Під імовірністю події розуміється деяка числова характеристика можливості настання цієї події. Існує кілька підходів щодо визначення ймовірності.

Ймовірністю події Аназивається відношення числа сприятливих цій події наслідків до загального числа всіх рівноможливих несумісних елементарних наслідків, що утворюють повну групу. Отже, ймовірність події Авизначається формулою

де m- Число елементарних результатів, сприятливих А, n- Число всіх можливих елементарних результатів випробування.

Приклад 3.1.У досвіді з киданням гральної кістки число всіх результатів nодно 6 і всі вони рівноможливі. Нехай подія Аозначає появу парного числа. Тоді для цієї події сприятливими наслідками будуть поява чисел 2, 4, 6. Їх кількість дорівнює 3. Тому ймовірність події Адорівнює

Приклад 3.2.Яка ймовірність того, що в навмання обраному двозначному числі цифри однакові?

Двозначними числами є числа від 10 до 99, всього таких чисел 90. Однакові цифри мають 9 чисел (це числа 11, 22, …, 99). Тому що в даному випадку m=9, n=90, то

де А- Подія, «число з однаковими цифрами».

приклад 3.3.У партії із 10 деталей 7 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед шести взятих навмання деталей 4 стандартних.

Загальна кількість можливих елементарних результатів випробування дорівнює кількості способів, якими можна витягти 6 деталей з 10, тобто числу поєднань з 10 елементів по 6 елементів. Визначимо кількість наслідків, що сприяють цікавій для нас події А(Серед шести взятих деталей 4 стандартних). Чотири стандартні деталі можна взяти із семи стандартних деталей способами; при цьому інші 6-4=2 деталі повинні бути нестандартними, взяти дві нестандартні деталі з 10-7=3 нестандартних деталей можна способами. Отже, кількість сприятливих наслідків дорівнює .

Тоді шукана ймовірність дорівнює

З визначення ймовірності випливають такі властивості:

1. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.

Справді, якщо подія є достовірною, то кожен елементарний результат випробування сприяє події. У цьому випадку m=n, отже

2. Імовірність неможливої ​​події дорівнює нулю.

Справді, якщо подія неможлива, то жоден з елементарних результатів випробування не сприятиме події. У цьому випадку означає

3. Імовірність випадкової події є позитивним числом, укладеним між нулем і одиницею.

Справді, випадковому події сприяє лише частина із загальної кількості елементарних результатів испытания. У цьому випадку< m< n, означає 0 < m/n < 1, тобто 0< Р(А) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

Побудова логічно повноцінної теорії ймовірностей ґрунтується на аксіоматичному визначенні випадкової події та її ймовірності. У системі аксіом, запропонованої А. Н. Колмогоровим, невизначеними поняттями є елементарна подія та ймовірність. Наведемо аксіоми, що визначають ймовірність:

1. Кожній події Апоставлене у відповідність невід'ємне дійсне число Р(А). Це число називається ймовірністю події А.

2. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.

3. Імовірність настання хоча б однієї з попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Виходячи з цих аксіом, властивості ймовірностей та залежності між ними виводять як теорем.

Запитання для самоперевірки

1. Як називається числова характеристика можливості настання події?

2. Що називається ймовірністю події?

3. Чому дорівнює ймовірність достовірної події?

4. Чому дорівнює ймовірність неможливої ​​події?

5. У яких межах є можливість випадкової події?

6. У яких межах полягає ймовірність будь-якої події?

7. Яке визначення ймовірності називається класичним?

Класичне визначення імовірності.

Як було сказано вище, при великій кількості n випробувань частота P*(A)=m/ nпояви події A має стійкість і дає наближене значення ймовірності події A , тобто. .

Ця обставина дозволяє знаходити приблизно ймовірність події досвідченим шляхом. Практично такий спосіб знаходження ймовірності події не завжди є зручним. Адже нам потрібно заздалегідь знати можливість певної події, ще до досвіду. У цьому полягає евристична, передбачувана роль науки. У ряді випадків можливість події вдається визначити до досвіду за допомогою поняття рівноймовірності подій (або рівноможливості).

Дві події називаються рівноймовірними (або рівноможливими ), якщо немає жодних об'єктивних причин вважати, що одне з них може настати частіше, ніж інше.

Так, наприклад, появи герба або написи при киданні монети є рівноймовірними подіями.

Розглянемо інший приклад. Нехай кидають гральну кістку. Через симетрію кубика можна вважати, що поява будь-якої з цифр 1, 2, 3, 4, 5 або 6 однаково можливо (рівноймовірно).

Події у цьому досвіді утворюють повну групу якщо в результаті досвіду має відбутися хоча б одне з них. Так, в останньому прикладі повна група подій складається із шести подій – появ цифр 1, 2, 3, 4, 5 і 6.

Очевидно, будь-яка подія A та протилежна йому подія утворюють повну групу.

Подія B називається сприятливим події A , якщо настання події B тягне за собою настання події A . Так, якщо A - поява парного числа очок при киданні гральної кістки, то поява цифри 4 є подією, що сприяє подію A.

Нехай події у цьому досвіді утворюють повну групу рівноймовірних і попарно несумісних подій. Будемо називати їх наслідками випробування. Припустимо, що подію A сприяють наслідкам випробування. Тоді ймовірністю події A у цьому досвіді називають ставлення. Отже, ми приходимо до наступного визначення.

Імовірністю P(A) події в даному досвіді називається відношення числа результатів досвіду, що сприяють події A, до загального числа можливих результатів досвіду, що утворюють повну групу рівноймовірних попарно несумісних подій: .

Це визначення ймовірності часто називають класичним. Можна показати, що класичне визначення відповідає аксіомам ймовірності.

приклад 1.1.На завод привезли партію з 1000 підшипників. Випадково до цієї партії потрапило 30 підшипників, які не задовольняють стандарту. Визначити ймовірність P(A) того, що взятий навмання підшипник виявиться стандартним.

Рішення:Число стандартних підшипників дорівнює 1000-30=970 . Вважатимемо, що кожен підшипник має однакову ймовірність бути обраним. Тоді повна група подій складається з рівноймовірних наслідків, з яких події A сприяють наслідкам. Тому .

приклад 1.2.В урні 10 куль: 3 білих та 7 чорний. З урни виймають відразу дві кулі. Яка ймовірність р того, що обидві кулі виявляться білими?

Рішення:Число всіх рівноймовірних результатів випробування дорівнює числу способів, якими можна з 10 куль вийняти два, т. е. числу поєднань з 10 елементів по 2 (Повна група подій):

Число сприятливих результатів (скількими способами можна з 3 куль вибрати 2) : . Отже, шукана ймовірність .

Забігаючи наперед, це завдання можна вирішити й іншим способом.

Рішення:Імовірність того, що при першому випробуванні (витягуванні кулі) буде вийнята біла куля, дорівнює (всього куль 10 , з них 3 білих). Імовірність того, що при другому випробуванні буде вийнятий знову біла куля дорівнює (всього куль стало 9, т.к. один вийняли, білих стало 2, т.к. вийняли саме білий). Отже, можливість поєднання подій дорівнює добутку їх можливостей, тобто. .

приклад 1.3.В урні 2 зелених, 7 червоних, 5 коричневих та 10 білі кулі. Яка ймовірність появи кольорової кулі?

Рішення: Знаходимо відповідно ймовірності появи зеленої, червоної та коричневої куль: ; ; . Так як події, що розглядаються, очевидно, несумісні, то, застосовуючи аксіому складання, знайдемо ймовірність появи кольорової кулі:

Або іншим способом. Імовірність появи білої кулі дорівнює. Тоді ймовірність появи небілої кулі (тобто кольорової), тобто. ймовірність протилежної події дорівнює .

Геометричне визначення ймовірності. Щоб подолати нестачу класичного визначення ймовірності (воно не застосовується до випробувань з нескінченним числом результатів), вводять геометричні визначення ймовірності - ймовірності попадання точки в область (відрізок, частина площини тощо).

Нехай відрізок становить частину відрізка. На відрізку навмання поставлена ​​точка, що означає виконання наступних припущень: поставлена ​​точка може опинитися в будь-якій точці відрізка , ймовірність попадання точки на відрізок пропорційна довжині цього відрізка і не залежить від його розташування щодо відрізка . У цих припущеннях ймовірність влучення точки на відрізок визначається рівністю

Спочатку, будучи лише зібранням відомостей та емпіричних спостережень за грою в кістки, теорія ймовірності стала ґрунтовною наукою. Першими, хто надав їй математичний каркас, були Ферма та Паскаль.

Від роздумів про вічне до теорії ймовірностей

Дві особи, яким теорія ймовірностей завдячує багатьма фундаментальними формулами, Блез Паскаль і Томас Байєс, відомі як глибоко віруючі люди, останній був пресвітеріанським священиком. Мабуть, прагнення цих двох вчених довести помилковість думки про якусь Фортуну, що дарує успіх своїм улюбленцям, дало поштовх до досліджень у цій галузі. Адже насправді будь-яка азартна гра з її виграшами та програшами — це лише симфонія математичних принципів.

Завдяки азарту кавалера де Мере, який однаково був гравцем і людиною небайдужою до науки, Паскаль змушений був знайти спосіб розрахунку ймовірності. Де Мере цікавило таке питання: "Скільки разів потрібно викидати попарно дві кістки, щоб ймовірність здобути 12 очок перевищувала 50%?". Друге питання, яке вкрай цікавило кавалера: "Як розділити ставку між учасниками незакінченої гри?" Зрозуміло, Паскаль успішно відповів на обидва питання де Мере, який став мимовільним основоположником розвитку теорії ймовірностей. Цікаво, що персона де Мере так і залишилася відома в цій галузі, а не в літературі.

Раніше жоден математик ще не робив спроб обчислювати ймовірності подій, оскільки вважалося, що це лише вороже рішення. Блез Паскаль дав перше визначення ймовірності події та показав, що це конкретна цифра, яку можна обґрунтувати математичним шляхом. Теорія ймовірностей стала основою статистики і широко застосовується у сучасній науці.

Що таке випадковість

Якщо розглядати випробування, яке можна повторити нескінченну кількість разів, можна дати визначення випадковому події. Це один із можливих результатів досвіду.

Досвідом є здійснення конкретних дій у постійних умовах.

Щоб можна було працювати з результатами досвіду, події зазвичай позначають літерами А, B, C, D, Е…

Імовірність випадкової події

Щоб можна було приступити до математичної частини ймовірності, потрібно дати визначення всім її складникам.

Імовірність події - це виражена в числовій формі міра можливості появи певної події (А або B) у результаті досвіду. Позначається ймовірність як P(A) або P(B).

Теоретично ймовірностей відрізняють:

• достовірнеподія гарантовано відбувається в результаті досвіду Р(?) = 1;
• неможливеподія будь-коли може статися Р(Ø) = 0;
• випадковеподія лежить між достовірною та неможливою, тобто ймовірність її появи можлива, але не гарантована (ймовірність випадкової події завжди в межах 0≤Р(А)≤ 1).

Відносини між подіями

Розглядають як одну, так і суму подій А + В, коли подія зараховується при здійсненні хоча б одного зі складових, А або В або обох - А і В.

Стосовно одна до одної події можуть бути:

• Рівноможливими.
• Сумісними.
• Несумісними.
• Протилежними (взаємовиключними).
• Залежними.

Якщо дві події можуть статися з рівною ймовірністю, вони рівноможливі.

Якщо поява події А не зводить до нуля вірогідність події B, то вони сумісні.

Якщо події А і В ніколи не відбуваються одночасно в тому самому досвіді, то їх називають несумісними. Кидання монети – гарний приклад: поява решки – це автоматично непоява орла.

Імовірність для суми таких несумісних подій складається із суми ймовірностей кожної з подій:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Якщо наступ однієї події унеможливлює наступ іншого, їх називають протилежними. Тоді одне з них позначають як А, а інше - (читається як «не А»). Поява події А означає, що не відбулося. Ці дві події формують повну групу із сумою ймовірностей, що дорівнює 1.

Залежні події мають взаємний вплив, зменшуючи чи збільшуючи ймовірність одне одного.

Відносини між подіями. Приклади

На прикладах набагато простіше зрозуміти принципи теорії ймовірностей та комбінації подій.

Досвід, який буде проводитися, полягає у витягуванні кульок з ящика, а результат кожного досвіду - елементарний результат.

Подія - це один із можливих результатів досвіду - червона куля, синя куля, куля з номером шість і т.д.

Випробування №1. Беруть участь 6 куль, три з яких забарвлені у синій колір, на них нанесені непарні цифри, а три інших – червоні з парними цифрами.

Випробування №2. Беруть участь 6 куль синього кольору із цифрами від однієї до шести.

Виходячи з цього прикладу, можна назвати комбінації:

• Достовірна подія.У вик. №2 подія «дістати синю кулю» достовірну, оскільки ймовірність її появи дорівнює 1, оскільки всі кулі сині і промахи бути не може. Тоді як подія «дістати кулю із цифрою 1» - випадкова.
• Неможлива подія.У вик. №1 з синіми та червоними кулями подія «дістати фіолетовий шар» неможлива, оскільки ймовірність його появи дорівнює 0.
• Рівні події.У вик. №1 події «дістати кулю з цифрою 2» і «дістати кулю з цифрою 3» рівноможливі, а події «дістати кулю з парним числом» та «дістати кулю з цифрою 2» мають різну ймовірність.
• Сумісні події.Двічі поспіль отримати шістку в процесі кидання гральної кістки – це сумісні події.
• Несумісні події.У тому ж вик. №1 події «дістати червону кулю» і «дістати кулю з непарним числом» не можуть бути поєднані в тому самому досвіді.
• Протилежні події.Найяскравіший приклад цього – підкидання монет, коли витягування орла рівносильне невитягуванню решки, а сума їх ймовірностей – це завжди 1 (повна група).
• Залежні події. Так, у вик. №1 можна поставити за мету витягти двічі поспіль червону кулю. Його вилучення чи невитяг уперше впливає можливість вилучення вдруге.

Видно, що перша подія суттєво впливає на ймовірність другої (40% та 60%).

Формула ймовірності події

Перехід від ворожих роздумів до точних даних відбувається у вигляді перекладу теми в математичну площину. Тобто міркування про випадкову подію на зразок "велика ймовірність" або "мінімальна ймовірність" можна перекласти до конкретних числових даних. Такий матеріал вже припустимо оцінювати, порівнювати та вводити у складніші розрахунки.

З погляду розрахунку, визначення ймовірності події - це ставлення кількості елементарних позитивних наслідків до кількості всіх можливих наслідків досвіду щодо певної події. Позначається ймовірність через Р(А), де Р означає слово "probabilite", що з французької перекладається як "ймовірність".

Отже, формула ймовірності події:

Де m – кількість сприятливих результатів для події А, n – сума всіх результатів, можливих для цього досвіду. При цьому ймовірність події завжди лежить між 0 і 1:

0 ≤ Р(А)≤ 1.

Розрахунок ймовірності події. приклад

Візьмемо вик. №1 з кулями, яке описано раніше: 3 сині кулі з цифрами 1/3/5 і 3 червоні з цифрами 2/4/6.

На підставі цього випробування можна розглядати кілька різних завдань:

• A – випадання червоної кулі. Червоних куль 3, а лише варіантів 6. Це найпростіший приклад, у якому ймовірність події дорівнює Р(А)=3/6=0,5.
• B – випадання парного числа. Усього парних чисел 3 (2,4,6), а загальна кількість можливих числових варіантів - 6. Імовірність цієї події дорівнює Р(B) = 3/6 = 0,5.
• C - випадання числа, більшого, ніж 2. Усього таких варіантів 4 (3,4,5,6) із загальної кількості можливих результатів 6. Імовірність події З дорівнює Р(С)=4/6=0,67.

Як очевидно з розрахунків, подія має велику ймовірність, оскільки кількість можливих позитивних результатів вище, ніж у А і У.

Несумісні події

Такі події не можуть одночасно з'явитися в тому самому досвіді. Як у вик. №1 неможливо одночасно дістати синю і червону кулю. Тобто можна дістати або синю, або червону кулю. Так само в гральній кістці не можуть одночасно з'явитися парне і непарне число.

Імовірність двох подій сприймається як ймовірність їхньої суми чи твори. Сумою таких подій А+В вважається така подія, яка полягає у появі події А або В, а добуток їх АВ – у появі обох. Наприклад, поява двох шісток одразу на гранях двох кубиків в одному кидку.

Сума кількох подій являє собою подію, яка передбачає появу принаймні одного з них. Твір кількох подій – це спільна поява їх усіх.

Теоретично ймовірності, зазвичай, вживання союзу " і " означає суму, союзу " чи " - множення. Формули з прикладами допоможуть зрозуміти логіку складання та множення теоретично ймовірностей.

Ймовірність суми несумісних подій

Якщо розглядається ймовірність несумісних подій, то ймовірність суми подій дорівнює додаванню їх ймовірностей:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Наприклад: обчислимо ймовірність того, що в ісп. №1 з синіми і червоними кулями випаде число між 1 і 4. Розрахуємо не одну дію, а сумою ймовірностей елементарних складових. Отже, у такому досвіді всього 6 куль або 6 всіх можливих наслідків. Цифри, які задовольняють умову, - 2 і 3. Імовірність випадання цифри 2 становить 1/6, ймовірність цифри 3 також 1/6. Імовірність того, що випаде цифра між 1 і 4 дорівнює:

Імовірність суми несумісних подій повної групи дорівнює 1.

Тож якщо у досвіді з кубиком скласти ймовірності випадання всіх цифр, то в результаті отримаємо одиницю.

Також це справедливо для протилежних подій, наприклад, у досвіді з монетою, де одна її сторона - це подія А, а інша - протилежна подія, як відомо,

Р(А) + Р(?) = 1

Імовірність твору несумісних подій

Примноження ймовірностей застосовують, коли розглядають появу двох і більше несумісних подій в одному спостереженні. Імовірність того, що в ньому з'являться події A і B одночасно, дорівнює добутку їх ймовірностей, або:

Р(А * В) = Р (А) * Р (В)

Наприклад, ймовірність того, що в ісп. №1 в результаті двох спроб двічі з'явиться синя куля, що дорівнює

Тобто ймовірність настання події, коли в результаті двох спроб із вилученням куль буде вилучено лише сині кулі, дорівнює 25%. Дуже легко зробити практичні експерименти цього завдання і побачити, чи це так насправді.

Спільні події

Події вважаються спільними, коли поява одного з них може збігтися з появою іншого. Незважаючи на те, що вони спільні, розглядається ймовірність незалежних подій. Наприклад, кидання двох гральних кісток може дати результат, коли на обох з них випадає цифра 6. Хоча події збіглися і з'явилися одночасно, вони незалежні одна від одної - могла випасти лише одна шістка, друга кістка на неї не має впливу.

Імовірність спільних подій розглядають як ймовірність їхньої суми.

Ймовірність суми подій. приклад

Імовірність суми подій А і В, які по відношенню до один одного спільні, дорівнює сумі ймовірностей події за вирахуванням ймовірності їх твору (тобто їх спільного здійснення):

Р сум. (А+В)=Р(А)+Р(В)- Р(АВ)

Припустимо, що можливість попадання на мету одним пострілом дорівнює 0,4. Тоді подія А - попадання в ціль у першій спробі, В - у другій. Ці події спільні, оскільки цілком можливо, що можна вразити мету і з першого, і з другого пострілу. Але події не є залежними. Якою є ймовірність настання події поразки мішені з двох пострілів (хоча б з одного)? Відповідно до формули:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Відповідь на запитання наступна: "Ймовірність потрапити в ціль із двох пострілів дорівнює 64%".

Ця формула ймовірності події може бути застосовна і до несумісних подій, де ймовірність спільної появи події Р(АВ) = 0. Це означає, що ймовірність суми несумісних подій можна вважати окремим випадком запропонованої формули.

Геометрія ймовірності для наочності

Цікаво, що ймовірність суми спільних подій може бути представлена ​​у вигляді двох областей А та В, які перетинаються між собою. Як видно з картинки, площа їхнього об'єднання дорівнює загальній площі за мінусом області їхнього перетину. Це геометричне пояснення роблять зрозумілішою нелогічну здавалося б формулу. Зазначимо, що геометричні рішення - не рідкість теорії ймовірностей.

Визначення ймовірності суми множини (більше двох) спільних подій досить громіздке. Щоб вирахувати її, потрібно скористатися формулами, які передбачені для цих випадків.

Залежні події

Залежними події називаються у разі, якщо наступ одного (А) їх впливає ймовірність наступу іншого (В). Причому враховується вплив як події А, і його непоява. Хоча події називаються залежними за визначенням, але залежно лише одне з них (В). Звичайна ймовірність позначалася як Р(В) чи ймовірність незалежних подій. У випадку із залежними вводиться нове поняття - умовна ймовірність Р A (В) , яка є ймовірністю залежної події У за умови події А (гіпотези), від якої воно залежить.

Але ж подія А теж випадкова, тому в неї також є ймовірність, яку потрібно і можна враховувати в розрахунках, що здійснюються. Далі на прикладі буде показано, як працювати із залежними подіями та гіпотезою.

Приклад розрахунку ймовірності залежних подій

Хорошим прикладом до розрахунку залежних подій може стати стандартна колода карт.

На прикладі колоди в 36 карток розглянемо залежні події. Потрібно визначити ймовірність того, що друга карта, витягнута з колоди, буде бубнової масті, якщо перша вилучена:

1. Бубнова.
2. Інший масті.

Очевидно, що ймовірність другої події залежить від першого А. Так, якщо справедливий перший варіант, що в колоді стало на 1 карту (35) і на 1 бубну (8) менше, ймовірність події В:

Р A (В) = 8/35 = 0,23

Якщо ж справедливий другий варіант, то в колоді стало 35 карт, і, як і раніше, збереглося повне число бубон (9), тоді ймовірність наступної події:

Р A (В) = 9/35 = 0,26.

Видно, що якщо подія А умовлена ​​в тому, що перша карта - бубна, то ймовірність події зменшується, і навпаки.

Розмноження залежних подій

Керуючись попереднім розділом, ми приймаємо першу подію (А) як факт, але, якщо говорити по суті, вона має випадковий характер. Імовірність цієї події, а саме вилучення бубна з колоди карт, дорівнює:

Р(А) = 9/36=1/4

Оскільки теорія немає як така, а покликана служити у практичних цілях, то справедливо відзначити, що найчастіше потрібна ймовірність твори залежних подій.

Відповідно до теореми про добуток ймовірностей залежних подій, ймовірність появи спільно залежних подій А і В дорівнює ймовірності однієї події А, помножена на умовну ймовірність події В (залежної від А):

Р(АВ) = Р(А) *Р A(В)

Тоді в прикладі з колодою ймовірність вилучення двох карт з мастиною бубни дорівнює:

9/36*8/35=0,0571, чи 5,7%

І ймовірність вилучення спочатку не бубни, та був бубни, дорівнює:

27/36*9/35=0,19, чи 19%

Видно, що ймовірність появи події більша за умови, що першою витягується карта масті, відмінної від бубни. Такий результат цілком логічний та зрозумілий.

Повна ймовірність події

Коли завдання з умовними ймовірностями стає багатогранним, то звичайними методами його обчислити не можна. Коли гіпотез більше двох, саме А1,А2,…,А n , ..утворює повну групу подій за умови:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Отже, формула повної ймовірності для події при повній групі випадкових подій А1, А2, ..., А n дорівнює:

Погляд у майбутнє

Імовірність випадкової події вкрай необхідна у багатьох сферах науки: економетриці, статистиці, у фізиці тощо. буд. Деякі процеси неможливо описати детерміновано, оскільки вони мають ймовірнісний характер, необхідні особливі методи роботи. Теорія ймовірності події може бути використана у будь-якій технологічній сфері як спосіб визначити можливість помилки чи несправності.

Можна сміливо сказати, що, дізнаючись ймовірність, ми певним чином робимо теоретичний крок у майбутнє, розглядаючи його через призму формул.

Завдання на класичне визначення імовірності.
Приклади рішень

На третьому уроці ми розглянемо різні завдання щодо безпосереднього застосування класичного визначення ймовірності. Для ефективного вивчення матеріалів цієї статті рекомендую ознайомитись із базовими поняттями теорії ймовірностейі основами комбінаторики. Завдання на класичне визначення ймовірності з ймовірністю, яка прагне одиниці, буде присутня у вашій самостійній/контрольній роботі по терверу, тому налаштовуємося на серйозну роботу. Ви запитаєте, чого тут серйозного? …всього одна примітивна формула . Застерігаю від легковажності – тематичні завдання досить різноманітні, і багато з них можуть поставити в безвихідь. У цьому зв'язку окрім опрацювання основного уроку, постарайтеся вивчити додаткові завдання на тему, що знаходиться в скарбничці готових рішень з вищої математики. Прийоми рішення прийомами рішення, а «друзів» все-таки «треба знати в обличчя», бо багата фантазія обмежена і типових завдань теж вистачає. Ну а я постараюся у високій якості розібрати максимальну їх кількість.

Згадуємо класику жанру:

Імовірність настання події в деякому випробуванні дорівнює відношенню , де:

– загальна кількість усіх рівноможливих, елементарнихрезультатів даного випробування, які утворюють повну групу подій;

– кількість елементарнихрезультатів, що сприяють події.

І відразу негайний піт-стоп. Чи зрозумілі вам підкреслені терміни? Мається на увазі чітке, а чи не інтуїтивне розуміння. Якщо ні, то все-таки краще повернутися до 1-ї статті за теорії ймовірностейі лише після цього їхати далі.

Будь ласка, не пропускайте перші приклади – у них я повторю один принципово важливий момент, а також розповім, як правильно оформлювати рішення та якими способами це можна зробити:

Завдання 1

У урні знаходиться 15 білих, 5 червоних та 10 чорних куль. Навмання витягується 1 куля, знайти ймовірність того, що вона буде: а) білим, б) червоним, в) чорним.

Рішення: найважливішою передумовою для використання класичного визначення ймовірності є можливість підрахунку загальної кількості результатів.

Всього в урні: 15 + 5 + 10 = 30 куль, і, очевидно, справедливі такі факти:

- Вилучення будь-якої кулі однаково можливе (рівноможливістьрезультатів), при цьому результати елементарні і утворюють повну групу подій (тобто в результаті випробування обов'язково буде витягнуто якусь одну з 30 куль).

Таким чином, загальна кількість результатів:

Розглянемо подію: – з урни буде вилучено білу кулю. Цій події сприяють елементарнихрезультатів, тому за класичним визначенням:
- Імовірність того, то з урни буде вилучено білу кулю.

Як не дивно, навіть у такому простому завданні можна допустити серйозну неточність, на якій я вже загострював увагу в першій статті з теорії ймовірностей. Де тут підводний камінь? Тут некоректно міркувати, що «якщо половина куль білі, то ймовірність вилучення білої кулі» . У класичному визначенні ймовірності йдеться про ЕЛЕМЕНТАРНИХрезультатах, і дріб слід обов'язково прописати!

З іншими пунктами аналогічно, розглянемо такі події:

– з урни буде вилучено червону кулю;
- З урни буде витягнуто чорну кулю.

Події сприяє 5 елементарних наслідків, а події – 10 елементарних наслідків. Таким чином, відповідні ймовірності:

Типова перевірка багатьох завдань по терверу здійснюється за допомогою теореми про суму ймовірностей подій, що утворюють повну групу. У разі події утворюють повну групу, отже, сума відповідних ймовірностей повинна обов'язково дорівнювати одиниці: .

Перевіримо, чи це так: , у чому й хотілося переконатися.

Відповідь:

В принципі, відповідь можна записати і докладніше, але особисто я звик ставити туди тільки числа – тому, що коли починаєш «штампувати» завдання сотнями і тисячами, то прагнеш максимально скоротити запис рішення. До речі, про стислість: на практиці поширений «швидкісний» варіант оформлення рішення:

Усього: 15 + 5 + 10 = 30 куль в урні. За класичним визначенням:
- ймовірність того, що з урни буде вилучено білу кулю;
– ймовірність того, що з урни буде вилучено червону кулю;
- Імовірність того, то з урни буде вилучено чорну кулю.

Відповідь:

Однак якщо в умові кілька пунктів, то рішення найчастіше зручніше оформити першим способом, який забирає трохи більше часу, але все «розкладає по поличках» і дозволяє легше зорієнтуватися в задачі.

Розминаємось:

Завдання 2

До магазину надійшло 30 холодильників, п'ять із яких мають заводський дефект. Випадково вибирають один холодильник. Якою є ймовірність того, що він буде без дефекту?

Виберіть доцільний варіант оформлення та звіртеся зі зразком унизу сторінки.

У найпростіших прикладах кількість загальних і сприятливих результатів лежать лежить на поверхні, але найчастіше картоплю доводиться викопувати самостійно. Канонічна серія завдань про забудькуватого абонента:

Завдання 3

Набираючи номер телефону, абонент забув дві останні цифри, але пам'ятає, що одна з них – нуль, а інша – непарна. Знайти ймовірність, що він набере правильний номер.

Примітка : нуль – це парне число (ділиться на 2 без залишку)

Рішення: спочатку знайдемо загальну кількість результатів За умовою абонент пам'ятає, що одна з цифр – нуль, а інша цифра – непарна. Тут раціональніше не мудрувати з комбінаторикою і користуватися методом прямого перерахування результатів . Тобто при оформленні рішення просто записуємо всі комбінації:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

І підраховуємо їх – всього: 10 наслідків.

Сприятливий результат один: правильний номер.

За класичним визначенням:
- Імовірність того, що абонент набере правильний номер

Відповідь: 0,1

Десяткові дроби теорії ймовірностей виглядають цілком доречно, але можна дотримуватися і традиційного вышматовского стилю, оперуючи лише звичайними дробами.

Просунуте завдання для самостійного вирішення:

Завдання 4

Абонент забув пін-код до своєї сім-карти, проте пам'ятає, що він містить три «п'ятірки», а одна з цифр – чи то «сімка», чи то «вісімка». Яка ймовірність успішної авторизації з першої спроби?

Тут ще можна розвинути думку про можливість того, що абонента чекає автомобіля у вигляді пук-коду, але, на жаль, міркування вже вийдуть за рамки даного уроку

Рішення та відповідь внизу.

Іноді перерахування комбінацій виявляється дуже кропітким заняттям. Зокрема, так справи в наступній, не менш популярній групі завдань, де підкидаються 2 гральні кубики. (рідше – велика кількість):

Завдання 5

Знайти ймовірність того, що при киданні двох гральних кісток у сумі випаде:

а) п'ять очок;
б) не більше чотирьох очок;
в) від 3 до 9 очок включно.

Рішення: знайдемо загальну кількість результатів:

Способами може випасти грань 1-го кубика іспособами може випасти грань 2 кубика; по правилу множення комбінацій, всього: можливі комбінації. Іншими словами, кожнагрань 1-го кубика може становити упорядкованупару з кожноюгранню 2-го кубика. Умовимося записувати таку пару у вигляді , де цифра, що випала на 1-му кубику, - цифра, що випала на 2-му кубику. Наприклад:

- На першому кубику випало 3 очки, на другому - 5 очок, сума очок: 3 + 5 = 8;
- На першому кубику випало 6 очок, на другому - 1 очко, сума очок: 6 + 1 = 7;
– на обох кістках випало 2 очки, сума: 2+2=4.

Очевидно, що найменшу суму дає пара, а найбільшу – дві «шістки».

а) Розглянемо подію: – при киданні двох гральних кісток випаде 5 очок. Запишемо та підрахуємо кількість наслідків, які сприяють даній події:

Разом: 4 сприятливих результатів. За класичним визначенням:
- Шукана ймовірність.

б) Розглянемо подію: – випаде трохи більше 4 очок. Тобто або 2, або 3, або 4 очки. Знову перераховуємо і підраховуємо сприятливі комбінації, зліва я записуватиму сумарну кількість очок, а після двокрапки – відповідні пари:

Разом: 6 сприятливих комбінацій. Таким чином:
- Імовірність того, що випаде не більше 4 очок.

в) Розглянемо подію: – випаде від 3 до 9 очок включно. Тут можна піти прямою дорогою, але... щось не хочеться. Так, деякі пари вже перераховані в попередніх пунктах, але роботи все одно доведеться забагато.

Як краще вчинити? У подібних випадках раціональним виявляється манівець. Розглянемо протилежна подія: – випаде 2 або 10 або 11 чи 12 очок.

У чому сенс? Протилежній події сприяє значно менша кількість пар:

Разом: 7 сприятливих результатів.

За класичним визначенням:
- Імовірність того, що випаде менше трьох або більше 9 очок.

Крім прямого перерахування та підрахунку результатів, у ході також різні комбінаторні формули. І знову епічне завдання про ліфт:

Завдання 7

До ліфту 20-поверхового будинку на першому поверсі зайшли 3 особи. І поїхали. Знайти ймовірність того, що:

а) вони вийдуть на різних поверхах
б) двоє вийдуть одному поверсі;
в) усі вийдуть на одному поверсі.

Наше захоплююче заняття добігло кінця, і наостанок ще раз наполегливо рекомендую якщо не вирішувати, то хоча б розібратися в додаткові завдання на класичне визначення ймовірності. Як я вже зазначав, «набивання руки» теж має значення!

Далі по курсу – Геометричне визначення ймовірностіі Теореми складання та множення ймовірностейі ... везіння в головному!

Рішення та відповіді:

Завдання 2: Рішення: 30 – 5 = 25 холодильників немає дефекту.

- Імовірність того, що навмання обраний холодильник не має дефекту.
Відповідь :

Завдання 4: Рішення: знайдемо загальну кількість результатів:
способами можна вибрати місце, на якому розташована сумнівна цифра і на кожномуз цих 4 місць можуть розташовуватися 2 цифри (сімка або вісімка). За правилом множення комбінацій, загальна кількість результатів: .
Як варіант, у рішенні можна просто перерахувати всі результати (благо їх небагато):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Сприятливий результат один (правильний пін-код).
Таким чином, за класичним визначенням:
- Імовірність того, що абонент авторизується з 1-ї спроби
Відповідь :

Завдання 6: Рішення: знайдемо загальну кількість результатів:
способами можуть випасти цифри на 2 кубиках.

а) Розглянемо подію: – при кидку двох гральних кісток добуток очок дорівнюватиме семи. Для цієї події немає сприятливих результатів, за класичним визначенням ймовірності:
, тобто. ця подія є неможливою.

б) Розглянемо подію: – при кидку двох гральних кісток твір очок виявиться щонайменше 20. Цій події сприяють такі результаты:

Разом: 8
За класичним визначенням:
- Шукана ймовірність.

в) Розглянемо протилежні події:
– добуток очок буде парним;
– добуток очок буде непарним.
Перерахуємо всі результати, що сприяють події:

Разом: 9 сприятливих результатів.
За класичним визначенням ймовірності:
Протилежні події утворюють повну групу, тому:
- Шукана ймовірність.

Відповідь :

Завдання 8: Рішення: обчислимо загальну кількість результатів: способами можуть впасти десять монет.
Інший шлях: способами може впасти 1-а монета іспособами може впасти 2-а монета і … іспособами може впасти 10-та монета. За правилом множення комбінацій, 10 монет можуть впасти методами.
а) Розглянемо подію: – всіх монетах випаде орел. Цій події сприяє єдиний результат, за класичним визначенням ймовірності: .
б) Розглянемо подію: – на 9 монетах випаде орел, але в одній – решка.
Існує монети, на яких може випасти решка. За класичним визначенням ймовірності: .
в) Розглянемо подію: – орел випаде на половині монет.
Існує унікальних комбінацій із п'яти монет, на яких може випасти орел. За класичним визначенням ймовірності:
Відповідь :

Основи теорії ймовірності

План:

1. Випадкові події

2. Класичне визначення ймовірності

3. Обчислення ймовірностей подій та комбінаторика

4. Геометрична ймовірність

Теоретичні відомості

Випадкові події

Випадкове явище- Явлення, результат якого однозначно не визначено. Це поняття можна трактувати у досить широкому значенні. А саме: все в природі досить випадково, поява і народження будь-якого індивідуума є випадкове явище, вибір товару в магазині також випадкове явище, отримання оцінки на іспиті є випадкове явище, захворювання та одужання є випадкові явища і т.д.

Приклади випадкових явищ:

~ Здійснюється стрілянина з гармати, встановленим під заданим кутом до горизонту. Попадання його в ціль випадково, але влучення снаряда в деяку "вилку" є закономірністю. Можна вказати відстань, ближче за яку і далі за яку, снаряд не полетить. Вийде деяка "вилка розсіювання снарядів"

~ Те саме зважується кілька разів. Строго кажучи, щоразу виходитимуть різні результати, що нехай відрізняються на мізерно малу величину, але відрізнятимуться.

~ Літак, літаючи по тому самому маршруту, має деякий політний коридор, в межах якого може лавірувати літак, але ніколи у нього не буде строго однакового маршруту

~ Спортсмен ніколи не зможе пробігти одну і ту ж дистанцію з однаковим часом. Його результати також будуть у межах деякого чисельного проміжку.

Досвід, експеримент, спостереження є випробуваннями

Випробування– спостереження чи виконання деякого комплексу умов, виконуваних неодноразово, причому регулярно повторюваних у ній і послідовності, тривалості, з дотриманням інших однакових параметрів.

Розглянемо виконання спортсменом пострілу з мішені. Щоб він був зроблений, необхідно виконати такі умови як виготовлення спортсмена, зарядка зброї, прицілювання тощо. "Потрапив" та "не потрапив" – події, як результат пострілу.

Подія- Якісний результат випробування.

Подія може відбутися або не відбутися. Події позначаються великими латинськими літерами. Наприклад: D = "Стрілок потрапив у мішень". S="Вийнято білу кулю". K="Взятий лотерейний квиток без виграшу.".

Підкидання монети – випробування. Падіння її "гербом" - одна подія, падіння її "цифрою" - друга подія.

Будь-яке випробування передбачає настання кількох подій. Одні з них можуть бути необхідними в даний час дослідникові, інші - не потрібними.

Подія називається випадковою, якщо під час здійснення певної сукупності умов Sвоно може або статися, або статися. Надалі, замість того, щоб говорити "сукупність умов S здійснена", говоритимемо коротко: "Зроблено випробування". Таким чином, подія розглядатиметься як результат випробування.

~ Стрілець стріляє по мішені, розділеній на чотири області. Постріл – це випробування. Попадання у певну область мішені – подія.

~ У урні є кольорові кулі. З урни навмання беруть одну кулю. Вилучення кулі з урни є випробування. Поява кулі певного кольору – подія.

Види випадкових подій

1. Події називають несумісними,якщо поява одного з них виключає появу інших подій в тому самому випробуванні.

~ З ящика з деталями навмання витягнуто деталь. Поява стандартної деталі унеможливлює появу нестандартної деталі. Події € з'явилася "стандартна деталь" і з'явилася "нестандартна деталь" - несумісні.

~ Покинута монета. Поява "герба" ​​виключає появу напису. Події "з'явився герб" і "з'явився напис" - несумісні.

Декілька подій утворюють повну групу,якщо в результаті випробування з'явиться хоч одне з них. Іншими словами, поява хоча б однієї з подій повної групи є достовірною подією.

Зокрема, якщо події, що утворюють повну групу, попарно несумісні, то в результаті випробування з'явиться одна і тільки одна з цих подій. Цей окремий випадок представляє для нас найбільший інтерес, оскільки використовується далі.

~ Придбано два квитки грошово-речової лотереї. Обов'язково відбудеться одна і лише одна з наступних подій:

1. "виграш випав на перший квиток і не випав на другий",

2. "виграш не випав на перший квиток і випав на другий",

3. "виграш випав на обидва квитки",

4. "на обидва квитки виграш не випав".

Ці події утворюють повну групу попарно несумісних подій,

~ Стрілець зробив постріл по меті. Обов'язково відбудеться одна з наступних двох подій: попадання, промах. Ці дві несумісні події також утворюють повну групу.

2. Події називають рівноможливими,якщо є підстави вважати, що жодна з них не є більш можливою, ніж інша.

~ Поява "герба" ​​та поява напису при киданні монети - рівноможливі події. Справді, передбачається, що монета виготовлена ​​з однорідного матеріалу, має правильну циліндричну форму, і наявність карбування не впливає випадання тієї чи іншої боку монети.

~ Поява того чи іншого числа очок на кинутій гральній кістці – рівноможливі події. Справді, передбачається, що гральна кістка виготовлена ​​з однорідного матеріалу, має форму правильного багатогранника, і наявність очок не впливає випадання будь-якої грані.

3. Подія називається достовірним,якщо воно не може не статися

4. Подія називається не достовірнимякщо воно не може статися.

5. Подія називаються протилежнимдо певної події, якщо вона складається з появи цієї події. Протилежні події не сумісні, але одна з них має обов'язково відбутися. Протилежні події прийнято позначати як заперечення, тобто. над літерою пишеться рисочка. Події протилежні: А та Ā; U та Ū і т.д. .

Класичне визначення ймовірності

Імовірність – одне з основних понять теорії ймовірностей.

Існує кілька визначень цього поняття. Наведемо визначення, яке називають класичним. Далі вкажемо слабкі сторони цього визначення та наведемо інші визначення, що дозволяють подолати недоліки класичного визначення.

Розглянемо ситуацію: У ящику міститься 6 однакових куль, причому 2 – червоні, 3 – сині та 1-білий. Очевидно, можливість вийняти навмання з кольорової урни (тобто червоний або синій) кулю більше, ніж можливість витягти білу кулю. Цю можливість можна охарактеризувати числом, яке називають ймовірністю події (появи - кольорової кулі).

Ймовірність- Число, що характеризує ступінь можливості появи події.

У ситуації позначимо:

Подія А = "Витягування кольорової кулі".

Кожен із можливих результатів випробування (випробування полягає у вилученні кулі з урни) назвемо елементарним (можливим) результатом та подією.Елементарні наслідки можна позначати літерами з індексами внизу, наприклад: k 1 , k 2 .

У нашому прикладі 6 куль, тому 6 можливих наслідків: з'явилася біла куля; з'явилася червона куля; з'явилася синя куля і т.д. Легко бачити, що ці результати утворюють повну групу попарно несумісних подій (обов'язково з'явиться тільки одна куля) і вони рівноможливі (куля виймають навмання, кулі однакові і ретельно перемішані).

Елементарні результати, у яких цікава для нас подія настає, назвемо сприятливими наслідкамицій події. У нашому прикладі сприяють події А(Поява кольорової кулі) наступні 5 результатів:

Таким чином, подія Аспостерігається, якщо у випробуванні настає один, байдуже який, з елементарних результатів, що сприяють А.Це поява будь-якої кольорової кулі, яких у ящику 5 штук

У аналізованому прикладі елементарних результатів 6; з них 5 сприяють події А.Отже, Р(А)= 5/6. Це число дає кількісну оцінку ступеня можливості появи кольорової кулі.

Визначення ймовірності:

Імовірністю події Аназивається відношення числа сприятливих цій події наслідків до загального числа всіх рівноможливих несумісних елементарних наслідків, що утворюють повну групу.

Р(А)=m/n або Р(А)=m: n, де:

m - число елементарних результатів, що сприяють А;

п- Число всіх можливих елементарних результатів випробування.

Тут передбачається, що елементарні наслідки несумісні, рівноможливі та утворюють повну групу.

З визначення ймовірності випливають такі властивості:

1. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.

Справді, якщо подія є достовірною, то кожен елементарний результат випробування сприяє події. У цьому випадку m = nотже, p=1

2. Імовірність неможливої ​​події дорівнює нулю.

Справді, якщо подія неможлива, то жоден з елементарних результатів випробування не сприятиме події. І тут m=0, отже, p=0.

3.Імовірність випадкової події є позитивним числом, укладеним між нулем і одиницею. 0т< n.

У наступних темах будуть наведені теореми, які дозволяють за відомими ймовірностями одних подій знаходити ймовірність інших подій.

Промір. У групі студентів 6 дівчат та 4 юнаків. Яка ймовірність того, що навмання обраний студент буде дівчина? буде юнак?

p дів = 6 / 10 = 0,6 p юн = 4 / 10 = 0,4

Поняття "імовірність" у сучасні суворі курси теорії ймовірностей побудовано на теоретико-множинні основі. Розгляньмо деякі моменти такого підходу.

Нехай у результаті випробування настає одна і лише одна з подій: w i(i = 1, 2, .... п). Події w i,- називається елементарними подіями (елементарними наслідками). Прозвідси випливає, що елементарні події попарно несумісні. Безліч всіх елементарних подій, які можуть з'явитися у випробуванні, називають простором елементарних подійΩ (грецька буква омега велика), а самі елементарні події - точками цього простору..

Подія Аототожнюють з підмножиною (простору Ω), елементи якого є елементарними наслідками, що сприяють А;подія Ує підмножина Ω , елементи якого є результати, що сприяють В,і т, д. Таким чином, безлічі всіх подій, які можуть наступити у випробуванні, є безліч всіх підмножин Ω, Само Ω настає за будь-якого результату випробування, тому Ω - достовірна подія; порожнє підмножина простору Ω - неможлива подія (вона не настає ні при якому результаті випробування).

Елементарні події виділяються з усіх подій тим, "по кожну з них містить тільки один елемент Ω

Кожному елементарному результату w iставлять у відповідність позитивне число р i- ймовірність цього результату, причому сума всіх р iдорівнює 1 або зі знаком суми цей факт запишеться у вигляді виразу:

За визначенням, ймовірність Р(А)події Адорівнює сумі ймовірностей елементарних результатів, що сприяють А.Тому ймовірність події достовірного дорівнює одиниці, неможливого – нулю, довільного – укладена між нулем та одиницею.

Розглянемо важливий окремий випадок, коли всі результати рівноможливі, Число результатів дорівнює л, сума ймовірностей всіх результатів дорівнює одиниці; отже, ймовірність кожного результату дорівнює 1/п. Нехай події Асприяє m результатів.

Ймовірність події Адорівнює сумі ймовірностей наслідків, що сприяють А:

Р(А)=1/n + 1/n+…+1/n = n·1/n=1

Отримано класичне визначення ймовірності.

Існує ще аксіоматичнийпідхід до поняття "імовірність". У системі аксіом, запропонованої. Колмогоровим А. Н, невизначеними поняттями є елементарна подія та ймовірність. Побудова логічно повноцінної теорії ймовірностей ґрунтується на аксіоматичному визначенні випадкової події та її ймовірності.

Наведемо аксіоми, що визначають ймовірність:

1. Кожній події Апоставлене у відповідність невід'ємне дійсне число Р(А).Це число називається ймовірністю події А.

2. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці:

3. Імовірність настання хоча б однієї з попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Виходячи з цих аксіом, властивості ймовірностей до залежності між ними виводять як теорем.