Розглянемо коло, вписане в трикутник (рис. 302). Нагадаємо, що її центр Про міститься на перетині бісектрис внутрішніх кутів трикутника. Відрізки ОА, ОВ, ОС, що з'єднують О з вершинами трикутника ABC, трикутник розіб'ють на три трикутники:
АОВ, ВОС, СОА. Висота кожного з цих трикутників дорівнює радіусу, і тому їх площі виразяться як
Площа всього трикутника S дорівнює сумі цих трьох площ:
де – напівпериметр трикутника. Звідси
Радіус вписаного кола дорівнює відношеннюплощі трикутника для його напівпериметру.
Для отримання формули для радіусу описаного кола трикутника доведемо таку пропозицію.
Теорем а: У будь-якому трикутнику сторона дорівнює діаметру описаного кола, помноженому на синус протилежного кута.
Доказ. Розглянемо довільний трикутник ABCі описане навколо нього коло, радіус якого позначимо через R (рис. 303). Нехай А - гострий куттрикутник. Проведемо радіуси ОВ, ОС кола та опустимо з її центру Про перпендикуляр ОК на бік ВС трикутника. Зауважимо, що кут трикутника вимірюється половиною дуги ВС, для якої кут ВОС є центральним кутом. Звідси видно, що . Тому з прямокутного трикутникаСІК знаходимо , або , що і потрібно було довести.
Наведений рис. 303 і міркування відносяться до випадку гострого кута трикутника; неважко було б провести доказ і для випадків прямого та тупого кута(читач це зробить самостійно), але можна використовувати теорему синусів (218.3). Бо має бути звідки
Теорему синусів записують також у. вигляді
та порівняння з формою запису (218.3) дає для
Радіус описаного кола дорівнює відношенню добутку трьох сторін трикутника до його чотириразової площі.
Завдання. Знайти сторони рівнобедреного трикутника, якщо його вписані та описані кола мають відповідно радіуси
Рішення. Напишемо формули, що виражають радіуси вписаного та описаного кіл трикутника:
Для рівнобедреного трикутника з боковою стороною та основою площа виражається формулою
або, скоротивши дріб на відмінний від нуля множник, будемо мати
що призводить до квадратному рівняннющодо
Воно має два рішення:
Підставивши замість його вираження у будь-яке з рівнянь для або R, знайдемо остаточно дві відповіді до нашого завдання:
Вправи
1. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, делнт гіпотенузу щодо Знайти відношення кожного з катетів до гіпотенузи
2. Підстави рівнобедреної трапеції, описаної біля кола, дорівнюють а і b. Знайти радіус кола.
3. Два кола стосуються зовнішнім чином. Їхні загальні дотичні нахилені до лінії центрів під кутом 30°. Довжина відрізка дотичної між точками дотику дорівнює 108 см. Знайти радіуси кіл.
4. Катети прямокутного трикутника дорівнюють а і b. Знайти площу трикутника, сторонами якого служать висота та медіана даного трикутника, Проведені з вершини прямого кута, і відрізок гіпотенузи між точками їх перетину з гіпотенузою.
5. Сторони трикутника дорівнюють 13, 14, 15. Знайти проекцію кожної з них на дві інші.
6. У трикутнику відомі сторона та висоти Знайти сторони b та с.
7. Відомі дві сторони трикутника та медіана Знайти третю сторону трикутника.
8. Дані дві сторони трикутника і кут між ними: Знайти радіуси вписаного та описаного кіл.
9. Відомі сторони трикутника а, b, с. Чому рівні відрізки, куди вони розбиваються точками торкання вписаного кола зі сторонами трикутника?
Якщо коло розташовується всередині кута і стосується його сторін, його називають вписаним у цей кут. Центр такого вписаного кола розташовується на бісектрисі цього кута.
Якщо ж вона лежить усередині опуклого багатокутника і стикається з усіма його сторонами, вона називається вписаною в опуклий багатокутник.
Коло, вписане в трикутник, стикається з кожною стороною цієї фігури лише в одній точці. В один трикутник можна вписати лише одне коло.
Радіус такого кола буде залежати від наступних параметрів трикутника:
- Довжина сторін трикутника.
- Його майдани.
- Його периметр.
- Величини кутів трикутника.
Для того, щоб обчислити радіус вписаного кола в трикутник, не завжди обов'язково знати всі перераховані вище параметри, оскільки вони взаємопов'язані між собою через тригонометричні функції.
Обчислення за допомогою напівпериметра
- Якщо відомі довжини всіх сторін геометричної фігури (позначимо їх літерами a, b і c), то обчислювати радіус доведеться шляхом вилучення квадратного кореня.
- Приступаючи до обчислень, необхідно додати до вихідних даних ще одну змінну – напівпериметр (р). Його можна розрахувати, склавши всі довжини та отриману суму розділивши на 2. p = (a+b+c)/2. Таким чином можна суттєво спростити формулу знаходження радіусу.
- В цілому формула повинна включати знак радикала, під який поміщається дріб, знаменником цього дробу буде величина напівпериметра р.
- Чисельником даного дробу буде твір різниць (p-a)*(p-b)*(p-c)
- Таким чином, повний виглядформули буде представлено в такий спосіб: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).
Обчислення з урахуванням площі трикутника
Якщо нам відома площа трикутникаі довжини всіх його сторін, це дозволить знайти радіус цікавить нас колу, не вдаючись до вилучення коренів.
- Спочатку потрібно подвоїти величину площі.
- Результат ділиться у сумі довжин всіх сторін. Тоді формула буде виглядати так: r = 2*S/(a+b+c).
- Якщо користуватися величиною напівпериметра, можна отримати зовсім просту формулу: r = S/p.
Розрахунок за допомогою тригонометричних функцій
Якщо за умови завдання присутня довжина однієї із сторін, величина протилежного кутаі периметр, можна скористатися тригонометричною функцією- тангенсом. У цьому випадку формула розрахунку матиме наступний вигляд:
r = (P /2- a)* tg (α/2), де r - шуканий радіус, Р - периметр, а - значення довжини однієї зі сторін, α - величина протилежної стороні, а кута.
Радіус кола, яке необхідно буде вписувати в правильний трикутникможна знайти за формулою r = a*√3/6.
Коло, вписане у прямокутний трикутник
У прямокутний трикутник можна вписати тільки одне коло. Центр такого кола одночасно служить точкою перетину всіх бісектрис. Ця геометрична фігура має деякі відмінні риси, які необхідно врахувати, обчислюючи радіус вписаного кола.
- Для початку необхідно побудувати прямокутний трикутник із заданими параметрами. Побудувати таку фігуру можна за розміром її однієї сторони та величинами двох кутів або ж по двох сторонах та кутку між цими сторонами. Всі ці параметри мають бути вказані за умови завдання. Трикутник позначається як АВС, причому З це вершина прямого кута. Катети при цьому позначаються змінними, аі b, а гіпотенуза - змінною з.
- Для побудови класичної формулита обчислення радіуса кола необхідно знайти розміри всіх сторін описаної в умові задачі фігури та за ними обчислити напівпериметр. Якщо умовах даються розміри двох катетів, ними можна обчислити величину гіпотенузи, з теореми Піфагора.
- Якщо в умові дано розмір одного катета та одного кута, необхідно зрозуміти, прилеглий цей кут чи протилежний. У першому випадку гіпотенуза знаходиться за допомогою теореми синусів: з=a/sinСАВ, у другому випадку застосовують теорему косінусів з=a/cosCBA.
- Коли всі розрахунки виконані та величини всіх сторін відомі, знаходять напівпериметр за формулою, описаною вище.
- Знаючи величину напівпериметра можна знайти радіус. Формула є дріб. Її чисельником є добуток різниць напівпериметра та кожної зі сторін, а знаменником - величина напівпериметра.
Слід зауважити, що чисельник цієї формули є показником площі. У цьому випадку формула знаходження радіусу набагато спрощується – достатньо розділити площу на півпериметр.
Визначити площу геометричної фігури можна і в тому випадку, якщо відомі обидва катета. За сумою квадратів цих катетів є гіпотенуза, далі обчислюється напівпериметр. Обчислити площу можна, помноживши один на одного величини катетів і розділивши отримане на 2.
Якщо в умовах дано довжини катетів і гіпотенузи, визначити радіус можна за дуже простою формулою: для цього складаються довжини катетів, з отриманого числа віднімається довжина гіпотенузи. Результат необхідно розділити навпіл.
Відео
З цього відео ви дізнаєтеся, як знаходити радіус вписаного в трикутник кола.
Чи не отримали відповідь на своє запитання? Запропонуйте авторам тему.
Як знайти радіус кола? Це питання завжди актуальне для школярів, які вивчають планиметрію. Нижче ми розглянемо кілька прикладів того, як можна впоратися з поставленим завданням.
Залежно від умови завдання радіус кола ви можете знайти так.
Формула 1: R = Л / 2π, де Л - це а - константа, рівна 3,141 ...
Формула 2: R = √(S/π), де S – це величина площі кола.
Формула 1: R = В/2, де - гіпотенуза.
Формула 2: R = М * В, де - гіпотенуза, а М - медіана, проведена до неї.
Як знайти радіус кола, якщо вона описана навколо правильного багатокутника
Формула: R = А / (2 * sin (360 / (2 * n))), де А - довжина однієї зі сторін фігури, а n - кількість сторін у цій геометричній фігурі.
Як знайти радіус вписаного кола
Вписане коло називається тоді, коли воно стосується всіх сторін багатокутника. Розглянемо кілька прикладів.
Формула 1: R = S/(Р/2), де - S і Р - площа і периметр фігури відповідно.
Формула 2: R = (Р/2 - А) * tg (а/2), де Р - периметр, А - довжина однієї зі сторін, а - кут, що протилежить цій стороні.
Як знайти радіус кола, якщо воно вписано в прямокутний трикутник
Формула 1:
Радіус кола, яке вписано в ромб
Коло можна вписати у будь-який ромб, як рівносторонній, і нерівносторонній.
Формула 1: R = 2 * Н, де Н – це висота геометричної фігури.
Формула 2: R = S / (А * 2), де S - це а А - Довжина його сторони.
Формула 3: R = √((S * sin А)/4), де S - це площа ромба, а sin А - синус гострого кута цієї геометричної фігури.
Формула 4: R = В*Г/(√(В² + Г²), де і Г - це довжини діагоналей геометричної фігури.
Формула 5: R = В * sin (А/2), де - діагональ ромба, а А - це кут у вершинах, що з'єднують діагональ.
Радіус кола, яке вписано в трикутник
У тому випадку, якщо за умови завдання вам дано довжини всіх сторін фігури, то спочатку вирахуйте (П), а потім напівпериметр (п):
П = А+Б+В де А, Б, В - довжин сторін геометричної фігури.
Формула 1: R = √((п-А)*(п-Б)*(п-В)/п).
А якщо, знаючи ті самі три сторони, вам дана ще й то можете розрахувати радіус, що шукається, наступним чином.
Формула 2: R = S * 2 (А + Б + В)
Формула 3: R = S/п = S/(А+Б+В)/2), де - п - це напівпериметр геометричної фігури.
Формула 4: R = (п - А) * tg (А/2), де п - це напівпериметр трикутника, А - одна з його сторін, а tg (А/2) - тангенс половини кута, що протилежить цій стороні.
А нижче наведена формула допоможе відшукати радіус того кола, яке вписано в
Формула 5: R = А * √3/6.
Радіус кола, яке вписано у прямокутний трикутник
Якщо завдання дано довжини катетів, і навіть гіпотенуза, то радіус вписаного кола дізнається так.
Формула 1: R = (А+Б-С)/2 де А, Б - катети, С - гіпотенуза.
У тому випадку, якщо вам дано лише два катети, саме час згадати теорему Піфагора, щоб гіпотенузу знайти і скористатися наведеною вище формулою.
С = √ (А + Б²).
Радіус кола, яке вписано в квадрат
Окружність, яка вписана в квадрат, ділить всі його 4 сторони рівно навпіл у точках торкання.
Формула 1: R = А/2 де А - довжина сторони квадрата.
Формула 2: R = S/(Р/2), де S та Р - площа і периметр квадрата відповідно.
Коло вважається вписаним у межі правильного багатокутника, у разі, якщо лежить усередині нього, торкаючись при цьому прямих, які проходять через усі сторони. Розглянемо, як знайти центр та радіус кола. Центром кола буде точка, в якій перетинаються бісектриси кутів багатокутника. Радіус розраховується: R=S/P; S – площа багатокутника, Р – напівпериметр кола.
У трикутнику
У правильний трикутник вписують лише одне коло, центр якого називається інцентром; він від усіх сторін віддалений на однакову відстань і є місцем перетину бісектрис.
У чотирикутнику
Часто доводиться вирішувати, як знайти радіус вписаного кола в цей геометричну фігуру. Вона має бути опуклою (якщо немає самоперетинів). Коло вписати до неї можна лише у разі рівності сум протилежних сторін: AB+CD=BC+AD.
При цьому центр вписаного кола, середини діагоналей, розташовані на одній прямій (відповідно до теореми Ньютона). Відрізок, кінці якого перебувають там, де перетинаються протилежні сторониправильного чотирикутника, лежить на цій же прямій, що називається прямою Гаусса. Центром кола буде точка, в якій перетинаються висоти трикутника з вершинами, діагоналями (теорема Брокара).
У ромбі
Їм вважається паралелограм із однаковою довжиною сторін. Радіус кола, що вписується в нього, можна розрахувати кількома способами.
- Щоб зробити це правильно, знайдіть радіус вписаного кола ромба, якщо відома площа ромба, довжина його сторони. Застосовується формула r=S/(2Хa). Наприклад, якщо площа ромба становить 200 мм кв., Довжина сторони 20 мм, то R=200/(2Х20), тобто, 5 мм.
- Відомий гострий кут однієї з вершин. Тоді необхідно використовувати формулу r=v(S*sin(α)/4). Наприклад, при площі 150 мм і відомому вугіллів 25 градусів, R= v(150*sin(25°)/4) ≈ v(150*0,423/4) ≈ v15,8625 ≈ 3,983 мм.
- Усі кути у ромбі рівні. У цій ситуації радіус кола, вписаного в ромб, буде дорівнює половинідовжини однієї сторони цієї постаті. Якщо міркувати по Евкліду, який стверджує, що сума кутів будь-якого чотирикутника дорівнює 360 градусів, то один кут дорівнюватиме 90 градусам; тобто. вийде квадрат.
Коло вписано в трикутник. У цій статті зібрав вам завдання, в яких дається трикутник з вписаним у нього або описаним навколо нього колом. В умові порушується питання про знаходження радіуса кола або сторони трикутника.
Дані завдання зручно вирішувати, використовуючи представлені формули. Рекомендую їх вивчити, бувають дуже корисні при вирішенні цього завдання. Одна формула виражає зв'язок радіусу вписаного в трикутник кола з його сторонами та площею, інша радіус описаного біля трикутника кола також з його сторонами та площею:
S – площа трикутника
Розглянемо завдання:
27900. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 1, кут при вершині, що протилежить підставі, дорівнює 120 0 . Знайдіть діаметр описаного кола цього трикутника.
Тут коло описано біля трикутника.
Перший спосіб:
Діаметр ми зможемо знайти, якщо буде відомий радіус. Використовуємо формулу радіуса описаного біля трикутника кола:
де a, b, c – сторони трикутника
S – площа трикутника
Дві сторони нам відомі (бічні сторони рівнобедреного трикутника), третю ми можемо обчислити, використовуючи теорему косінусів:
Тепер обчислимо площу трикутника:
*Використовували формулу (2) з .
Обчислюємо радіус:
Таким чином діаметр дорівнюватиме 2.
Другий спосіб:
Це усні обчислення. Для тих, хто має навичку вирішення завдань з вписаним в коло шестикутником, той одразу визначить, що сторони трикутника АС і ВС «збігаються» зі сторонами вписаного в коло шестикутника (кут шестикутника якраз дорівнює 120 0 , як і в умові задачі). А далі на підставі того, що сторона вписаного в коло шестикутника дорівнює радіусу цього кола не складно зробити висновок про те, що діаметр дорівнюватиме 2АС, тобто двом.
Докладніше про шестикутник перегляньте інформацію в (п.5).
Відповідь: 2
27931. Радіус кола, вписаного в рівнобедрений прямокутний трикутник, дорівнює 2. Знайдіть гіпотенузу зцього трикутника. У відповіді вкажіть.
де a, b, c – сторони трикутника
S – площа трикутника
Нам невідомі ні сторони трикутника, ні його площу. Позначимо катети як х, тоді гіпотенуза дорівнюватиме:
А площа трикутника дорівнюватиме 0,5х 2 .
Значить
Таким чином, гіпотенуза дорівнюватиме:
У відповіді потрібно записати:
Відповідь: 4
27933. У трикутнику ABC АС = 4, НД = 3, кут Cдорівнює 90 0 . Знайдіть радіус вписаного кола.
Скористаємося формулою радіуса кола вписаного в трикутник:
де a, b, c – сторони трикутника
S – площа трикутника
Дві сторони відомі (це катети), можемо обчислити третю (гіпотенузу), також можемо обчислити і площу.
За теоремою Піфагора:
Знайдемо площу:
Таким чином:
Відповідь: 1
27934. Бічні сторонирівнобедреного трикутника дорівнюють 5, основа дорівнює 6. Знайдіть радіус вписаного кола.
Скористаємося формулою радіуса кола вписаного в трикутник:
де a, b, c – сторони трикутника
S – площа трикутника
Відомі всі сторони, обчислимо і площу. Її ми можемо знайти за формулою Герона:
Тоді
Таким чином:
Відповідь: 1,5
27624. Периметр трикутника дорівнює 12, а радіус вписаного кола дорівнює 1. Знайдіть площу цього трикутника.Подивитися рішення
27932. Катети рівнобедреного прямокутного трикутника рівні. Знайдіть радіус кола, вписаного в цей трикутник.
Невеликий результат.
Якщо в умові дано трикутник і вписане або описане коло, і йдеться про сторони, площу, радіус, то відразу згадайте про зазначені формули і спробуйте використовувати їх при вирішенні. Якщо не виходить, тоді вже шукайте інші способи рішення.
На цьому все. Успіху вам!
З повагою Олександр Крутицьких.
PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.