Багаточлен називається сума одночленів, тобто творів цифр і змінних. Працювати з ним зручніше, оскільки найчастіше перетворення висловлювання на многочлен дозволяє значно спростити його.
Інструкція
Розкрийте всі дужки виразу. Для цього скористайтеся формулами, наприклад (а+b)^2=a^2+2ab+b^2. Якщо ви не знаєте формул або їх важко застосувати до цього виразу, розкривайте дужки послідовно. Для цього помножуйте перший член першого виразу на кожен другий другий вираз, потім другий член першого виразу на кожен член другого і т.д. В результаті всі елементи обох дужок будуть перемножені між собою.
Якщо перед вами три вирази в дужках, спершу перемножте перші два, залишаючи третій вираз не зворушеним. Спростивши результат, який у результаті перетворення перших дужок, перемножте його з третім виразом.
Уважно слідкуйте за дотриманням знаків перед множниками-одночленами. Якщо ви перемножуєте два члени з одним знаком (наприклад, обидва позитивні або обидва негативні), одночлен буде зі знаком «+». Якщо один член має перед собою «-», не забудьте перенести його на твір.
Наведіть усі одночлени до стандартного вигляду. Тобто переставте місцями множники всередині та спростіть. Наприклад, вираз 2х*(3,5х) дорівнюватиме (2*3,5)*х*х=7х^2.
Коли всі одночлени будуть стандартизовані, спробуйте спростити багаточлен. Для цього згрупуйте члени, які мають однакову частину зі змінними, наприклад, (2х+5х-6х)+(1-2). Спростивши вираз, ви отримаєте х-1.
Зверніть увагу на наявність параметрів у виразі. Іноді спрощення многочлена необхідно робити так, ніби параметр є числом.
Щоб перетворити на багаточлен вираз, що містить корінь, виведіть під ним такий вираз, який буде зведений у квадрат. Наприклад, скористайтеся формулою a^2+2ab+b^2 =(а+b)^2, потім заберіть знак кореня разом із парним ступенем. Якщо позбутися знака кореня неможливо, перетворити вираз у багаточлен стандартного вигляду не вдасться.
Інструкція
Розкрийте всі дужки виразу. Для цього скористайтеся формулами, наприклад (а+b)^2=a^2+2ab+b^2. Якщо ви не знаєте формул або їх важко застосувати до цього виразу, розкривайте дужки послідовно. Для цього помножуйте перший член першого виразу на кожен другий другий вираз, потім другий член першого виразу на кожен член другого і т.д. В результаті всі елементи обох дужок будуть перемножені між собою.
Якщо перед вами три вирази в дужках, спершу перемножте перші два, залишаючи третій вираз не зворушеним. Спростивши результат, який у результаті перетворення перших дужок, перемножте його з третім виразом.
Уважно слідкуйте за дотриманням знаків перед множниками-одночленами. Якщо ви перемножуєте два члени з одним знаком (наприклад, обидва позитивні або обидва негативні), одночлен буде зі знаком «+». Якщо один член має перед собою «-», не забудьте перенести його на твір.
Наведіть усі одночлени до стандартного вигляду. Тобто переставте місцями множники всередині та спростіть. Наприклад, вираз 2х*(3,5х) дорівнюватиме (2*3,5)*х*х=7х^2.
Коли всі одночлени будуть стандартизовані, спробуйте спростити багаточлен. Для цього згрупуйте члени, які мають однакову частину зі змінними, наприклад, (2х+5х-6х)+(1-2). Спростивши вираз, ви отримаєте х-1.
Щоб перетворити на багаточлен вираз, що містить корінь, виведіть під ним вираз, який буде зведений у квадрат. Наприклад, скористайтеся формулою a^2+2ab+b^2 =(а+b)^2, потім заберіть знак кореня разом із парним ступенем. Якщо позбутися знака кореня неможливо, перетворити вираз у багаточлен стандартного вигляду не вдасться.
Джерела:
- перетворення багаточлену калькулятор
Короткість, як кажуть, – сестра таланту. Кожному хочеться блиснути талантом, але його сестра - штука складна. Геніальні думки чомусь самі собою одягаються в складнопідрядні пропозиціїз безліччю дієпричетних оборотів. Однак у ваших силах спростити свої пропозиції та зробити їх зрозумілими та доступними всім.
Інструкція
Щоб полегшити адресату (чи то слухач чи читач), постарайтеся замінювати причетні та дієприслівникові оборотикороткими підрядними пропозиціями, особливо якщо вищезгаданих оборотів занадто багато в одному реченні. "Кіт, що прийшов додому, щойно з'їв мишу, голосно муркочучи, пестився до господаря, намагаючись зазирнути йому в очі, сподіваючись випросити рибу, принесену з магазину" - не піде. Розбийте подібну конструкцію на кілька частин, не поспішайте і не намагайтеся сказати все одним реченням, вам щастя.
Якщо ви задумали геніальний вислів, але в ньому виявилося дуже багато додаткових пропозицій(Тим більше з одним), то краще розбити висловлювання на кілька окремих речень або опустити якийсь елемент. "Ми вирішили, що він розповість Марині Василівні, що Катя скаже Віті, що..." - можна продовжувати нескінченно. Вчасно зупиніться і згадайте про те, хто це читатиме чи вислуховуватиме.
Позначайте різні члени по-різному. Для цього краще підкреслюйте одинарними, подвійними та потрійними лініями, використовуйте колір та інші форми ліній.
Знайшовши всі подібні члени, починайте їх комбінування. Для цього у знайдених винесіть таких членів за дужки. Не забувайте, що в стандартній формібагаточлен не має подібних членів.
Перевірте, чи не залишилося у вас однакових елементів у записі. У ряді випадків у вас можуть знову такі члени. Повторіть операцію з їх комбінуванням.
Прослідкуйте за виконанням другої умови, яка потрібна для запису багаточлена в стандартній формі: кожен його учасник повинен бути зображений у вигляді одночлена в стандартному вигляді: на першому місці – числовий множник, на другому – змінна або змінні, що йдуть у вже означеному порядку. При цьому має літерну послідовність, що задається алфавітом. Зниження ступенів враховується у другу чергу. Так, стандартним видом одночлена є запис 7xy2, у той час як y27x, x7y2, y2x7, 7y2x, xy27 не вимог.
Відео на тему
Математична наукавивчає різні структури, Послідовність чисел, відносин між ними, складання рівнянь та їх вирішення. Це формальна мова, яким можна чітко описати наближені до ідеальним властивостіреальних об'єктів, що вивчаються в інших галузях науки. Однією з таких структур є багаточлен.
Інструкція
Багаточлен або (від грец. «Полі» - багато і лат. «Номен» - ім'я) – елементарних функційкласичної алгебри та алгебраїчної геометрії. Це функція однієї змінної, що має вигляд F(x) = c_0 + c_1*x + … + c_n*x^n, де c_i – фіксовані коефіцієнти, x – змінна.
Багаточлени застосовуються у багатьох розділах, зокрема розгляді нуля, негативних і комплексних чисел, теорії груп, кілець, вузлів, множин тощо. Використання поліноміальних обчислень значно полегшує вираження властивостей різних об'єктів.
Основні визначення:
Кожне доданок полінома називається або мономом.
Багаточлен, що складається із двох одночленів, називають двочленом або біномом.
Коефіцієнти полінома – речові або комплексні числа.
Якщо коефіцієнт дорівнює 1, називають унітарним (наведеним).
Ступені змінної у кожному одночлені – цілі невід'ємні числа, максимальний ступіньвизначає ступінь многочлена, яке повним ступенем називається ціле число, рівну сумівсіх ступенів.
Одночлен, відповідний нульового ступеняназивається вільним членом.
Багаточлен, всі якого мають однакову повний ступіньназивається однорідним.
Деякі часто використовувані багаточлени названо на прізвище вченого, який їх визначив, а також функції, які вони задають. Наприклад, Біном Ньютона – це розкладання полінома деякі складові для обчислення ступенів. Це відомі з шкільної програмизаписи квадратів суми та різниці (a + b)^2 – a^2 + 2*a*b + b^2, (a – b)^2 = a^2 – 2*a*b + b^2 та різниця квадратів (a 2 - b 2) = (a - b) * (a + b).
Якщо допустити в записі багаточлена негативні ступені, то вийде багаточлен чи ряд Лорана; багаточлен Чебишева використовується теоретично наближень; багаточлен Ерміта – теоретично ймовірностей; Лагранжа – для чисельного інтегруваннята інтерполяції; Тейлора – при апроксимації функції тощо.
Зверніть увагу
Біном Ньютона часто згадують у книгах («Майстер і Маргарита») та фільмах («Сталкер»), коли герої вирішують математичні завдання. Цей термін на слуху, тому вважається найвідомішим багаточленом.
Перетворення виразів найчастіше провадиться з метою їх спрощення. Для цього використовуються спеціальні співвідношення, а також правила скорочення та приведення подібних.
Вам знадобиться
- - Дії з дробами;
- - Формули скороченого множення;
- - Калькулятор.
Інструкція
Найпростішим перетворенням є приведення подібних. Якщо є доданки, які є одночленами з однаковими співмножниками, коефіцієнт при них можна скласти, з урахуванням знаків, що стоять перед цими коефіцієнтами. Наприклад, вираз 2 n-4n+6n-n=3 n.
Якщо ж однакові співмножники мають ступені, подібним чиномзвести подібні неможливо. Групуйте лише ті коефіцієнти, які мають при собі співмножники з . Наприклад, спростіть вираз 4 k?-6 k+5 k?-5 k?+k-2 k?=3 k?-k?-5 k.
Якщо є можливість, використовуйте формули скороченого множення. До найбільш популярних куб і квадрат суми або різниці двох чисел. Вони є окремий випадокНьютон. До формул скороченого множення також квадратів двох чисел. Наприклад, щоб знайти 625-1150+529=(25-23)?=4. Або 1296-576 = (36 +24) (36-24) = 720.
Мета уроку:систематизувати знання та вміння учнів застосовувати формули квадрата різниці, суми та різниці квадратів для перетворення багаточленів.
Завдання уроку:
- загальноосвітня:відпрацювання навичок та умінь щодо перетворення багаточленів за допомогою формул скороченого множення за допомогою рішення письмових та усних вправ;
- розвиваюча:розвивати пізнавальний інтерес, продовжувати формування математичної мови, виробляти вміння аналізувати та порівнювати;
- виховна:виховувати вміння вислуховувати інших та вміння спілкуватися.
Мотиваційне завдання:створити ситуацію успіху на уроці через похвалу, стимулювання слабких та сильних відповідей.
Організаційні форми спілкування:колективна, групова, індивідуальна.
Хід уроку
1-й етап. Організаційний момент.
2-й етап. Мотиваційна розмова з учнями з наступною постановкою мети та теми.
Вчитель:Діти, останні кілька уроків ми з вами присвятили вивченню трьох формул скороченого множення. Які це формули?
Попереду маємо ще чотири формули.
Але сьогодні я пропоную вам попрацювати з цими формулами та ще раз з'ясувати, наскільки добре ви розібралися у цій темі.
А розпочати роботу я хотіла б з рядків мудрого Конфуція:
Три шляхи ведуть до знання:
Шлях роздумів – це шлях найблагородніший,
Шлях наслідування – це шлях найлегший і
Шлях досвіду – це найгірший шлях.
Подумайте і вирішіть для себе, хлопці, яким шляхом ви підете сьогодні на уроці – це буде ваш особистий вибір.
3-й етап. Актуалізація опорних знань.
Вчитель:щоб робота велася успішніше, пригадаймо і повторимо формули квадрата суми, різниці двох чисел, різниці квадратів.
Попрошу вийти до дошки двох учнів.
Попрошу вийти до дошки двох учнів.
Завдання першому учневі: довести рівність Діофанта
(а + b) (c + d) = (ac + ab) + (bc - ad).
Завдання другого учня: оформити опорну таблицю (магнітна дошка).
Зібрати з окремих фрагментів три формули:
(a + b) 2 = a + 2ab + b
(a – b) 2 = a – 2ab + b
a 2 – b 2 = (a – b)(a + b)
Фронтальна робота з учнями.
Вчитель:А ми, хлопці, у цей час давайте повторимо правила складання та віднімання раціональних чисел, Тому що це нам знадобиться надалі на уроці.
Картка:
-/10+5/ -5;
-/(-a +b)/ + b;
-/20*3/: (-12).
Вчитель:Хлопці, перевіримо формули на магнітній дошці.
А тепер, застосовуючи дані формули, виконайте усно такі завдання.
Замініть * одночленами так, щоб отримана рівність була тотожністю:
- (* + b) 2 = 4c 2 + * + b 2;
- (k - *) 2 = * - * + c 2;
- (* + 7c) (7c – *) = 49c 2 – 81a 2
- Обчислити:
106 2 – 6 2
71 2 – 61 2 - А в наступному завданніпотрібно перевірити, чи правильно виділено повний квадрат:
а 2 + 2а + 2 = (а + 1) 2 + 2
Вчитель: Хлопці давайте повернемося до доказу рівності Діофанта та перевіримо його
Пропоную вам записати собі в зошит цю рівність і перевірити її для перших чотирьох послідовних чисел _(1.2.3.4).
4-й етап. Робота на тему уроку.
Вчитель:Хлопці, чим скористався учень, який доводить рівність Діофанта?
А де знаходять застосування формули скороченого множення?
Давайте вирішимо наступне завдання біля дошки.
Сторона квадрата дорівнює а см. Довжина прямокутника на 2 см більша від сторони квадрата, а ширина на 2 см менше сторониквадрат. Знайдіть площу прямокутника та порівняйте її з площею квадрата.
5-й етап. Фізкультхвилинка.
6-й етап. Робота у групах "Зоряна карта".
Вчитель:Отже, хлопці, якщо сьогодні ми згадали про Діофант (довели його рівність), згадайте, чим він займався в основному? (Рівняннями).
Добре! Я пропоную зараз вам теж вирішити в групах по 5 рівнянь, в яких можна буде застосувати формули скороченого множення, а також просвітити себе в галузі астрономії, тобто дізнатися, як виглядають сузір'я Цефея та Кассіопеї.
Слухайте завдання.
Перед вами, хлопці, фрагмент карти зірок. Розв'яжіть рівняння та з'єднайте послідовно зірки, яким відповідають знайдені відповіді.
Робота ведеться у групах, тому можлива взаємодопомога та взаємоконтроль.
Картки на столі. Проти кожного рівняння вказано рівень складності (1, 2, 3, 4). Кожен із нас вибирає свій рівень, вирішує рівняння та заносить у картку відповідь.
Потім малюється сузір'я.
|
|
Перевірка на зразок.
7-й етап. Резерв (тест)
Провести класифікацію даних многочленів за способом розкладання на множники.
Варіант 1.
ЗАВДАННЯ. З'єднати лініями багаточлени з відповідними способами розкладання на множники.
Взаємоперевірка.
8-й етап. Підсумки уроку.
Вчитель:Хлопці, ви сьогодні досить плідно попрацювали. Дякую вам.
Але мені хотілося, щоб ви ще раз, згадавши етапи нашого уроку, відповіли на моє запитання: де ви застосовували формули скороченого множення, у якому випадку ваша робота набагато спрощувалась?
Попереду у вас є ще 4 формули. Але це буде пізніше, а зараз отримаєте домашнє завдання (номери з підручника).
І на завершення, поверніться до нашого епіграфа. Скажіть, який для вас шлях був успішнішим?
Звичайно, шлях досвіду, спроб і помилок – це важкий шлях, а й найвірніший і гідний.
Тому я бажаю вам йти гідно і отримувати лише гарні та відмінні оцінки.
Оцінка за урок.
Важливо a, b, …, z/
Приклади спрощених виразів
- 2*a -7*a
- exp(-7*a)/exp(2*a)
- 1/x + 1/y
- sin(x)^2 + cos(x)^2
Правила введення функцій
У функції f Справжні числа вводити у вигляді 7.5 , не 7,5 2*x- множення 3/x- Поділ x^3- Зведення в ступінь x + 7- Додавання x - 6- віднімання Функція f absolute(x) x(модуль xабо |х|) arccos(x)Функція - арккосинус від xarccosh(x) xarcsin(x)Функція - арксинус від xarcsinh(x) xarctan(x)Функція - арктангенс від xarctanh(x) xeФункція - e exp(x)Функція - експонента від x(теж саме, що і e^x) floor(x)Функція - округлення x log(x) or ln(x) x(Щоб отримати log7(x) log10(x)=log(x)/log(10)) pi sign(x)Функція - Знак xsin(x)Функція - Синус від xcos(x)Функція - Косинус від xsinh(x) xcosh(x) xsqrt(x)Функція - Корінь з від xx^2Функція - Квадрат xtan(x)Функція - Тангенс від xtanh(x) x
Розв'язання рівнянь багаточлена
Застосування рівнянь поширене у нашому житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд та навіть спорті. Рівняння людина використовувала ще в давнину і відтоді їх застосування лише зростає. Багаточлен є алгебраїчну сумутворів чисел, змінних та його ступенів. Перетворення багаточленів зазвичай включає два види завдань. Вираз потрібно спростити, або розкласти на множники, тобто. подати його у вигляді добутку двох або кількох багаточленів або одночлена та багаточлена.
Також читайте нашу статтю квадратичне рівнянняонлайн"
Щоб спростити багаточлен, наведіть подібні доданки. приклад. Спростіть вираз \ Знайдіть одночлени з однаковою літерною частиною. Складіть їх. Запишіть отриманий вираз: Ви спростили багаточлен.
У завданнях, які вимагають розкладання багаточлена на множники, визначте загальний множник даного виразу. Для цього спочатку винесіть за дужки ті змінні, які входять до складу всіх виразів. При цьому ці змінні повинні мати найменший показник. Потім обчисліть найбільший спільний дільниккожного із коефіцієнтів многочлена. Модуль одержаного числа буде коефіцієнтом загального множника.
Розв'язання задач з математики онлайн
Розкладіть на множники многочленів \ Винесіть за дужки \ т.к. змінна m входить у кожен член цього виразу та її найменший показник дорівнює двом. Обчисліть коефіцієнт загального множника. Він дорівнює п'яти. Таким чином, загальний множник даного виразу дорівнює \ Звідси: \
Де можна вирішити рівняння багаточлену онлайн?
Вирішити рівняння можна на нашому сайті pocketteacher.ru. Безкоштовний онлайн вирішувачдозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити - це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете переглянути відео інструкцію та дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, то ви можете поставити їх у нашій групі Вконтакте: pocketteacher. Вступайте до нашої групи, ми завжди раді допомогти вам.
Перетворення виразів. Коротко про головне.
Спрощення виразів
Крок 1. Введіть вираз для спрощення
Сервіс (своєрідна програма для класів 5 і 7, 8, 9, 10, 11) дозволяє спрощувати математичні висловлювання: алгебра ( алгебраїчні вирази), тригонометричних виразів, вирази з корінням та іншими ступенями, скорочення дробів, також спрощує складні буквені вирази,
для спрощення комплексних виразіввам сюди(!)
ВажливоУ виразі змінні позначаються однією буквою! Наприклад, a, b, …, z/
Приклади спрощених виразів
- 2*a -7*a
- exp(-7*a)/exp(2*a)
- 1/x + 1/y
- sin(x)^2 + cos(x)^2
Правила введення функцій
У функції fможна виконувати такі операції: Справжні числавводити у вигляді 7.5 , не 7,5 2*x- множення 3/x- Поділ x^3- Зведення в ступінь x + 7- Додавання x - 6- віднімання Функція fможе складатися з функцій (позначення наведено в алфавітному порядку): absolute(x)Функція - абсолютне значення x(модуль xабо |х|) arccos(x)Функція - арккосинус від xarccosh(x)Функція - арккосинус гіперболічний від xarcsin(x)Функція - арксинус від xarcsinh(x)Функція - арксинус гіперболічний від xarctan(x)Функція - арктангенс від xarctanh(x)Функція - арктангенс гіперболічний від xeФункція - eце те, що приблизно дорівнює 2.7 exp(x)Функція - експонента від x(теж саме, що і e^x) floor(x)Функція - округлення xу меншу сторону (приклад floor(4.5)==4.0) log(x) or ln(x)Функція - Натуральний логарифмвід x(Щоб отримати log7(x), треба ввести log(x)/log(7) (або, наприклад, для log10(x)=log(x)/log(10)) piЧисло - "Пі", яке приблизно дорівнює 3.14 sign(x)Функція - Знак xsin(x)Функція - Синус від xcos(x)Функція - Косинус від xsinh(x)Функція - Синус гіперболічний від xcosh(x)Функція - Косинус гіперболічний від xsqrt(x)Функція - Корінь з від xx^2Функція - Квадрат xtan(x)Функція - Тангенс від xtanh(x)Функція - Тангенс гіперболічний від x
На головну
Шкільна алгебра
Багаточлени
Поняття багаточлена
Визначення багаточлена: багаточлен – це сума одночленів. Приклад багаточлена:
тут бачимо суму двох одночленів, але й є многочлен, тобто. сума одночленів.
Доданки, у тому числі складається многочлен, називаються членами многочлена.
Чи є різницю одночленів багаточленом? Так, є, адже різниця легко наводиться до суми, приклад: 5a – 2b = 5a + (-2b).
Одночлени також вважають багаточленами. Але в одночлені немає суми, тоді чому його вважають багаточленом? А до нього можна додати нуль та отримати його суму з нульовим одночленом. Отже, одночлен – це окремий випадок багаточлена, він складається з одного члена.
Число нуль - це нульовий багаточлен.
Стандартний вид багаточлену
Що таке багаточлен стандартного вигляду? Багаточлен є сума одночленів і якщо всі ці одночлени, що становлять багаточлен, записані у стандартному вигляді, крім того серед них не повинно бути подібних, тоді багаточлен записаний у стандартному вигляді.
Приклад багаточлена у стандартному вигляді:
тут багаточлен складається з 2 одночленів, кожен з яких має стандартний вигляд, серед одночленів немає подібних.
Тепер приклад багаточлена, який не має стандартного вигляду:
тут два одночлени: 2a і 4a є подібними. Треба їх скласти, тоді багаточлен набуде стандартного вигляду:
Ще приклад:
Цей багаточлен наведено до стандартного вигляду? Ні, у нього другий член не записаний у стандартному вигляді. Записавши його у стандартному вигляді, отримуємо багаточлен стандартного вигляду:
Ступінь багаточлена
Що таке ступінь багаточлена?
Ступінь багаточлена визначення:
Ступінь багаточлена - найбільший ступінь, який мають одночлени, що становлять даний багаточленстандартного вигляду.
приклад. Який ступінь багаточлена 5h? Ступінь многочлена 5h дорівнює одному, адже цей многочлен входить лише один одночлен і ступінь його дорівнює одному.
Інший приклад. Який ступінь багаточлена 5a2h3s4+1? Ступінь багаточлена 5a2h3s4 + 1 дорівнює дев'яти, адже в цей багаточлен входять два одночлени, найбільший ступіньмає перший одночлен 5a2h3s4, а його ступінь дорівнює 9-ти.
Розв'язання рівнянь багаточлена
Ще приклад. Який ступінь багаточлена 5? Ступінь многочлена 5 дорівнює нулю. Отже, ступінь многочлена, що складається лише у складі, тобто. без літер, що дорівнює нулю.
Останній приклад. Який ступінь нульового многочлена, тобто. нуля? Ступінь нульового багаточлена не визначено.