Навчити дитину поділу стовпчиком просто. Необхідно пояснити алгоритм цієї дії та закріпити пройдений матеріал.

• Згідно з шкільною програмою, поділ стовпчиком дітям починають пояснювати вже у третьому класі. Учні, які схоплюють усі на льоту, швидко розуміють цю тему
• Але, якщо дитина захворіла і пропустила уроки математики, або вона не зрозуміла тему, тоді батьки повинні самостійно малюкові пояснити матеріал. Потрібно максимально доступно донести до нього інформацію
• Мами та тата під час навчального процесу дитини повинні бути терплячими, виявляючи такт по відношенню до свого чада. У жодному разі не можна кричати на дитину, якщо в неї щось не виходить, адже так можна відбити у неї все полювання до занять

Важливо: Щоб дитина зрозуміла розподіл чисел, вона повинна досконало знати таблицю множення. Якщо малюк погано знає множення, він не зрозуміє поділ.

Під час домашніх додаткових занять можна користуватися шпаргалками, але дитина повинна вивчити таблицю множення, перш ніж приступати до теми «Поділ».

Отже, як пояснити дитині розподіл стовпчиком:

• Намагайтеся спочатку пояснити на маленьких цифрах. Візьміть лічильні палички, наприклад, 8 штук
• Запитайте у дитини, скільки пар у цьому ряду паличок? Правильно — 4. Отже, якщо поділити 8 на 2, вийде 4, а при розподілі 8 на 4 вийде 2
• Нехай дитина сама розділить інше число, наприклад, складніше: 24:4
• Коли малюк освоїв розподіл простих чисел, тоді можна переходити до поділу тризначних чисел на однозначні

Поділ завжди дається дітям трохи важче, ніж множення. Але старанні додаткові заняття вдома допоможуть малюкові зрозуміти алгоритм цієї дії та не відставати від однолітків у школі.

Починайте з простого - поділ на однозначне число:

Важливо: Прорахуйте в умі, щоб поділ вийшов без залишку, інакше дитина може заплутатися.

Наприклад, 256 розділити на 4:

• Накресліть на аркуші паперу вертикальну лінію та розділіть її з правої частини навпіл. Зліва напишіть першу цифру, а праворуч над межею другу
• Запитайте у малюка, скільки четвірок міститься у двійці — анітрохи
• Тоді беремо 25. Для наочності відокремте це число зверху куточком. Знову запитайте у дитини, скільки міститься четвірок о двадцяти п'яти? Правильно – шість. Пишемо цифру «6» у нижньому правому кутку під лінією. Дитина повинна використовувати таблицю множення для правильної відповіді
• Запишіть під 25 цифру 24 і підкресліть, щоб записати відповідь — 1
• Знову запитуйте: в одиниці скільки міститься четвірок — анітрохи. Тоді зносимо до одиниці цифру "6"
• Вийшло 16 — скільки четвірок міститься в цьому числі? Правильно — 4. Записуємо «4» поруч із «6» у відповіді
• Під 16 записуємо 16, підкреслюємо та виходить «0», значить ми розділили правильно і відповідь вийшла «64»

Письмовий поділ на двозначне число

Коли дитина освоїв поділ на однозначне число, можна рухатися далі. Письмове розподіл на двозначне число трохи складніше, але якщо малюк зрозуміє, як виробляється ця дія, тоді йому не важко буде вирішувати такі приклади.

Важливо: Починайте знову пояснювати з простих дій. Дитина навчиться правильно підбирати цифри і буде легко ділити складні числа.

Виконайте разом таку просту дію: 184:23 — як треба пояснювати:

• Розділимо спочатку 184 на 20, виходить приблизно 8. Але ми не пишемо цифру 8 у відповідь, оскільки це пробна цифра
• Перевіряємо, чи підходить 8 чи ні. Множимо 8 на 23, виходить 184 - це саме те число, яке у нас стоїть у дільнику. Відповідь буде 8

Важливо: Щоб дитина зрозуміла, спробуйте замість вісімки взяти 9, нехай вона помножить 9 на 23, виходить 207 це більше, ніж у нас у дільнику. Цифра 9 нам не підходить.

Так поступово малюк зрозуміє поділ, і йому буде легко ділити складніші числа:

• Розділимо 768 на 24. Визначте першу цифру частки — ділимо 76 не на 24, а на 20, виходить 3. Записуємо 3 у відповідь під межею праворуч
• Під 76 записуємо 72 і проводимо лінію, записуємо різницю - вийшло 4. Ця цифра поділяється на 24? Ні - зносимо 8, виходить 48
• Цифра 48 поділяється на 24? Правильно – так. Виходить 2, записуємо цю цифру у відповідь
• Вийшло 32. Тепер можна перевірити — чи правильно ми виконали ділення поділу. Зробіть множення в стовпчик: 24х32, виходить 768, отже, все правильно

Якщо дитина навчилася виконувати поділ на двоцифрове число, тоді необхідно перейти до наступної теми. Алгоритм розподілу на тризначне число такий самий, як і алгоритм розподілу на двозначне число.

Наприклад:

• Розділимо 146064 на 716. Беремо спочатку 146 – запитайте у дитини ділиться це число на 716 чи ні. Правильно — ні, тоді беремо 1460 року
• Скільки разів число 716 поміститься у числі 1460? Правильно - 2, значить пишемо цю цифру у відповіді
• Помножуємо 2 на 716, виходить 1432. Записуємо цю цифру під 1460. Виходить різниця 28, записуємо під межею
• Зносимо 6. Запитайте у дитини – 286 ділиться на 716? Правильно — ні, тому пишемо 0 у відповіді поруч із 2. Зносимо ще цифру 4
• Ділимо 2864 на 716. Беремо по 3 - мало, по 5 - багато, значить виходить 4. Помножуємо 4 на 716, виходить 2864
• Запишіть 2864 під 2864, виходить у різниці 0. Відповідь 204

Важливо: Для перевірки правильності виконання поділу помножте разом з дитиною в стовпчик - 204х716 = 146064. Розподіл виконано правильно.

Настав час дитині пояснити, що розподіл може бути не лише націло, а й із залишком. Залишок завжди менший за дільник або дорівнює йому.

Поділ із залишком слід пояснювати на простому прикладі: 35:8 = 4 (залишок 3):

• Скільки вісімок міститься у 35? Правильно - 4. Залишається 3
• Чи ділиться ця цифра на 8? Правильно – ні. Виходить, залишок 3

Після цього дитина повинна дізнатися, що можна продовжувати поділ, дописуючи 0 до цифри 3:

• У відповіді стоїть цифра 4. Після неї пишемо кому, тому що додавання нуля говорить про те, що число буде з дробом
• Вийшло 30. Ділимо 30 на 8, виходить 3. Записуємо у відповідь, а під 30 пишемо 24, підкреслюємо та пишемо 6
• Зносимо до цифри 6 цифру 0. Ділимо 60 на 8. Беремо по 7, виходить 56. Пишемо під 60 і записуємо різницю 4
• До цифри 4 дописуємо 0 і ділимо на 8, виходить 5 - записуємо у відповідь
• Віднімаємо 40 із 40, виходить 0. Отже, відповідь: 35:8=4,375

Порада: Якщо дитина щось не зрозуміла - не злиться. Нехай мине кілька днів і знову постарайтеся пояснити матеріал.

Уроки математики у школі також закріплюватимуть знання. Мине час і малюк швидко і легко вирішуватиме будь-які приклади на поділ.

Алгоритм поділу чисел полягає в наступному:

• Зробити прикидку числа, яке стоятиме у відповіді
• Знайти перше неповне ділене
• Визначити число цифр у приватному
• Знайти цифри у кожному розряді приватного
• Знайти залишок (якщо він є)

За таким алгоритмом виконується розподіл як на однозначні числа, так і на будь-яке багатозначне число (двозначне, тризначне, чотиризначне і таке інше).

Займаючись з дитиною, частіше їй задавайте приклади виконання прикидки. Він повинен швидко в думці підрахувати відповідь. Наприклад:

• 1428:42
• 2924:68
• 30296:56
• 136576:64
• 16514:718

Для закріплення результату можна використовувати такі ігри на поділ:

• «Головоломка». Напишіть на аркуші п'ять прикладів. Тільки один із них має бути з правильною відповіддю.

Умова для дитини: Серед кількох прикладів лише один вирішено правильно. Знайди його за хвилину.

Відео: Гра арифметика для дітей додавання віднімання розподіл множення

Відео: Розвиваючий мультфільм Математика Вивчення напам'ять таблиці множення та поділу на 2

Прочитайте тему уроку: «Поділ із залишком». Що ви вже знаєте на цю тему?

Чи можете розкласти 8 слив порівну на дві тарілки (рис. 1)?

Мал. 1. Ілюстрація наприклад

У кожну тарілку можна покласти по 4 сливи (рис. 2).

Мал. 2. Ілюстрація наприклад

Дію, яку ми виконали, можна записати так.

8: 2 = 4

Як ви вважаєте, чи можна 8 слив порівну розкласти на 3 тарілки (рис. 3)?

Мал. 3. Ілюстрація наприклад

Діятимемо так. Спочатку в кожну тарілку покладемо по одній сливі, потім по другій сливі. У нас залишиться 2 сливи, але 3 тарілки. Отже, далі порівну ми не можемо розкласти. Ми поклали у кожну тарілку по 2 сливи, і 2 сливи у нас залишилося (рис. 4).

Мал. 4. Ілюстрація наприклад

Продовжимо спостереження.

Прочитайте цифри. Серед цих чисел знайдіть ті, що діляться на 3.

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Перевірте себе.

Інші числа (11, 13, 14, 16, 17, 19) на 3 не діляться, або кажуть "діляться із залишком".

Знайдемо значення частки.

Дізнаємося, скільки разів по 3 міститься в числі 17 (рис. 5).

Мал. 5. Ілюстрація наприклад

Ми бачимо, що помістилося по 3 овали 5 разів і 2 овали залишилося.

Виконану дію можна записати так.

17: 3 = 5 (зуп. 2)

Можна записати і в стовпчик (рис. 6)

Мал. 6. Ілюстрація наприклад

Розгляньте малюнки. Поясніть підписи до цих малюнків (рис. 7).

Мал. 7. Ілюстрація наприклад

Розглянемо перший рисунок (рис. 8).

Мал. 8. Ілюстрація наприклад

Ми, що 15 овалів розділили по 2. По 2 повторилося 7 разів, у залишку - 1 овал.

Розглянемо другий рисунок (рис. 9).

Мал. 9. Ілюстрація наприклад

На цьому малюнку 15 квадратів розділили по 4. По 4 повторилося 3 рази, у залишку – 3 квадрати.

Розглянемо третій рисунок (рис. 10).

Мал. 10. Ілюстрація наприклад

Можна сміливо сказати, що 15 овалів розділили по 3. По 3 повторилося 5 разів порівну. У таких випадках кажуть, що залишок – 0.

Виконаємо поділ.

Сім квадратів розділимо по три. Отримаємо дві групи, і один квадрат залишиться. Запишемо рішення (рис. 11).

Мал. 11. Ілюстрація наприклад

Виконаємо поділ.

Дізнаємося, скільки разів по чотири міститься в числі 10. Бачимо, що в числі 10 по чотири міститься 2 рази та 2 квадрати залишаються. Запишемо рішення (рис. 12).

Мал. 12. Ілюстрація наприклад

Виконаємо поділ.

Дізнаємося, скільки разів по два міститься в числі 11. Бачимо, що серед 11 по два міститься 5 разів і 1 квадрат залишається. Запишемо рішення (рис. 13).

Мал. 13. Ілюстрація наприклад

Зробимо висновок. Розділити із залишком - значить дізнатися, скільки разів дільник міститься в діленому і скільки одиниць залишиться.

Розподіл із залишком можна виконати і на числовому промені.

На числовому промені відзначимо відрізки по 3 поділки і побачимо, що по три поділки виявилося тричі і один поділ залишився (рис. 14).

Мал. 14. Ілюстрація наприклад

Запишемо рішення.

10: 3 = 3 (зуп.1)

Виконаємо поділ.

На числовому промені відзначимо відрізки по 3 поділки і побачимо, що по три поділки виявилося тричі і два поділки залишилося (рис. 15).

Мал. 15. Ілюстрація наприклад

Запишемо рішення.

11: 3 = 3 (зуп.2)

Виконаємо поділ.

На числовому промені відзначимо відрізки по 3 поділки та побачимо, що отримали рівно 4 рази, залишок відсутній (рис. 16).

Мал. 16. Ілюстрація наприклад

Запишемо рішення.

12: 3 = 4

Сьогодні на уроці ми познайомилися з поділом із залишком, навчилися виконувати названу дію за допомогою малюнка та числового променя, потренувалися у вирішенні прикладів на тему уроку.

Список литературы

1. М.І. Моро, М.А. Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 1. – М.: «Освіта», 2012.
2. М.І. Моро, М.А. Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 2. – М.: «Освіта», 2012.
3. М.І. Море. Уроки математики: Методичні поради для вчителя. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
4. Нормативно-правовий документ. Контроль та оцінка результатів навчання. – К.: «Освіта», 2011.
5. "Школа Росії": Програми для початкової школи. – К.: «Освіта», 2011.
6. С.І. Волкова. Математика: Перевірочні роботи. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
7. В.М. Рудницька. Тести. – К.: «Іспит», 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Домашнє завдання

1. Випиши числа, які поділяються на 2 без залишку.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

2. Виконай розподіл із залишком за допомогою малюнка.

3. Виконай поділ із залишком за допомогою числового променя.

4. Склади завдання для своїх товаришів на тему уроку.

Поділ стовпчиком(також можна зустріти назву поділкуточком) - стандартна процедура варифметиці, призначена для поділу простих чи складних багатозначних чисел за рахунок розбиванняподілу ряд більш простих кроків. Як і у всіх завданнях на поділ, одне число, званеділимим, ділиться на інше, званедільником, роблячи результат, званийприватним.

Стовпчиком можна проводити як розподіл натуральних чисел без залишку, так і розподіл натуральних чиселіз залишком.

Правила запису при розподілі стовпчиком.

Почнемо з вивчення правил запису дільника, дільника, всіх проміжних викладок та результатів прирозподілі натуральних чисел стовпчиком. Відразу скажемо, що письмово виконувати поділ стовпчикомНайзручніше на папері з картатою розлинівкою - так менше шансів збитися з потрібного рядка та стовпця.

Спочатку в одному рядку зліва направо записуються ділене та дільник, після чого між записанимичислами зображується символ виду.

Наприклад, якщо ділимим є число 6105, а дільником 55, їх правильна запис при розподілі встовпчик буде такий:

Подивіться на наступну схему, що ілюструє місця для запису діленого, дільника, приватного,залишку та проміжних обчислень при розподілі стовпчиком:

З наведеної схеми видно, що приватне (або неповне приватнепри розподілі із залишком) будезаписано нижче дільника під горизонтальною межею. А проміжні обчислення будуть вестись нижчеділимо, і потрібно заздалегідь подбати про наявність місця на сторінці. При цьому слід керуватисяправилом: чим більша різниця у кількості знаків у записах діленого та дільника, тим більшепотрібно місця.

Розподіл стовпчиком натурального числа на однозначне натуральне число, алгоритм розподілу стовпчиком.

Як ділити у стовпчик найкраще пояснити на прикладі.Обчислити:

512:8=?

Для початку запишемо ділене і дільник у стовпчик. Виглядатиме це так:

Їх приватне (результат) записуватимемо під дільником. В нас це цифра 8.

1. Визначаємо неповне приватне. Спочатку ми дивимося на першу ліворуч цифру в записі поділеного.Якщо число, яке визначається цією цифрою, більше від дільника, то в наступному пункті нам доведеться працюватиіз цим числом. Якщо ж це число менше, ніж дільник, то нам потрібно додати до розгляду наступнезліва цифру в записі поділеного, і працювати далі з числом, що визначається двома розглянутимицифрами. Для зручності виділимо в нашому записі число, з яким ми будемо працювати.

2. Беремо 5. Цифра 5 менша за 8, отже потрібно взяти ще одну цифру з поділеного. 51 більше 8. Значить.це неповне приватне. Ставимо крапку у приватному (під куточком дільника).

Після 51 стоїть лише одна цифра 2. Значить і додаємо ще одну точку.

3. Тепер, згадуючитаблицю множення на 8, знаходимо найближчий до 51 твір → 6 х 8 = 48→ записуємо цифру 6 у приватне:

Записуємо 48 під 51 (якщо помножити 6 із частки на 8 з дільника, отримаємо 48).

Увага!При записі під неповним приватним найправіша цифра неповного приватного має стояти наднайправішою цифроютвори.

4. Між 51 і 48 зліва поставимо "-" (мінус).Віднімемо за правилами віднімання у стовпчик 48 і під межеюзапишемо результат.

Однак, якщо результатом віднімання є нуль, то його не потрібно записувати (якщо тільки віднімання вцьому пункті не є найостаннішою дією, що повністю завершує процес поділустовпчиком).

У залишку вийшло 3. Порівняємо залишок із дільником. 3 менше 8.

Увага!Якщо залишок вийшов більше дільника, то ми помилилися в розрахунку і є твірближче, ніж те, що ми взяли.

5. Тепер під горизонтальною рисою праворуч від цифр, що знаходяться там (або праворуч від місця, де ми нестали записувати нуль) записуємо цифру, розташовану в тому ж стовпці в записі поділеного. Якщо ж узапису поділеного у цьому стовпці немає цифр, то розподіл стовпчиком у цьому закінчується.

Число 32 більше за 8. І знову за таблицею множення на 8, знайдемо найближчий твір → 8 x 4 = 32:

У залишку вийшов нуль. Отже, числа розділилися націло (без залишку). Якщо після останньоговіднімання виходить нуль, а цифр більше не залишилося, то це залишок. Його дописуємо до приватного вдужках (наприклад, 64(2)).

Розподіл стовпчиком багатозначних натуральних чисел.

Розподіл на натуральне багатозначне число виробляється аналогічно. При цьому, по-перше"проміжне" ділене включається стільки старших розрядів, щоб воно вийшло більше дільника.

Наприклад, 1976 поділимо на 26.

• Число 1 у старшому розряді менше 26, тому розглянемо число, складене з двох цифр старших розрядів – 19.
• Число 19 також менше 26, тому розглянемо число, складене з трьох старших розрядів - 197.
• Число 197 більше за 26, ділимо 197 десятків на 26: 197: 26 = 7 (15 десятків залишилося).
• Перекладаємо 15 десятків одиниці, додаємо 6 одиниць з розряду одиниць, отримуємо 156.
• 156 ділимо на 26, отримуємо 6.

Отже, 1976: 26 = 76.

Якщо на якомусь кроці поділу «проміжне» ділене виявилося меншим за дільник, то в приватномузаписується 0, а число з цього розряду переводиться в наступний, молодший розряд.

Розподіл із десятковим дробом у частці.

Десяткові дроби онлайн. Переведення десяткових дробів у звичайні та звичайних дробів у десяткові.

Якщо натуральне число не ділиться націло на однозначне натуральне число, можна продовжитипорозрядне розподіл і одержати у приватному десятковий дріб.

Наприклад 64 розділимо на 5.

• 6 десятків ділимо на 5, отримуємо 1 десяток та 1 десяток у залишку.
• Десяток, що залишився, переводимо в одиниці, додаємо 4 з розряду одиниць, отримуємо 14.
• 14 одиниць ділимо на 5, отримуємо 2 одиниці та 4 одиниці в залишку.
• 4 одиниці переводимо до десятих, отримуємо 40 десятих.
• 40 десятих ділимо на 5, отримуємо 8 десятих.

Отже, 64: 5 = 12,8

Таким чином, якщо при розподілі натурального числа на натуральне однозначне чи багатозначне числовиходить залишок, то можна поставити в приватному кому, залишок перевести в одиниці наступного,меншого розряду та продовжувати поділ.

Розподіл багатозначних чисел найлегше виконувати стовпчиком. Поділ стовпчиком інакше називають розподіл куточком.

Перед тим як розпочати виконання поділу стовпчиком, докладно розглянемо саму форму запису поділу стовпчиком. Спочатку записуємо ділене і праворуч від нього ставимо вертикальну межу:

За вертикальною межею, навпроти поділеного, пишемо дільник і під ним проводимо горизонтальну межу:

Під горизонтальною рисою поетапно буде записуватися приватне, що виходить в результаті обчислень:

Під ділимим будуть записуватись проміжні обчислення:

Повністю форма запису поділу стовпчиком виглядає так:

Як ділити стовпчиком

Допустимо, нам потрібно розділити 780 на 12, записуємо дію в стовпчик і приступаємо до поділу:

Розподіл стовпчиком виконується поетапно. Перше, що нам потрібно зробити, це визначити неповне поділення. Дивимося на першу цифру поділеного:

це число 7, так як воно менше дільника, то ми не можемо почати поділ з нього, отже потрібно взяти ще одну цифру з діленого, число 78 більше дільника, тому ми починаємо поділ з нього:

У нашому випадку число 78 буде неповним ділимим, Неповним воно називається тому, що є лише частиною ділимого.

Визначивши неповне ділене, ми можемо дізнатися скільки цифр буде в приватному, для цього нам потрібно порахувати, скільки цифр залишилося в ділимому після неповного ділимого, в нашому випадку лише одна цифра - 0, це означає, що приватне складатиметься з 2 цифр.

Дізнавшись кількість цифр, що має вийти у приватному, на його місці можна поставити крапки. Якщо при завершенні поділу кількість цифр вийшла більшою або меншою, ніж зазначено точок, значить десь була допущена помилка:

Приступаємо до поділу. Нам потрібно визначити скільки разів 12 міститься в числі 78. Для цього ми послідовно множимо дільник на натуральні числа 1, 2, 3, …, поки не вийде число максимально близьке до неповного поділеного або рівне йому, але не перевищує його. Таким чином ми отримуємо число 6, записуємо його під дільник, а з 78 (за правилами віднімання стовпчиком) віднімаємо 72 (12 · 6 = 72). Після того, як ми відняли 72 з 78, вийшов залишок 6:

Зверніть увагу, що залишок від розподілу показує нам, чи правильно ми підібрали число. Якщо залишок дорівнює дільнику або більше за нього, то ми не правильно підібрали число і нам потрібно взяти число побільше.

До залишку, що вийшов - 6, зносимо наступну цифру ділимого - 0. В результаті, вийшло неповне ділене - 60. Визначаємо, скільки разів 12 міститься в числі 60. Отримуємо число 5, записуємо його в приватне після цифри 6, а з 60 віднімаємо 60 12 · 5 = 60). У залишку вийшов нуль:

Так як в ділимо більше не залишилося цифр, значить 780 розділилося на 12 націло. В результаті виконання поділу стовпчиком ми знайшли приватне - воно записано під дільником:

Розглянемо приклад, як у приватному виходять нулі. Припустимо, нам потрібно розділити 9027 на 9.

Визначаємо неповне ділене - це число 9. Записуємо в приватне 1 і з 9 віднімаємо 9. У залишку вийшов нуль. Зазвичай, якщо у проміжних обчисленнях у залишку виходить нуль, його не записують:

Зносимо наступну цифру поділюваного - 0. Згадуємо, що при розподілі нуля на будь-яке число буде нуль. Записуємо в приватне нуль (0: 9 = 0) і в проміжних обчисленнях з 0 віднімаємо 0. Зазвичай, щоб не нагромаджувати проміжні обчислення, обчислення з нулем не записують:

Зносимо наступну цифру ділимого - 2. У проміжних обчисленнях вийшло так, що неповне ділене (2) менше, ніж дільник (9). У цьому випадку приватне записують нуль і зносять наступну цифру ділимого:

Визначаємо, скільки разів 9 міститься в числі 27. Отримуємо число 3, записуємо його в приватне, а з 27 віднімаємо 27. У залишку вийшов нуль:

Так як у ділимому більше не залишилося цифр, то число 9027 розділилося на 9 націло:

Розглянемо приклад, коли ділене закінчується нулями. Нехай нам потрібно поділити 3000 на 6.

Визначаємо неповне ділене - це число 30. Записуємо в приватне 5 і з 30 віднімаємо 30. У залишку вийшов нуль. Як було зазначено, нуль у залишку в проміжних обчисленнях записувати необов'язково:

Зносимо наступну цифру ділимого - 0. Так як при розподілі нуля на будь-яке число буде нуль, записуємо в приватне нуль і в проміжних обчисленнях з 0 віднімаємо 0:

Зносимо наступну цифру ділимого - 0. Записуємо в приватне ще один нуль і в проміжних обчисленнях з 0 віднімаємо 0. Так як у проміжних обчисленнях, обчислення з нулем зазвичай не записують, то запис можна скоротити, залишивши тільки залишок - 0. Нуль у залишку в самому кінці обчислень зазвичай записують у тому, щоб показати, що розподіл виконано націло:

Так як в ділимо більше не залишилося цифр, значить 3000 розділилося на 6 націло:

Поділ стовпчиком із залишком

Нехай нам потрібно розділити 1340 на 23.

Визначаємо неповне ділене - це число 134. Записуємо в приватне 5 і з 134 віднімаємо 115. У залишку вийшло 19:

Зносимо наступну цифру ділимого - 0. Визначаємо, скільки разів 23 міститься в числі 190. Отримуємо число 8, записуємо його в приватне, а з 190 віднімаємо 184. Отримуємо залишок 6:

Так як у ділимому більше не залишилося цифр, поділ закінчився. В результаті вийшло неповне приватне 58 та залишок 6:

1340: 23 = 58 (залишок 6)

Залишилося розглянути приклад поділу із залишком, коли ділене менше дільника. Нехай нам потрібно розділити 3 на 10. Ми бачимо, що 10 жодного разу не міститься в числі 3, тому записуємо в 0 і з 3 віднімаємо 0 (10 · 0 = 0). Проводимо горизонтальну межу і записуємо залишок - 3:

3: 10 = 0 (залишок 3)

Калькулятор поділу стовпчиком

Даний калькулятор допоможе вам виконати поділ стовпчиком. Просто введіть дільник та дільник і натисніть кнопку Обчислити.

Від загального уявлення про поділ натуральних чисел із залишком рухатимемося далі, і в цій статті ми розберемося з принципами, за якими проводиться ця дія. Взагалі розподіл із залишкоммає багато спільного з розподілом натуральних чисел без залишку, так що ми часто будемо посилатися на матеріал зазначеної статті.

Спочатку розберемося з розподілом натуральних чисел із залишком у стовпчик. Далі ми покажемо, як можна знайти результат поділу натуральних чисел із залишком, проводячи послідовне віднімання. Після цього перейдемо до методу підбору неповного приватного, не забуваючи при цьому наводити приклади з детальним описом рішення. Далі запишемо алгоритм, що дозволяє проводити розподіл натуральних чисел із залишком у загальному випадку. Наприкінці статті ми покажемо, як виконується перевірка результату поділу натуральних чисел із залишком.

Навігація на сторінці.

Поділ натуральних чисел у стовпчик із залишком

Одним із найзручніших способів поділу натуральних чисел із залишком є ​​поділ стовпчиком. У статті розподіл натуральних чисел стовпчиком ми дуже докладно розібрали цей спосіб розподілу. Тут не повторюватимемося, а просто наведемо рішення одного прикладу.

приклад.

Виконайте поділ із залишком натурального числа 273 844 на натуральне число 97 .

Рішення.

Проведемо поділ стовпчиком:

Таким чином, неповне приватне від розподілу 273844 на 97 дорівнює 2823 , а залишок дорівнює 13 .

Відповідь:

273 844:97 = 2 823 (зуп. 13) .

Розподіл натуральних чисел із залишком через послідовне віднімання

Знайти неповне приватне і залишок від розподілу натуральних чисел можна, виконуючи послідовне віднімання дільника.

Суть цього підходу проста: з елементів наявної множини послідовно формуються множини з необхідною кількістю елементів до того моменту, поки це можливо, кількість отриманих множин дає неповне приватне, а кількість елементів, що залишилися у вихідній множині - залишок від поділу.

Наведемо приклад.

приклад.

Допустимо, нам потрібно розділити 7 на 3 .

Рішення.

Уявимо, що нам потрібно розкласти 7 яблук у пакети по 3 яблука. З вихідної кількості яблук ми беремо 3 штуки і кладемо в перший пакет. При цьому через сенс віднімання натуральних чисел у нас залишається 7−3=4 яблука. З них ми знову беремо 3 штуки і кладемо їх у другий пакет. Після цього у нас залишається 4-3 = 1 яблуко. Зрозуміло, що на цьому процес закінчується (ми не можемо сформувати ще один пакет з необхідною кількістю яблук, оскільки кількість яблук, що залишилася, 1 менше потрібної нам кількості 3). У результаті ми маємо два пакети з необхідною кількістю яблук та одне яблуко у залишку.

Тоді через сенс поділу натуральних чисел із залишком можна стверджувати, що ми отримали наступний результат 7:3=2 (зуп. 1) .

Відповідь:

7:3 = 2 (зуп. 1).

Розглянемо рішення ще одного прикладу, у своїй наведемо лише математичні викладки.

приклад.

Розділіть натуральне число 145 на 46 , виконуючи послідовне віднімання.

Рішення.

145−46=99 (за потреби звертайтеся до статті віднімання натуральних чисел). Оскільки 99 більше, ніж 46 , то проводимо віднімання дільника вдруге: 99−46=53 . Оскільки 53>46 , то віднімаємо дільник втретє: 53-46 = 7 . Так як 7 менше, ніж 46, то ще раз провести віднімання ми не зможемо, тобто, на цьому закінчуємо процес послідовного віднімання.

У результаті нам потрібно було від діленого 145 послідовно відняти 3 рази дільник 46 , після чого вийшов залишок 7 . Таким чином, 145:46 = 3 (зуп. 7) .

Відповідь:

145: 46 = 3 (зуп. 7) .

Слід зазначити, що ділене менше дільника, ми зможемо проводити послідовне віднімання. Та це й не потрібно, тому що в цьому випадку ми можемо одразу написати відповідь. І тут неповне приватне дорівнює нулю, а залишок дорівнює ділимому. Тобто, якщо a

Ще треба сказати, що виконувати розподіл натуральних чисел із залишком розглянутим способом добре лише тоді, коли для отримання результату потрібно провести невелику кількість послідовних віднімань.

Підбір неповного приватного

При розподілі даних натуральних чисел a і b із залишком неповне приватне c можна підібрати. Зараз ми покажемо, на чому ґрунтується процес підбору і як він має проходити.

Спочатку визначимося, серед яких чисел шукати неповне приватне. Коли ми говорили про сенс поділу натуральних чисел з залишком, то з'ясували, що неповне приватне може бути або нулем, або натуральним числом, тобто одним з чисел 0, 1, 2, 3, ... Таким чином, шукане неповне приватне є одним із записаних чисел, і нам залишається перебрати їх, щоб визначити, яким саме числом є неповне приватне.

Далі нам знадобиться рівняння виду d=a−b·c , що задає , і навіть той факт, що залишок завжди менше дільника (це ми також згадували, коли говорили про сенс розподілу натуральних чисел із залишком).

Тепер можна переходити безпосередньо до опису процесу підбору неповного приватного. Подільне a і дільник b нам відомі спочатку, як неповний приватний c ми послідовно приймаємо числа 0 , 1 , 2 , 3 , …, щоразу обчислюючи значення d=a−b·c і порівнюючи його з дільником. Цей процес завершується, як тільки отримане значення буде меншим, ніж дільник. При цьому число c на цьому кроці є неповним шуканим приватним, а значення d=a−b·c є залишком від поділу.

Залишилося розібрати процес підбору неповного на прикладі.

приклад.

Виконайте поділ із залишком натурального числа 267 на 21 .

Рішення.

Підберемо неповне приватне. У прикладі a=267 , b=21 . Будемо послідовно надавати значення c 0 , 1 , 2 , 3 , …, обчислюючи на кожному кроці значення d=a−b·c і порівнюючи його з дільником 21 .

При c=0 маємо d=a−b·c=267−21·0=267−0=267(Спочатку виконується множення натуральних чисел, а потім - віднімання, про це написано в статті). Отримане число більше, ніж 21 (за потреби вивчіть матеріал статті порівняння натуральних чисел). Тому продовжуємо процес підбору.

При c=1 маємо d=a−b·c=267−21·1=267−21=246. Оскільки 246>21, то продовжуємо процес.

При c=2 отримуємо d=a−b·c=267−21·2=267−42=225. Так як 225> 21, то рухаємося далі.

При c=3 маємо d=a−b·c=267−21·3=267−63=204. Оскільки 204>21, то продовжуємо підбір.

При c=12 отримуємо d=a−b·c=267−21·12=267−252=15. Отримали число 15 яке менше, ніж 21 тому процес можна вважати завершеним. Ми підібрали неповне приватне c = 12 при цьому залишок d вийшов рівним 15 .

Відповідь:

267: 21 = 12 (зуп. 15) .

Алгоритм поділу натуральних чисел із залишком, приклади, рішення

У цьому пункті ми розглянемо алгоритм, що дозволяє проводити розподіл із залишком натурального числа a на натуральне число b у тих випадках, коли метод послідовного віднімання (і метод підбору неповного приватного) вимагає надто великої кількості обчислювальних операцій.

Відразу відзначимо, що якщо ділене a менше, ніж дільник b , то ми знаємо і неповне приватне і залишок: a b.

Перш ніж ми докладно опишемо всі кроки алгоритму поділу натуральних чисел із залишком, відповімо на три запитання: що нам відомо, що нам потрібно знайти і виходячи з яких міркувань ми це робитимемо? Спочатку нам відомо ділене a і дільник b. Нам потрібно знайти неповне приватне c і залишок d. Рівність a = b · c + d задає зв'язок між ділим, дільником, неповним приватним і залишком . З записаної рівності випливає, що якщо ми представимо ділене a у вигляді суми b c + d , в якій d менше, ніж b (оскільки залишок завжди менше дільника), то побачимо і неповне приватне c і залишок d .

Залишилося лише розібратися, як ділене a у вигляді суми b·c+d . Алгоритм, що дозволяє це зробити, дуже схожий на алгоритм розподілу натуральних чисел без залишку . Опишемо всі кроки, і одночасно вестимемо рішення прикладу для більшої ясності. Розділимо 899 на 47 .

Перші п'ять пунктів алгоритму дозволять уявити ділене як суми кількох доданків. Слід зазначити, що з цих пунктів циклічно повторюються знову й знову, доки знайдено все доданки, дають у сумі ділене. У заключному шостому пункті отримана сума перетворюється на вид b·c+d (якщо отримана сума вже не матиме такий вигляд), звідки стають видні неповне приватне, що шукається, і залишок.

Отже, приступаємо до уявлення поділеного 899 як суми кількох доданків.

Спочатку обчислюємо, наскільки кількість знаків у записі поділеного більше, ніж кількість знаків у записі дільника, і запам'ятовуємо це число.

У нашому прикладі в записі ділимого 3 знака (899 – тризначне число), а в записі дільника – два знаки (47 – двозначне число), отже, в записі поділеного на один знак більше, і ми запам'ятовуємо число 1 .

Тепер у записі дільника праворуч дописуємо цифри 0 у кількості, що визначається числом, отриманим у попередньому пункті. При цьому якщо записане число буде більшим за ділене, то з запам'ятованого в попередньому пункті числа потрібно відняти 1 .

Повертаємось до нашого прикладу. У записі дільника 47 дописуємо праворуч одну цифру 0 і отримуємо число 470 . Оскільки 470<899 , то запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1 . Таким образом, у нас в памяти остается число 1 .

Після цього до цифри 1 праворуч приписуємо цифри 0 у кількості, що визначається числом, що запам'ятовується в попередньому пункті. При цьому отримуємо одиницю розряду, з яким ми працюватимемо далі.

У прикладі до цифри 1 приписуємо 1 цифру 0 , у своїй отримуємо число 10 , тобто, ми працюватимемо з розрядом десятків.

Тепер послідовно множимо дільник на 1, 2, 3, … одиниці робочого розряду до того моменту, поки не отримаємо число, більше або дорівнює ділимому.

Ми з'ясували, що у прикладі робочим розрядом є розряд десятків. Тому ми спочатку множимо дільник одну одиницю розряду десятків, тобто, множимо 47 на 10 , отримуємо 47·10=470 . Отримане число 470 менше ділимого 899 тому переходимо до множення дільника на дві одиниці розряду десятків, тобто 47 множимо на 20 . Маємо 47 · 20 = 940 . Ми отримали число, яке більше, ніж 899 .

Число, отримане на передостанньому кроці при послідовному множенні, є першим складових, що шукаються.

У прикладі, що розбирається, шуканим доданком є ​​число 470 (це число дорівнює твору 47 · 100, це рівність ми використовуємо пізніше).

Після цього знаходимо різницю між ділимим і першим знайденим доданком. Якщо отримана кількість більша за дільник, то приступаємо до знаходження другого доданку. Для цього повторюємо всі описані кроки алгоритму, але вже як ділимо приймаємо отримане число. Якщо в цьому пункті знову виходить число, більше дільника, то приступаємо до знаходження третього доданку, ще раз повторюючи кроки алгоритму, прийнявши отримане число як поділюваний. І так діємо далі, знаходячи четверте, п'яте та наступні доданки, поки отримане в цьому пункті число не буде меншим від дільника. Як тільки це сталося, то отримане тут число приймаємо як останній шуканий доданок (забігаючи вперед, скажімо, що воно дорівнює залишку), і переходимо до завершального етапу.

Повертаємось до нашого прикладу. На цьому кроці маємо 899-470 = 429. Так як 429> 47, то приймаємо це число як ділимо і повторюємо з ним всі етапи алгоритму.

У записі числа 429 на один знак більше, ніж у записі числа 47 тому, запам'ятовуємо число 1 .

Тепер у записі діленого праворуч дописуємо одну цифру 0 , отримуємо число 470 , яке більше за число 429 . Тому, з запам'ятаного в попередньому пункті числа 1 віднімаємо 1 отримуємо число 0 яке і запам'ятовуємо.

Так як у попередньому пункті ми запам'ятали число 0, то до цифри 1 не потрібно праворуч приписувати жодної цифри 0. При цьому маємо число 1, тобто робочим розрядом є розряд одиниць.

Тепер послідовно множимо дільник 47 на 1, 2, 3, … Не будемо зупинятись на цьому докладно. Скажімо лише, що 47 9 = 423<429 , а 47·10=470>429 . Другим шуканим доданком є ​​число 423 (яке дорівнює 479, що ми використовуємо далі).

Різниця між 429 та 423 дорівнює 6 . Це число менше, ніж дільник 47 тому воно є третім (і останнім) шуканим доданком. Тепер ми можемо перейти до завершального етапу.

От ми й підійшли до заключного етапу. Усі попередні дії були спрямовані на те, щоб подати поділену у вигляді суми кількох доданків. Тепер отриману суму залишилося перетворити на вигляд b c + d . З цим завданням нам допоможе впоратися розподільна властивість множення щодо складання. Після цього стануть видно шукане неповне приватне та залишок.

У прикладі ділимое 899 дорівнює сумі трьох доданків 470 , 423 і 6 . Суму 470+423+6 можна переписати у вигляді 47·10+47·9+6 (пам'ятаєте, ми звертали увагу на рівність 470=47·10 та 423=47·9 ). Тепер застосовуємо властивість множення натурального числа на суму, при цьому отримуємо 47·10+47·9+6=47·(10+9)+6=47·19+6. Таким чином, ділене перетворено до потрібного нам виду 899 = 47 · 19 +6, звідки легко знаходиться неповне приватне 19 та залишок 6 .

Отже, 899: 47 = 19 (зуп. 6) .

Звичайно ж, при вирішенні прикладів Ви не будете настільки докладно описувати процес поділу із залишком.