі в архітектурі

На представлених зображеннях архітектурні споруди містять паралельні прямі. Використання паралельності прямих у будівництві допомагає збільшити термін служби таких споруд та надає їм надзвичайної краси, привабливості та величі. Лінії електропередач також навмисне проводяться паралельно, щоб уникнути їх перетину або дотику, що призвело б до замикання, перебоїв та відсутності електрики. Щоб поїзд міг безперешкодно пересуватися рейки, також виконані паралельними лініями.

У живопису паралельні лінії зображають такими, що зводяться в одну лінію або близькими до того. Такий прийом називається перспективою, яка випливає з ілюзії зору. Якщо довго дивитися вдалину, то паралельні прямі будуть схожі на дві лінії, що сходяться.

Вони не перетинаються, хоч би скільки їх продовжували. Паралельність прямих на листі позначають так: AB|| ЗE

Можливість існування таких прямих доводиться теоремою.

Теорема.

Через будь-яку точку, взяту поза цією прямою, можна провести паралельну цій прямій.

Нехай ABдана пряма і Зякась точка, взята поза нею. Потрібно довести, що через Зможна провести пряму, паралельнуAB. Опустимо на ABз точки З перпендикулярЗDі потім проведемо ЗE^ ЗDщо можливо. Пряма CEпаралельна AB.

Для доказу припустимо неприємне, тобто, що CEперетинається з ABв деякій точці M. Тоді з точки Mдо прямої ЗDми мали б два різні перпендикуляри MDі MСщо неможливо. Значить, CEне може перетнутися з AB, тобто. ЗEпаралельна AB.

Слідство.

Два перпендикуляри (СEіDB) до однієї прямої (СD) паралельні.

Аксіома паралельних ліній.

Через ту саму точку не можна провести двох різних прямих, паралельних однієї й тієї ж прямий.

Так, якщо пряма ЗD, проведена через точку Зпаралельна прямий AB, то будь-яка інша пряма ЗE, проведена через ту саму точку З, не може бути паралельна AB, тобто. вона при продовженні перетнетьсяз AB.

Доказ цієї цілком очевидної істини виявляється неможливим. Її приймають без доказу як необхідне припущення (postulatum).

Наслідки.

1. Якщо пряма(ЗE) перетинається з однією з паралельних(СВ), то вона перетинається і з іншого ( AB), тому що в в іншому випадкучерез одну й ту саму точку Зпроходили б дві різні прямі, паралельні ABщо неможливо.

2. Якщо кожна з двох прямих (AіB) паралельні одній і тій же третій прямій ( З) , то вони паралельніміж собою.

Справді, якщо припустити, що Aі Bперетинаються в деякій точці M, то тоді через цю точку проходили б дві різні прямі, паралельні Зщо неможливо.

Теорема.

Якщо пряма перпендикулярнадо однієї з паралельних прямих, вона перпендикулярна і до іншої паралельною.

Нехай AB || ЗDі EF ^ AB. Потрібно довести, що EF ^ ЗD.

ПерпендикулярEF, перетинаючи з AB, неодмінно перетне і ЗD. Нехай точка перетину буде H.

Припустимо тепер, що ЗDне перпендикулярна до EH. Тоді якась інша пряма, наприклад HK, буде перпендикулярна до EHі, отже через ту саму точку Hпроходитимуть дві прямі паралельні AB: одна ЗD, за умовою, а інша HKза доведеним раніше. Так як це неможливо, то не можна припустити, що СВбула не перпендикулярна до EH.

1. Якщо дві прямі паралельні третій прямий, то вони є паралельними:

Якщо a||cі b||c, то a||b.

2. Якщо дві прямі перпендикулярні до третьої прямої, то вони паралельні:

Якщо a⊥cі b⊥c, то a||b.

Інші ознаки паралельності прямих засновані на кутах, що утворюються при перетині двох прямих третьої.

3. Якщо сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то прямі паралельні:

Якщо ∠1 + ∠2 = 180°, то a||b.

4. Якщо відповідні кути рівні, то прямі паралельні:

Якщо ∠2 = ∠4, то a||b.

5. Якщо внутрішні навхрест лежачі кути рівні, то прямі паралельні:

Якщо ∠1 = ∠3, то a||b.

Властивості паралельних прямих

Твердження, обернені ознаками паралельності прямих, є їх властивостями. Вони засновані на властивостях кутів, утворених перетиномдвох паралельних прямих третьої прямої.

1. При перетині двох паралельних прямих третьої прямої сума утворених ними внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°:

Якщо a||b, то ∠1 + ∠2 = 180 °.

2. При перетині двох паралельних прямих третьої прямої, утворені ними відповідні кути рівні:

Якщо a||b, то ∠2 = ∠4.

3. При перетині двох паралельних прямих третьої прямої, утворені ними навхрест лежачі кути рівні:

Якщо a||b, то ∠1 = ∠3.

Наступна властивість є окремим випадком для кожного попереднього:

4. Якщо пряма на площині перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої:

Якщо a||bі c⊥a, то c⊥b.

П'ята властивість - це аксіома паралельності прямих:

5. Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести тільки одну пряму, паралельну даній прямій.

Ця стаття про паралельні прямі і про паралельність прямих. Спочатку дано визначення паралельних прямих на площині та у просторі, введено позначення, наведено приклади та графічні ілюстрації паралельних прямих. Далі розібрані ознаки та умови паралельності прямих. У висновку показані рішення характерних завдань на доказ паралельності прямих, які задані деякими рівняннями прямої прямокутної системикоординат на площині та тривимірному просторі.

Навігація на сторінці.

Паралельні прямі основні відомості.

Визначення.

Дві прямі на площині називаються паралельнимиякщо вони не мають спільних точок.

Визначення.

Дві прямі у тривимірному просторі називаються паралельнимиякщо вони лежать в одній площині і не мають спільних точок.

Зауважте, що застереження «якщо вони лежать в одній площині» у визначенні паралельних прямих у просторі дуже важливе. Пояснимо цей момент: дві прямі в тривимірному просторі, які не мають спільних точок і не лежать в одній площині не є паралельними, а схрещуються.

Наведемо кілька прикладів паралельних прямих. Протилежні краї листа зошита лежать на паралельних прямих. Прямі, за якими площина стіни будинку перетинає площину стелі та підлоги, є паралельними. Залізничні колії на рівній місцевості також можна розглядати як паралельні прямі.

Для позначення паралельних прямих використовується символ «». Тобто якщо прямі а і b паралельні, то можна коротко записати а b .

Зверніть увагу: якщо прямі a і b паралельні, можна сказати, що пряма a паралельна прямий b , і навіть, що пряма b паралельна прямий a .

Озвучимо твердження, яке грає важливу рольщодо паралельних прямих на площині: через точку, що не лежить на даній прямій, проходить єдина пряма, паралельна даній. Це твердження приймається як факт (воно не може бути доведено на основі відомих аксіом планіметрії), і воно називається аксіомою паралельних прямих.

Для випадку у просторі справедлива теорема: через будь-яку точку простору, що не лежить на заданій прямій, проходить єдина пряма, паралельна даній. Ця теорема легко доводиться за допомогою наведеної вище аксіоми паралельних прямих (її доказ можна знайти в підручнику геометрії 10-11 клас, який вказаний наприкінці статті у списку літератури).

Паралельність прямих - ознаки та умови паралельності.

Ознакою паралельності прямихє достатня умовапаралельності прямих, тобто така умова, виконання якої гарантує паралельність прямих. Іншими словами, виконання цієї умови достатньо для того, щоб констатувати факт паралельності прямих.

Також існують необхідні та достатні умови паралельності прямих на площині та у тривимірному просторі.

Пояснимо зміст фрази «необхідна та достатня умова паралельності прямих».

З достатньою умовою паралельності прямих ми вже розібралися. А що ж таке? необхідна умовапаралельності прямих»? За назвою "необхідне" зрозуміло, що виконання цієї умови необхідне для паралельності прямих. Іншими словами, якщо необхідна умова паралельності прямих не виконано, то прямі не є паралельними. Таким чином, необхідна та достатня умова паралельності прямих- Це умова, виконання якого як необхідно, так і достатньо для паралельності прямих. Тобто, з одного боку це ознака паралельності прямих, з другого боку – це властивість, яким мають паралельні прямі.

Перш ніж сформулювати необхідну та достатню умову паралельності прямих, доцільно нагадати кілька допоміжних визначень.

Поточна пряма- Це пряма, яка перетинає кожну з двох заданих прямих.

При перетині двох прямих січної утворюються вісім нерозгорнутих. У формулюванні необхідної та достатньої умови паралельності прямих беруть участь так звані навхрест лежачі, відповідніі односторонні кути. Покажемо їх на кресленні.

Теорема.

Якщо дві прямі на площині пересічені січній, то для їх паралельності необхідно і достатньо, щоб навхрест кути, що лежали, були рівні, або відповідні кути були рівні, або сума односторонніх кутів дорівнювала 180 градусів.

Покажемо графічну ілюстрацію цієї необхідної та достатньої умови паралельності прямих на площині.

Докази цих умов паралельності прямих можна знайти у підручниках геометрії за 7 -9 класи.

Зауважимо, що ці умови можна використовувати і в тривимірному просторі – головне, щоб дві прямі та січна лежали в одній площині.

Наведемо ще кілька теорем, які часто використовуються за доказом паралельності прямих.

Теорема.

Якщо дві прямі на площині паралельні до третьої прямої, то вони паралельні. Доказ цієї ознаки випливає з аксіоми паралельних прямих.

Існує аналогічна умовапаралельності прямих у тривимірному просторі.

Теорема.

Якщо дві прямі у просторі паралельні третьої прямої, всі вони паралельні. Доказ цієї ознаки розглядається на уроках геометрії у 10 класі.

Проілюструємо озвучені теореми.

Наведемо ще одну теорему, що дозволяє доводити паралельність прямих на площині.

Теорема.

Якщо дві прямі на площині перпендикулярні до третьої прямої, вони паралельні.

Існує аналогічна теорема для прямих у просторі.

Теорема.

Якщо дві прямі в тривимірному просторі перпендикулярні до однієї площини, вони паралельні.

Зобразимо малюнки, які відповідають цим теоремам.

Всі сформульовані вище теореми, ознаки та необхідні та достатні умови чудово підходять для доказу паралельності прямих методами геометрії. Тобто, щоб довести паралельність двох заданих прямих потрібно показати, що вони паралельні третьої прямої, або показати рівність навхрест кутів, що лежать, і т.п. Безліч подібних завданьвирішується на уроках геометрії в середній школі. Однак слід зазначити, що у багатьох випадках зручно користуватися методом координат для доказу паралельності прямих на площині або тривимірному просторі. Сформулюємо необхідні та достатні умови паралельності прямих, які задані у прямокутній системі координат.

Паралельність прямих у прямокутній системі координат.

У цьому пункті статті ми сформулюємо необхідні та достатні умови паралельності прямиху прямокутній системі координат залежно від виду рівнянь, що визначають ці прямі, а також наведемо докладні рішенняхарактерних завдань.

Почнемо з умови паралельності двох прямих на площині прямокутної системі координат Oxy . В основі його доказу лежить визначення напрямного вектора прямої та визначення нормального вектора прямої на площині.

Теорема.

Для паралельності двох неспівпадаючих прямих на площині необхідно і достатньо, щоб напрямні вектори цих прямих були колінеарні, або нормальні вектори цих прямих були колінеарні, або напрямний вектор однієї прямої був перпендикулярний до нормального вектора другої прямої.

Очевидно, умова паралельності двох прямих на площині зводиться до (напрямних векторів прямих або нормальних векторів прямих) або до (напрямного вектора однієї прямої та нормального вектора другої прямої). Таким чином, якщо і - напрямні вектори прямих a і b а і - нормальні вектори прямих a та b відповідно, то необхідна та достатня умова паралельності прямих а та b запишеться як , або , або де t - деяке дійсне число. У свою чергу координати напрямних та (або) нормальних векторів прямих a та b знаходяться за відомими рівняннями прямих.

Зокрема, якщо пряму a у прямокутній системі координат Oxy на площині задає загальне рівняння прямого виду , а пряму b - то нормальні вектори цих прямих мають координати і відповідно, а умова паралельності прямих a і b запишеться як .

Якщо прямий a відповідає рівняння прямий з кутовим коефіцієнтом виду , а прямий b - , то нормальні вектори цих прямих мають координати і , а умова паралельності цих прямих набуде вигляду . Отже, якщо прямі на площині прямокутної системі координат паралельні і можуть бути задані рівняннями прямих з кутовими коефіцієнтами, то кутові коефіцієнтиПрямих будуть рівні. І навпаки: якщо прямі, що не збігаються, на площині в прямокутній системі координат можуть бути задані рівняннями прямої з рівними кутовими коефіцієнтами, то такі прямі паралельні.

Якщо пряму a та пряму b у прямокутній системі координат визначають канонічні рівняння прямої на площині виду і , або параметричні рівняння прямої на площині виду і відповідно, напрямні вектори цих прямих мають координати і , а умова паралельності прямих a і b записується як .

Розберемо рішення кількох прикладів.

приклад.

Чи паралельні прямі і?

Рішення.

Перепишемо рівняння прямої у відрізках у вигляді загального рівнянняпрямий: . Тепер видно, що – нормальний вектор прямий , а нормальний вектор прямий . Ці вектори не колінеарні, тому що не існує такого дійсного числа t , для якого правильна рівність ( ). Отже, не виконується необхідна та достатня умова паралельності прямих на площині, тому задані прямі не паралельні.

Відповідь:

Ні, прямі не паралельні.

приклад.

Чи є прямі та паралельними?

Рішення.

Наведемо канонічне рівнянняпрямий до рівняння прямий із кутовим коефіцієнтом: . Вочевидь, що рівняння прямих і однакові (у разі задані прямі були збігаються) і кутові коефіцієнти прямих рівні, отже, вихідні прямі паралельні.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Збирається нами персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.