) та знаменник на знаменник (отримаємо знаменник твору).
Формула множення дробів:
Наприклад:
Перед тим, як приступити до множення чисельників та знаменників, необхідно перевірити можливість скорочення дробу . Якщо вдасться скоротити дріб, то вам легше далі робити розрахунки.
Розподіл звичайного дробу на дріб.
Розподіл дробів за участю натурального числа.
Це не так страшно, як здається. Як і у випадку зі складанням, переводимо ціле число в дріб з одиницею в знаменнику. Наприклад:
Розмноження змішаних дробів.
Правила множення дробів (змішаних):
- перетворюємо змішані дроби на неправильні;
- перемножуємо чисельники та знаменники дробів;
- скорочуємо дріб;
- якщо отримали неправильний дріб, то перетворюємо неправильний дріб на змішану.
Зверніть увагу!Щоб помножити змішаний дріб на інший змішаний дріб, потрібно для початку привести їх до виду неправильних дробів, а далі помножити за правилом множення звичайних дробів.
Другий спосіб множення дробу на натуральне число.
Буває зручніше використовувати другий спосіб множення звичайного дробу на число.
Зверніть увагу!Для множення дробу на натуральне числонеобхідно знаменник дробу розділити це число, а чисельник залишити без зміни.
З наведеного вище прикладу зрозуміло, що цей варіант зручніше для використання, коли знаменник дробу ділиться без залишку на натуральне число.
Багатоповерхові дроби.
У старших класах найчастіше зустрічаються триповерхові (або більше) дроби. Приклад:
Щоб привести такий дріб до звичного вигляду, використовують поділ через 2 точки:
Зверніть увагу!У розподілі дробів дуже важливий порядок розподілу. Будьте уважні, тут легко заплутатися.
Зверніть увагу, наприклад:
При поділі одиниці на будь-який дріб, результатом буде той самий дріб, тільки перевернутий:
Практичні поради при множенні та розподілі дробів:
1. Найважливішим у роботі з дробовими виразами є акуратність та уважність. Усі обчислення робіть уважно та акуратно, зосереджено та чітко. Краще запишіть кілька зайвих рядків у чернетці, ніж заплутатися у розрахунках в умі.
2. У завданнях з різними видами дробів – переходьте до виду звичайних дробів.
3. Всі дроби скорочуємо доти, доки скорочувати вже буде неможливо.
4. Багатоповерхові дробові виразинаводимо на вигляд звичайних, користуючись розподілом через 2 точки.
5. Одиницю на дріб ділимо в умі, просто перевертаючи дріб.
Звичайні дробові числа вперше зустрічають школярів у 5 класі і супроводжують їх протягом усього життя, тому що в побуті часто потрібно розглядати або використовувати якийсь об'єкт не повністю, а окремими шматками. Початок вивчення цієї теми – частки. Частки - це рівні частини, куди розділений той чи інший предмет. Адже не завжди виходить висловити, припустимо, довжину чи ціну товару цілим числом, слід взяти до уваги частини чи частки будь-якого заходу. Утворене від дієслова «дробити» - розділяти на частини, і маючи арабське коріння, у VIII столітті виникло саме слово «дроб» у російській мові.
Дробові вирази тривалий часвважали найскладнішим розділом математики. У XVII столітті, у разі першопідручників з математики, їх називали «ламані числа», що дуже складно відображалося у розумінні людей.
Сучасному виглядупростих дробових залишків, частини яких розділені саме горизонтальною рисою, вперше посприяв Фібоначчі - Леонардо Пізанський Його праці датовані 1202 року. Але мета цієї статті - просто і зрозуміло пояснити читачеві, як відбувається множення змішаних дробів з різними знаменниками.
Розмноження дробів з різними знаменниками
Спочатку варто визначити різновиди дробів:
- правильні;
- неправильні;
- змішані.
Далі потрібно згадати, як відбувається множення дробових чисел з однаковими знаменниками. Саме правило цього процесу нескладно сформулювати самостійно: результатом множення простих дробів з однаковими знаменниками є дробовий вираз, чисельник якого є добутком чисельників, а знаменник - добуток знаменників даних дробів. Тобто, по суті, новий знаменникє квадрат одного з існуючих спочатку.
При множенні простих дробів із різними знаменникамидля двох і більше множників правило не змінюється:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Єдина відмінність у тому, що освічена кількістьпід дробовою рисою буде добутком різних чисел і, звичайно, квадратом одного числового виразуйого назвати неможливо.
Варто розглянути множення дробів із різними знаменниками на прикладах:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
У прикладах застосовуються способи скорочення дробових виразів. Можна скорочувати тільки числа чисельників з числами знаменника, поруч множники, що стоятьнад дробовою рисою чи під нею скорочувати не можна.
Поряд із простими дробовими числамиіснує поняття змішаних дробів. Змішане число складається з цілого числа та дробової частини, тобто є сумою цих чисел:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Як відбувається перемноження
Пропонується кілька прикладів до розгляду.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
У прикладі використовується множення числа на звичайну дробову частину, Записати правило для цієї дії можна формулою:
a * b/c = a*b /c.
Власне, такий твір є сума однакових дробових залишків, а кількість доданків вказує це натуральне число. Окремий випадок:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Існує ще один варіант вирішення множення числа на дрібний залишок. Варто просто розділити знаменник на це число:
d * e/f = e/f: d.
Цим прийомом корисно користуватися, коли знаменник ділиться на натуральне число без залишку або, як кажуть, націло.
Перевести змішані числа в неправильні дроби та отримати добуток раніше описаним способом:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
У цьому прикладі бере участь спосіб подання змішаного дробуу неправильну, його також можна подати у вигляді загальної формули:
a bc = a * b + c/c, де знаменник нового дробуутворюється при множенні цілої частини зі знаменником і при складанні його з чисельником вихідного дробового залишку, а знаменник залишається тим самим.
Цей процес працює і в зворотний бік. Для виділення цілої частини та дробового залишку потрібно поділити чисельник неправильного дробуїї знаменник «куточком».
Розмноження неправильних дробіввиробляють загальноприйнятим способом. Коли запис йде під єдиною дробовою рисою, при необхідності потрібно зробити скорочення дробів, щоб зменшити таким методом числа і простіше порахувати результат.
В інтернеті існує безліч помічників, щоб вирішувати навіть складні математичні завданняу різних варіаціях програм. Достатня кількість таких сервісів пропонують свою допомогу за рахунок множення дробів з різними числамиу знаменниках - звані онлайн-калькулятори до розрахунку дробів. Вони здатні не лише помножити, а й зробити всі інші найпростіші арифметичні операціїзі звичайними дробами та змішаними числами. Працювати з ним нескладно, на сторінці сайту заповнюються відповідні поля, вибирається знак математичної діїі натискається "обчислити". Програма рахує автоматично.
Тема арифметичних процесів з дробовими числами актуальна протягом навчання школярів середньої та старшої ланки. У старших класах розглядають не прості види, а цілі дробові вирази, але знання правил щодо перетворення та розрахунків, отримані раніше, застосовуються у первозданному вигляді. Добре засвоєні базові знаннядають повну впевненість у вдалому рішеннінайбільш складних завдань.
На закінчення має сенс навести слова Льва Миколайовича Толстого, який писав: «Людина є дріб. Збільшити свого чисельника - свої переваги, - не у владі людини, але кожен може зменшити свого знаменника - свою думку про себе, і цим зменшенням наблизитися до своєї досконалості».
З дробами можна виконувати всі дії, у тому числі і поділ. Ця стаття показує розподіл звичайних дробів. Будуть дані визначення, розглянуті приклади. Детально зупинимося на розподілі дробів на натуральні числа і навпаки. Буде розглянуто поділ звичайного дробу на змішане число.
Розподіл звичайних дробів
Поділу є зворотним множенням. При розподілі невідомий множникзнаходиться при відомому творіта іншого множника, де й зберігається його даний змістіз звичайними дробами.
Якщо потрібно зробити розподіл звичайного дробу a b на c d , тоді визначення такого числа необхідно зробити множення на дільник c d , це дасть у результаті ділене a b . Отримаємо число і запишемо його a b · d c де d c є оберненим c d числу. Рівності можна записати за допомогою властивостей множення, а саме: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b , де вираз a b · d c є приватним від поділу a b на c d .
Звідси отримаємо та сформулюємо правило поділу звичайних дробів:
Визначення 1
Щоб розділити звичайний дріб a b на c d , необхідно поділити ділимо на число, зворотне дільнику.
Запишемо правило у вигляді виразу: a b: c d = a b · d c
Правила поділу зводяться до множення. Щоб дотримуватися його, потрібно добре розумітися на виконанні множення звичайних дробів.
Перейдемо до розгляду поділу звичайних дробів.
Приклад 1
Виконати поділ 9 7 на 5 3 . Результат записати як дробу.
Рішення
Число 5 3 – це зворотний дріб 3 5 . Необхідно використовувати правило поділу звичайних дробів. Цей вираз запишемо так: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35 .
Відповідь: 9 7: 5 3 = 27 35 .
При скороченні дробів слід виділяти цілу частину, якщо чисельник більший за знаменник.
Приклад 2
Розділити 8 15: 24 65 . Відповідь записати у вигляді дробу.
Рішення
Для вирішення потрібно перейти від поділу до множення. Запишемо це в такій формі: 8 15: 24 65 = 2 · 2 · 2 · 5 · 13 3 · 5 · 2 · 2 · 2 · 3 = 13 3 · 3 = 13 9
Необхідно зробити скорочення, а це виконується в такий спосіб: 8 · 65 15 · 24 = 2 · 2 · 2 · 5 · 13 3 · 5 · 2 · 2 · 2 · 3 = 13 3 · 3 = 13 9
Виділяємо цілу частину та отримуємо 13 9 = 1 4 9 .
Відповідь: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Розподіл незвичайного дробу на натуральне число
Використовуємо правило розподілу дробу на натуральне число: щоб розділити a b на натуральне число n, необхідно помножити лише знаменник на n. Звідси отримаємо вираз: a b: n = a b · n.
Правило розподілу є наслідком правила множення. Тому подання натурального числа у вигляді дробу дасть рівність такого типу: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n .
Розглянемо цей поділ дробу на число.
Приклад 3
Здійснити поділ дробу 16 45 на число 12 .
Рішення
Застосуємо правило поділу дробу на число. Отримаємо вираз виду 1645: 12 = 1645 · 12 .
Зробимо скорочення дробу. Отримаємо 16 45 · 12 = 2 · 2 · 2 · 2 (3 · 3 · 5) · (2 · 2 · 3) = 2 · 2 3 · 3 · 3 · 5 = 4 135 .
Відповідь: 16 45: 12 = 4 135 .
Поділ натурального числа на звичайний дріб
Правило поділу аналогічне проправилу поділу натурального числа на звичайний дріб: щоб розділити натуральне число n на звичайний a b необхідно провести множення числа n на зворотне дроби a b.
Виходячи з правила, маємо n: a b = n · b a , а завдяки правилу множення натурального числа на звичайний дріб, отримаємо вираз у вигляді n: a b = n · b a . Необхідно розглянути цей поділ на прикладі.
Приклад 4
Ділити 25 на 15 28 .
Рішення
Нам необхідно переходити від поділу до множення. Запишемо у вигляді виразу 25: 15 28 = 25 · 28 15 = 25 · 28 15 . Скоротимо дріб і отримаємо результат у вигляді дробу 46 2 3 .
Відповідь: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Розподіл звичайного дробу на змішане число
При розподілі звичайного дробу на змішане число легко можна світити до поділу звичайних дробів. Потрібно зробити переклад змішаного числау неправильний дріб.
Приклад 5
Розділити дріб 35 16 на 3 1 8 .
Рішення
Так як 318 - змішане число, представимо його у вигляді неправильного дробу. Тоді отримаємо 318 = 3 · 8 + 18 = 258. Тепер зробимо поділ дробів. Отримаємо 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 · 8 25 = 35 · 8 16 · 25 = 5 · 7 · 2 · 2 · 2 2 · 2 · 2 · 2 · (5 · 5) = 7 10
Відповідь: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Розподіл змішаного числа виробляється так само, як і звичайних.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Дроб - це одна або більше часток цілого, за яке зазвичай приймається одиниця (1). Як і з натуральними числами, з дробами можна виконувати всі основні арифметичні дії (додавання, віднімання, розподіл, множення), для цього потрібно знати особливості роботи з дробами та розрізняти їх види. Існує кілька видів дробів: десяткові та звичайні, або прості. Своя специфіка є у кожного виду дробів, але, докладно розібравшись один раз, як з ними поводитися, ви зможете вирішувати будь-які приклади з дробами, оскільки знатимете основні принципи виконання арифметичних обчисленьз дробами. Розглянемо на прикладах як розділити дріб на ціле число, використовуючи різні видидробів.
Як поділити простий дріб на натуральне число?Звичайними чи простими називають дроби, що записуються у вигляді такого відношення чисел, при якому вгорі дробу вказується ділимое (числитель), а внизу – дільник (знаменник) дробу. Як поділити такий дріб на ціле число? Розглянемо з прикладу! Допустимо, нам потрібно розділити 8/12 на 2.
Для цього ми маємо виконати низку дій:
Отже, якщо маємо завдання розділити дріб на ціле число, схема рішення виглядатиме приблизно так: 
Подібним чином можна розділити будь-який звичайний (простий) дріб на ціле число.
Як поділити десятковий дріб на ціле число?
Десятковий дріб - це такий дріб, який виходить внаслідок розподілу одиниці на десять, тисячу і так далі частин. Арифметичні діїз десятковими дробами виконуються досить легко.
Розглянемо з прикладу як розділити дріб на ціле число. Допустимо, нам потрібно поділити десятковий дріб 0,925 на натуральне число 5.
Підбиваючи підсумки, зупинимося на двох основних моментах, які важливі при виконанні операції розподілу десяткових дробів на ціле число: - для поділу десяткового дробуна натуральне число застосовують розподіл у стовпчик;
- кома ставиться у приватному тоді, коли закінчено розподіл цілої частини поділеного.
У минулого разуми навчилися складати і віднімати дроби (див. урок «Складання та віднімання дробів»). Найбільш складним моментому тих діях було приведення дробів до спільному знаменнику.
Тепер настав час розібратися з множенням і поділом. Хороша новинаполягає в тому, що ці операції виконуються навіть простіше, ніж додавання та віднімання. Для початку розглянемо найпростіший випадок, коли є дві позитивні дробибез виділеної цілої частини.
Щоб помножити два дроби, треба окремо помножити їх чисельники та знаменники. Перше число буде чисельником нового дробу, а друге – знаменником.
Щоб розділити два дроби, треба перший дріб помножити на «перевернутий» другий.
Позначення:
З визначення випливає, що розподіл дробів зводиться до множення. Щоб «перевернути» дріб, достатньо поміняти місцями чисельник та знаменник. Тому весь урок ми розглядатимемо переважно множення.
В результаті множення може виникнути (і найчастіше дійсно виникає) скоротитий дріб - його, зрозуміло, треба скоротити. Якщо після всіх скорочень дріб виявився неправильним, у ньому слід виділити цілу частину. Але чого точно не буде при множенні, так це приведення до спільного знаменника: жодних методів «хрест-навхрест», найбільших множників та найменших спільних кратних.
За визначенням маємо:
Розмноження дробів з цілою частиною та негативних дробів
Якщо в дробах є ціла частина, їх треба перевести в неправильні - і тільки потім множити за схемами, викладеними вище.
Якщо в чисельнику дробу, у знаменнику або перед ним стоїть мінус, його можна винести за межі множення або взагалі прибрати за такими правилами:
- Плюс мінус дає мінус;
- Мінус на мінус дає плюс.
Досі ці правила зустрічалися тільки при складанні та відніманні негативних дробівколи потрібно було позбутися цілої частини. Для твору їх можна узагальнити, щоб спалювати відразу кілька мінусів:
- Викреслюємо мінуси парами, доки вони повністю не зникнуть. У крайньому випадку, один мінус може вижити – той, якому не знайшлося пари;
- Якщо мінусів не залишилося, операція виконана – можна приступати до множення. Якщо ж останній мінус не закреслено, оскільки йому не знайшлося пари, виносимо його за межі множення. Вийде негативний дріб.
Завдання. Знайдіть значення виразу:
Усі дроби переводимо в неправильні, а потім виносимо мінуси за межі множення. Те, що залишилося, множимо по звичайним правилам. Отримуємо:
Ще раз нагадаю, що мінус, який стоїть перед дробом із виділеним цілою частиною, відноситься саме до всього дробу, а не тільки до її цілої частини (це стосується двох останніх прикладів).
Також зверніть увагу на негативні числа: при множенні вони полягають у дужки. Це зроблено для того, щоб відокремити мінуси від знаків множення і зробити весь запис більш обережним.
Скорочення дробів «на льоту»
Множення - дуже трудомістка операція. Числа тут виходять досить великі, і щоб спростити завдання, можна спробувати скоротити ще до множення. Адже по суті чисельники і знаменники дробів - це звичайні множники, і, отже, їх можна скорочувати, використовуючи основну властивість дробу. Погляньте на приклади:
Завдання. Знайдіть значення виразу:
За визначенням маємо:
У всіх прикладах червоним кольором відзначені числа, які зазнали скорочення, і те, що від них залишилося.
Зверніть увагу: у першому випадку множники скоротилися повністю. На їхньому місці залишилися одиниці, які, власне кажучи, можна не писати. У другому прикладі повного скорочення досягти не вдалося, але сумарний обсяг обчислень все одно зменшився.
Однак у жодному разі не використовуйте цей прийом при складанні та відніманні дробів! Так, іноді там трапляються схожі числа, які так і хочеться скоротити. Ось, подивіться:
Так не можна робити!
Помилка виникає через те, що при додаванні в чисельнику дробу з'являється сума, а не добуток чисел. Отже, застосовувати основну властивість дробу не можна, оскільки в цій властивості йдетьсясаме про множення чисел.
Інших підстав для скорочення дробів просто не існує, тому правильне рішення попереднього завданнявиглядає так:
Правильне рішення:
Як бачите, правильна відповідь виявилася не такою гарною. Загалом будьте уважні.