Які властивості покладено у модель ідеального газу. Ідеальний газ

ВИЗНАЧЕННЯ

Ідеальний газ- це найпростіша фізична модель реального газу. Ідеальний газ складається з величезної кількості частинок, які уподібнюють кулькам (матеріальним точкам), що мають кінцеву масу, і які не мають об'єму.

Моделью у фізиці називають спрощену копію цієї системи, що вивчається. Вона відбиває найважливіші основні показники та якості системи.

У моделі ідеального газу враховуються лише основні властивості молекул, які потрібні для того, щоб пояснити основи поведінки газу. Ідеальний газ нагадує реальний газ у досить вузькому інтервалі тисків (p) та температур (T).

Головним спрощенням ідеального газу є припущення, що молекули ідеального газу не взаємодіють з відривом. Кінетична енергія руху молекул такого газу набагато більша, потенційної енергії їхньої взаємодії. Це спрощення веде до рівняння стану ідеального газу:

де m – маса газу; - молярна маса; - Універсальна газова постійна.

Реальні гази можна уподібнити ідеальному газу з досить високою точністю при низьких поділах, коли відстані (в середньому) між молекулами істотно більші, ніж їх розміри та (або) низькі температури. У такому разі сили тяжіння між молекулами можна вважати мізерно малими, а сили відштовхування виникають на дуже малі проміжки часу при зіткненнях молекул.

Зіткнення частинок ідеального газу описують за допомогою законів абсолютно пружного зіткнення куль. Слід зазначити, що маю на увазі закони зіткнення саме куль, оскільки точкові частки відчувають лише лобові зіткнення, які можуть змінювати напрями швидкостей різні кути. У проміжках між зіткненнями молекули ідеального газу рухається прямими лініями. Закони зіткнень та зіткнень щодо стінки судин, у яких знаходиться газ, відомі. У МКТ рух кожної молекули ідеального газу описують з допомогою законів динаміки. Однак через те, що число молекул в газі величезне, то практично неможливо написати таку кількість поранень.

За допомогою моделі ідеального газу одержують, наприклад, основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії (МКТ) (2). Яке показує, що тиск газу є результатом численних ударів його молекул об стінки судини, в якій газ знаходиться.

де – середня кінетична енергія поступального руху молекул газу; - Концентрація молекул газу (N - число молекул газу в посудині; V - обсяг судини); - Маса молекули газу; - Середньоквадратична швидкість молекули.

Модель ідеального газу можна використовувати для пояснення властивостей газів. Так, горять, що газ займає весь обсяг, який йому надається, тому що сили взаємодії його молекул малі, і вони не здатні утримати молекули одна біля одної.

Приклади розв'язання задач

ПРИКЛАД 1

Завдання	Ідеальний газ знаходиться в посудині обсяг, якого складає л. Тиск цього газу дорівнює Па. Середня кінетична енергія, яку мають молекули газу Дж. Яке число молекул газу перебуває у посудині?
Рішення	Як основу для вирішення задачі використовуємо основне рівняння МКТ: Концентрація молекул (n) це: де N - кількість молекул газу, що шукається. Підставимо праву частину виразу (1.2) у (1.1), маємо: Проведемо обчислення:
Відповідь	молекул.

Ідеальний газ, що часто зустрічається у фізиці, є певною моделлю речовини, яка вводиться для пояснення найпростіших властивостей деяких реальних фізичних систем (реального газу, електронів у металі та ін.).

Ідеальний газ є системою вільних невзаємодіючих частинок, що у безперервному хаотичному русі. Взаємодія частинок ідеального газу проявляється лише у їх пружних зіткненнях.

Частинки ідеального газу приймають за тверді кульки, розмір яких набагато менший за середню відстань між ними. Проміжок часу між зіткненнями при цьому виявляється набагато більшим, ніж час самих зіткнень. Отже, більшу частину часу частинки рухаються в газі рівномірно та прямолінійно.

Завдяки безладному руху частинки ідеального газу часто стикаються один з одним. Ці зіткнення часток між собою призводять до низки цікавих наслідків.

По-перше, розлітаючись після зіткнень у різні боки, частинки з виділеної групи поступово розсіюватимуться у просторі, займаючи зрештою нескінченно великий обсяг. Тому в більшості випадків ідеальний газ розглядають усередині деякого об'єму, тобто обмежений стінками судини. Частинки, зустрічаючи

на своєму шляху стінки судини за законами пружного удару відбиватимуться від них, передаючи стінці певну кількість руху (імпульс сили). Наслідком цього є тиск, який чиниться газом на стінку.

По-друге, зіткнення частинок газу між собою призводять до того, що вони безперервно обмінюються енергією, змінюють свої швидкості та координати всередині обсягу. Завдяки цьому в газі при постійних зовнішніх параметрах встановлюється рівноважний стан, якому відповідає певний розподіл частинок у просторі, за напрямками руху та швидкостями. Будь-які відхилення від такого рівноважного стану згладжуються завдяки безперервному хаотичному руху та зіткненням частинок. За порівняно короткий час (час релаксації) газ знову входить у рівноважний стан. Розглядаючи газ, за ​​постійних зовнішніх параметрів, за проміжки часу, великі часу релаксації, ми можемо вважати його стан рівноважним. Деякі питання, пов'язані з нерівноважними процесами, будуть розглянуті в IV розділі.

Якщо ідеальний газ знаходиться в рівноважному стані за відсутності зовнішніх сил, його частинки заповнюють весь об'єм з постійною щільністю. Число частинок, укладених в деякому об'ємі V, що цікавить нас, буяє визначатися за формулою

де - число частинок в одиниці обсягу, що дорівнює відношенню всього числа частинок до всього зайнятого газом обсягу:

Зіткнення частинок призводять не тільки до встановлення в газі однакової щільності, але і рівномірного розподілу в просторі напрямків руху частинок. Скільки частинок рухається в одному напрямку, стільки ж у середньому рухається і в будь-якому іншому, у тому числі й протилежному напрямку. Внаслідок такої рівноправності напрямків руху тиск в ідеальному газі виявляється ізотропним.

При рівновазі в газі встановлюється також певний розподіл частинок за швидкостями. При цьому середні швидкості та кількість частинок, що рухаються у різних напрямках, виявляються однаковими, про що свідчить відсутність спрямованого потоку газу при рівновазі.

Для моделі ідеального газу легко знайти залежність між тиском і обсягом.

Нехай ідеальний газ знаходиться в посудині, що має форму кулі з радіусом. У цьому випадку частинок, що знаходяться в об'ємі, чинять тиск на поверхню.

Мал. 8. До висновку закону Бойля - Маріотта з М. В. Ломоносова

Потім стиснемо цю кількість газу так, щоб він займав об'єм кулі з удвічі меншим радіусом, тобто . Якщо швидкості руху частинок залишаться колишніми, то ті ж удари частинок тепер будуть припадати на вчетверо меншу поверхню внаслідок чого тиск повинен зрости в 4 рази. З іншого боку, через зменшення обсягу середній шлях частинки між зіткненнями буде вдвічі меншим, що призведе при тій же швидкості руху молекул до збільшення вдвічі числа зіткнень в одиницю часу, тобто зі стінкою частинки зіштовхуватимуться вдвічі частіше. Таким чином, при зменшенні обсягу ідеального газу у 8 разів тиск має зрости також у 8 разів. Це і є закон Бойля – Маріотта:

Наведений тут висновок цього закону був ще 1745 р. запропонований Ломоносовим.

Розглянута модель ідеального газу за певних умов пояснює багато властивостей реального газу, тобто найпростішого газоподібного стану речовини.

Існує наступний критерій застосування моделі ідеального газу до реального газу. Якщо поведінка реального газу задовольняє закон Бойля - Маріотта, то газ можна розглядати як ідеальний. Наприклад, повітря за нормальних умов можна як ідеальний газ. Тому подальші висновки, які будуть отримані на підставі властивостей моделі ідеального газу, можна поширювати і реальні гази. Замість частинок ідеального газу далі розглядатимемо молекули реального газу.

Ідеальний газ – це модель розрідженого газу, в якій нехтує взаємодія між молекулами. Сили взаємодії між молекулами складні. На дуже малих відстанях, коли молекули впритул підлітають одна до одної, між ними діють великівеличині сили відштовхування. На великих чи проміжних відстанях між молекулами діють порівняно слабкі сили тяжіння. Якщо відстані між молекулами в середньому великі, що спостерігається в досить розрідженому газі, то взаємодія проявляється у вигляді щодо рідкісних зіткнень молекул один з одним, коли вони підлітають впритул. В ідеальному газі взаємодією молекул взагалі нехтують.

Теорія створена німецьким фізиком Р. Клаузісом в 1957 для моделі реального газу, яка називається ідеальний газ. Основні ознаки моделі:

• · відстані між молекулами великі проти їх розмірами;
• · взаємодія між молекулами на відстані відсутня;
• · при зіткненнях молекул діють великі сили відштовхування;
• · час зіткнення набагато менше часу вільного руху між зіткненнями;
• · рухи підпорядковуються законом Ньютона;
• · молекули - пружні кулі;
• · змули взаємодії виникають при зіткненні.

Межі застосування моделі ідеального газу залежать від розглянутої задачі. Якщо необхідно встановити зв'язок між тиском, об'ємом та температурою, то газ з хорошою точністю можна вважати ідеальним до тиску в кілька десятків атмосфер. Якщо вивчається фазовий перехід типу випаровування чи конденсації чи розглядається процес встановлення рівноваги у газі, то модель ідеального газу не можна застосовувати навіть за тисках кілька міліметрів ртутного стовпа.

Тиск газу на стінку судини є наслідком хаотичних ударів молекул об стінку, внаслідок їх великої частоти дія цих ударів сприймається нашими органами почуттів або приладами як безперервна сила, що діє стінку судини і створює тиск.

Нехай одна молекула знаходиться в посудині, що має форму прямокутного паралелепіпеда (рис. 1). Розглянемо, наприклад, удари цієї молекули про праву стінку судини, перпендикулярну до осі Х. Вважаємо удари молекули об стінки абсолютно пружними, тоді кут відбиття молекули від стінки дорівнює куту падіння, а величина швидкості в результаті удару не змінюється. У разі при ударі проекція швидкості молекули на вісь Уне змінюється, а проекція швидкості на вісь Хзмінює знак. Таким чином, проекція імпульсу змінюється при ударі на величину, рівну знак «-» означає, що проекція кінцевої швидкості негативна, а проекція початкової - позитивна.

Визначимо число ударів молекули про цю стінку за 1 секунду. Величина проекції швидкості не змінюється під час удару будь-яку стінку, тобто. можна сказати, що рух молекули вздовж осі Хрівномірне. За 1 секунду вона пролітає відстань, що дорівнює проекції швидкості . Від удару до наступного удару об цю стінку молекула пролітає вздовж осі Х відстань, рівну подвоєної довжини судини 2 L. Тому число ударів молекули про обрану стінку дорівнює. Відповідно до 2-го закону Ньютона середня сила дорівнює зміні імпульсу тіла за одиницю часу. Якщо при кожному ударі об стінку частка змінює імпульс на величину , а число ударів за одиницю часу дорівнює , то середня сила, що діє з боку стінки на молекулу (рівна за величиною силі, що діє на стінку з боку молекули), дорівнює , а середній тиск молекули на стінку одно , де V- Обсяг судини.

Якби всі молекули мали однакову швидкість, то загальний тиск виходив би просто множенням цієї величини на число частинок N, тобто. . Але оскільки молекули газу мають різні швидкості, то цій формулі стоятиме середнє значення квадрата швидкості, тоді формула набуде вигляду: .

Квадрат модуля швидкості дорівнює сумі квадратів її проекцій, це має місце і для їх середніх значень: . Внаслідок хаотичності теплового руху середні значення всіх квадратів проекцій швидкості однакові, тому що. немає переважного руху молекул у якомусь напрямку. Тому , і тоді формула для тиску газу набуде вигляду: . Якщо ввести кінетичну енергію молекули, то отримаємо, де – середня кінетична енергія молекули.

Згідно з Больцманом середня кінетична енергія молекули пропорційна абсолютній температурі, і тоді тиск ідеального газу дорівнює або

Якщо ввести концентрацію частинок, то формула перепишеться так:

Число частинок можна подати у вигляді добутку числа молей на число частинок у молі, що дорівнює числу Авогадро, а добуток. Тоді (1) запишеться у вигляді:

Розглянемо приватні газові закони. При постійній температурі та масі (4) слід, що , тобто. при постійній температурі та масі газу його тиск обернено пропорційно обсягу. Цей закон називається законом Бойля та Маріотта, а процес, при якому температура постійна, називається ізотермічним.

Для ізобарного процесу, що відбувається при постійному тиску, (4) слід, що , тобто. обсяг пропорційний до абсолютної температури. Цей закон називають законом Гей-Люссака.

Для ізохорного процесу, що відбувається при постійному обсязі, (4) слід, що , тобто. тиск пропорційно до абсолютної температури. Цей закон називають законом Шарля.

Ці три газові закони, таким чином, є окремими випадками рівняння стану ідеального газу. Історично вони спочатку були відкриті експериментально, і лише пізніше отримані теоретично, з молекулярних уявлень.

Модель ідеального газу

Ідеальний газ- Математична модель газу, в якій передбачається, що потенційної енергії молекул можна знехтувати в порівнянні з їх кінетичною енергією. Між молекулами не діють сили тяжіння або відштовхування, зіткнення частинок між собою і зі стінками судини абсолютно пружні, а час взаємодії між молекулами дуже мало в порівнянні з середнім часом між зіткненнями.

Модель широко застосовується для вирішення задач термодинаміки газів та задач аерогазодинаміки. Наприклад, повітря при атмосферному тиску та кімнатній температурі з великою точністю описується даною моделлю. У випадку екстремальних температур або тисків потрібне застосування більш точної моделі, наприклад моделі Ван-дер-Ваальса, в якому враховується тяжіння між молекулами.

Розрізняють класичний ідеальний газ (його властивості виводяться із законів класичної механіки та описуються статистикою Больцмана) та квантовий ідеальний газ (властивості визначаються законами квантової механіки, описуються статистиками Фермі – Дірака або Бозе – Ейнштейна).

Класичний ідеальний газ

Властивості ідеального газу на основі молекулярно-кінетичних уявлень визначаються виходячи з фізичної моделі ідеального газу, в якій прийняті такі припущення:

§ обсяг частки газу дорівнює нулю (тобто, діаметр молекули зневажливо малий порівняно із середньою відстанню між ними,);

§ імпульс передається тільки при зіткненнях (тобто, сили тяжіння між молекулами не враховуються, а сили відштовхування виникають тільки при зіткненнях);

§ сумарна енергія частинок газу постійна (тобто немає передачі енергії за рахунок передачі тепла або випромінювання)

У цьому випадку частинки газу рухаються незалежно одна від одної, тиск газу на стінку дорівнює сумі імпульсів в одиницю часу, переданої при зіткненні частинок зі стінкою, енергія - сумі енергій частинок газу. Властивості ідеального газу описуються рівнянням Менделєєва-Клапейрона

де – тиск, – концентрація частинок, – постійна Больцмана, – абсолютна температура.

Рівноважний розподіл частинок класичного ідеального газу за станами описується розподілом Больцмана:

де - середня кількість частинок, що у -му стані з енергією , а константа визначається умовою нормування:

де – повне число частинок.

Розподіл Больцмана є граничним випадком (квантові ефекти дуже малі) розподілів Фермі-Дірака і Бозе-Ейнштейна, і, відповідно, класичний ідеальний газ є граничним випадком Фермі-газу і Бозе-газу. Для будь-якого ідеального газу справедливе співвідношення Майєра:

де - універсальна газова стала, - молярна теплоємність при постійному тиску, - молярна теплоємність при постійному обсязі.

Квантовий ідеальний газ

Зниження температури та збільшення щільності газу може призвести до ситуації, коли середня відстань між частинками стає порівнянною з довжиною хвилі де Бройля для цих частинок, що призводить до переходу від класичного до ідеального квантового газу (див. Вироджений газ). У такому разі поведінка газу залежить від спину частинок: у разі напівцілого спина (ферміони) діє статистика Фермі – Дірака (Фермі-газ), у разі цілого спина (бозони) – статистика Бозе – Ейнштейна (Бозе-газ).

Фермі-газ

Для ферміонів діє принцип Паулі, який забороняє двом тотожні ферміони перебувати в одному квантовому стані. Внаслідок цього при абсолютному нулі температури імпульси частинок і, відповідно, тиск і щільність енергії Фермігазу відмінні від нуля і пропорційні числу частинок в одиниці об'єму. Існує верхня межа енергії, яку можуть мати частки Фермі-газу при абсолютному нулі (Енергія Фермі). Якщо енергія теплового руху частинок Фермі-газу значно менша за енергію Фермі, то цей стан називають виродженим газом.

Особливістю Фермі-газів є вкрай слабка залежність тиску від температури: у нерелятивістському випадку тиск, в релятивістському -.

Прикладами Фермі-газів є електронний газ у металах, сильнолегованих та вироджених напівпровідниках, вироджений газ електронів у білих карликах та вироджений газ нейтронів у нейтронних зірках.

Бозе-газ

Так як на бозони принцип Паулі не поширюється, то при зниженні температури бозе-газу нижче деякої температури T 0 можливий перехід бозонів на нижчий енергетичний рівень з нульовим імпульсом, тобто утворення конденсату Бозе-Ейнштейна. Оскільки тиск газу дорівнює сумі імпульсів частинок, переданої стінці в одиницю часу, тиск Бозе-газу залежить тільки від температури.

Прикладами Бозе-газів є різного роду гази квазічастинок (слабких збуджень) у твердих тілах та рідинах, надплинна компонента гелію II, конденсату Бозе-Ейнштейна куперівських електронних пар при надпровідності. Прикладом ультрарелятивістського Бозе-газу є фотонний газ.

Молекулярно-кінетичний зміст температури. Рівномірний розподіл кінетичної енергії теплового руху за поступальним ступенем свободи

62. Молекулярно-кінетичний зміст температури. Рівномірний розподіл кінетичної енергії теплового руху за поступальним ступенем свободи

З'ясуємо фізичний зміст температури в молекулярно-

кінетичної теорії Для цього візьмемо циліндр із поршнем АВ

(рис. 45), який може вільно без тертя переміщатися

вздовж циліндра. По різні боки поршня знаходяться однакові

або різні ідеальні гази.

Величини, що характеризують В

перший газ будемо відзначати індексом 1, що характеризують другий газ - індексом 2. Для механічної рівноваги поршня необхідно, щоб тиски газів були однакові: Рх = Р2 або 1IS n-jnxv = 1/3n2m2vl. Але для того, щоб рівновага зберігалася тривало, необхідна ще рівність температур обох газів: 1 = Т2. Справді, скажімо, що 7 > Т2. Тоді розпочнеться процес вирівнювання температур, у результаті якого перший газ охолоджуватиметься, а другий - нагріватиметься. Тиск на поршень зліва стане знижуватися, а справа - підвищуватися, і поршень почне рухатися праворуч наліво. У процесі теплообміну молекули газів обмінюються кінетичними енергіями. Фізичний зміст макроскопічного параметра – температури – можна встановити, розглянувши процес теплообміну з молекулярної точки зору.

2. Швидкість та інші характеристики теплообміну змінюються зі зміною матеріалу та розмірів поршня. Але кінцевий результат теплообміну, який зараз нас тільки цікавить, від цього зовсім не залежить. Тому з метою спрощення обчислень можна ідеалізувати завдання, абсолютно відволікаючись від молекулярної будови поршня. Поршень ми розглядатимемо як суцільне ідеально гладке тіло, з яким молекули газів можуть зазнавати пружних зіткнень. Удари з боку молекул, яким піддається поршень ліворуч і праворуч, у середньому врівноважують одне одного. Але в кожний момент часу миттєві сили ударів, власне кажучи, не врівноважуються. В результаті поршень безперервно робить безладний тепловий рух туди й назад. З цим явищем у розглянутій ідеалізованій моделі пов'язана можливість обміну кінетичними енергіями теплового руху газів.

Припустимо, що гази по обидва боки поршня настільки розріджені, що в кожний момент часу з поршнем стикається лише одна молекула. Процеси, у яких з поршнем одночасно зіштовхуються дві чи кілька молекул, настільки рідкісні, що можна повністю знехтувати. Остаточні результати, яких ми прийдемо, не пов'язані з цим обмеженням. У наступному параграфі ми звільнимось від нього.

Розглянемо зіткнення будь-якої молекули першого газу з поршнем, що рухається. Поршень може рухатися лише вздовж осі циліндра, яку ми приймемо за вісь X. Нехай і швидкість поршня до удару, і після удару. Відповідні компоненти швидкості молекули позначимо за допомогою vlx та vx. Масу поршня позначимо М. При ударі дотримується закон збереження імпульсу, оскільки удар пружний, має також і збереження кінетичної енергії:

trijVix + Мі = т (їх + Мі,

till .. . М „,)?! ,2 М,2

2- Vx + 2 U = Y Vlx + "2" " -

Це точно такі ж рівняння, які використовуються в механіці

при вирішенні задачі про зіткнення ідеально пружних куль.

З них знаходимо, _2Mu-(M-mi)vlx

Щх - M + nTi а для кінетичної енергії руху молекули вздовж осі X після

удару,2 „ „

1ЩУ1Х _ nil 4M4fi-AM (М - mi) uvix + (M - т,) 4х

Напишемо таке співвідношення для кожної з молекул першого газу, що стикається з поршнем, підсумуємо по всіх зіткненнях і розділимо на кількість зіткнень. Коротше кажучи, зробимо усереднення по всіх сутичках. Якщо стан усієї системи встановився, тобто макроскопічний процес теплообміну закінчився, то середня швидкість поршня дорівнює нулю. Поршень робить безладні тремтіння біля положення рівноваги, його швидкість і з однаковою ймовірністю набуває позитивних і негативних значень. Тому в результаті усереднення твору uvlx вийде нуль і для середньої кінетичної енергії молекули після зіткнення можна написати

пц. год __ tnL AM<Ы2) -|- (М - m{f (vjx)

2 К lK/ 2 (M + mi)2

Теплообміну між газами не буде, коли середня кінетична енергія молекули внаслідок відбиття від поршня не змінюється. Тому в стані написане вираз має дорівнювати середньої кінетичної енергії молекули до удару

у-<и?>. Це дає

Am(ifi)+(Mmif(vx) _ , . N Звідси після елементарних перетворень знаходимо

Наведене міркування, зрозуміло, можна застосувати і до другого газу. Отже,

т2 (vlx) _ М (ІР) / АТ 0.

1/2/П1<^>= 1/2/п2<^>. (62.3)

Зважаючи на хаотичність теплового руху молекул газу в ньому немає жодних обраних напрямків руху - всі напрямки однаково ймовірні. Тому

а отже,

1/2m1<^) = 1/2m2<^>. (62.4)

Ми довели, що стан теплової рівноваги середні кінетичні енергії всіх молекул газу однакові.

3. Середня кінетична енергія епост поступального руху молекули газу, таким чином, має основну властивість температури - в стані теплової рівноваги вона однакова для всіх молекул газів, що знаходяться в тепловому контакті, а також для різних молекул газової суміші. Вона не залежить від маси та внутрішньої структури молекули. Тому величину епосх, або будь-яку монотонну функцію її можна прийняти за міру температури газу, а також тіла, що знаходиться з ним у тепловій рівновазі. Зручно за міру температури взяти величину

© = 2/з5пост. (62.5)

Перевага такого вибору полягає в тому, що тоді формула (59.8) набуває вигляду

PV = 43Nzm„ = Ne, (62.6)

що нагадує рівняння Клапейрона PV = RT.

З молекулярно-кінетичного тлумачення температури можна вивести закон Авогадро. Візьмемо два ідеальні гази 1 і 2. Для них можна написати

/ 3, У1 = л / 1в1, Р2У2 = л / 2в2.

Якщо Рх = Р2, Vx = V2, @ х = 62, то з цих рівнянь випливає Nx = N2. У рівних обсягах ідеальних газів при однакових тисках та температурах міститься однакове число молекул. Це і є закон Авогадро.

Величина 6, що визначається формулою (62.5), називається енергетичною або кінетичною температурою. Вона вимірюється у тих самих одиницях, як і енергія, наприклад, в джоулях і ергах. Для встановлення зв'язку між кінетичною температурою G та абсолютною термодинамічною температурою Т можна скористатися циклом Карно з ідеальним одноатомним газом. Внутрішня енергія такого газу складається тільки з кінетичної енергії поступального руху його молекул. Вона дорівнює U=Ntnocz==3/2N@, тобто залежить тільки від температури 0. Тому можна повторити без будь-яких змін міркування, наведені в § 32 при встановленні зв'язку між термодинамічною та ідеально-газовою шкалами температур. В результаті ми прийдемо до співвідношення

Отже, відношення @/Т є універсальна постійна, що залежить тільки від вибору одиниць для 6 і Т. Вона називається постійною Больцмана і є однією з найважливіших фундаментальних постійних фізики. Цю постійну прийнято позначати буквою k. Таким чином, за визначенням

Деякі з методів експериментального визначення постійного Больцмана будуть викладені надалі. За сучасними даними

k = (1,380622 ± 0,000059) 1023 Дж ■ К "1 = = (1,380622 ± 0,000059) ■ №1в ерг ■ К"1.

4. Позначимо літерою N число молекул в одному молі. Ця уні-

Версальна стала називається числом Авогадро. Візьмемо один

міль ідеального газу. Тоді, з одного боку, має місце соотно-

шення (62.6), яке з урахуванням формули (62.7) можна переписати

Найбільш простою фізичною моделлю газової термодинамічної системи є ідеальний газ. Істота цієї моделі у наступному.

• 1. Молекули газу представляються малими частинками (матеріальними точками), сумарний об'єм яких дуже малий у порівнянні з обсягом, який займає газ.
• 2. Передбачається, що до зіткнення молекули між собою не взаємодіють (тобто не обмінюються енергією). Інакше кажучи, потенційна крива моделі ідеального газу має вигляд, наведений на рис. 4.2, а.Якщо вважати, що молекули – «нестерпні кульки» з радіусом г 0 ,то потенційна енергія їхньої взаємодії дорівнює нулю при відстанях гміж їхніми центрами, більшими, ніж 2 г 0 ,і нескінченно велика при г (насправді для реальних молекул під їх радіусом слід розуміти не радіус молекули-кульки, а деякий радіус ( г, г 2)ефективної взаємодії між молекулами, що визначається їх властивостями і видом потенційної кривої взаємодії і кінетичною енергією частинок, що стикаються, яка залежить від температури (див. рис. 4.2, б)).
• 3. Вважається, що молекули під час зіткнення обмінюються енергіями за законами абсолютно пружного зіткнення (див. підрозділ 1.4.5).

Мал. 4.2. Потенційні криві U(r) (г-радіус взаємодії) для моделі: а- Ідеального газу; б- реального газу (г, і г 2- ефективні радіуси взаємодії за різних температур)

4. Допускається, що немає жодних додаткових фізичних обмежень (на кількість частинок, обсяг, тиск, температуру та ін. - вони можуть бути будь-якими) та зовнішніх впливів на систему загалом.

Ми маємо також на увазі, що ідеальний газ є сукупністю величезної кількості молекул, що перебувають у стані термодинамічної рівноваги (система замкнута). У такій системі термодинамічна рівновага встановлюється лише за рахунок взаємодій між молекулами за їх взаємних зіткнень. При цьому в системі встановлюється статична рівновага, яка означає, що всі розподіли частинок (за енергіями, швидкостями тощо) залишаються незмінними в часі. Класичний ідеальний газ підпорядковується так званої статистики Больцмана (класичної статистики).

Макроскопічне рівняння стану ідеального газу (може бути отримано з молекулярно-кінетичних уявлень про гази. Відомо, що однією з основних властивостей газу є здатність чинити тиск на стінки судини, що його укладає. Визначимо цей тиск для ідеального газу, що складається з молекул одного сорту. Насамперед нагадаємо, що тиск ргазу на стінки судини є результатом сукупної дії його молекул при їх ударах об стінку. За визначенням, тиск задається силою, що діє з боку газу на одиницю поверхні стінки судини, що обмежує його, і перпендикулярної цієї поверхні.

Направимо вісь хперпендикулярно стінці судини. Згідно з другим законом Ньютона, сила, що діє з боку газу на одиницю поверхні стінки і перпендикулярна до її поверхні, дорівнює зміні перпендикулярної складової імпульсу всіх молекул газу, що ударяються об стінку за одиницю часу. Так як молекул дуже багато і вони ударяються об стінку дуже часто, то можна замінити їхню сумарну дію однією безперервно діючою силою. Ця сила усереднює і згладжує окремі поштовхи. Такий опис відповідає статистичному методу. Так починається перехід від ньютонівської механіки до статистичного опису: місце та час удару кожної молекули об поверхню стінки зовсім не важливі для аналізу аналізованого явища (тиску). Загальний ефект їхньої дії і є те, що входить до статистичного закону. Тільки він важливий для статистичного опису системи. Проте міркування треба розпочинати з розгляду окремого удару.

Коли молекула, пружно взаємодіючи, відскакує від стінки судини, перпендикулярна складова її швидкості змінює знак зворотний, а абсолютна величина швидкості не змінюється (див. підрозділ

1.4.5 рис. 1.37 та формули (1.170), (1.171)). При пружному ударі частинки стінку її імпульс не змінюється по абсолютній величині, але змінює свій напрямок. Тому

де т- Маса молекули; і х- проекція її швидкості на напрямок обраної осі (вісь х- перпендикулярна стінці).

Ця зміна імпульсу молекули газу відбувається під дією сили, що діє на молекулу стінки. За третім законом Ньютона «дія одно протидії»: стінка судини, що містить газ, при кожному ударі молекули отримує рівний за величиною і протилежний за напрямом імпульс, рівний 2 ти х.Скільки ударів об одиницю поверхні відбудеться за одиницю часу? У напрямку до майданчика Sрухається велика кількість молекул під різними кутами до нормалі її поверхні (від 0 до ±л/2). Подумки виберемо тільки ті з них, проекції швидкостей яких на вісь хлежать в інтервалі від і хдо і х + d та х.Позначимо через d N(v x)число молекул, проекції швидкостей яких на вісь хукладені у зазначеному інтервалі значень, і які за час т досягнуть майданчика Sна стінці судини. Тоді сумарна зміна імпульсу всіх цих молекул в результаті дії на них стінки дорівнює 2mu x dN(u x),а середня за час т сила di? (i; x),діюча з боку стінки на молекули, складе:

Мал. 4.3.

Тиск d р хдіюча з боку молекул з проекціями швидкостей і хна стінку, запишеться у вигляді:

Підрахуємо величину d N(v x).За час т стінки судини досягнуть молекули, що знаходяться в обсязі V = IS = v x xS(Рис. 4.3). Позначивши концентрацію таких молекул через бл(о х), знайдемо:

Концентрація молекул, швидкості яких лежать в інтервалі від і хдо v x + d v x ,може бути записана з використанням функції розподілу f(v x)у вигляді:

де - Нормована функція розподілу числа частинок

за проекціями швидкостей v x , п -їх концентрація і тоді

Тиск, що чиниться на стінку молекулами, що мають проекції швидкості v xв інтервалі від і хдо і х + d v x ,буде

Якщо потрібно підрахувати тиск, який викликається всіма молекулами, необхідно проінтегрувати отриманий вираз за всіма можливими значеннями проекцій швидкостей (нульовою проекцією швидкості на вісь хмають покояться молекули і молекули, що рухаються перпендикулярно до осі. х,а максимально можливе значення проекції швидкості на вісь - умовно «ос», що відноситься до руху молекули вздовж цієї осі з найбільшою швидкістю та тзх).Тому:

Інтегрування проводиться за всіма можливими значеннями проекцій v x.Оскільки в даному випадку газ перебуває у стані термодинамічної рівноваги, то молекули рухаються абсолютно безладно (хаотично) - всі напрямки руху рівноймовірні. Проекції їх швидкостей на будь-яку обрану вісь можуть бути різними за величиною. При кожному зіткненні будь-якої молекули з іншими величина її швидкості повинна, взагалі кажучи, змінюватися, причому з ймовірністю вона може як зростати, так і зменшуватися.

Так як зміни швидкостей молекул при зіткненнях відбуваються випадковим чином, то може статися, що в результаті послідовних зіткнень молекула весь час тільки отримуватиме енергію від інших молекул, і її енергія буде значно вищою за середню енергію, а отже, і швидкості таких молекул також будуть вищими середньої. Можна уявити фантастичний випадок, коли всі молекули зупиняться, передавши всю енергію одній єдиній молекулі. І тут однаково ця єдина молекула матиме кінцеву енергію і кінцеву величину швидкості. Таким чином, швидкість молекул газу не може бути більшою за деяку та тах.Враховуючи малу величину ймовірності зосередження на одній молекулі помітної частки сумарної енергії всіх молекул, можна стверджувати, що надто великі порівняно із середнім значенням швидкості (або енергії) можуть з'являтися дуже рідко. Тому в (4.19) верхню межу інтегрування можна прийняти рівним нескінченності і від цього величина інтеграла практично не зміниться. Практично виключено, що в результаті зіткнень швидкість молекули стане точно дорівнює нулю. Отже, дуже великі і дуже малі, порівняно із середнім значенням швидкості, малоймовірні, причому ймовірність мати значення швидкості о хпрагне до нуля як при v x -> 0, так і за і х-> оо. Звідси також випливає, що швидкості молекул групуються поблизу певного найімовірнішого значення (див. табл. 4.1).

Через ізотропність простору позитивний напрямок осі хможе бути обрано довільно - результат ні залежати від вибору напрями, оскільки вважається, що будь-які напрями у просторі еквівалентні. Оскільки тиск рстворюється лише тими молекулами, які рухаються до стінки (тобто половиною загального числа молекул, які мають позитивні проекції та х),то з урахуванням (4.19) для тиску отримуємо:

де (Див. формулу (4.11)).

Вираз (4.20) можна змінити, перейшовши від проекцій швидкостей молекул до абсолютних значень цих швидкостей. Справді, через хаотичність руху молекул та ізотропності простору: , але звідки:

Підставляючи вираз (4.21) (4.20), отримуємо:

де - Середня кінетична енергія молекул ідеального

Вираз (4.22) є однією із форм запису основного рівняння молекулярно-кінетичної теорії ідеального газу.

Таким чином, тиск ідеального газу дорівнює двом третинам об'ємної густини середньої кінетичної енергії (і) поступального руху молекул.

Іншу форму запису рівняння (4.22) отримаємо, помноживши обидві його частини на об'єм одного моль V Mгазу:

Враховуючи, що pV M = RT(Рівняння Менделєєва-Клапейрона для моль газу), a nV M= АТ =6,02 10 23 моль - число Авогадро, маємо RT=

= (2/3) N a іСтавлення позначається до Ь -це

постійна Больцмана: до Ь = 1,38 10 -23 Дж/К. Ця постійна відіграє фундаментальну роль у молекулярній фізиці, фізичній статистиці та термодинаміці. З постійної Больцмана вираз для середньої кінетичної енергії однієї молекули газу записується у вигляді:

Твір до Т,має розмірність енергії, є міра енергії теплового руху молекул.

Оцінимо величину до ъ Тдля кімнатної температури

При Т* 300 К, = 1,38 10-23 (Дж/К) 300 К * 4? 10-21 Дж * «0,026 еВ = 26 меВ. Нагадаємо, що 1 еВ = 1,6 10 -19 Дж.

Тепер знайдемо зв'язок тиску із температурою. Для цього в (4.22) підставимо вираз для (4.24) і після скорочень отримаємо:

Вираз (4.25) є іншою формою запису основного рівняння молекулярно-кінетичної теорії. Якщо обидві частини (4.25) помножити на масу молекули т,то отримаємо: тр = тпкГ, або тр = ркь Т,де р - густина газу, звідки слідує, що абсолютна температура Тможе бути визначена виразом:

Вираз (4.26) може бути використаний для градуювання термометрів та вимірювання абсолютної температури Тпо тиску рта щільності р газу.

• У цьому розділі потенційна та внутрішня енергія позначатимуться символом U.
• Тут і далі символом р, який раніше використовувався для позначення імпульсу, будемо позначати тиск. Надалі при зміні позначень це спеціально обговорюватиметься.
• У цьому розділі ми будемо позначати кінетичну енергію буквою р.